"보안설정에 의해 이동형 저장장치를 사용할 수 없습니다."라는 창이 뜨면 아래 과정을 확인해야 한다.
1. 현재 사용자 계정이 그룹 "Administrators"에 속해 있는가?
[그림 1] 사용자 계정 실행 모습
확인하는 방법은 "시작->실행"에 가서 "control userpasswords2"를 입력하면 된다. 그러면 [그림 1]과 같은 "속성창"이 뜬다. 그룹이 "Administrators"가 아니면 속성 단추를 눌러서 수정하면 된다. 수정 방법은 다음과 같다: 속성 단추를 누르면 "등록정보창"이 나온다. "그룹 등록" 탭을 누른 후 "기타(0)" 라디오 단추에서 "Administrators"를 선택하면 된다.
2. 그래도 안 되면 혹시 보안 프로그램이 설치되어 있는가 확인한다.
제대로 생각도 하지 않고 설치한 보안 프로그램에 의해 이동형 저장장치가 접근불가할 수가 있다. 유일한 방법은 설치한 보안 프로그램을 제거하는 것이다. 애석하게도 대부분의 보안 프로그램은 그냥 제거가 되지 않는다. 적절한 매개변수를 프로그램에 전달해야 삭제가 된다. 예를 들면 하드디스크상에 "C:\Windows\Nics"이란 폴더가 존재하면 보안 프로그램이 설치된 것이다. 이를 제거하려면 "시작->실행"에 가서 "C:\Windows\Nics\Uninst.exe -Dlnics27exc"를 입력해야 한다.
1785년쿨롱 49세, 조선 정조 시절에 전기력(electric force)을 정량적으로 설명한 쿨롱Charles-Augustin de Coulomb(1736–1806)은 자기력(magnetic force)에 대해서도 동일한 실험을 수행했다. 놀랍게도 식 (1)에 소개한 자기력 $F_m$은 전기력과 매우 유사했다.
(1)
여기서 $k_m$는 자기력을 위한 상수이며 $m$과 $M$은 자석(磁石, magnet)의 세기, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$은 자석이 서로 떨어진 거리이다. 쿨롱의 자기력에 대한 실험 결과를 전기력과 유사하게 식 (1)로 표현한 과학자는 푸아송Siméon Denis Poisson(1781–1840)이다. 푸아송은 1824년푸아송 43세, 조선 순조 시절까지도 $m$과 $M$을 전하(electric charge)와 비슷한 자하(磁荷, magnetic charge)로 생각했다. 하지만 이미 1820년외르스테드 43세, 조선 순조 시절 4월 21일에 나온 외르스테드Hans Christian Ørsted(1777–1851)의 실험[배터리에서 나오는 전류를 개폐(開閉)하면 근처의 나침반이 움직임]에 의해 자기력은 자하가 아닌 전류(electric current)로부터 나온다는 사실이 분명해졌다[2]. 별로 유명하지 않은 덴마크의 교수 외르스테드가 전자기학의 시작을 알렸다. 또한 전자기학(電磁氣學, electromagnetism)이란 용어도 외르스테드가 처음으로 제안했다.
[전류가 흐르는 도선 둘레의 자기장(magnetic field around current carrying conductors)]
외르스테드의 발견으로 인해 자하 기반의 식 (1)이 아닌 전류가 원천인 자기력 관계식이 꼭 필요하게 되었다. 전광석화처럼 외르스테드의 실험과 전류 원천을 포함한 새로운 자기력 공식[배터리가 만드는 전류가 자기력을 생성]을 유도해낸 학자는 암페어André-Marie Ampère(1775–1836)[프랑스어 발음으로는 앙페르이지만, 전류 단위의 명칭이기도 해서 암페어로 표기], 비오Jean-Baptiste Biot(1774–1862), 사바르Félix Savart(1791–1841)이다. 1820년암페어 45세, 조선 순조 시절에 암페어는 두 개의 평행한 직선 도선 사이에 작용하는 힘(force)의 관계를 실험하고 공식화했다. 동일한 해인 1820년비오 46세, 조선 순조 시절에 비오와 사바르는 자석과 직선 도선을 이용하여 자기력을 실험하고 새로운 수학식을 구체적으로 제안했다. 비오와 사바르가 제안한 단순한 수학식을 다시 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)가 수정하고 일반화했다. 이렇게 해서 생겨난 비오–사바르 법칙(Biot–Savart's law)은 식 (2)와 같다.
