조금은 느리게 살자

2023년 8월 6일 일요일

편미분 방정식의 의미(Partial Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "편미분 방정식의 의미"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 열 방정식으로 푼 2차원 열 분포(출처: wikipedia.org)

연산자 $d/dx$가 뜻하는 보통 미분인 상미분(ordinary differentiation)에 대비되는 개념으로 편미분(partial differentiation)을 새롭게 정의해서, 수학과 물리학의 여러 관계를 편미분으로 기술하는 편미분 방정식(partial differential equation, PDE)이 여러 응용 분야에 많이 사용된다. 편미분 기호는 $d/dx$를 둥근 모양으로 만든 $\partial/\partial x$를 쓴다. 그래서 $dx$는 디엑스로 읽고, $\partial x$는 둥글어서(round) 라운드엑스라 부른다. 편미분은 다변수 함수의 미분을 다루기 위한 기본 도구이다. 다변수 함수를 위한 미분을 새롭게 정의할 수 있지만, 변수 개수별로 미분을 각각 정의하기는 매우 번거롭다. 그래서 보통 미분인 상미분과 동일한 공식으로 미분하지만, 변수를 하나만 선택하고 나머지 변수는 상수로 취급해서 편파적으로 미분하는 편미분을 다변수 함수의 미분 도구로 도입한다. 편미분은 상미분과 거의 같지만, 여러 변수가 아닌 편애하는 변수 하나만을 미분하는 점에서 상미분과 차이난다. 이런 방식을 쓰면 변수 개수가 늘더라도 상미분 공식을 그대로 사용할 수 있어서 편미분 개념은 현실에서 매우 유용하다.

다만 상미분 방정식과 다르게, 편미분 방정식 전체에 대한 해의 존재성과 유일성은 증명되지 않아서 편미분 방정식을 다룰 때는 주의를 기울여야 한다. 그래서 처음 만나는 편미분 방정식은 해가 있는지 그리고 있다면 딱 하나만 있는지 검토한 후에 풀이를 진행해야 한다.

편미분은 변수 하나에만 집중해 미분하고 나머지 변수는 상수처럼 0으로 처리하므로, 편미분 방정식을 제대로 풀기는 매우 어렵다. 편미분 방정식의 해법을 체계화하기 위해 편미분 방정식 자체를 먼저 분류한다. 2계 상미분이 나오는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)처럼 상수 계수를 가진 2계 편미분 방정식을 2차 곡선의 일반형 관점으로 정리한다.

(1: 2차 곡선의 일반형)

(2)

여기서 $a, b, c, d, e$는 상수, 원뿔 곡선의 판별식은 $D$ = $ac-b^2$, $u$ = $u(x, y)$이다. 판별식 $D$에 바탕을 두고 2계 편미분 방정식을 타원형, 포물형, 쌍곡형 편미분 방정식(elliptic, parabolic, and hyperbolic PDE)으로 각각 체계화한다. 편미분 방정식의 이름에 타원, 포물선, 쌍곡선이 들어 있다고 해서, 이 방정식이 해당 2차 곡선과 연계되어 있다는 뜻은 아니다. 2차 곡선의 일반형에 대한 계수 관계가 편미분 방정식에도 성립하기 때문에, 이미 유명한 2차 곡선의 이름을 그 편미분 방정식에 붙일 뿐이다.

1. 타원형 편미분 방정식(elliptic partial differential equation)

타원형 편미분 방정식은 2차 곡선인 타원(ellipse)처럼 판별식이 $D$ = $ac - b^2$ > $0$을 만족한다. 타원형 편미분 방정식의 대표적인 예는 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)이다.

(1.1)

여기서 $a$ = $c$ = $1$, $b$ = $d$ = $e$ = $0$, $\phi$ = $\phi(x, y)$이다. 판별식 공식에 식 (1.1)의 상수 계수를 넣으면 $D$ = $1\cdot 1 - 0$ = $1$ > $0$이라서, 라플라스 방정식은 타원형 편미분 방정식의 범주에 들어간다. 라플라스 방정식에 원천항이 더해지면 푸아송 방정식(Poisson's equation)이 된다.

(1.2)

원천항은 편미분 계수에 영향을 주지 않아서 푸아송 방정식도 타원형 편미분 방정식이 된다.

2. 포물형 편미분 방정식(parabolic partial differential equation)

판별식이 $D$ = $ac - b^2$ = $0$이 되는 경우는 포물형 편미분 방정식이라 한다. 포물형 편미분 방정식의 대표적인 예는 푸리에Joseph Fourier(1768–1830)가 만든 열 방정식(heat equation)이다.

(2.1)

여기서 $u$ = $u(x, t)$, $D$ = $\alpha \cdot 0 - 0$ = $0$이다. 전자파 분야에서는 장거리 전자파 전파를 모형화할 때 나오며, 최종 방정식은 특별한 이름 없이 편하게 포물형 방정식(parabolic equation, PE)으로 부른다. 포물형 방정식이란 용어는 당연히 포물형 편미분 방정식의 축약어이다.

