조금은 느리게 살자: 체비쇼프의 미분 방정식(Chebyshev's Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "체비쇼프의 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 체비쇼프의 미분 방정식에 대한 해인 체비쇼프 함수 $T_n(x)$(출처: wikipedia.org)

수치 해석(numerical analysis)에 많이 사용하는 삼각 함수(trigonometric function) 형태인 체비쇼프 함수 혹은 체비셰프 함수(Chebyshev function)를 해로 가지는 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation)을 체비쇼프의 미분 방정식(Chebyshev's Differential Equation)으로 부른다. 이 미분 방정식은 생긴 모습이 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)과 매우 유사하다.

(1a)

체비쇼프Pafnuty Chebyshev(1821–1984)[러시아어 발음] 혹은 체비셰프[미국식 발음]는 다양한 수학 분야에서 선구적인 연구를 했던 러시아가 자랑하는 수학자이다. 체비쇼프의 미분 방정식이란 용어 대신 간단히 체비쇼프 방정식(Chebyshev equation)으로 이름 붙이기도 한다. 식 (1a)의 해를 구하기 위해 $x$ = $\cos \theta$로 치환해 미분 방정식을 다시 쓴다.

(1b)

(1c)

식 (1c)는 매우 간단한 삼각 함수에 대한 상미분 방정식이므로, 제1종 체비쇼프 함수(Chebyshev function of the first kind) $T_n(x)$를 코사인 함수로 정의한다.

(2a)

여기서 체비쇼프란 이름을 Tschebyscheff 등으로 표기하기도 해서 체비쇼프 함수를 $T_n(x)$로 채택한다. 비슷하게 사인 함수로 만드는 제2종 체비쇼프 함수(Chebyshev function of the second kind) $V_n(x)$도 있다.

(2b)

체비쇼프의 미분 방정식은 직교 다항식(orthogonal polynomial)의 미분 방정식에 속한다. 이를 확인하기 위해 식 (1a)를 $\sqrt{1-x^2}$으로 나누고 정리한다. 아니면 2계 미분 앞은 2차 함수, 1계 미분 앞은 1차 함수가 곱해진 관찰만으로도 충분하다.

(3a)

그러면 식 (3a)에 나온 각 미분 항의 앞에 곱한 함수는 직교 다항식에 필요한 조건을 잘 만족한다.

(3b: 직교 다항식의 미분 방정식)

식 (3a)에서 나누어주는 함수를 우연히 $\sqrt{1-x^2}$로 선택한다고 착각하면 안된다. 직교 다항식의 이론에 따라 적분을 통해 $p(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$로 지정한다.

(3c)

여기서 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-x$, $C$는 적분 상수이다. 나아가 직교 다항식의 성질에 따라 식 (2a)와 (2b) 중의 하나만 직교 다항식이 될 수 있다. 제2종 체비쇼프 함수는 이미 $n$ = $1$에서 $V_1(x)$ = $\sin(\cos^{-1}x)$로 나와서 다항식이 될 수 없기 때문에, 제1종 체비쇼프 함수 $T_n(x)$가 바로 직교 다항식이다. 그래서 $T_n(x)$를 제1종 체비쇼프 함수 대신 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial)으로 부를 수 있다[1], [2]. 이를 확인하기 위해 삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에서 출발하는 체비쇼프 함수의 재귀 관계(recurrence relation)를 유도한다.

(4a)

(4b)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 따라서 $T_0(x), T_1(x)$는 다항식이라서 재귀 관계로 얻는 모든 $T_n(x)$는 차수(degree)가 $n$인 다항식으로 유도된다. 이와 같이 체비쇼프 다항식은 코사인 함수의 합차 공식과 직접 연결된다.

[표 1] 체비쇼프 다항식의 유한 급수 표현식, $T_n(x)$

차수(degree), $n$	$T_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$2x^2-1$
3	$4x^3-3x$
4	$8x^4-8x^2+1$
5	$16x^5-20x^3+5x$
6	$32x^6-48x^4+18x^2-1$

기본 함수가 사인 함수이며 식 (2a)처럼 직교 다항식을 이루게 하려면 식 (2b)를 조금 변형해 새로운 $U_n(x)$를 정의한다.

(5)

직교 다항식 관점에서 $U_n(x)$는 $n$차 다항식이어야 하므로 $V_n(x)$가 아닌 $V_{n+1}(x)$를 사용한다. 그러면 식 (4)처럼 모든 $U_n(x)$도 다항식이 된다.