[그림 2] 비오–사바르 법칙의 방향(출처: wikipedia.org)
(2)
여기서 $\mu_0$는 진공중의 투자율(透磁率, permeability)이며 단위 벡터[크기가 1인 벡터] $\hat R$[= $(\bar r - \bar r')/R$]은 $I$와 $I'$를 연결하는 단위 벡터이다. 2019년 이전에 $\mu_0$는 $4 \pi \times 10^{-7}$ H/m로 정확히 정의했지만, 2019년 5월 20일부터는 측정해야 하는 양으로 바뀌어서 $\mu_0$ $\approx$ 1.25663706212$\cdots \times 10^{-6}$ H/m로 사용한다. 원천점(source point) $(x', y', z')$과 관측점(observation point) $(x, y, z)$은 $I'$와 $I$처럼 $(\cdot)'$를 이용하여 표현한다. 즉, 힘의 범위를 만드는 원천 전류 $I'$이 위치 $(x', y', z')$에 있는 경우가 원천점이다. 비슷하게 관측점 $(x,y,z)$는 $I'$가 만든 힘의 범위가 관측 전류 $I$에 자기력을 미치는 위치이다. 식 (2)는 전기를 자기로 바꾸는 방법을 표현한다. 즉, 배터리[전기]로부터 생겨난 전류가 자기력을 생성하는 수학적 공식을 보여주고 있다. 그 후 1826년암페어 51세, , 조선 순조 시절에 암페어는 수학적으로 일반화된 암페어 주회 적분 법칙(周回積分 法則, Ampere's circuital law)을 발표했다. 전기장과 유사하게 자기력이 표현하는 원격 작용을 설명하기 위해 자기장(磁氣場, magnetic field) 혹은 자속 밀도(磁束密度, magnetic flux density)를 도입한다.
(3)
여기서 벡터 $\bar B$는 자속 밀도이고, 자기장 벡터는 $\bar H$ = $\bar B / \mu_0$이다. 전기장과 동일하게 현대적인 의미로 자기장을 정의하면 자기력이 전달되는 범위[마당]이다. 자기장[혹은 자속 밀도]이 전달되어야만 자기력이 식 (2)와 같이 생성된다. 자기장이 전달되지 않으면 관찰자 입장에서는 아무런 일도 일어나지 않는다. 이 개념이 자기장 개념의 핵심이다.
자기장은 더 간단하게 자장(磁場)이나 자계(磁界)로 쓰기도 한다. 자계란 표현은 일본 공학계에서 자기장을 대신해 쓰던 용어라서 일본에서도 요즘은 많이 쓰이지 않는다. 자속 밀도는 비오–사바르 법칙에 따라 자기력과 직접 연결되는 개념이므로 아주 오래전부터 연구되었다. 그래서 자석과 페라이트(ferrite)를 다루는 분야에서는 자기장과 자속 밀도의 MKS(meter–kilogram–second) 단위인 H/m와 T 대신 오래된 CGS(centimeter–gram–second) 단위인 Oe와 G를 주로 활용한다.
[비오–사바르 법칙의 미분형(Biot–Savart's law in differential form): 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]
따라서 자속 밀도는 식 (9)와 같이 회전 연산자로 표현된다. 발산 연산자의 영인자 특성으로 인해 당연히 자속 밀도의 발산은 0이다.
(9)
______________________________
비오–사바르 법칙의 미분형은 자기에 대한 가우스 법칙(Gauss' law for magnetism)이라고도 한다. 또한 식 (4)가 항상 성립하므로 발산 연산자의 영인자 특성에 의해 자속 밀도는 어떤 함수의 회전으로 표현할 수 있다.
