조금은 느리게 살자: 다절 정합 변환기(Multisection Matching Transformer)

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[그림 1] 특성 임피던스가 다른 전송선로로 구성한 다절 정합 변환기: $Z_{0n}$ = $Z_{n-1}$(출처: [2])

토막 정합(stub matching)에서 임피던스 정합(impedance matching)의 대역폭을 넓히기 위해 사용한 이중 토막 정합(double stub matching)의 개념을 더욱 확장한 [그림 1]에 보인 다절 정합 변환기(multisection matching transformer)를 고려한다[1], [2]. 다절 정합 변환기는 특성 임피던스, 선로 길이 등이 다른 전송선로 분절(transmission line segment)을 여러 개 붙여서 구현한다. 이때 전송선로 분절은 [그림 1]처럼 계단 형태로 임피던스가 변하기 때문에 다절 정합 변환기 대신 계단형 임피던스 변환기(stepped-impedance transformer)로 명명하기도 한다.

(a) 종접속 Π형 회로망(cascaded Π-network or Δ-network)

(b) 테브넹 등가 회로의 예시

[그림 2] LC 집중 회로 소자로 구현한 다절 정합 변환기(출처: [3])

1/4파장 길이를 갖는 전송선로는 LC 집중 회로 소자로 대체할 수 있기 때문에, [그림 2]와 같이 다절 정합 변환기를 T형 회로망(T-network or Y-network)이나 Π형 회로망(Π-network or Δ-network)의 종접속(cascade)으로 만들어서 원하는 임피던스 정합(impedance matching)을 실현할 수 있다[3]. 더구나 개별 LC 집중 회로망의 위상을 조정하고 종접속으로 연결함으로써 전체 임피던스 정합망의 출력 위상 특성을 우리가 원하는 수치로 설계가 가능하다[3].

[그림 3] 전원과 부하가 있는 전송선을 가진 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)

다절 정합 변환기에 필요한 소반사 근사(small reflection approximation) 기반 반사 근사식을 유도하기 위해 [그림 1]에 나온 다절 정합 변환기는 [그림 3]의 실례처럼 1개의 전송선로 분절만 가진다고 가정한다. [그림 3]의 내부에 존재하는 전압 $V(z)$와 전류 $I(z)$는 원래 복잡한 관계식을 가지지만, 등가 전압원(equivalent voltage source) $V_\text{eq}$을 활용하면 간단한 수식으로 표현 가능하다.

(1a)

반사가 매우 작다는 소반사 근사[$|\Gamma|$ $\approx$ $0$]를 식 (1a)에 적용할 경우, $V_\text{eq}$ $\approx$ $V_S$가 되므로 다중 반사(multiple reflection)를 생각하지 않아도 된다. 전원부에서 생기는 반사도를 $\Gamma_0$ = $(Z_0 - Z_S) \mathbin{/} (Z_0 + Z_S)$로 두고 식 (1a)를 다시 정리한다.

(1b)

여기서 $1 + \Gamma_0$ = $2 Z_0 \mathbin{/} (Z_0 + Z_S)$이다. 그러면 $z$ = $-l$에서 계산한 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}$는 전원과 부하 반사도의 합으로 나온다.

(2)

여기서 $\Gamma_1$ = $\Gamma_L$이다. 식 (2)가 가진 물리적 의미는 분명하다. 다중 반사가 있더라도 소반사 근사를 가정할 수 있으면, 임피던스 불연속이 일어나는 지점의 반사만 더함으로써 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}$를 얻을 수 있다. 이 과정은 [그림 1]에 보인 다절 정합 변환기에도 적용가능하므로, 각 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 합산해서 $\Gamma_\text{tot}$를 공식화한다.

(3a)

여기서 $\theta_0$ = $0$, $\psi_n$ = $\sum_{k=0}^n \theta_k$, $\theta_k$ = $\beta_k l_k$; $N$은 전송선로 분절의 개수이다. 다절 정합 변환기를 구성하는 전송선로 분절의 $\theta_n$이 $\theta_n$ = $\psi$로 모두 같다면, 식 (3a)의 지수 항이 간략화된다.