(2.2)

여기서 $u$ = $u(x, z)$이다. 식 (2.2)에 따라 판별식은 $D$ = $1 \cdot 1 - 1^2$처럼 정확히 0이 된다.

3. 쌍곡형 편미분 방정식(hyperbolic partial differential equation)

쌍곡형 편미분 방정식의 판별식은 항상 $D$ = $ac - b^2$ < $0$이 성립한다. 이 편미분 방정식의 대표적인 예는 파동 방정식(wave equation)이다.

(3.1)

여기서 $u$ = $u(x, t)$이다. 판별식 공식에 넣으면, 파동의 속도 $v$는 실수라서 $D$ = $-1/v^2 - 0$ < $0$을 얻는다.

[참고문헌]

[1] D. B. Bacani, H. Tahara, "Existence and uniqueness theorem for a class of singular nonlinear partial differential equations," Publ. Res. Inst. Math. Sci., vol. 48, no. 4, pp. 899–917, Nov. 2012.

[다음 읽을거리]

1. 완전 미분

2. 라그랑주 승수

2023년 7월 9일 일요일

라플라스 방정식용 등각 사상(Conformal Mapping for Laplace's Equation)

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전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi$에 대한 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 다음과 같은 형태를 가진다.

(1)

식 (1)에 등장한 라플라시언(Laplacian) $\nabla^2$의 한 성분이 일정하면[$\partial/\partial n$ = $0$이면], 식 (1)은 3차원이 아닌 2차원의 헬름홀츠 방정식으로 간략화된다.

(2)

여기서 $\partial \phi/\partial n$ = $0$, $(u, v, n)$은 직교하는 좌표(coordinates)이다. 좌표 $(u, v, n)$을 새로운 좌표 $(\alpha, \beta, n)$으로 바꿈으로써 2차원 헬름홀츠 방정식을 새로운 좌표계인 $(\alpha, \beta)$에서 표현할 수 있다. 이를 위해 2차원 라플라시언을 연산자 관점에서 인수 분해한다.

(3)

완전 미분(exact differential)에 따라 식 (3)의 우변에 나온 인수를 $(\alpha, \beta)$ 좌표계의 편미분으로 바꾼다.

(4)

여기서 $\alpha$ = $\alpha(u, v)$, $\beta$ = $\beta(u, v)$, 복소 함수 $\gamma$ = $\alpha + i \beta$는 $w$ = $u+iv$에 대한 해석 함수여서 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)인 $\partial \alpha / \partial u$ = $\partial \beta / \partial v$, $\partial \beta / \partial u$ = $-\partial \alpha / \partial v$를 만족한다. 식 (4)를 식 (3)의 우변에 대입한 후 정리해서 두 좌표계에 대한 2차원 라플라시언의 관계식을 도출한다.

(5)

(6)

식 (6)을 식 (2)에 넣어서 좌표 변환한 2차원 헬름홀츠 방정식을 구한다.

(7)

원래 문제인 식 (2)를 있는 그대로 풀지 않고, 계산이 더 쉬운 $(\alpha, \beta)$ 좌표계로 문제 영역을 옮겨서 해결할 수 있는 방안이 바로 식 (7)이다. 3차원인 경우는 더욱 어려워서 보통 텐서 미적분학(tensor calculus)을 사용해서 문제 영역을 옮긴다.

또한 좌표 변환을 하면 매질 특성이 $k$에서 $k/|d\gamma/dw|$로 바뀌는 어려움이 생겨서, 등각 사상을 쓸 때는 $f$ = $0$인 정전장(electrostatics)과 $\rho$ = $0$인 원천이 없는 조건을 적용한 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 유도해 푼다.

(8)

식 (8)과 같은 라플라스 방정식은 다양한 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance)을 구할 때 빈번하게 사용된다[1].

[참고문헌]

[1] P. K. Kythe, Handbook of Conformal Mappings and Applications, New York: CRC Press, 2019.

[2] R. Herman, 8.6: Laplace’s Equation in 2D, Revisited, Introduction to Partial Differential Equations, The LibreTexts, CA, USA.

2023년 6월 29일 목요일

오류 제어용 채널 부호화(Channel Coding for Error Control)

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1. 재미나는 정보량의 정의

2. 엔트로피로 불리는 평균 정보량

3. 통신을 지배하는 상호 정보

(a) 집합 형태로 시각화

(b) 비트 배치도

[그림 1] 패리티 비트(parity bit) 3개, 자료 비트(data bit) 4개를 가진 $(n, m)$ = (7, 4) 해밍 부호(Hamming code)의 표현법(출처: wikipedia.org)