(10)
식 (10)에 제시한 벡터 $\bar A$는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) 혹은 간략히 벡터 포텐셜이라 부른다. 식 (10)의 벡터 포텐셜 $\bar A$는 1845년노이만 47세, 조선 헌종 시절 노이만Franz Ernst Neumann(1798–1895)에 의해 발견되었다[1]. 헬름홀츠의 정리에 의해 벡터 포텐셜 $\bar A$를 정확히 정의하려면 발산과 회전을 구해야 한다. 벡터 포텐셜 A의 회전은 자속 밀도이므로 $\bar A$의 발산을 정의해야 한다. 식 (10)에 있는 전류와 선 미분소는 식 (11)로 표현할 수 있다.
(11)
여기서 선 미분소의 방향과 전류 밀도의 방향은 동일하게 잡았다.[∵ 전류가 흐르는 방향이 전류 밀도의 방향이 되니 당연하다.] 식 (11)을 식 (10)에 대입하면 새로운 체적 적분으로 벡터 포텐셜을 정의할 수 있다.
(12)
[자기 벡터 포텐셜의 발산: 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)]
(13)
[증명]
자기 벡터 포텐셜의 발산은 임의로 정할 수 있기 때문에[∵ 벡터 포텐셜의 회전이 자속 밀도가 됨만 정해졌다.] 식 (13)의 증명은 의미가 없지만 식 (12)는 특정 조건에서 식 (13)을 만족한다. 먼저 벡터 항등식인 식 (14)를 고려한다.
(14)
식 (14)와 (12)를 고려하면 식 (15)와 (16)을 얻을 수 있다.
(15)
(16)
식 (15)와 (16)을 결합하면 최종 결과인 식 (17)이 얻어진다.
(17)
그러면 벡터 포텐셜의 발산은 아래로 바뀌게 된다.
(18)
식 (18)을 유도할 때 발산 정리를 사용한다. 식 (18)에 정의된 체적을 무한대로 가져가면[∵ 체적은 우리 마음대로 잡을 수 있다.] 식 (18)의 우변에 있는 표면 적분은 0으로 수렴해야 한다. 이는 식 (12)로 표현되는 체적 적분[체적이 무한대로 진행]이 유한하다고 가정하면 그 표면 적분[표면 적분이 무한히 모여 체적 적분이 되므로 부분합(部分合, partial sum) 개념으로 생각하면 쉽게 이해된다.]은 반드시 수렴해야 한다. 따라서 식 (18)은 식 (19)로 간편하게 표현된다.
(19)
식 (19)에 있는 전류 밀도의 발산[$\bar \nabla \cdot \bar J = 0$]은 전하 보존 법칙에 의해 DC(직류, 直流, Direct Current) 조건에서는 0이 되어야 하므로 식 (13)이 증명된다.
______________________________
식 (13)의 의미를 쉽게 생각하려면 KCL(키르히호프 전류 법칙, Kirchhoff Current Law)을 보면 된다. 자기 벡터 포텐셜은 식 (12)처럼 전류 밀도(electric current density)가 만든다. DC에서 전류는 들어온 만큼 나가기 때문에 전류 밀도의 발산은 항상 0이다. 그래서 자기 벡터 포텐셜을 이루는 전류 밀도의 발산이 0이므로 자기 벡터 포텐셜의 발산도 0이 된다. 쉽게 말해 자기 벡터 포텐셜도 들어온 선속만큼 반드시 같은 양이 나간다. 그런데 벡터 포텐셜의 발산은 왜 게이지(gauge)라는 표현이 붙었는가? 게이지라는 단어는 잣대라는 의미이다. 잣대이기 때문에 게이지는 우리 마음대로 선택할 수 있다. 예를 들면, 우리가 길이를 잴 때 미터로 잴 수도 있고 인치로 잴 수도 있는 것처럼 게이지도 자유롭게 선택 가능하다. 쉽게 생각하기 위해 게이지는 방정식의 청소부라고 생각한다. 청소부의 능력에 따라 깔끔한 정도가 차이나듯이 게이지 선택에 따라 최종 방정식이 예뻐지기도 하고 지저분해지기도 한다. 이 예를 보려면 자기 벡터 포텐셜에 대한 파동 방정식(wave equation) 유도를 보면 된다. 파동 방정식 유도를 위해 방정식의 항을 잘 모은 후 게이지를 이용해 깨끗하게 0으로 만들어 버린다.
