조금은 느리게 살자: 체비셰프의 미분 방정식(Chebyshev's Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "체비셰프의 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 체비셰프의 미분 방정식에 대한 해인 체비셰프 함수 $T_n(x)$(출처: wikipedia.org)

수치 해석(numerical analysis)에 많이 사용하는 삼각 함수(trigonometric function) 형태인 체비셰프 함수(Chebyshev function)를 해로 가지는 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation)을 체비셰프의 미분 방정식(Chebyshev's Differential Equation)으로 부른다. 이 미분 방정식은 생긴 모습이 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)과 매우 유사하다.

(1a)

체비셰프Pafnuty Chebyshev(1821–1984) 혹은 체비쇼프[러시아어 발음]는 다양한 수학 분야에서 선구적인 연구를 했던 러시아가 자랑하는 수학자이다. 체비셰프의 미분 방정식이란 용어 대신 간단히 체비셰프 방정식(Chebyshev equation)으로 이름 붙이기도 한다. 식 (1a)의 해를 구하기 위해 $x$ = $\cos \theta$로 치환해 미분 방정식을 다시 쓴다.

(1b)

(1c)

식 (1c)는 매우 간단한 삼각 함수에 대한 상미분 방정식이므로, 제1종 체비셰프 함수(Chebyshev function of the first kind) $T_n(x)$를 코사인 함수로 정의한다.

(2a)

여기서 체비셰프란 이름을 Tschebyscheff 등으로 표기하기도 해서 체비셰프 함수를 $T_n(x)$로 채택한다. 비슷하게 사인 함수로 만드는 제2종 체비셰프 함수(Chebyshev function of the second kind) $V_n(x)$도 있다.

(2b)

체비셰프의 미분 방정식은 직교 다항식(orthogonal polynomial)의 미분 방정식에 속한다. 이를 확인하기 위해 식 (1a)를 $\sqrt{1-x^2}$으로 나누고 정리한다. 아니면 2계 미분 앞은 2차 함수, 1계 미분 앞은 1차 함수가 곱해진 관찰만으로도 충분하다.

(3a)

그러면 식 (3a)에 나온 각 미분 항의 앞에 곱한 함수는 직교 다항식에 필요한 조건을 잘 만족한다.

(3b: 직교 다항식의 미분 방정식)

식 (3a)에서 나누어주는 함수를 우연히 $\sqrt{1-x^2}$로 선택한다고 착각하면 안된다. 직교 다항식의 이론에 따라 적분을 통해 $p(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$로 지정한다.

(3c)

여기서 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-x$, $C$는 적분 상수이다. 나아가 직교 다항식의 성질에 따라 식 (2a)와 (2b) 중의 하나만 직교 다항식이 될 수 있다. 제2종 체비셰프 함수는 이미 $n$ = $1$에서 $V_1(x)$ = $\sin(\cos^{-1}x)$로 나와서 다항식이 될 수 없기 때문에, 제1종 체비셰프 함수 $T_n(x)$가 바로 직교 다항식이다. 그래서 $T_n(x)$를 제1종 체비셰프 함수 대신 체비셰프 다항식(Chebyshev polynomial)으로 부를 수 있다[1], [2]. 이를 확인하기 위해 삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에서 출발하는 체비셰프 함수의 재귀 관계(recurrence relation)를 유도한다.

(4a)

(4b)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 따라서 $T_0(x), T_1(x)$는 다항식이라서 재귀 관계로 얻는 모든 $T_n(x)$는 차수(degree)가 $n$인 다항식으로 유도된다. 이와 같이 체비셰프 다항식은 코사인 함수의 합차 공식과 직접 연결된다.

[표 1] 체비셰프 다항식의 유한 급수 표현식, $T_n(x)$

차수(degree), $n$	$T_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$2x^2-1$
3	$4x^3-3x$
4	$8x^4-8x^2+1$
5	$16x^5-20x^3+5x$
6	$32x^6-48x^4+18x^2-1$

기본 함수가 사인 함수이며 식 (2a)처럼 직교 다항식을 이루게 하려면 식 (2b)를 조금 변형해 새로운 $U_n(x)$를 정의한다.

(5)

직교 다항식 관점에서 $U_n(x)$는 $n$차 다항식이어야 하므로 $V_n(x)$가 아닌 $V_{n+1}(x)$를 사용한다. 그러면 식 (4)처럼 모든 $U_n(x)$도 다항식이 된다.

