조금은 느리게 살자: 등가 회로(Equivalent Circuit)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "등가 회로"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 선형 전기 회로망을 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)로 변경(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 선형 전기 회로망을 노턴 등가 회로(Norton equivalent circuit)로 변경(출처: wikipedia.org)

단자(port)에서의 전압과 전류 특성을 유지하면서 복잡한 선형 전기 회로망(linear electrical network)을 더 단순화된 전원(source)과 임피던스(impedance)로 완벽히 교체하는 회로 이론의 기법은 등가 회로(equivalent circuit)로 불린다. 잘 알려진 등가 회로로 전압원을 쓰는 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)와 전류원에 바탕을 둔 노턴 등가 회로(Norton equivalent circuit)가 있다.

1. 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)

대(大)물리학자 헬름홀츠Hermann von Helmholtz(1821–1894)의 등가 회로[1]와는 독립적으로 테브넹Léon Charles Thévenin(1857–1926)은 1883년테브넹 26세, 조선 고종 시절에 테브넹 등가 회로를 제안하였다[2]. 사실 헬름홀츠가 1853년에 테브넹 등가 회로의 개념을 이미 확립했지만, 헬름홀츠의 증명은 너무 어렵기 때문에 우리는 테브넹의 쉬운 증명을 선호한다. 위대한 헬름홀츠의 수리 물리학적 논증을 마다하고 프랑스 우편전신국의 공학자 테브넹의 간편한 증명을 우리는 보고 또 본다. 헬름홀츠의 착상을 재발견하고 발전시킨 테브넹을 보면서, 우리 같은 평범한 사람들도 복잡한 학문 분야에 조금이라도 기여할 부분을 분명히 찾아야 한다.

[테브넹의 정리(Thévenin's theorem)]

모든 선형 전기 회로망은 전압원과 임피던스의 직렬 회로로 대체할 수 있다.

[증명]

테브넹 등가 회로의 완전성을 증명하기 위해 먼저 중첩 원리(superposition principle)를 도입한다[1]. 선형 회로망에 그물 해석(mesh analysis)을 적용해서 연립 일차 방정식을 행렬 방정식 ${\bf RI}$ = ${\bf V}_s$로 나타낸다. 여기서 $\bf R$은 저항 행렬, $\bf I$와 ${\bf V}_s$는 각각 미지수 전류의 열 벡터 및 이미 주어진 전압원의 열 벡터이다. 이 행렬 방정식의 해를 중첩 원리로 표현한다.

(1.1)

여기서 ${\bf V}_{s,n}$은 중첩 원리로 분해한 $n$번째 전압원 열 벡터이다. 식 (1.1)처럼 각각의 전압원을 가지고 계산한 전류와 전체 전압원에 대해 한 번에 처리한 결과는 동일하다.

여기까지는 상식적이지만, [그림 1]의 왼쪽에 나온 난해한 선형 회로망이 오른쪽의 단순한 등가 회로로 언제나 바뀐다는 성질을 증명하기는 아주 어렵다.

(a) 테브넹 등가 회로

(b) 추가 전압원 $V_a$를 연결한 회로망

[그림 1.1] 중첩 원리를 이용해 테브넹 정리를 증명하는 과정

테브넹은 회로적 유도를 간략화하기 위해, 중첩 원리를 기반으로 기발한 방법인 추가 전압원 $V_a$를 [그림 1.1(a)]처럼 연결했다. 전압원 $V_a$의 크기를 조정해서 회로에 흐르는 전류 $I_a$가 0이 되도록 한다. 또한 키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff Voltage Law, KVL)을 쓰면 $V_A$ = $V_a + V_B$도 성립한다. 회로망 B에는 전원이 없고 $I_a$ = $0$인 경우, 옴의 법칙(Ohm's law)에 의해 $V_B$ = $0$이 도출된다. 따라서 $V_A$ = $V_a$가 되고 전류가 흐르지 않는 개방 상태가 된다. 결국 회로망 B가 회로망 A에 연결되지 않은 상태와 같기 때문에, $V_a$는 개방 회로 전압(open-circuit voltage)이며 테브넹 등가 회로의 테브넹 전압원(Thévenin voltage source) $V_\text{th}$ = $V_a$와 같다.