(6a)

(6b)

이와 같이 $U_n(x)$는 사인 함수가 만드는 합차 공식의 아름다운 변형이다. 함수 형태가 다항식은 아니지만 식 (2b)처럼 $U_n(x)$에 상보적인 $W_n(x)$도 정의한다.

(7)

2가지 형태의 체비쇼프 함수를 구별하기 위해, $T_n(x), V_n(x)$를 제1형 체비쇼프 함수(type I Chebyshev function), $U_n(x), W_n(x)$는 제2형 체비쇼프 함수(type II Chebyshev function)로 분류한다.

다항식 $U_n(x)$의 직교성을 검증하려면 식 (1a)와 같은 직교 다항식의 미분 방정식을 만들 수 있어야 한다. 이 절차의 첫 단추로 식 (5)를 1계와 2계 미분한다.

(8a)

식 (8a)를 식 (1a)에 대입해서 미분 방정식을 $U_n(x)$에 대해 표현한다.

(8b)

식 (8b)를 $\sqrt{1-x^2}$으로 나누고 식 (1a)와 같은 형태로 정리한다.

(8c)

식 (8c)가 직교 다항식의 미분 방정식임을 보이기 위해 식 (3)과 같은 절차로 $p(x)$를 유도한다.[간단히 2계와 1계 미분 앞에 곱해진 함수가 2차와 1차 함수임을 확인해도 된다.]

(8d)

여기서 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-3x$, $r(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$, $C$는 적분 상수이다.

1. 기본(basics)

[그림 1.1] 정의역을 확장한 체비쇼프 함수의 변화

[정의역 확장]
체비쇼프 함수의 정의역 $x$는 분명 $[-1, 1]$이지만, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 도움을 받아 전체 실수 영역으로 확장할 수 있다.

(1.1)

[증명]

코사인 함수는 1을 넘을 수 없기 때문에, $x > 1$인 때는 $\cos (iy)$ = $\cosh y$ = $x$로 놓는다. 그러면 $\cos (i n y)$ = $\cosh (ny)$ = $\cosh (n \cosh^{-1} x)$를 얻는다. 또한 $x$ = $-1$에서는 $T_n(-1)$ = $(-1)^n$이라서, 함수의 연속성을 위해 $\cosh (n \cosh^{-1} |x|)$에 $(-1)^n$을 곱한다.

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정의역을 확장한 체비쇼프 함수 $T_n(x)$는 $[-1, 1]$에서 코사인 함수, 이 범위를 넘어가면 지수적으로 커지는 쌍곡 코사인 함수로 대체된다.

[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

(1.2a)

(1.2b)

[증명]

삼각 함수의 관계식 $\cos (\pi + \theta)$ = $- \cos \theta$ = $-x$를 활용한다.

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식 (1.2)는 르장드르 함수의 패리티와 같은 결과를 보여준다.

2. 함수 표현식(function representation)

[복소 지수 함수]

(2.1a)

(2.1b)

[증명]

오일러의 공식(Euler's formula) $e^{i \theta}$ = $\cos \theta + i \sin \theta$를 $x$ = $\cos \theta$로 치환하면 $e^{i \theta}$ = $x + \sqrt{x^2 - 1}$로 나온다. 이를 이용해 $2\cos (n \theta)$ = $e^{i n \theta} + e^{-i n \theta}$를 $x$로 표현해서 식 (2.1a)를 유도한다. 비슷한 방법으로 $T_n(x) + i V_n(x)$ = $e^{i n \cos^{-1}x}$ = $(e^{i \cos^{-1}x})^n$를 사용해 식 (2.1b)에 이른다.

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[유한 급수 표현식]

(2.2)

여기서 $x$ = $\cos \theta$, $\lfloor \cdot \rfloor$는 바닥 함수(floor function)이다.

[증명]

코사인 함수 합차 공식의 일반화에서 $\sin \theta$ = $\sqrt{1-x^2}$을 넣고 이 항을 이항 정리(binomial theorem)로 전개한다.

(2.3)

식 (2.3)에 나온 첨자 $l, k$의 순서를 이중 합산의 규칙(rule of double summation)으로 바꾸어서 식 (2.2)를 얻는다.

