편미분 방정식의 의미(Partial Differential Equation)

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1. 미분 방정식의 의미

[그림 1] 열 방정식으로 푼 2차원 열 분포(출처: wikipedia.org)

연산자 $d/dx$가 뜻하는 보통 미분인 상미분(ordinary differentiation)에 대비되는 개념으로 편미분(partial differentiation)을 새롭게 정의해서, 수학과 물리학의 여러 관계를 편미분으로 기술하는 편미분 방정식(partial differential equation, PDE)이 여러 응용 분야에 많이 사용된다. 편미분 기호는 $d/dx$를 둥근 모양으로 만든 $\partial/\partial x$를 쓴다. 그래서 $dx$는 디엑스로 읽고, $\partial x$는 둥글어서(round) 라운드엑스라 부른다. 편미분은 다변수 함수의 미분을 다루기 위한 기본 도구이다. 다변수 함수를 위한 미분을 새롭게 정의할 수 있지만, 변수 개수별로 미분을 각각 정의하기는 매우 번거롭다. 그래서 보통 미분인 상미분과 동일한 공식으로 미분하지만, 변수를 하나만 선택하고 나머지 변수는 상수로 취급해서 편파적으로 미분하는 편미분을 다변수 함수의 미분 도구로 도입한다. 편미분은 상미분과 거의 같지만, 여러 변수가 아닌 편애하는 변수 하나만을 미분하는 점에서 상미분과 차이난다. 이런 방식을 쓰면 변수 개수가 늘더라도 상미분 공식을 그대로 사용할 수 있어서 편미분 개념은 현실에서 매우 유용하다.

다만 상미분 방정식과 다르게, 편미분 방정식 전체에 대한 해의 존재성과 유일성은 증명되지 않아서 편미분 방정식을 다룰 때는 주의를 기울여야 한다. 그래서 처음 만나는 편미분 방정식은 해가 있는지 그리고 있다면 딱 하나만 있는지 검토한 후에 풀이를 진행해야 한다.

편미분은 변수 하나에만 집중해 미분하고 나머지 변수는 상수처럼 0으로 처리하므로, 편미분 방정식을 제대로 풀기는 매우 어렵다. 편미분 방정식의 해법을 체계화하기 위해 편미분 방정식 자체를 먼저 분류한다. 2계 상미분이 나오는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)처럼 상수 계수를 가진 2계 편미분 방정식을 2차 곡선의 일반형 관점으로 정리한다.

                  (1: 2차 곡선의 일반형)

                          (2)

여기서 $a, b, c, d, e$는 상수, 원뿔 곡선의 판별식은 $D$ = $ac-b^2$, $u$ = $u(x, y)$이다. 판별식 $D$에 바탕을 두고 2계 편미분 방정식을 타원형, 포물형, 쌍곡형 편미분 방정식(elliptic, parabolic, and hyperbolic PDE)으로 각각 체계화한다. 편미분 방정식의 이름에 타원, 포물선, 쌍곡선이 들어 있다고 해서, 이 방정식이 해당 2차 곡선과 연계되어 있다는 뜻은 아니다. 2차 곡선의 일반형에 대한 계수 관계가 편미분 방정식에도 성립하기 때문에, 이미 유명한 2차 곡선의 이름을 그 편미분 방정식에 붙일 뿐이다.

   1. 타원형 편미분 방정식(elliptic partial differential equation)   

타원형 편미분 방정식은 2차 곡선인 타원(ellipse)처럼 판별식이 $D$ = $ac - b^2$ > $0$을 만족한다. 타원형 편미분 방정식의 대표적인 예는 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)이다.

                  (1.1)

여기서 $a$ = $c$ = $1$, $b$ = $d$ = $e$ = $0$, $\phi$ = $\phi(x, y)$이다. 판별식 공식에 식 (1.1)의 상수 계수를 넣으면 $D$ = $1\cdot 1 - 0$ = $1$ > $0$이라서, 라플라스 방정식은 타원형 편미분 방정식의 범주에 들어간다. 라플라스 방정식에 원천항이 더해지면 푸아송 방정식(Poisson's equation)이 된다.

                  (1.2)

원천항은 편미분 계수에 영향을 주지 않아서 푸아송 방정식도 타원형 편미분 방정식이 된다.

   2. 포물형 편미분 방정식(parabolic partial differential equation)   

판별식이 $D$ = $ac - b^2$ = $0$이 되는 경우는 포물형 편미분 방정식이라 한다. 포물형 편미분 방정식의 대표적인 예는 푸리에Joseph Fourier(1768–1830)가 만든 열 방정식(heat equation)이다.

