조금은 느리게 살자

2011년 12월 27일 화요일

영상 전하법(映像電荷法, Method of Image Charges)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "영상 전하법"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 맥스웰 방정식의 쌍대성

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[그림 1] 금속 위에 있는 전하(출처: wikipedia.org)

[그림 1]처럼 금속 위에 전하(electric charge)가 있는 문제는 풀기가 쉽지는 않다. 쉽게 풀기 위해 금속 너머에 반대 극성 전하[$-Q$]가 있다고 가정한다. 이 경우 전압(voltage)은 다음으로 표현된다.

(1)

여기서 $z = 0$에 금속이 있다. 단순히 반대 극성 전하가 있다고 가정하기만으로 금속면에서의 접선 성분 전기장(electric field)을 0으로 만들 수 있다. 경계 조건(boundary condition)이 만족되었기 때문에 [그림 1]의 문제가 완전히 풀린다. 여기서 주의할 점이 하나 있다. 사실 금속판의 유일한 경계 조건은 전압이 아니고 전기장이 0임이다. 시간 변화가 없는 정전장에서는 전기장이 0이므로 전압도 등전위이다. 그래서, 식 (1)을 정확히 표현하려면 어떤 상수 전압 $V_0$를 더해줘야 한다. 즉, $V_{\rm tot} = V_+ + V_- + V_0$가 된다. 하지만 전기장 관점에서 보면 상수 전압은 의미가 없기 때문에 단순하게 $V_0=0$이라 두었다.

이런 식으로 가상의 반대 극성 전하를 도입해서 문제를 간단히 푸는 방법을 영상 전하법(映像電荷法, method of image charges)이라 한다. 영상 전하법을 체계적으로 제시한 연구자는 제임스 진스James Jeans(1877–1946)이다[1]. 진스는 양자 역학(quantum mechanics)의 출발점을 제시한 레일리–진스 법칙(Rayleigh–Jeans law)도 유도했다. 전하가 흐르면 전류(electric current)가 되기 때문에 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC)가 있는 경우 전류에 대한 영상법(method of images)도 [그림 2]처럼 구성할 수 있다. 다만 시간 변화가 있는[$\partial I / \partial t \ne 0$] 교류 전류의 경우만 [그림 2]와 같은 전류 영상법이 성립한다.[교류 전류가 시변 자기장을 만들고, 이 자기장 변화를 없애는 방향으로 금속면에 전자기 유도가 생긴다고 생각할 수 있다.] 직류에서는 전기장과 자기장이 완전히 분리되기 때문에, 직류 전류는 완전 전기 도체에 어떠한 영상 전류도 만들지 않는다.

[그림 2] 완전 전기 도체에 대한 전류/자류 영상법

영상 전류가 생기는 방향은 전하의 움직임을 생각하면 쉽게 이해된다. 접선 방향(transverse direction) 전류는 영상 전하가 반대 극성으로 생기고 영상 전하가 전류와 동일한 방향으로 흐르기 때문에 영상 전류는 마치 거꾸로 흐르는 것처럼 느껴진다. 법선 방향(normal direction) 전류 경우도 영상 전하는 반대 극성으로 생기지만 영상 전하의 움직임은 원래 전하와는 반대 방향으로 움직인다.[∵ 식 (1)에서 보는 것처럼 원래 전하와 동일한 거리를 떨어져서 영상 전하가 생긴다. 그래서, 법선 방향 흐름 관점에서는 원래 전하와 영상 전하는 서로 멀어진다.] 그래서, 전류는 동일한 방향으로 흐르는 것처럼 보인다. [그림 2]의 결과는 식 (2)의 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)으로도 설명된다.

