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[그림 1] 체비셰프의 미분 방정식에 대한 해인 체비셰프 함수 $T_n(x)$(출처: wikipedia.org)
수치 해석(numerical analysis)에 많이 사용하는 삼각 함수(trigonometric function) 형태인 체비셰프 함수(Chebyshev function)를 해로 가지는 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation)을 체비셰프의 미분 방정식(Chebyshev's Differential Equation)으로 부른다. 이 미분 방정식은 생긴 모습이 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)과 매우 유사하다.
(1a)체비셰프Pafnuty Chebyshev(1821–1984) 혹은 체비쇼프[러시아어 발음]는 다양한 수학 분야에서 선구적인 연구를 했던 러시아가 자랑하는 수학자이다. 체비셰프의 미분 방정식이란 용어 대신 간단히 체비셰프 방정식(Chebyshev equation)으로 이름 붙이기도 한다. 식 (1a)의 해를 구하기 위해 $x$ = $\cos \theta$로 치환해 미분 방정식을 다시 쓴다.
(1b)
(1c)식 (1c)는 매우 간단한 삼각 함수에 대한 상미분 방정식이므로, 제1종 체비셰프 함수(Chebyshev function of the first kind) $T_n(x)$를 코사인 함수로 정의한다.
(2a)
(2b)체비셰프의 미분 방정식은 직교 다항식(orthogonal polynomial)의 미분 방정식에 속한다. 이를 확인하기 위해 식 (1a)를 $\sqrt{1-x^2}$으로 나누고 정리한다. 아니면 2계 미분 앞은 2차 함수, 1계 미분 앞은 1차 함수가 곱해진 관찰만으로도 충분하다.
(3a)그러면 식 (3a)에 나온 각 미분 항의 앞에 곱한 함수는 직교 다항식에 필요한 조건을 잘 만족한다.
(3b: 직교 다항식의 미분 방정식)식 (3a)에서 나누어주는 함수를 우연히 $\sqrt{1-x^2}$로 선택한다고 착각하면 안된다. 직교 다항식의 이론에 따라 적분을 통해 $p(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$로 지정한다.
(3c)여기서 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-x$, $C$는 적분 상수이다. 나아가 직교 다항식의 성질에 따라 식 (2a)와 (2b) 중의 하나만 직교 다항식이 될 수 있다. 제2종 체비셰프 함수는 이미 $n$ = $1$에서 $V_1(x)$ = $\sin(\cos^{-1}x)$로 나와서 다항식이 될 수 없기 때문에, 제1종 체비셰프 함수 $T_n(x)$가 바로 직교 다항식이다. 그래서 $T_n(x)$를 제1종 체비셰프 함수 대신 체비셰프 다항식(Chebyshev polynomial)으로 부를 수 있다[1], [2]. 이를 확인하기 위해 삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에서 출발하는 체비셰프 함수의 재귀 관계(recurrence relation)를 유도한다.
(4a)
(4b)여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 따라서 $T_0(x), T_1(x)$는 다항식이라서 재귀 관계로 얻는 모든 $T_n(x)$는 차수(degree)가 $n$인 다항식으로 유도된다. 이와 같이 체비셰프 다항식은 코사인 함수의 합차 공식과 직접 연결된다.
[표 1] 체비셰프 다항식의 유한 급수 표현식, $T_n(x)$
| 차수(degree), $n$ | $T_n(x)$ |
|---|---|
| 0 | $1$ |
| 1 | $x$ |
| 2 | $2x^2-1$ |
| 3 | $4x^3-3x$ |
| 4 | $8x^4-8x^2+1$ |
기본 함수가 사인 함수이며 식 (2a)처럼 직교 다항식을 이루게 하려면 식 (2b)를 조금 변형해 새로운 $U_n(x)$를 정의한다.
(5)직교 다항식 관점에서 $U_n(x)$는 $n$차 다항식이어야 하므로 $V_n(x)$가 아닌 $V_{n+1}(x)$를 사용한다. 그러면 식 (4)처럼 모든 $U_n(x)$도 다항식이 된다.
(6a)
(6b)이와 같이 $U_n(x)$는 사인 함수가 만드는 합차 공식의 아름다운 변형이다. 함수 형태가 다항식은 아니지만 식 (2b)처럼 $U_n(x)$에 상보적인 $W_n(x)$도 정의한다.
(7)2가지 형태의 체비셰프 함수를 구별하기 위해, $T_n(x), V_n(x)$를 제1형 체비셰프 함수(type I Chebyshev function), $U_n(x), W_n(x)$는 제2형 체비셰프 함수(type II Chebyshev function)로 분류한다.
다항식 $U_n(x)$의 직교성을 검증하려면 식 (1a)와 같은 직교 다항식의 미분 방정식을 만들 수 있어야 한다. 이 절차의 첫 단추로 식 (5)를 1계와 2계 미분한다.
(8a)식 (8a)를 식 (1a)에 대입해서 미분 방정식을 $U_n(x)$에 대해 표현한다.
(8b)
(8c)식 (8c)가 직교 다항식의 미분 방정식임을 보이기 위해 식 (3)과 같은 절차로 $p(x)$를 유도한다.[간단히 2계와 1계 미분 앞에 곱해진 함수가 2차와 1차 함수임을 확인해도 된다.]
(8d)여기서 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-3x$, $r(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$, $C$는 적분 상수이다.
1. 기본(basics)
[정의역 확장]
체비셰프 함수의 정의역 $x$는 분명 $[-1, 1]$이지만, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 도움을 받아 전체 실수 영역으로 확장할 수 있다.
(1.1)
체비셰프 함수의 정의역 $x$는 분명 $[-1, 1]$이지만, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 도움을 받아 전체 실수 영역으로 확장할 수 있다.
(1.1)[증명]
코사인 함수는 1을 넘을 수 없기 때문에, $x > 1$인 때는 $\cos (iy)$ = $\cosh y$ = $x$로 놓는다. 그러면 $\cos (i n y)$ = $\cosh (ny)$ = $\cosh (n \cosh^{-1} x)$를 얻는다. 또한 $x$ = $-1$에서는 $T_n(-1)$ = $(-1)^n$이라서, 함수의 연속성을 위해 $\cosh (n \cosh^{-1} |x|)$에 $(-1)^n$을 곱한다.
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정의역을 확장한 체비셰프 함수 $T_n(x)$는 $[-1, 1]$에서는 코사인 함수, 이 범위를 넘어가면 지수적으로 커지는 쌍곡 코사인 함수로 대체된다.
2. 함수 표현식(function representation)
[복소 지수 함수]
(2.1a)
(2.1b)[증명]
오일러의 공식(Euler's formula) $e^{i \theta}$ = $\cos \theta + i \sin \theta$를 $x$ = $\cos \theta$로 치환하면 $e^{i \theta}$ = $x + \sqrt{x^2 - 1}$로 나온다. 이를 이용해 $2\cos (n \theta)$ = $e^{i n \theta} + e^{-i n \theta}$를 $x$로 표현해서 식 (2.1a)를 유도한다. 비슷한 방법으로 $T_n(x) + i V_n(x)$ = $e^{i n \cos^{-1}x}$ = $(e^{i \cos^{-1}x})^n$를 사용해 식 (2.1b)에 이른다.
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[참고문헌]
[1] T. J. Rivlin, Chebyshev Polynomials: From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, 2nd ed., New York, NY, USA: John Wiley & Sons, 1990.
[2] J. C. Mason and D. C. Handscomb, Chebyshev Polynomials, New York, NY, USA: CRC Press, 2003.
[다음 읽을거리]
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