(3b)

여기서 $\psi_n$ = $n \psi$, $\psi$ = $\beta l$이다. [그림 1]에 나온 반사도 $\Gamma_n$의 점화식(漸化式, recurrence formula)은 $Z_{0n}, Z_{0,n+1}$로 생성한다.

(3c)

여기서 $Z_{0n}$ = $Z_{n-1}$, $Z_{00}$ = $Z_S$, $Z_{0,N+1}$ = $Z_L$이다. 전송선로 분절의 특성 임피던스가 $Z_S, Z_L$에 대해 대칭인 경우는 반사도도 $\Gamma_n$ = $\Gamma_{N-n}$처럼 대칭 관계이므로 식 (3b)가 다음과 같이 바뀐다.

(4a: 모든 $N$)

(4b: $N$이 홀수)

(4c: $N$이 짝수)

여기서 $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$는 노이만 수(Neumann number)이다. 식 (3c)에 소반사 근사를 적용함으로써 반사도를 로그 함수로 근사하고 특성 임피던스 변화를 지수 함수로 나타낼 수 있다.

(5a)

(5b)

따라서 분절별 반사도 $\Gamma_n$이 주어질 때 식 (5b)를 이용해서 분절별 특성 임피던스의 변화를 근사적으로 빠르게 계산할 수 있다.

1. 이항 다절 정합 변환기(binomial multisection matching transformer) [1], [2]

[그림 1.1] 이항 다절 정합 변환기의 반사 및 투과 특성(출처: [2])

[그림 1.1]처럼 통과 대역(passband)에서 최대로 평평한(maximally flat) 응답을 가진 이항 다절 정합 변환기(binomial multisection matching transformer)를 만들 때는 이항 정리(binomial theorem)를 활용한다. 식 (3b)를 이항 정리와 연립해서 각 전송선로 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 결정한다.

(1.1a)

(1.1b)

여기서 $\psi$ = $\beta l$, $\beta$ = $2 \pi \mathbin{/} \lambda_g$; $\Gamma_0$은 [그림 1]에 보인 최초 혹은 최종 전송선로 분절의 반사도, $\psi$는 각 전송선을 통과할 때 생기는 위상이다. 식 (1.1a)가 최대로 평평한 반사도 성질을 보이는 이유를 알기 위해 식 (1.1a)에 절대값을 취한다.

(1.2)

[그림 1.1]의 형태와 같이 통과 대역의 중심 $\psi$ = $\psi_c$에서 반사도를 0으로 두면, $\psi_c$ = $\pi/2$ 혹은 $l$ = $\lambda_c / 4$이다. 여기서 $\lambda_c$ = $2 \pi \mathbin{/} \beta_0$는 중심 주파수(center frequency) $f_0$에서 생기는 관내 파장(guided wavelength)이다. 중심점 $\psi$ = $\psi_c$에서 살짝 멀어질 경우는 거듭제곱으로 인해 반사도는 거의 0에 가깝고 응답의 잔물결(ripple)이 없지만, $\psi$ = $0$ 혹은 $\pi$로 접근하면 반사가 급격히 증가한다.

반사도 $\Gamma_0$을 결정하기 위해 저주파 근사인 $\psi$ = $0$을 식 (1.1a)에 대입한다.

(1.3a)

그러면 $\psi$에 대한 전체 반사도가 간략화된다.

(1.3b)

개별 전송선로 분절의 특성 임피던스 $Z_{0n}$도 식 (5b)에 의해 쉽게 결정된다.

(1.4a)

식 (1.4a)의 정확도를 알려고 $n$ = $N$을 대입해서 정리한다.

(1.4b)

여기서 $\sum_{n=0}^N$ = $2^N$, $\Gamma_\text{tot}(0)$ = $\Gamma_0 2^N$, $e^{2x}$ $\approx$ $(1+x) \mathbin{/} (1-x)$이다. 완벽히 같지는 않지만 $Z_{0,N+1}$ $\approx$ $Z_L$이 나오므로, 식 (1.4a)는 [그림 1.1]과 같은 반사도 응답을 얻기 위한 훌륭한 근사식이다.

이항 다절 정합 변환기의 위상 대역폭(phase bandwidth)을 $\psi_\text{BW}$로 두고 식 (1.3b)를 다시 씀으로써 다절 정합 변환기의 $\psi_\text{BW}$를 유도한다.