(6a)

(6b)

이와 같이 $U_n(x)$는 사인 함수가 만드는 합차 공식의 아름다운 변형이다. 함수 형태가 다항식은 아니지만 식 (2b)처럼 $U_n(x)$에 상보적인 $W_n(x)$도 정의한다.

(7)

2가지 형태의 체비셰프 함수를 구별하기 위해, $T_n(x), V_n(x)$를 제1형 체비셰프 함수(type I Chebyshev function), $U_n(x), W_n(x)$는 제2형 체비셰프 함수(type II Chebyshev function)로 분류한다.

다항식 $U_n(x)$의 직교성을 검증하려면 식 (1a)와 같은 직교 다항식의 미분 방정식을 만들 수 있어야 한다. 이 절차의 첫 단추로 식 (5)를 1계와 2계 미분한다.

(8a)

식 (8a)를 식 (1a)에 대입해서 미분 방정식을 $U_n(x)$에 대해 표현한다.

(8b)

식 (8b)를 $\sqrt{1-x^2}$으로 나누고 식 (1a)와 같은 형태로 정리한다.

(8c)

식 (8c)가 직교 다항식의 미분 방정식임을 보이기 위해 식 (3)과 같은 절차로 $p(x)$를 유도한다.[간단히 2계와 1계 미분 앞에 곱해진 함수가 2차와 1차 함수임을 확인해도 된다.]

(8d)

여기서 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-3x$, $r(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$, $C$는 적분 상수이다.

1. 기본(basics)

[그림 1.1] 정의역을 확장한 체비셰프 함수의 변화

[정의역 확장]
체비셰프 함수의 정의역 $x$는 분명 $[-1, 1]$이지만, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 도움을 받아 전체 실수 영역으로 확장할 수 있다.

(1.1)

[증명]

코사인 함수는 1을 넘을 수 없기 때문에, $x > 1$인 때는 $\cos (iy)$ = $\cosh y$ = $x$로 놓는다. 그러면 $\cos (i n y)$ = $\cosh (ny)$ = $\cosh (n \cosh^{-1} x)$를 얻는다. 또한 $x$ = $-1$에서는 $T_n(-1)$ = $(-1)^n$이라서, 함수의 연속성을 위해 $\cosh (n \cosh^{-1} |x|)$에 $(-1)^n$을 곱한다.

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정의역을 확장한 체비셰프 함수 $T_n(x)$는 $[-1, 1]$에서 코사인 함수, 이 범위를 넘어가면 지수적으로 커지는 쌍곡 코사인 함수로 대체된다.

[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

(1.2a)

(1.2b)

[증명]

삼각 함수의 관계식 $\cos (\pi + \theta)$ = $- \cos \theta$ = $-x$를 활용한다.

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식 (1.2)는 르장드르 함수의 패리티와 같은 결과를 보여준다.

2. 함수 표현식(function representation)

[복소 지수 함수]

(2.1a)

(2.1b)

[증명]

오일러의 공식(Euler's formula) $e^{i \theta}$ = $\cos \theta + i \sin \theta$를 $x$ = $\cos \theta$로 치환하면 $e^{i \theta}$ = $x + \sqrt{x^2 - 1}$로 나온다. 이를 이용해 $2\cos (n \theta)$ = $e^{i n \theta} + e^{-i n \theta}$를 $x$로 표현해서 식 (2.1a)를 유도한다. 비슷한 방법으로 $T_n(x) + i V_n(x)$ = $e^{i n \cos^{-1}x}$ = $(e^{i \cos^{-1}x})^n$를 사용해 식 (2.1b)에 이른다.

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[유한 급수 표현식]

(2.2)

여기서 $x$ = $\cos \theta$, $\lfloor \cdot \rfloor$는 바닥 함수(floor function)이다.

[증명]

코사인 함수 합차 공식의 일반화에서 $\sin \theta$ = $\sqrt{1-x^2}$을 넣고 이 항을 이항 정리(binomial theorem)로 전개한다.

(2.3)

식 (2.3)에 나온 첨자 $l, k$의 순서를 이중 합산의 규칙(rule of double summation)으로 바꾸어서 식 (2.2)를 얻는다.