통신 경로인 채널(channel)에는 항상 잡음(noise)이 존재하기 때문에 이진 정보(binary information)를 보내면 오류(error)가 생길 수 있다. 채널 전송에 생기는 오류를 검출(detection)하거나 정정(correction)할 때는 채널 부호화(channel coding)를 사용한다. 잡음을 생각하지 않는 원천 부호화(source coding)와 다르게, 채널 부호화는 정보를 담고 있지 않지만 오류 제어에 쓰이는 비트를 인위적으로 추가한다. 채널 부호화에는 오류 검출 부호(error detection code, EDC)와 오류 정정 부호(error correction code, ECC)를 활용한다. 오류 검출이나 정정에 쓰이는 대표적인 부호는 [그림 1]에 소개한 해밍 부호(Hamming code)이다[1], [2]. 해밍 부호는 패리티 비트 혹은 동등성 비트(parity bit)를 써서 오류 검출과 정정을 처리한다. 이진수 비트의 나열에서 패리티 혹은 동등성은 1의 개수를 항상 짝수 혹은 홀수에 맞춘 결과를 뜻한다. 주어진 이진수에 패리티를 담당하는 비트를 하나 넣어서 1의 개수를 언제나 짝수 및 홀수로 조정하면 각각 짝수 패리티(even parity)와 홀수 패리티(odd parity)로 부른다. [그림 1]처럼 통상적으로는 짝수 패리티가 많이 쓰인다. 이를테면 [그림 1]에서 패리티 비트 $p_1$은 $p_1$ = $\text{rem}(d_1+d_2+d_4,2)$로 연산해서 짝수 패리티를 결성한다. 여기서 $\text{rem}(n,2)$는 나머지(remainder) 함수이면서 홀수 판별식(discriminant of odd number)이다. 비슷하게 $p_2$ = $\text{rem}(d_1+d_3+d_4,2)$, $p_3$ = $\text{rem}(d_2+d_3+d_4,2)$를 배정한다.

해밍 부호처럼 채널 부호화에 쓰이는 채널 부호(channel code)를 분류할 때는 부호어(codeword) 비트수 $n$, 자료 비트수 $m$, 여분(redundancy) 비트수 $r$을 조사한다. 여기서 여분은 정보가 없지만 오류 제어에 쓰이는 부분, 부호어는 $n$ = $m+r$과 같이 자료와 여분으로 구성된다. 이를 통해 채널 부호화에 활용되는 여분 $r$과 부호율(code rate) $R_n$을 정의한다.

(1)

여기서 $N$ = $2^n$, $M$ = $2^m$이다. 식 (1)과 같은 특성을 가진 채널 부호는 $(n, m)$ 채널 부호라 이름 붙인다. 예를 들어, 해밍 부호는 패리티가 여분을 담당하므로 [그림 1]은 $n$ = $7$, $m$ = $4$인 $(7, 4)$ 해밍 부호가 된다.

패리티 비트로 오류 정정을 할 때는 모든 패리티 비트를 조합해서 만든 징후(syndrome) 혹은 오류 징후(error syndrome) 개념을 사용한다. 징후는 패리티 비트를 활용해 오류가 생긴 비트 위치를 나타내는 이진수 표현식이다. [그림 1]에서는 $p_1, p_2, p_3$의 짝수 판별식(discriminant of even number)으로 징후를 만든다. 예를 들어, 한 비트에서만 오류가 생긴 경우 패리티 비트의 짝수 판별식과 그 징후는 다음처럼 표시된다.

$d_1$에 오류: $p_1$ = $F$, $p_2$ = $F$, $p_3$ = $P$ $\Rightarrow$ 징후 = 011$_2$ = 3
$d_2$에 오류: $p_1$ = $F$, $p_2$ = $P$, $p_3$ = $F$ $\Rightarrow$ 징후 = 101$_2$ = 5
$d_3$에 오류: $p_1$ = $P$, $p_2$ = $F$, $p_3$ = $F$ $\Rightarrow$ 징후 = 110$_2$ = 6
$d_4$에 오류: $p_1$ = $F$, $p_2$ = $F$, $p_3$ = $F$ $\Rightarrow$ 징후 = 111$_2$ = 7
$p_1$에 오류: $p_1$ = $F$, $p_2$ = $P$, $p_3$ = $P$ $\Rightarrow$ 징후 = 001$_2$ = 1
$p_2$에 오류: $p_1$ = $P$, $p_2$ = $F$, $p_3$ = $P$ $\Rightarrow$ 징후 = 010$_2$ = 2
$p_3$에 오류: $p_1$ = $P$, $p_2$ = $P$, $p_3$ = $F$ $\Rightarrow$ 징후 = 100$_2$ = 4
오류 없음: $p_1$ = $P$, $p_2$ = $P$, $p_3$ = $P$ $\Rightarrow$ 징후 = 000$_2$ = 0

여기서 $P, F$는 패리티 연산(parity operation)의 통과(pass: 짝수 패리티)와 실패(fail: 횰수 패리티)를 뜻한다. 위에 표현된 징후를 이진수로 생각해서, 징후가 나타내는 위치를 그린 결과가 [그림 1(a)]이다. 그러면 징후가 정상적으로 동작하기 위한 부호어 비트수 $n$과 패리티 비트수 $r$의 부등식 관계는 다음과 같다.

(2)