(2)

식 (2)에 보는 바와 같이 전기장(electric field)과 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)은 같은 방향 성분이 있다. 또한 자유 공간에서는 전류 밀도(electric current density)와 자기 벡터 포텐셜이 같은 방향이므로 전기장과 전류 밀도는 같은 방향 성분을 가지고 있다. 즉, [그림 2]에 있는 접선 방향 전류 밀도는 전류와 동일한 방향으로 전기장을 발생시키기 때문에 PEC 평면[식 (1)에서 $z = 0$]에서 전기장을 0으로 만들기 위해서는 영상 전류가 반대 방향으로 생겨야 한다. 법선 방향 전류 밀도도 마찬가지다. 이 전류와 동일한 방향으로 전기장이 생기며 PEC 평면에서는 법선 방향 전기장이 최대가 되어야 하므로 영상 전류는 동일 방향으로 생겨야 한다. PEC 평면에서 전기장이 최대가 되어야 하는 이유는 다음 식을 보면 분명하다.

(3)

식 (3)의 결과에 의해 PEC 평면 근처에서는 법선 방향 전기장의 $z$방향 미분이 0이다. 즉, 이 지점에서 전기장의 최대나 최소가 생긴다는 의미이다. 우리에게는 최대인지 최소인지는 중요하지 않으므로[∵ 최소인 경우 전기장의 방향을 반대로 바꾸면 최대가 된다.] 전기장이 최대가 된다고 생각하면 된다. 자하의 흐름인 자류(magnetic current)에 대한 설명은 쉽지 않다. 자하(magnetic charge)가 개념 이해를 방해하기 때문이다. 그래서 [그림 3]의 회전하는 미소 전류(infinitesimal current)가 만드는 자기 쌍극자(magnetic dipole)를 흔히 자하로 생각한다.

[그림 3] 회전하는 미소 전류가 만드는 등가적인 자하

[그림 4] 미소 전류와 자하의 관계(출처: wikipedia.org)

[그림 3]과 [그림 4]의 회전하는 미소 전류를 자하로 생각하면 [그림 2]의 자류에 대한 영상 자류가 쉽게 설명된다. 즉, [그림 2]의 자류[파란색 화살표] 대신에 [그림 5]처럼 미소 전류의 움직임을 생각하면 된다.

[그림 5] 회전하는 미소 전류로 표현한 자류

법선 방향 자류는 [그림 3]의 회전하는 미소 전류가 PEC와 평행하게 있다고 볼 수 있다. 그러면 이 미소 전류의 영상 전류는 반대 방향으로 생기므로 자류 관점에서도 반대 방향으로 영상 자류가 생긴다. 접선 방향 자류는 회전하는 미소 전류가 PEC에 수직이라고 볼 수 있다. 즉, 법선 방향 전류의 영상 전류는 동일 방향이므로 영상 자류도 동일 방향으로 생긴다.

[그림 6] 완전 자기 도체에 대한 영상법

완전 전기 도체가 이해되면 [그림 6]의 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC)에 대한 영상법은 매우 쉽다. 바로 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality of Maxwell's equations)이 있기 때문이다. [그림 2]에서 전류를 자류로, 자류를 전류로 바꾸면 [그림 6]이 증명된다.

[참고문헌]
[1] J. H. Jeans, The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, 3rd ed., Cambridge University Press, 1915.

[다음 읽을거리]
1. 표면 등가의 원리

2011년 12월 26일 월요일

표면 등가의 원리(Surface Equivalence Principle)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "표면 등가의 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 맥스웰 방정식의 쌍대성
3. 전자기장의 경계 조건
4. 영상 전하법

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[그림 1] 전자파 산란의 예: 일몰(출처: wikipedia.org)

[그림 1]의 전자파 산란(electromagnetic scattering)을 계산할 때 유용한 개념이 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)이다[1]–[4]. [그림 2]와 같은 복잡한 산란체의 전자파 산란을 구할 때는 산란체 모양을 직접 고려하기보다 우리가 계산하기 쉬운 표면[그림 2에서 파란색 원 혹은 직육면체, 원기둥, 구 등]을 택하면 좋다. 복잡한 복사체(radiator)의 경우에도 [그림 2]와 동일하게 계산할 수 있다.