이번에는 회로망 A에 중첩 원리를 적용해서 모든 전원을 0으로 둔다. 그러면 전압원 $V_a$만 있으므로, 전류가 만들어져 회로망을 흐른다. 이때 생성되는 전류는 $V_a$가 없을 때의 전류와 크기는 같고 방향만 다를 것이다. 이에 따라 전원이 없는 회로망 A의 종단점에서 바라본 등가 임피던스(equivalent impedance)를 얻을 수 있다. 이 값은 테브넹 등가 저항(Thévenin equivalent resistance) $R_\text{th}$와 같으며 $R_\text{th}$ = $V_A / I_a$이다. 이번에도 $R_\text{th}$는 회로망 B와는 별개로 유도된다. 종합적으로 회로망 B와 독립적으로 회로망 A는 테브넹 전압원 $V_\text{th}$와 테브넹 등가 저항 $R_\text{th}$로 교체 가능하다. 이 관점을 페이저(phasor) 개념으로 일반화해서 테브넹 등가 회로는 테브넹 전압원과 테브넹 등가 임피던스(Thévenin equivalent impedance) $Z_\text{th}$로 구성된다.

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옛날 책에는 일본어를 그대로 번역하여 테브난의 정리(テブナンの定理)라고 쓰는 경우도 많았다. 이제는 우리 출판 문화도 높은 수준이므로, 프랑스어 발음에 최대한 가깝게 테브넹의 정리로 바꾸어 기술한다.

전체 시스템의 전원부 영역을 테브넹 등가 회로로, 부하 영역을 등가 임피던스로 바꾸면, $Z_L$ = $Z_S^*$인 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theroem)를 만족하기 위한 임피던스 정합망(impedance matching network)을 쉽게 설계할 수 있다.

2. 노턴 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)

[그림 2.1] 노턴의 정리를 제안한 노턴Edward Lawry Norton과 동명이인인 배우 에드워드 노턴Edward Harrison Norton(출처: wikipedia.org)

벨 연구소(Bell Laboratories)에 근무하던 노턴Edward Lawry Norton(1898–1983)은 테브넹 등가 회로에 대응하는 새로운 등가 회로인 노턴 등가 회로를 1926년노턴 28세, 일제 식민지 시절에 고안했다[3]. 노턴 등가 회로의 존재성은 테브넹 등가 회로에 바탕을 두고 쉽게 증명할 수 있다. 역사적으로는 헬름홀츠가 테브넹 등가 회로를 증명한 후 73년이나 지나서야 노턴이 처음으로 노턴 등가 회로를 제안했다.

[노턴의 정리(Norton's theorem)]

모든 선형 전기 회로망은 전류원과 어드미턴스의 병렬 회로로 대체할 수 있다.

[증명]

[그림 1, 2]에 제시된 두 등가 회로를 서로 비교한다. 그러면 회로망의 단자 A와 B를 단락한 경우, 단락 회로 전류(short-circuit current) $I_\text{no}$는 테브넹 등가 회로의 전압원과 저항의 비율인 $I_\text{no}$ = $V_\text{th}/R_\text{th}$로 확정된다. 테브넹의 정리에 의해 모든 선형 회로망은 테브넹 등가 회로로 표현할 수 있으므로, $V_\text{th}, R_\text{th}$는 존재한다. 따라서 노턴 전류원(Norton current source) $I_\text{no}$도 잘 공식화된다. 또한 노턴 전류원을 0으로 만들 때, 테브넹 등가 저항 $R_\text{th}$는 노턴 등가 컨덕던스(Norton equivalent conductance) $G_\text{no}$ = $1/R_\text{th}$와 같다. 테브넹의 정리와 동일하게, 페이저 도입에 의해 $G_\text{no}$는 노턴 등가 어드미턴스(Norton equivalent admittance) $Y_\text{no}$로 즉시 바꿀 수 있다.

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테브넹의 정리와 노턴의 정리는 전압원과 전류원을 가진 단순화된 등가 회로를 생성하는 훌륭한 정리이다. 두 정리는 모두 일반화되어 있으므로, 한 정리로 다른 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

[참고문헌]

[1] H. von Helmholtz, "Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche (On some laws of the distribution of electric currents in physical conductors with application to animal-electrical experiments)," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), vol. 89, no. 6, pp. 211–233, 1853. (In German)

[2] L. C. Thévenin, "Extension de la loi d'Ohm aux circuits électromoteurs complexes (Extension of Ohm's law to complex electromotive circuits)," Annales Télégraphiques (Telegraphic Annals), vol. 10, pp. 222–224, 1883. (In French)

[3] E. L. Norton, "Design of finite networks for uniform frequency characteristic," Technical Report TM26–0–1680, Bell Labs, 1926.

[4] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2001, pp. 238–248.

[5] A. F. Peterson and G. D. Durgin, Transient Signals on Transmission Lines: An Introduction to Non-ideal Effects and Signal Integrity Issues in Electrical Systems, Morgan & Claypool Publishers, 2009, pp. 49–60.

[다음 읽을거리]

1. 최대 전력 이송 정리

2. 전압파의 반사 계수

3. 임피던스 정합