1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 맥스웰 방정식의 쌍대성
3. 전자기장의 경계 조건
4. 영상 전하법
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[그림 1] 전자파 산란의 예: 일몰(출처: wikipedia.org)
[그림 1]의 전자파 산란(electromagnetic scattering)을 계산할 때 유용한 개념이 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)이다[1]–[3]. [그림 2]와 같은 복잡한 산란체의 전자파 산란을 구할 때는 산란체 모양을 직접 고려하기보다 우리가 계산하기 쉬운 표면[그림 2에서 파란색 원 혹은 직육면체, 원기둥, 구 등]을 택하면 좋다. 복잡한 복사체(radiator)의 경우에도 [그림 2]와 동일하게 계산할 수 있다.
[그림 2] 산란체 혹은 복사체를 위한 가상표면
(1)
여기서 $\hat n$은 [그림 2]처럼 $\bar E_1$, $\bar H_1$이 정의된 영역을 뚫고 나가는 법선 벡터(normal vector)이다. 즉, 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선 성분(tangential component)이 경계면에서 연속이어야 한다. 또한, 임의의 경계면에서 전자장은 다음 조건을 항상 만족함을 기억한다.
(2)
여기서 $\bar M_s$는 표면 자류 밀도(surface magnetic current density), $\bar J_s$는 표면 전류 밀도(surface electric current density)이다. 일반적인 식 (2) 관점으로 보면 식 (1)은 $\bar M_s$ = $\bar J_s$ = $0$인 조건과 동일하다.
1. $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$ 가정
[그림 3] 영(零)의 전자기장 가정
우리는 산란체 자체보다는 산란되는 전자파에 관심 있음을 꼭 명심한다. 그러면 산란체의 원천은 영역 (I)에 있고, 우리의 관심 영역은 [그림 2]처럼 원천이 없고 산란파만 있는 영역 (II)가 된다. 그래서, 문제를 간단하게 만들기 위해 [그림 3]처럼 강제적으로 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$이라 가정하자[1]. 물론 이렇게 하면 영역 (I)에서는 원래 있던 전자장[$\bar E_1 \ne 0$, $\bar H_1 \ne 0$]과는 다른 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$인 문제를 품과 같다. 하지만, 관심 영역이 영역 (II)이기 때문에 영역 (I)의 전자장이 틀리게 설정되더라도 문제는 없다. 식 (2)에서 조건 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$을 넣으면 다음을 얻는다.
(3)
즉, $\bar M_s, \bar J_s$를 식 (3)과 같이 설정하면 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$이라고 두더라도 정확하게 영역 (II)의 전자장을 계산할 수 있다. 재미있게도 내 마음대로 [그림 3]의 녹색 원을 설정할 수 있기 때문에 전류 분포 계산을 위한 기하 구조를 자유롭게 선택할 수 있다. 만약 산란체가 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC)였다면 표면에서는 전기장 $\bar E_2$가 0이므로, $\bar M_s$ = $0$이며 $\bar J_s$ = $\hat n \times \bar H_2$이다. 즉 산란 전자장은 오로지 표면 전류 밀도 $\bar J_s$에 의해서만 결정된다. 마찬가지로 산란체가 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC)라면 표면 자기장 $\bar H_2$ = $0$이므로, $\bar J_s$ = $0$이 된다. 따라서 산란 전자장은 $\bar M_s$가 결정한다.
[그림 3]의 개념은 이렇게 생각할 수도 있다. 예를 들어 $\bar J_s$는 영역 (I)에서 $-\bar H_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar H_2/2$를 생성한다고 본다. 마찬가지로 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 또한, $\bar J_s$가 만든 자기장은 파동이 되기 위해 같은 특성의 전기장을 만들어야 한다. 영역 (I)에서는 $+\bar E_2/2$가 되고 영역 (II)에서도 $+\bar E_2/2$가 된다.[∵ 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 양쪽 영역에서 전기장의 부호가 같아야 되는 이유를 알 수 있다. 또한, 잘 날아오던 자기장을 등가 전류로 바꾸었기 때문에 $\bar H_2$는 당연히 $\bar E_2$를 유도해야 한다.] $\bar J_s$와 $\bar M_s$가 만든 전기장을 합치면 영역 (I)에서 $\bar E_2/2 - \bar E_2/2$ = $0$, 영역 (II)에서는 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2$ = $\bar E_2$가 됨을 알 수 있다[2]. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다.
(a) 표면 전류 밀도
(b) 표면 자류 밀도
[그림 4] $z$ = $0$ 평면에 존재하는 표면 전류 및 자류 밀도
표면 등가의 원리는 근사 없는 완벽한 관계식이지만, 정말 전자장을 등가 표면 전류 밀도로 생각할 수 있는지 의심이 들기도 한다. 그래서 [그림 4]와 같은 표면 전류/자류 밀도를 생각한다. 표면 전류/자류 밀도는 $z$ = $0$인 평면 전체에 있기 때문에, 원천이 생성하는 전자장은 균일 평면파(uniform plane wave)가 된다. 따라서 무한히 펼쳐진 표면 전류 밀도 $\bar J_s$에 의한 전자장 $\bar E_e$와 $\bar H_e$, 표면 자류 밀도 $\bar M_s$에 의한 전자장 $\bar E_m$와 $\bar H_m$은 각각 다음처럼 표현된다.[예를 들어 $\bar J_s$를 알면 자기장의 접선 경계 조건에 의해 자기장 $\bar H_e$가 나온다. 다음으로 평면파 조건을 사용해 $\bar H_e$로부터 $\bar E_e$를 구한다.]