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(2.4)

[증명]

식 (2.2)를 간략화하기 위해 내부 급수를 $A_{nk}$로 교체해 나타낸다.

(2.5a)

그러면 식 (2.5a)는 재귀 관계인 식 (3.1)을 만족해야 하므로, 새로운 $A_{nk}$의 재귀 관계가 도출된다.

(2.5b)

(2.5c)

이 결과는 첨자 $n-k$에 대한 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)에 연결된다. 또한 [표 1]과 (4.1b)로부터 $A_{n0}$ = $2^{n-1}$, $A_{2k, k}$ = $1$도 얻는다. 이를 종합해서 $A_{nk}$를 닫힌 형식으로 가정한다.

(2.5d)

식 (2.5d)를 식 (2.5c)에 대입하면 파스칼의 삼각형에 의해 좌변과 우변이 같아지므로 식 (2.5d)는 우리가 구하는 해가 된다.

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[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]

(2.6)

여기서 $(\cdot)!!$는 이중 계승(double factorial)이다.

[증명]

체비셰프 다항식은 직교 다항식이기 때문에, 식 (3a)를 가지고 직교 다항식에 대한 로드리그의 공식에 적용한다.

(2.7a)

여기서 $p(x)$ = $\sqrt{1-x^2}$, $r(x)$ = $1 \mathbin{/}\sqrt{1-x^2}$이다. 상수 $c_n$은 식 (4.1a)로 결정한다.

(2.7b)

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[생성 함수(generating function)]

(2.8)

여기서 $|t| < 1$이다.

[증명]

다음 무한 등비 급수의 실수부가 바로 $T_n(x)$의 생성 함수이다.

(2.9)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다.

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[거듭제곱: $x^n$]

(2.10)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다.

[증명]
식 (2.1)을 조금 비틀어서 $e^{i \theta} + e^{-i \theta}$ = $2 \cos \theta$를 $n$제곱해서 식 (2.10)을 증명한다.

(2.11)

이항 계수(binomial coefficient)의 성질인 ${}_nC_k$ = ${}_nC_{n-k}$를 적용해서 코사인 함수를 식 (2.10)처럼 생성한다.

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3. 재귀 관계(recurrence relation)

[삼각 함수의 합차 공식]

(3.1)

[증명]

식 (4)와 (6)처럼 삼각 함수의 합차 공식을 써서 식 (3.1)을 유도한다.

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(3.2)

[증명]

삼각 함수의 합차 공식으로 $T_n(x)$를 $U_n(x)$ 모양이 나오도록 변형한다.

(3.2)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 식 (3.2)의 가운데 변에 식 (5.1)의 첫째식을 넣어서 $T_n(x)$의 미분도 얻는다.

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4. 특정값(specific value)과 극한(limit)

(4.1a)

(4.1b)

(4.1c)

[증명]

코사인 함수의 특정값 $\cos (0)$ = $1$ 및 $\cos (\pi/2)$ = $0$을 사용하고 식 (1.2)도 적용한다.

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5. 미분(differentiation)

(5.1)

[증명]

식 (2a)와 (5)를 $x$에 대해 미분한 후, 코사인 역함수의 미분을 대입한다.

(5.2a)

(5.2b)

여기서 $d \theta / dx$ = $-1 \mathbin{/} \sqrt{1-x^2}$ = $-1 \mathbin{/} \sin \theta$이다.

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6. 부정적분(indefinite integral)

(6.1)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]

식 (3.2)와 (5.1)을 $x$에 대해 각각 적분해서 식 (6.1)을 유도한다.

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7. 정적분(definite integral)

[체비셰프 다항식의 직교성(orthogonality of Chebyshev polynomial)]

(7.1)

여기서 $\delta_{nl}$은 크로네커 델타(Kronecker delta), $\varepsilon_n$ = $2-\delta_{n0}$은 노이만 수(Neumann number)를 뜻한다.

[증명]

체비셰프 다항식 $T_n(x)$와 $U_n(x)$는 직교 다항식이라서 정의역에서 수행하는 적분은 0이 된다. 여기서 $n, l$은 서로 다르고, $r(x)$은 각각 $1 \mathbin{/} \sqrt{1-x^2}$ 및 $\sqrt{1-x^2}$이다. 식 (7.1)의 적분을 더 편하게 보려면 $x$ = $\cos \theta$로 치환하고 삼각 함수 곱의 적분을 활용한다.