[그림 2] 산란체 혹은 복사체를 위한 가상표면

[그림 2]의 파란색 원 주변에는 어떤 전류도 없기 때문에 경계 조건(boundary condition)에 의해 다음이 성립한다.

(1)

여기서 $\hat n$은 [그림 2]처럼 $\bar E_1$, $\bar H_1$이 정의된 영역을 뚫고 나가는 법선 벡터(normal vector)이다. 즉, 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선 성분(tangential component)이 경계면에서 연속이어야 한다. 또한, 임의의 경계면에서 전자장은 다음 조건을 항상 만족함을 기억한다.

(2)

여기서 $\bar M_s$는 표면 자류 밀도(surface magnetic current density), $\bar J_s$는 표면 전류 밀도(surface electric current density)이다. 일반적인 식 (2) 관점으로 보면 식 (1)은 $\bar M_s$ = $\bar J_s$ = $0$인 조건과 동일하다.

1. $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$ 가정

[그림 1.1] 영(零)의 전자기장 가정

우리는 산란체 자체보다는 산란되는 전자파에 관심 있음을 꼭 명심한다. 그러면 산란체의 원천은 영역 (I)에 있고, 우리의 관심 영역은 [그림 2]처럼 원천이 없고 산란파만 있는 영역 (II)가 된다. 그래서 문제를 간단하게 만들기 위해 [그림 1.1]처럼 강제적으로 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$이라 가정한다[1]. 산란 구조를 [그림 1.1]처럼 바꾸는 방식은 제안자 이름을 따서 러브 등가 원리(Love equivalence principle)로 칭한다[1]. 물론 이렇게 하면 영역 (I)에 원래 있던 전자장[$\bar E_1 \ne 0$, $\bar H_1 \ne 0$]과는 다른 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$인 경우를 풀게 된다. 하지만 관심 영역이 영역 (II)이기 때문에 영역 (I)의 전자장이 다르게 설정되더라도 문제는 없다. 식 (2)에서 조건 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$을 넣으면 다음을 얻는다.

(3)

즉, $\bar M_s, \bar J_s$를 식 (3)과 같이 설정하면 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$이라고 두더라도 정확하게 영역 (II)의 전자장을 계산할 수 있다. 재미있게도 내 마음대로 [그림 1.1]의 녹색 원을 설정할 수 있기 때문에 전류 분포 계산을 위한 기하 구조를 자유롭게 선택할 수 있다. 만약 산란체가 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC)였다면 표면에서는 전기장 $\bar E_2$가 0이므로, $\bar M_s$ = $0$이며 $\bar J_s$ = $\hat n \times \bar H_2$이다. 즉 산란 전자장은 오로지 표면 전류 밀도 $\bar J_s$에 의해서만 결정된다. 마찬가지로 산란체가 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC)라면 표면 자기장 $\bar H_2$ = $0$이므로, $\bar J_s$ = $0$이 된다. 따라서 산란 전자장은 $\bar M_s$가 결정한다.

[그림 1.1]의 개념은 이렇게 생각할 수도 있다. 예를 들어 $\bar J_s$는 영역 (I)에서 $-\bar H_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar H_2/2$를 생성한다고 본다. 마찬가지로 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 또한, $\bar J_s$가 만든 자기장은 파동이 되기 위해 같은 특성의 전기장을 만들어야 한다. 영역 (I)에서는 $+\bar E_2/2$가 되고 영역 (II)에서도 $+\bar E_2/2$가 된다.[∵ 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 양쪽 영역에서 전기장의 부호가 같아야 되는 이유를 알 수 있다. 또한, 잘 날아오던 자기장을 등가 전류로 바꾸었기 때문에 $\bar H_2$는 당연히 $\bar E_2$를 유도해야 한다.] $\bar J_s$와 $\bar M_s$가 만든 전기장을 합치면 영역 (I)에서 $\bar E_2/2 - \bar E_2/2$ = $0$, 영역 (II)에서는 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2$ = $\bar E_2$가 됨을 알 수 있다[2]. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다.