(4)
(5)
맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 이용해서 식 (4)에서 식 (5)를 바로 얻을 수도 있다. 입사 전자장을 $\bar E_i (\bar r)$ = $E_0 e^{i k z} \hat x$ = $\eta H_0 e^{i k z} \hat x$, $\bar H_i (\bar r)$ = $H_0 e^{i k z} \hat y$라 가정하여 식 (3)에 대입한다. 그러면 [그림 4]에 있는 전류/자류 밀도는 $\bar J_s$ = $- H_0 \hat x$, $\bar M_s$ = $- \eta H_0 \hat y$가 된다. 이 결과를 식 (4)와 (5)에 대입하면 $z > 0$ 영역의 전자장은 다음처럼 표현된다.
(6)
식 (6)에 있는 전기장을 모두 더하면 원래 입사 전기장이 나오며[$\bar E_e + \bar E_m$ = $\bar E_i$], 자기장도 마찬가지 결과를 얻는다. 반대로 $z < 0$ 영역의 전자장은 다음처럼 표현된다.
(7)
식 (7)에 있는 전기장을 더하면 0이 나오고[$\bar E_e + \bar E_m$ = $0$], 자기장도 $0$이 나온다. 이 결과는 [그림 3]에서 가정한 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$인 조건과 동일하다.
2. 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC) 가정
[그림 5] 완전 전기 도체 가정
조건 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$을 만들 수 있는 물체 중의 하나는 완전 전기 도체이다. 침투 깊이(skin depth) 개념에 의해 완전 전기 도체 내부의 전자기장은 항상 0이다.[혹은 도체 내부의 전류 밀도가 유한하기 위해서는 전기장이 0으로 가야한다. 전기장이 0이면 자기장도 당연히 0이 되어야 한다.]
[그림 6] 완전 전기 도체에 대한 영상법
따라서, [그림 2]의 영역 (I)에 자그마한 완전 전기 도체가 있다고 [그림 5]처럼 생각하고 그 크기가 커져 파란색 원을 완전히 채운다고 가정한다. 그러면 파란색 원에 있던 전류 밀도와 자류 밀도는 [그림 6]의 영상법(method of images)에 의해 다음이 성립해야 한다.
(8)
쉽게 생각하면 [그림 2]의 파란색 원 위치에 [그림 5]처럼 완전 전기 도체가 있기 때문에 자류 밀도는 두배가 되고 전류 밀도는 없어진다고 생각하면 된다. 그래서, [그림 5]처럼 완전 전기 도체가 있는 문제를 풀더라도 영역 (II)에서의 전자기장 결과는 같아진다. 다만 식 (8)의 둘째식은 곰곰히 볼 필요가 있다. 전체 전류 밀도의 결과는 0이지만 중간 과정이 있다. 구체적으로 보면 영역 (I)의 내부 전자장을 0으로 만들기 위해 도입한 PEC에는 $-\bar J_s$란 전류 밀도가 유기된다. 하지만 영역 (I)의 자기장이 이 전류 밀도를 직접 만들지는 않는다. 표면 등가의 원리로 $\bar J_s$가 먼저 만들어지고, 그 다음에 $\bar J_s$가 PEC에 매우 근접해서 생긴 영상 전류 밀도가 $-\bar J_s$이다. 따라서 PEC 표면에는 $\bar J_s$와 같은 크기를 가진 영상 전류 밀도가 있기 때문에, 전체 전류 밀도는 0이 되어서 PEC에는 자류 밀도만 존재할 수 있다.
[그림 5]의 개념은 이렇게 생각할 수도 있다. [그림 5]에서는 자류 밀도만 존재하기 때문에 전류 밀도는 고려할 필요가 없다. 자류 밀도 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 하지만 PEC가 있기 때문에 영역 (I)에서는 반사(reflection)되어 전기장 $-\bar E_2/2$는 $+\bar E_2/2$로 바뀌어야 한다. 그러면 영역 (II)에서 전체 전기장은 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2$ = $\bar E_2$가 된다.[그래서 식 (8)의 자류 밀도 $\bar M_s$가 두배가 되었다.] 당연히 맥스웰 방정식에 의해 $\bar E_2$는 자기장 $\bar H_2$를 만든다.
3. 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC) 가정
[그림 7] 완전 자기 도체 가정
[그림 5]와 비슷하게 [그림 2]의 파란색 원을 [그림 7]처럼 완전 자기 도체로 바꿀 수 있다. 그러면 [그림 8]과 같은 영상법을 사용할 수 있다.
[그림 8] 완전 자기 도체에 대한 영상법
즉, 자류 밀도와 전류 밀도는 아래처럼 바뀌어야 한다.
(9)
혹은 [그림 7]의 개념과 식 (9)를 유도하기 위해 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality of Maxwell's equations)을 사용할 수도 있다.
이상의 논의를 통해 표면 등가의 원리를 살펴보면 [그림 2, 3, 5, 7]에 있는 영역 (I)의 전자기장이 다르더라도 영역 (II)의 전자기장은 서로 같다.
[참고문헌]
[1] A. E. H. Love, "The integration of equations of propagation of electric waves," Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, vol. 197, pp. 1–45, 1901.
[2] S. R. Rengarajan and Y. Rahmat-Samii, "The field equivalence principle: illustration of the establishment of the non-intuitive null fields," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 42, no. 4, pp. 122–128, Aug. 2000.
[3] J. Appel-Hansen, "Comments on field equivalence principles," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 35, no. 2, pp. 242–244, Feb. 1987.
[다음 읽을거리]
1. 프란츠 공식
2. 스트래튼–추 공식
3. 체적 등가의 원리
4. 표면 적분 방정식