벡터 포텐셜의 발산은 임의로 택할 수 있기 때문에 식 (19)에 DC 조건을 붙여 인위적으로 식 (13)을 증명했다. DC 조건은 정전장(靜電場, static electric field or electrostatics) 조건과 비슷하므로 쿨롱의 잣대로 식 (13)을 정의한다고 이해하면 된다. 게이지 표현을 수학적으로 이해하려면 식 (10)을 보면 된다. 벡터 포텐셜의 회전을 자속 밀도로 정의하지만 수학적으로 보면 회전 연산자이다. 회전 연산자의 영인자는 구배 연산자이므로 벡터 포텐셜을 아래로 새롭게 정의할 수 있다.
(20)
식 (20)에 발산을 취해본다.
(21)
여기서 벡터 $\bar A$는 식 (13)을 만족하며 스칼라 $a_d$는 벡터 포텐셜의 발산을 정의하기 위한 임의의 값이다. 식 (21)의 우변은 푸아송 방정식이므로 스칼라 $a_d$를 만족하는 스칼라 $g$는 구해질 수 있다. 벡터 포텐셜 $\bar A$의 정의와 유사하게 자속 밀도 $\bar B$를 정확히 정의하려면 자속 밀도의 회전을 계산해야 한다. 이를 증명하기는 매우 어려우므로 아래 글을 읽을 때 마음을 단단히 먹자.
여기서 델 연산자($\bar \nabla$)는 간편성을 위해 $R$에 대한 미분으로 정의한다. 즉, 우리가 식 (25)를 체적 적분할 때 모든 체적을 고려할 필요없이 $R = 0$인 근방만 고려하면 된다. $R = 0$ 근방에서 전류 밀도는 상수로 취급할 수 있으므로[혹은 전류 밀도가 발산하지 않는다면] 식 (27)이 성립하여 식 (22)가 증명된다.
(27)
식 (27)의 유도에서 전류 밀도는 원천점이 아닌 관측점을 나타내므로[∵ $R \to 0$] $\bar J' \to \bar J$로 변경했다.
[증명: 자속 밀도]
벡터 포텐셜은 부수적인 개념이기 때문에 [증명: 벡터 포텐셜]과는 다르게 자속 밀도만을 고려해서도 증명 가능하다. 먼저 식 (3)에 있는 자속 밀도의 회전을 고려한다. 벡터 항등식인 식 (28)을 이용하면 식 (29)의 관계를 얻을 수 있다.
또한, 식 (29)의 우변에 있는 발산은 식 (26)과 동일하다. 따라서 식 (26), (29), (30)을 자속 밀도의 회전에 집어넣고 식 (27)의 유도 과정을 고려하면 식 (31)을 얻을 수 있다.
(31)
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[그림 3] 암페어 주회 적분 법칙(출처: wikipedia.org)
[암페어 주회 적분 법칙(Ampere's circuital law)]
(32)
[증명]
식 (22)에 제시한 암페어의 법칙을 면적 적분하고 스토크스 정리를 적용하면 식 (32)가 증명된다.
______________________________
암페어 주회 적분 법칙이 의미하는 바는 [그림 3]에 제시되어 있다. 즉, 자기장 방향으로 선적분을 하면 그 선적분이 만드는 평면을 뚫고 가는 방향의 전류를 구할 수 있다. 암페어 주회 적분 법칙 적용시 주의할 점이 하나 있다. 식 (13)을 이용해 식 (32)를 증명했으므로 도선 상을 흐르는 식 (32)의 전류 $I$는 반드시 $\bar \nabla \cdot \bar J = 0$을 만족해야 한다. 정상적인 DC 전류는 당연히 이 조건을 만족하지만 유한 도선처럼 전류가 흐르고 있지만 처음과 끝이 연결되지 않는 경우는 $\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$이므로 식 (32)를 사용해 자기장을 구할 수 없다. $\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$인 경우에도 식 (32)가 적용되게 만들려면 변위 전류(displacement current) 개념을 도입해야 한다. 하지만 변위 전류가 들어오면 더이상 정자장(靜磁場, magnetostatics) 문제가 아닌 전자파 문제가 된다.