(a) 표면 전류 밀도

(b) 표면 자류 밀도

[그림 1.2] $z$ = $0$ 평면에 존재하는 표면 전류 및 자류 밀도

표면 등가의 원리는 근사 없는 완벽한 관계식이지만, 정말 전자장을 등가 표면 전류 밀도로 생각할 수 있는지 의심이 들기도 한다. 그래서 [그림 1.2]와 같은 표면 전류/자류 밀도를 생각한다. 표면 전류/자류 밀도는 $z$ = $0$인 평면 전체에 있기 때문에, 원천이 생성하는 전자장은 균일 평면파(uniform plane wave)가 된다. 따라서 무한히 펼쳐진 표면 전류 밀도 $\bar J_s$에 의한 전자장 $\bar E_e$와 $\bar H_e$, 표면 자류 밀도 $\bar M_s$에 의한 전자장 $\bar E_m$와 $\bar H_m$은 각각 다음처럼 표현된다.[예를 들어 $\bar J_s$를 알면 자기장의 접선 경계 조건에 의해 자기장 $\bar H_e$가 나온다. 다음으로 평면파 조건을 사용해 $\bar H_e$로부터 $\bar E_e$를 구한다.]

(4)

(5)

맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 이용해서 식 (4)에서 식 (5)를 바로 얻을 수도 있다. 입사 전자장을 $\bar E_i (\bar r)$ = $E_0 e^{i k z} \hat x$ = $\eta H_0 e^{i k z} \hat x$, $\bar H_i (\bar r)$ = $H_0 e^{i k z} \hat y$라 가정하여 식 (3)에 대입한다. 그러면 [그림 1.2]에 있는 전류/자류 밀도는 $\bar J_s$ = $- H_0 \hat x$, $\bar M_s$ = $- \eta H_0 \hat y$가 된다. 이 결과를 식 (4)와 (5)에 대입하면 $z > 0$ 영역의 전자장은 다음처럼 표현된다.

(6)

식 (6)에 있는 전기장을 모두 더하면 원래 입사 전기장이 나오며[$\bar E_e + \bar E_m$ = $\bar E_i$], 자기장도 마찬가지 결과를 얻는다. 반대로 $z < 0$ 영역의 전자장은 다음처럼 표현된다.

(7)

식 (7)에 있는 전기장을 더하면 0이 나오고[$\bar E_e + \bar E_m$ = $0$], 자기장도 $0$이 나온다. 이 결과는 [그림 1.1]에서 가정한 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$인 조건과 동일하다.

2. 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC) 가정

[그림 2.1] 완전 전기 도체 가정

조건 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$을 만들 수 있는 물체 중의 하나는 완전 전기 도체이다. 침투 깊이(skin depth) 개념에 의해 완전 전기 도체 내부의 전자기장은 항상 0이다.[혹은 도체 내부의 전류 밀도가 유한하기 위해서는 전기장이 0으로 가야한다. 전기장이 0이면 자기장도 당연히 0이 되어야 한다.] 영역 (I)을 0으로 만들기 위한 방책으로 [그림 2.1]의 완전 전기 도체 혹은 [그림 3.1]의 완전 자기 도체를 도입하는 기법은 쉘쿠노프 등가 원리(Schelkunoff equivalence principle)로 이름 붙인다[4]. 수학자 쉘쿠노프Sergei Alexander Schelkunoff(1897–1992)는 전자파 공학을 만든 초창기 기여자 중 한 명이다.