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(2.4)

[증명]

식 (2.2)를 간략화하기 위해 내부 급수를 $A_{nk}$로 교체해 나타낸다.

(2.5a)

그러면 식 (2.5a)는 재귀 관계인 식 (3.1)을 만족해야 하므로, 새로운 $A_{nk}$의 재귀 관계가 도출된다.

(2.5b)

(2.5c)

이 결과는 첨자 $n-k$에 대한 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)에 연결된다. 또한 [표 1]과 (4.1b)로부터 $A_{n0}$ = $2^{n-1}$, $A_{2k, k}$ = $1$도 얻는다. 이를 종합해서 $A_{nk}$를 닫힌 형식으로 가정한다.

(2.5d)

식 (2.5d)를 식 (2.5c)에 대입하면 파스칼의 삼각형에 의해 좌변과 우변이 같아지므로 식 (2.5d)는 우리가 구하는 해가 된다.

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[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]

(2.6)

여기서 $(\cdot)!!$는 이중 계승(double factorial)이다.

[증명]

체비쇼프 다항식은 직교 다항식이기 때문에, 식 (3a)를 가지고 직교 다항식에 대한 로드리그의 공식에 적용한다.

(2.7a)

여기서 $p(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$, $r(x)$ = $1 \mathbin{/}\sqrt{1-x^2}$이다. 상수 $c_n$은 식 (4.1a)로 결정한다.

(2.7b)

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[생성 함수(generating function)]

(2.8)

여기서 $|t| < 1$이다.

[증명]

다음 무한 등비 급수의 실수부가 바로 $T_n(x)$의 생성 함수이다.

(2.9)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다.

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[거듭제곱: $x^n$]

(2.10)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다.

[증명]
식 (2.1)을 조금 비틀어서 $e^{i \theta} + e^{-i \theta}$ = $2 \cos \theta$를 $n$제곱해서 식 (2.10)을 증명한다.

(2.11)

이항 계수(binomial coefficient)의 성질인 ${}_nC_k$ = ${}_nC_{n-k}$를 적용해서 코사인 함수를 식 (2.10)처럼 생성한다.

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3. 재귀 관계(recurrence relation)

[삼각 함수의 합차 공식]

(3.1)

[증명]

식 (4)와 (6)처럼 삼각 함수의 합차 공식을 써서 식 (3.1)을 유도한다.

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(3.2)

[증명]

삼각 함수의 합차 공식으로 $T_n(x)$를 $U_n(x)$ 모양이 나오도록 변형한다.

(3.2)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 식 (3.2)의 가운데 변에 식 (5.1)의 첫째식을 넣어서 $T_n(x)$의 미분도 얻는다.

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4. 특정값(specific value)과 극한(limit)

(4.1a)

(4.1b)

(4.1c)

[증명]

코사인 함수의 특정값 $\cos (0)$ = $1$ 및 $\cos (\pi/2)$ = $0$을 사용하고 식 (1.2)도 적용한다.

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5. 미분(differentiation)

(5.1)

[증명]

식 (2a)와 (5)를 $x$에 대해 미분한 후, 코사인 역함수의 미분을 대입한다.

(5.2a)

(5.2b)

여기서 $d \theta / dx$ = $-1 \mathbin{/} \sqrt{1-x^2}$ = $-1 \mathbin{/} \sin \theta$이다.

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6. 부정적분(indefinite integral)

(6.1)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]

식 (3.2)와 (5.1)을 $x$에 대해 각각 적분해서 식 (6.1)을 유도한다.

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7. 정적분(definite integral)

[체비쇼프 다항식의 직교성(orthogonality of Chebyshev polynomial)]

(7.1)

여기서 $\delta_{nl}$은 크로네커 델타(Kronecker delta), $\varepsilon_n$ = $2-\delta_{n0}$은 노이만 수(Neumann number)를 뜻한다.

[증명]

체비쇼프 다항식 $T_n(x)$와 $U_n(x)$는 직교 다항식이라서 정의역에서 수행하는 적분은 0이 된다. 여기서 $n, l$은 서로 다르고, $r(x)$은 각각 $1 \mathbin{/} \sqrt{1-x^2}$ 및 $\sqrt{1-x^2}$이다. 식 (7.1)의 적분을 더 편하게 보려면 $x$ = $\cos \theta$로 치환하고 삼각 함수 곱의 적분을 활용한다.