                  (2.1)

여기서 $u$ = $u(x, t)$, $D$ = $\alpha \cdot 0 - 0$ = $0$이다. 전자파 분야에서는 장거리 전자파 전파를 모형화할 때 나오며, 최종 방정식은 특별한 이름 없이 편하게 포물형 방정식(parabolic equation, PE)으로 부른다. 포물형 방정식이란 용어는 당연히 포물형 편미분 방정식의 축약어이다.

                  (2.2)

여기서 $u$ = $u(x, z)$이다. 식 (2.2)에 따라 판별식은 $D$ = $1 \cdot 1 - 1^2$처럼 정확히 0이 된다.

   3. 쌍곡형 편미분 방정식(hyperbolic partial differential equation)   

쌍곡형 편미분 방정식의 판별식은 항상 $D$ = $ac - b^2$ < $0$이 성립한다. 이 편미분 방정식의 대표적인 예는 파동 방정식(wave equation)이다.

                  (3.1)

여기서 $u$ = $u(x, t)$이다. 판별식 공식에 넣으면, 파동의 속도 $v$는 실수라서 $D$ = $-1/v^2 - 0$ < $0$을 얻는다.

[참고문헌]

[1] D. B. Bacani, H. Tahara, "Existence and uniqueness theorem for a class of singular nonlinear partial differential equations," Publ. Res. Inst. Math. Sci., vol. 48, no. 4, pp. 899–917, Nov. 2012.

[다음 읽을거리]

1. 완전 미분

라플라스 방정식용 등각 사상(Conformal Mapping for Laplace's Equation)

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1. 등각 사상

2. 완전 미분

3. 전압

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전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi$에 대한 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 다음과 같은 형태를 가진다.

              (1)

식 (1)에 등장한 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$의 한 성분이 일정하면[$\partial/\partial n$ = $0$이면], 식 (1)은 3차원이 아닌 2차원의 헬름홀츠 방정식으로 간략화된다.

              (2)

여기서 $\partial \phi/\partial n$ = $0$, $(u, v, n)$은 직교하는 좌표(coordinates)이다. 좌표 $(u, v, n)$을 새로운 좌표 $(\alpha, \beta, n)$으로 바꿈으로써 2차원 헬름홀츠 방정식을 새로운 좌표계인 $(\alpha, \beta)$에서 표현할 수 있다. 이를 위해 2차원 라플라시안을 연산자 관점에서 인수 분해한다.

              (3)

완전 미분(exact differential)에 따라 식 (3)의 우변에 나온 인수를 $(\alpha, \beta)$ 좌표계의 편미분으로 바꾼다.

              (4)

여기서 $\alpha$ = $\alpha(u, v)$, $\beta$ = $\beta(u, v)$, 복소 함수 $\gamma$ = $\alpha + i \beta$는 $w$ = $u+iv$에 대한 해석 함수여서 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)인 $\partial \alpha / \partial u$ = $\partial \beta / \partial v$, $\partial \beta / \partial u$ = $-\partial \alpha / \partial v$를 만족한다. 식 (4)를 식 (3)의 우변에 대입한 후 정리해서 두 좌표계에 대한 2차원 라플라시안의 관계식을 도출한다.

              (5)

              (6)

식 (6)을 식 (2)에 넣어서 좌표 변환한 2차원 헬름홀츠 방정식을 구한다.

              (7)

원래 문제인 식 (2)를 있는 그대로 풀지 않고, 계산이 더 쉬운 $(\alpha, \beta)$ 좌표계로 문제 영역을 옮겨서 해결할 수 있는 방안이 바로 식 (7)이다. 3차원인 경우는 더욱 어려워서 보통 텐서 미적분학(tensor calculus)을 사용해서 문제 영역을 옮긴다.

또한 좌표 변환을 하면 매질 특성이 $k$에서 $k/|d\gamma/dw|$로 바뀌는 어려움이 생겨서, 등각 사상을 쓸 때는 $f$ = $0$인 정전장과 $\rho$ = $0$인 원천이 없는 조건을 적용한 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 유도해 푼다.

              (8)

식 (8)과 같은 라플라스 방정식은 다양한 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance)을 구할 때 빈번하게 사용된다[1].

[참고문헌]

[1] P. K. Kythe, Handbook of Conformal Mappings and Applications, New York: CRC Press, 2019.

[2] R. Herman, 8.6: Laplace’s Equation in 2D, Revisited, Introduction to Partial Differential Equations, The LibreTexts, CA, USA.

차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)

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1. 수치 미분

2. 미분 방정식의 의미

[그림 1] 함수 $f(x)$의 차분 모습(출처: wikipedia.org)

임의 수열 $f_n$의 차이를 이용해서 $f_n$ = $a f_{n-1} + b f_{n-2} + \cdots$ 등과 같은 형태로 표현한 수식을 차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)이라 부른다. 차분 방정식의 대표적인 예는 등비 급수(geometric series)이다.