[그림 2.2] 완전 전기 도체에 대한 영상법

따라서 [그림 2]의 영역 (I)에 자그마한 완전 전기 도체가 있다고 [그림 2.1]처럼 생각하고 그 크기가 커져 파란색 원을 완전히 채운다고 가정한다. 그러면 파란색 원에 있던 전류 밀도와 자류 밀도는 [그림 2.2]의 영상법(method of images)에 의해 다음이 성립해야 한다.

(8)

쉽게 생각하면 [그림 2]의 파란색 원 위치에 [그림 2.1]처럼 완전 전기 도체가 있기 때문에 자류 밀도는 2배가 되고 전류 밀도는 없어진다고 생각하면 된다. 그래서 [그림 2.1]처럼 완전 전기 도체가 있는 문제를 풀더라도 영역 (II)에서의 전자기장 결과는 같아진다. 다만 식 (8)의 둘째식은 곰곰히 볼 필요가 있다. 전체 전류 밀도의 결과는 0이지만 중간 과정이 있다. 구체적으로 보면 영역 (I)의 내부 전자장을 0으로 만들기 위해 도입한 PEC에는 $-\bar J_s$란 전류 밀도가 유기된다. 하지만 영역 (I)의 자기장이 이 전류 밀도를 직접 만들지는 않는다. 표면 등가의 원리로 $\bar J_s$가 먼저 만들어지고, 그 다음에 $\bar J_s$가 PEC에 매우 근접해서 생긴 영상 전류 밀도가 $-\bar J_s$이다. 따라서 PEC 표면에는 $\bar J_s$와 같은 크기를 가진 영상 전류 밀도가 있기 때문에, 전체 전류 밀도는 0이 되어서 PEC에는 자류 밀도만 존재할 수 있다.

[그림 2.1]의 현상은 다른 방식으로 생각할 수도 있다. [그림 2.1]에서는 자류 밀도만 존재하기 때문에 전류 밀도는 고려할 필요가 없다. 자류 밀도 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 하지만 PEC가 있기 때문에 영역 (I)에서는 반사(reflection)되어 전기장 $-\bar E_2/2$는 $+\bar E_2/2$로 바뀌어야 한다. 그러면 영역 (II)에서 전체 전기장은 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2$ = $\bar E_2$가 된다.[그래서 식 (8)의 자류 밀도 $\bar M_s$가 두배가 되었다.] 당연히 맥스웰 방정식에 의해 $\bar E_2$는 자기장 $\bar H_2$를 만든다.

3. 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC) 가정

[그림 3.1] 완전 자기 도체 가정

[그림 2.1]와 비슷하게 [그림 2]의 파란색 원을 [그림 3.1]처럼 완전 자기 도체로 바꿀 수 있다. 그러면 [그림 3.2]와 같은 영상법을 사용할 수 있다.

[그림 3.2] 완전 자기 도체에 대한 영상법

즉, 자류 밀도와 전류 밀도는 아래처럼 바뀌어야 한다.

(9)

혹은 [그림 3.1]의 개념과 식 (9)를 유도하기 위해 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality of Maxwell's equations)을 사용할 수도 있다.

이상의 논의를 통해 표면 등가의 원리를 살펴보면 [그림 2, 1.1, 2.1, 3.1]에 있는 영역 (I)의 전자기장이 다르더라도 영역 (II)의 전자기장은 서로 같다.

[참고문헌]

[1] A. E. H. Love, "The integration of equations of propagation of electric waves," Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, vol. 197, pp. 1–45, 1901.

[2] S. R. Rengarajan and Y. Rahmat-Samii, "The field equivalence principle: illustration of the establishment of the non-intuitive null fields," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 42, no. 4, pp. 122–128, Aug. 2000.

[3] J. Appel-Hansen, "Comments on field equivalence principles," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 35, no. 2, pp. 242–244, Feb. 1987.

[4] S. A. Schelkunoff, "Some equivalence theorems of electromagnetics and their application to radiation problems," Bell Syst. Tech. J., vol. 15, no. 1, pp. 92–112, Jan. 1936.