자속 밀도와 자기 벡터 포텐셜의 관계를 식 (10)과는 다르게 표현해본다. 먼저 식 (12)에 식 (22)를 대입해 정리한다.
(33)
식 (33)에서 체적 적분이 모든 원천을 포함한다면 적분 영역은 임의로 택할 수 있다. 따라서 체적 적분 영역을 무한대로 보내면 식 (33) 마지막식에 있는 표면 적분은 0으로 수렴한다. 이 경우 식 (33)는 다음처럼 간략화된다.
(34)
조금 더 어렵게 풀려면 식 (22) 유도에 사용한 식 (29)를 고려한다. 그러면 다음 관계식이 성립한다.
(35)
여기서 관측점 $\bar r$에서 편미분하는 $\bar \nabla$에 대해 원천점인 $\bar r'$에서 정의된 $\bar B'$은 상수로 취급한다. 모든 원천점에 대해 식 (35)를 체적 적분하면 다음을 얻는다.
(36)
식 (36) 유도에 다음의 다이애드(dyad) 포함 벡터 항등식(vector identity)을 사용한다.
(37)
식 (36)에 있는 체적 적분 영역을 무한대로 보내면 표면 적분은 0이 된다. 그러면 다음 결과식이 항상 성립한다.
(38)
따라서 자속 밀도로 표현한 자기 벡터 포텐셜은 식 (34)와 동일하다.
[참고문헌]
[1] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70–71, June 2001.
전류(電流, electric current, $I$)는 말 그대로 전기의 흐름이다. 전기를 만드는 원천이 전하(電荷, electric charge, $Q$)이므로 전하의 흐름, 즉 전하의 시간($t$)적 변화율이라고 말할 수 있다. 이를 수식으로 표현하면 식 (1)이다.
(1)
식 (1)은 제대로 된 정의이기는 하나 전하의 흐름을 세부적으로 보여주지 못한다. 그래서 식 (1)을 미분 형태로 바꾼다. 이를 통해 전하의 미분소 $dQ$를 전하 밀도(電荷密度, charge density) $\rho$로 표현한다.
(2)
여기서 면적 미분소 $d \bar a$는 전류를 정의하기 위해 사용한 임의의 단면적(斷面積, cross-sectional area: 그림 1에서 $a$)이며 선 미분소 $d\bar l$은 전하가 실제로 지나간 방향의 통과 길이[그림 1에서 $l$]이다.
체적 미분소 $dv$를 지나는 전하 미분소 $dQ$가 만드는 전류 미분소 $dI$는 아래와 같다.
(3)
여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다. 식 (3)으로부터 전체 면적을 통해 흐르는 총전류($I$)는 식 (4)가 된다.
(4)
식 (4)로부터 전하의 흐름을 세부적으로 표현할 수 있는 전류 밀도(電流密度, current density) $\bar J$의 중요성을 이해할 수 있다. 즉, 식 (4)로부터 전류 밀도의 방향은 전류가 흐르는 방향이 됨을 알 수 있다.
[전하 보존 법칙(conservation of electric charge)]
전류 밀도($\bar J$)의 원천을 검출하면 그 값은 전하 밀도($\rho$)의 시간적 감소와 같다.
(5)
[증명]
식 (5)를 체적 적분하고 발산 정리를 적용하면 식 (6)을 얻을 수 있다.
(6)
식 (6)의 좌변은 우리가 적분에 사용한 체적을 빠져나가는 전류[∵ 식 (4)로부터 전류 밀도와 면적 미분소의 내적은 전류이며 면적 미분소의 벡터 방향은 해당 체적을 뚫고 나가는 방향이다.]를 뜻한다. 식 (6)의 우변은 이 경우 체적에 존재하는 전하($Q$)는 그만큼 시간적으로 줄어듦을 의미한다. 식 (6)의 좌변과 우변은 서로 같으므로 식 (5)가 전하 보존 법칙을 의미함이 증명된다.