(1.5a)

여기서 $\psi_\text{BW}$ = $\beta_e l$; $\Gamma_\text{BW}$는 $\psi_\text{BW}$를 위상 대역폭으로 만드는 반사도의 기준 크기이다. 식 (1.5a)를 분수 대역폭(fractional bandwidth)의 정의에 넣어서 주파수 대역폭(frequency bandwidth) $\text{BW}$를 명확히 도출한다.

(1.5b)

(1.5c)

여기서 $v_p$ = $f_0 \lambda_c$는 파동의 위상 속도(phase velocity), $f_e$는 $\Gamma_\text{BW}$가 나오는 끝단 주파수(edge frequency), 중심 주파수 $f_0$에서 반사도를 0으로 만들기 위한 선로 길이는 $l$ = $\lambda_c/4$이다.

2. 체비쇼프 다절 정합 변환기(Chebyshev multisection matching transformer) [1], [2]

[그림 2.1] 체비쇼프 다절 정합 변환기의 반사 및 투과 특성(출처: [2])

[표 2.1] 전송선로 분절의 개수 $N$, 통과 대역의 최대 반사도 $\Gamma_m$, 전원과 부하 임피던스의 비율 $\delta_z$에 대한 분수 대역폭(fractional bandwidth)의 변화: $\delta_z$ = $\max(Z_L/Z_S, Z_S/Z_L)$(출처: [2])

이번에는 체비쇼프 함수(Chebyshev function)를 활용해서 주파수에 대한 반사도 변화를 급격하게 만드는 체비쇼프 다절 정합 변환기(Chebyshev multisection matching transformer)를 고려한다. 체비쇼프 다절 정합 변환기는 이항 다절 정합 변환기보다 반사도의 기울기를 더 급격하게 만들 수 있지만, 체비쇼프 함수의 성질로 인해 [그림 2.1]처럼 통과 대역에서 잔물결(ripple)이 필연적으로 생긴다. 다절 정합 변환기에 채택하는 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial) $T_n(x)$는 다음처럼 정의된다.

(2.1)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 독립 변수 $x$의 크기가 1보다 크면 복소수가 나와서 식 (2.1)은 끝없이 커지는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)가 된다. 물론 $x$의 크기가 1보다 작거나 같으면 $T_n(x)$는 삼각 함수를 따라가므로 함수값은 $[-1, 1]$에 제한된다.

식 (4)와 (2.1)에 바탕을 두고 반사도 응답을 체비쇼프 다항식으로 설정한다.

(2.2)

여기서 $\psi$ = $\beta l$; $T_N(1)$ = $1$로 인해 통과 대역(passband)의 위상 $\psi$ = $\psi_m$에서 통과 대역의 최대 반사도 혹은 잔물결 $\Gamma_m$이 얻어진다. 이항 다절 정합 변환기와 같이 통과 대역의 중심점은 $\psi$ = $\psi_c$ = $\pi/2$로 둔다. 통과 대역의 최대 반사도 $\Gamma_m$을 정하기 위해, 식 (1.3a)처럼 식 (2.2)에 $\psi$ = $0$을 대입한다.

(2.3)

각 전송선로 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 결정하려고, 식 (2.2)에 나온 체비쇼프 다항식 $T_N(\cdot)$를 급수 형태로 바꾼다.

(2.4a)

여기서 $x$ = $\cos \psi$, $z$ = $z_0 x$, $z_0$ = $\sec \psi_m$; 차수(degree) $N$이 정해지면 $b_m$은 자동적으로 도출된다. 식 (2.4a)에서 거듭제곱 $x^n$은 체비쇼프 다항식의 급수로 표현되기 때문에 $a_n$과 $b_m$의 관계가 유도된다.

(2.4b)

즉, 우리가 알고 있는 $b_m$을 식 (2.4a)의 첫째 줄에 넣고 둘째 줄과 항대항으로 비교함으로써 얻고 싶은 $a_n$을 $b_m$으로 수식화한다. 따라서 $\Gamma_n$의 관계식이 결국 체비쇼프 다항식의 계수로 정의된다. 이번에는 식 (4)와 (2.2)를 비교해서 $\Gamma_n$을 산출한다.