[다음 읽을거리]
1. 프란츠 공식
2. 스트래튼–추 공식
3. 체적 등가의 원리
4. 표면 적분 방정식

5. 하위헌스 원리와 그린 함수

2011년 12월 24일 토요일

3차원 자유 공간 그린 함수(3D Free-space Green's Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "3차원 자유 공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
2. 1차원 자유 공간 그린 함수
3. 2차원 자유 공간 그린 함수

4. 구면 조화 미분 방정식

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1, 2차원 유도에 비슷하게 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동 방정식을 전류 밀도(current density) $J_y$ = $J_z$ = $0$이라 가정하여 단순화한다.

(1)

그러면 식 (1)과 같이 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)이 식 (1)처럼 얻어진다. 식 (1)에 식 (2)의 라플라시안(Laplacian)을 대입하면 식 (3)에 있는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 3차원 스칼라 파동 방정식을 얻는다.

(2)

(3)

여기서 벡터 $\bar r$은 3차원 좌표점 $(x, y, z)$를 나타낸다.

[그림 1] 3차원 원천

[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[데카르트 좌표계 3차원 자유 공간 그린 함수]

(4)

[증명]

증명을 위해 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 아래와 같은 적분으로 표현한다.

(5)

식 (5)는 푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명 가능하다. 식 (5)를 식 (3)에 대입하면 그린 함수는 다음처럼 표현할 수 있다.

(6)

식 (6)을 계산하면 $g(z, z'; \zeta)$는 다음 1차원 자유 공간 그린 함수(1D free-space Green's function)에 대한 미분 방정식을 만족한다.

(7)

식 (7)의 최종 결과를 식 (6)의 첫째식에 대입하면 식 (4)가 증명된다.

______________________________

식 (4)는 푸리에 변환(Fourier transform)처럼 파수 영역(spectral domain)에서 표현되었으므로 파수 영역 그린 함수(spectral domain Green's function)라 부른다. 무한 적분으로 표현되어 어려워 보이기는 하지만 그린 함수를 미분(differentiation)하거나 적분(integration)하기는 쉽다.

텐서 이론(tensor theory)에 의해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 좌표 독립성(coordinate independence)을 가진다. 즉, [그림 2]의 데카르트 좌표계에서 답을 구한 결과와 다른 좌표계에서 구한 결과는 반드시 동일해야 한다. 그래서, 우리의 논의를 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 옮겨본다.

[그림 3] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[원통 좌표계 3차원 자유 공간 그린 함수]

(8)

여기서 $H_0^{(1)}(\cdot)$는 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)이다.

[증명]

식 (8)의 증명은 식 (4)와 동일하다. $z$축에 대한 델타 함수를 식 (5)처럼 바꾸고 원통 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수를 대입하면 식 (8)이 얻어진다.

______________________________

[그림 4] 구 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

구 좌표계(spherical coordinate system)에 대해서는 매우 간단한 3차원 자유 공간 그린 함수를 얻을 수 있다.

[구 좌표계 3차원 자유 공간 그린 함수]

(9)

[증명]

문제를 간단히 만들기 위해 $(x', y', z')$ = $(0, 0, 0)$이라 가정한다.[혹은 원천이 원점에 있다.] 그러면 모든 방향으로 전자파가 골고루 복사되므로, 극고도각(極高度角, polar angle: $\theta$는 꼭대기부터 시작해 내려오기 때문에 일반 고도각과는 정의가 약간 다름) $\theta$ 방향과 방위각(方位角, azimuth) $\phi$ 방향으로는 전자파의 변동이 없다고 가정할 수 있다.[$\partial / \partial \theta$ = $\partial / \partial \phi$ = $0$] 따라서 식 (10)의 구 좌표계 라플라시안(Laplacian)은 식 (11)처럼 간략해진다.