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전하 보존 법칙은 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)이 제안되기 전에 프랭클린Benjamin Franklin(1706–1790)이 최초로 발견해서 1751년에 영국 왕립학회(The Royal Society)의 논문으로 발표했다. 마찰시키면 전기를 얼마든지 만들 수 있다는 사람들의 믿음과 달리, 프랭클린은 전기를 이송하는 실험[한 곳의 전기를 다른 곳으로 보내면, 원래 있던 전기가 줄어드는 현상을 확인]을 통해 전하 보존성을 찾아냈다. 미국 국부(國父, Founding Fathers) 중 한 명인 프랭클린은 다재다능해서 인쇄공, 발명가, 작가, 정치인 등의 분야에서 모두 성공했다. 전기의 근원에도 관심이 많아서 진짜 목숨을 걸고 피뢰침(避雷針, lightning rod)을 발명했다.
[그림 2] 하늘로부터 전기를 이끌어내는 프랭클린(출처: wikipedia.org)
식 (5)에 나오는 전하 밀도는 전류 밀도를 만들어내야 하므로, 정확히는 자유 전하 밀도(free charge density)로 불러야 한다. 자유 전하는 물질 속을 자유롭게 돌아다니면서 전기를 이송할 수 있는 근원이다. 자유 전하에 반대되는 개념은 물질에 묶여서 분극(polarization)을 일으키는 구속 전하(bound charge)가 있다. 쉽게 말해 금속에는 자유 전하가 전기를 이송하고, 유전체에는 구속 전하만 있어서 전기를 흘리지 못한다.
식 (6)에서 DC(직류, 直流, Direct Current) 조건을 적용하면 식 (7)이 바로 얻어진다. DC 조건은 시간적 변화[= $\partial / \partial t$]가 0이라는 조건이다.
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DC 조건인 경우 식 (7)을 전류 밀도의 경계 조건(boundary condition) 관점으로 살펴본다. 어떤 체적 $\Delta V$의 전하 축적이 없는 경우 식 (7)에 의해 들어간 전류[$I_1$ = $J_{n1} \Delta S_1$]와 나간 전류[$I_2$ = $J_{n2} \Delta S_1$]는 반드시 같아야 한다[$I_1$ = $I_2$]. 체적 $\Delta V$를 원기둥[$\Delta S_1$ = $\Delta S_2$]이라 가정하고 식 (6)을 이용해 $I_1$ = $I_2$를 전류 밀도 관점에서 쓰면 $J_{n1}$ = $J_{n2}$가 되므로, 전류 밀도의 법선 성분은 반드시 연속이 되어야 한다. 여기서 전하 축적은 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance) 때문에 생기므로 전하 축적이 없다는 말은 커패시터 성분이 없음과 같은 말이다.
[표 1] 물질별 전기 전도도(출처: wikipedia.org)
물질 (Substance)
전기 전도도 (S/m) (Electrical conductivity)
온도 계수 (1/K) (Temperature coefficient)
기타 사항 (Other details)
테플론(Teflon, PTFE)
$10^{-25}$–$10^{-23}$
-
-
규소(silicon)
4.35 × $10^{-4}$
-75 × $10^{-3}$
-
바닷물(sea water)
4.8
-
-
철(iron)
1.03 × $10^7$
5.00 × $10^{-3}$
-
알루미늄(aluminum)
3.77 × $10^7$
3.90 × $10^{-3}$
-
금(gold)
4.11 × $10^7$
3.40 × $10^{-3}$
-
구리(copper)
5.96 × $10^7$
4.04 × $10^{-3}$
-
은(silver)
6.30 × $10^7$
3.80 × $10^{-3}$
-
전압에 대한 조건인 KVL(Kirchhoff Voltage Law)과 전류에 대한 조건인 KCL(Kirchhoff Current Law)은 회로 이론에서 매우 중요한 법칙이다. 이와 더불어 굉장히 중요한 회로 법칙인 옴의 법칙(Ohm's Law)을 증명해본다.
여기서 $\sigma$는 전기 전도도(電氣傳導度, electrical conductivity: 물질의 고유한 특성)[단위: S/m] 혹은 간단히 전도도라 부른다.