                  (1)

여기서 $f_0$ = $a_0$은 초기값(initial value), $r$은 공비(common ratio)이다. 식 (1)은 $f_n$을 기준으로 차분이 하나만 있어서 일계 차분 방정식(the first order difference equation)이 된다. 식 (1)을 확장해서 이계 차분 방정식(the second order difference equation)도 쉽게 생성할 수 있다.

                  (2)

여기서 $a, b$는 상수, $f_0, f_1$은 이미 주어진 초기값이다. 식 (2)를 풀기 위해, 식 (1)처럼 $f_n$ = $r^n$이라 가정한다. 그러면 차분 방정식은 통상적인 2차 방정식으로 간략화된다.

                  (3)

식 (2)의 해법인 식 (3)에 나온 오른쪽 식은 차분 방정식을 규정하는 특성 방정식(characteristic equation)이다. 식 (3)에 나온 특성 방정식을 풀어서 나온 공비를 $r_1$, $r_2$라고 하면, 식 (2)의 일반해(general solution)는 미분 방정식처럼 $r_1^n$과 $r_2^n$의 선형 결합으로 구한다.

                  (4)

여기서 $c_1, c_2$는 초기값으로부터 결정한다.

상미분 방정식(ordinary differential equation)처럼 다음과 같은 형태로 기술된 $m$계 차분 방정식($m$th order difference equation)은 해의 존재성과 유일성이 쉽게 증명된다[1].

                  (5)

여기서 ${\bf x}_{n-1}$은 $m$차원을 가진 수열 벡터(vector), $f_0, f_1, \cdots, f_{m-1}$은 이미 알고 있는 초기값, 초기값 벡터는 ${\bf x}_{m-1}$ = $[f_0~f_1~\cdots~f_{m-1}]$이다. 식 (5)에 초기값 벡터 ${\bf x}_{m-1}$부터 차례로 ${\bf x}_{m}, {\bf x}_{m+1}$ 등을 대입하면, 함수값은 $f_{m}$, $f_{m+1}$, $f_{m+2}$ 등으로 유일하게 나온다. 즉, 식 (5)에 ${\bf x}_{m+k-1}$을 넣으면, $f_{m+k}$가 출력되고 그 다음 입력 벡터 ${\bf x}_{m+k}$도 구성된다. 그러면 $n$ = $0, 1, \cdots, m+k$에 대해 $f_0, f_1, \cdots, f_{m+k}$를 출력하는 함수 $f(x)$를 다항 함수 보간(polynomial interpolation) 등으로 만들 수 있다. 여기서 $f_n$ = $f(x)|_{x=n}$은 $0 \le x \le m+k$에서 성립한다. 그 다음 단계로 $x$의 범위를 늘리기 위해, 이전에 생성한 $f(x)$를 식 (5)에 넣어서 $m+k \le x \le m+k+1$에서도 $f(x)$가 정의되게 한다. 여기서 이전 범위에서 변하는 $f(x)$를 ${\bf x}_{n-1}$의 성분에 대입해 연속으로 바꿈으로써 식 (5)의 좌변은 자동적으로 $m+k \le x \le m+k+1$에서 연속이다. 이 과정은 계속 될 수 있으므로, 식 (5)의 차분 방정식은 항상 해를 가진다. 식 (5)와 같은 차분 방정식의 해가 유일하다는 증명도 쉽다. 만약 $n$ = $k$부터 $f(k)$와 함수값이 다른 $g(k)$가 있다고 가정한다. 그러면 식 (5)에 따라 $g(k)$ = $F({\bf x}_{k-1})$ = $f(k)$가 되므로, $g(k)$는 $f(k)$와 다를 수 없어서 모순이다. 해의 존재성과 유일성으로 인해 차분 방정식을 다양한 방식으로 풀 수 있다. 예를 들어, 식 (2)를 풀 때에 Z 변환(Z-transform)을 써도 된다.

                  (6)

차분 방정식은 미분 방정식(differential equation)을 근사적으로 풀 때 매우 유용하다. 수학적 미분을 수치 미분으로 교체해서 미분 방정식을 차분 방정식으로 바꾸어 푸는 방식은 유한 차분법(finite difference method, FDM)이라 부른다. 유한 차분법에서는 해의 수렴성을 꼭 확인해서 풀어야 한다. 왜냐하면 수치 미분으로 인해 반복적인 연산이 들어가므로, 차분 방정식의 해가 미분 방정식의 해로 수렴한다는 확인이 꼭 필요하기 때문이다.

[참고문헌]

[1] S. Tauber, "Existence and uniqueness theorems for solutions of difference equations," Am. Math. Mon., vol. 71, no. 8, pp. 859–862, Oct. 1964.

[2] S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, 3rd ed., New York, USA: Springer, 2005.

[다음 읽을거리]

1. Z 변환

2. 이산 푸리에 변환