(10)

(11)

그러면 식 (11)을 참고해서 해를 다음과 같이 가정할 수 있다.

(12)

식 (12)의 가정은 전자파의 복사 조건(radiation condition)을 이용하여 결정한다. 식 (12)에서 정해지지 않은 상수 $A$를 결정하면 증명은 끝난다. 식 (12)처럼 답을 완전히 가정해 푸는 접근법이 마음에 들지 않으면 해를 다음처럼 기술할 수도 있다.

(13)

식 (13)을 식 (12)의 마지막식에 대입하여 $f(r)$에 대한 미분 방정식을 구하면 다음과 같다.

(14)

식 (14)는 프로베니우스 방법(Frobenius method)을 적용할 수 있는 미분 방정식이므로 멱급수(power series)를 가정해 대입하면 식 (12)의 첫째식을 얻을 수 있다. 상수 $A$를 결정하기 위해 [그림 5]의 구를 생각한다.

[그림 5] 구(출처: wikipedia.org)

[그림 5]의 체적에 대해 식 (11)을 체적 적분하고 반지름 $r$을 $0$으로 보낸다.

(15)

여기서 증명을 위해 발산 정리(divergence theorem)를 이용한다. 그러면 원천이 $(x', y', z')$ = $(0, 0, 0)$에 있는 경우는 쉽게 증명된다. 다음 단계로 좌표 독립성을 사용해 $(x, y, z)$ = $(u-x', v-y', w-z')$을 만족하는 새로운 좌표계 $(u, v, w)$로 식 (12)를 좌표 변환한다. 이 결과는 식 (9)와 같아서 증명이 완성된다.[∵ $(u, v, w)$ = $(x', y', z')$에서 $(x, y, z)$ = $(0, 0, 0)$이 된다.]

______________________________

식 (9)는 적분 없이 공간 상의 좌표값만 있어서 공간 영역 그린 함수(space domain Green's function)가 된다. 최종 표현식은 간단하지만, 구 좌표계로 쓰여진 식 (9)를 직접 적분하기는 까다롭다. 이 경우는 데카르트 혹은 원통 좌표계로 기술된 식 (4)나 (8)을 대신 쓸 수 있다.

세 가지 다른 방법으로 증명을 해서 재미있는 결과를 얻었다. 우리의 증명을 서로 연결하면, 이중 적분이나 한켈 함수의 적분을 매우 간단한 식 (9)로 바꿀 수 있다.

(16)

식 (16)은 바일 항등식(Weyl identity)이라 부른다. 또한 식 (8)과 (9)를 서로 비교하면 다음 적분을 얻을 수 있다.

(17)

식 (16)과 같은 결과를 주지만 피적분 함수가 다른 식 (17)은 2차원 바일 항등식(2D Weyl identity)으로 증명하기도 한다.

[한켈 변환 이용한 3차원 자유 공간 그린 함수]

(18)

여기서 $k^2$ = $\kappa^2 + \zeta^2$, $|\bar \rho - \bar \rho'|$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$이다.

[증명]

한켈 변환(Hankel transform)으로 얻은 2차원 디랙 델타 함수를 도입한다.

(19)

(20)

식 (20)을 이용해서 3차원 자유 공간 그린 함수를 다음과 같이 정의한다.

(21)

식 (21)을 식 (3)에 대입하고 원통 좌표계에 대한 라플라시안을 사용한다.

(22)

식 (22)를 식 (7)처럼 연산하면 식 (18)이 쉽게 증명된다.

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식 (18)은 전자파의 산란 해석에 자주 등장해서 좀머펠트 항등식(Sommerfeld identity)이란 이름이 붙어있다. 당연한 예측이지만 식 (18)의 제안자는 좀머펠트Arnold Sommerfeld(1868–1951)이다. 좀머펠트 항등식의 피적분 함수를 베셀 함수에서 한켈 함수로 바꾸어 표현할 수도 있다.

(23)