조금은 느리게 살자: 다절 정합 변환기(Multisection Matching Transformer)

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[그림 1] 특성 임피던스가 다른 전송선로로 구성한 다절 정합 변환기: $Z_{0n}$ = $Z_{n-1}$(출처: [1])

토막 정합(stub matching)에서 임피던스 정합(impedance matching)의 대역폭을 넓히기 위해 사용한 이중 토막 정합(double stub matching)의 개념을 더욱 확장한 [그림 1]에 보인 다절 정합 변환기(multisection matching transformer)를 고려한다[1]. 다절 정합 변환기는 특성 임피던스, 선로 길이 등이 다른 전송선로 분절(transmission line segment)을 여러 개 붙여서 구현한다.

[그림 2] 전원과 부하가 있는 전송선을 가진 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)

다절 정합 변환기에 필요한 소반사 근사(small reflection approximation) 기반 반사 근사식을 유도하기 위해 [그림 1]에 나온 다절 정합 변환기는 [그림 2]의 실례처럼 1개의 전송선로 분절만 가진다고 가정한다. [그림 2]의 내부에 존재하는 전압 $V(z)$와 전류 $I(z)$는 원래 복잡한 관계식을 가지지만, 등가 전압원(equivalent voltage source) $V_\text{eq}$을 활용하면 간단한 수식으로 표현 가능하다.

(1a)

반사가 매우 작다는 소반사 근사[$|\Gamma|$ $\approx$ $0$]를 식 (1a)에 적용할 경우, $V_\text{eq}$ $\approx$ $V_S$가 되므로 다중 반사(multiple reflection)를 생각하지 않아도 된다. 전원부에서 생기는 반사도를 $\Gamma_0$ = $(Z_0 - Z_S) \mathbin{/} (Z_0 + Z_S)$로 두고 식 (1a)를 다시 정리한다.

(1b)

여기서 $1 + \Gamma_0$ = $2 Z_0 \mathbin{/} (Z_0 + Z_S)$이다. 그러면 $z$ = $-l$에서 계산한 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}$는 전원과 부하 반사도의 합으로 나온다.

(2)

여기서 $\Gamma_1$ = $\Gamma_L$이다. 식 (2)가 가진 물리적 의미는 분명하다. 다중 반사가 있더라도 소반사 근사를 가정할 수 있으면, 임피던스 불연속이 일어나는 지점의 반사만 더함으로써 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}$를 얻을 수 있다. 이 과정은 [그림 1]에 보인 다절 정합 변환기에도 적용가능하므로, 각 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 합산해서 $\Gamma_\text{tot}$를 공식화한다.

(3a)

여기서 $\theta_0$ = $0$, $\psi_n$ = $\sum_{k=0}^n \theta_k$, $\theta_k$ = $\beta_k l_k$이다. 다절 정합 변환기를 구성하는 전송선로 분절의 $\theta_n$이 $\theta_n$ = $\psi$로 모두 같다면, 식 (3a)의 지수 항이 간략화된다.

(3b)

여기서 $\psi_n$ = $n \psi$, $\psi$ = $\beta l$이다. [그림 1]에 나온 반사도 $\Gamma_n$의 점화식(漸化式, recurrence formula)은 $Z_{0n}, Z_{0,n+1}$로 생성한다.

(3c)

여기서 $Z_{0n}$ = $Z_{n-1}$, $Z_{00}$ = $Z_S$, $Z_{0,N+1}$ = $Z_L$이다. 전송선로 분절의 특성 임피던스가 $Z_S, Z_L$에 대해 대칭인 경우는 반사도도 $\Gamma_n$ = $\Gamma_{N-n}$처럼 대칭 관계이므로 식 (3b)가 다음과 같이 바뀐다.

(4)

여기서 $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$는 노이만 수(Neumann number)이다. 식 (3c)에 소반사 근사를 적용함으로써 반사도를 로그 함수로 근사하고 특성 임피던스 변화를 지수 함수로 나타낼 수 있다.

(5a)

(5b)

따라서 분절별 반사도 $\Gamma_n$이 주어질 때 식 (5b)를 이용해서 분절별 특성 임피던스의 변화를 근사적으로 빠르게 계산할 수 있다.

1. 이항 다절 정합 변환기(binomial multisection matching transformer) [1]

[그림 1.1] 이항 다절 정합 변환기의 반사 및 투과 특성(출처: [1])

[그림 1.1]처럼 통과 대역(passband)에서 최대로 평평한(maximally flat) 응답을 가진 다절 정합 변환기를 만들 때는 이항 정리(binomial theorem)를 활용한다. 식 (3b)를 이항 정리와 연립해서 각 전송선로 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 결정한다.

(1.1a)

(1.1b)

여기서 $\psi$ = $\beta l$, $\beta$ = $2 \pi \mathbin{/} \lambda_g$; $\Gamma_0$은 [그림 1]에 보인 최초 혹은 최종 전송선로 분절의 반사도이다. 식 (1.1a)가 최대로 평평한 반사도 성질을 보이는 이유를 알기 위해 식 (1.1a)에 절대값을 취한다.

(1.2)

[그림 1.1]의 형태와 같이 통과 대역의 중심 $\psi$ = $\psi_c$에서 반사도를 0으로 두면, $\psi_c$ = $\pi/2$ 혹은 $l$ = $\lambda_g / 4$이다. 중심점 $\psi$ = $\psi_c$에서 살짝 멀어질 경우는 거듭제곱으로 인해 반사도는 거의 0에 가깝고 응답의 잔물결(ripple)이 없지만, $\psi$ = $0$ 혹은 $\pi$로 접근하면 반사가 급격히 증가한다.

반사도 $\Gamma_0$을 결정하기 위해 저주파 근사인 $\psi$ = $0$을 식 (1.1a)에 대입한다.