[증명]
식 (8)을 증명하기 위해서는 전하가 도선을 흐르는 특성을 고려해야 한다. 1897년톰슨 41세, 대한제국 원년 톰슨Joseph John Thomson(1856–1940)은 음극선관(cathode-ray tube)을 이용해 전자(電子, electron)의 존재를 실험적으로 증명했다. 그래서 톰슨의 실험으로 인해 전류를 구성하는 입자는 전자임이 분명해졌다. 전자가 만드는 전류의 특성은 보통 식 (8)로 기술한다. 옴 법칙의 미분형인 식 (8)을 증명하려면 전자가 도선에서 받는 힘을 정량화해서 표현해야 한다. 이 기법을 성공적으로 적용한 최초의 학자는 드루데Paul Drude(1863–1906)이다. 드루데가 1900년드루데 37세, 대한제국 시절에 제안한 방법인 드루데 모형(Drude model) 혹은 자유 전자 모형(free electron model)을 이용하여 식 (8)을 증명한다[1], [2].
[그림 4] 도선 속에 있는 전자의 운동(출처: wikipedia.org)
도선을 따라 전자가 흐르면 [그림 4]와 같이 결정(結晶, crystal) 속을 따라 전자가 이동한다. 이때 결정을 구성하는 매우 무거운 양성자(陽性子, proton)로 인해 전자는 계속 이동하지 못하고 반대 방향으로 튕기게 된다. 이 상황을 뉴턴의 제2 운동 법칙(Newton's second law of motion)으로 표현하면 식 (9)와 같다.
(9)
여기서 벡터 $\bar p_n$은 $n$번째 전자의 운동량(運動量, momentum)이며 $\gamma$는 견인 계수(牽引係數, drag coefficient)이다. 식 (9)를 좀더 자세히 설명하면 $n$번째 전자가 받는 힘은 운동을 방해하는 방향[식 (9)에 (-)가 있는 이유]으로 작용하는 견인력(牽引力, drag force)이다.[물속을 이동하는 물체를 고려한다. 이 물체는 유체(fluid)에 의해 견인력 혹은 저항력을 느낀다. 실험에 의하면 물체 이동 속도가 느린 경우 견인력은 속도에 비례한다. 이를 운동량으로 표현하면 식 (9)처럼 된다.] 도선에 생기는 견인력의 원인은 양성자와 전자 사이에 생기는 전기력(electric force)이다. 또한 견인력은 전자가 받는 운동량에 비례한다. 전자에 작용하는 견인력으로 인해 [그림 4]처럼 전자가 튕기게 된다. 식 (9)에 있는 미분 방정식을 풀면 식 (10)을 얻을 수 있다.
(10)
여기서 벡터 $\bar C_n$은 임의의 적분 상수이다. 식 (10)처럼 시간이 흐르면 전자의 운동량은 기하급수적으로 줄어든다. 식 (9)는 전자 하나에 대한 운동 방정식이므로, 각 전자의 기여를 모두 모아서 평균을 낸다. 그러면 다음처럼 도선 속에 있는 전체 전자의 평균 운동량을 얻을 수 있다.
(11)
외부힘이 없는 상태에서는 도선 속에 있는 전자는 평균적으로 힘을 전혀 받지 않기 때문에 식 (11)의 둘째줄이 반드시 성립해야 한다. 만약 전자가 평균적으로 힘을 받는다면 이 힘을 외부에서 사용할 수 있기 때문에 현실과 맞지 않게 된다. 식 (11)에서 외부 전기장 $\bar E$가 가해지면 식 (11)은 아래와 같이 변형되어야 한다.
(12)
여기서 $e$는 전자의 전하량이다. 식 (12)에서 시간이 무한대로 흐르면, 외부 전기장에 의해 전자의 운동량 평균은 0이 아닌 값으로 수렴한다. 이 값을 식 (13)과 같이 계산할 수 있다.
(13)
여기서 $m_e$는 전자의 질량(質量, mass)이다. 전기 이동도(electrical mobility) $\mu_e$ 관점으로 식 (13)을 쓰면, $\bar u_f$ = $- \mu_e \bar E$라 할 수 있다.[$\mu_e$ = $e / (\gamma m_e)$] 전기 이동도 $\mu_e$는 사실 전자가 만들기 때문에, 전자 이동도(electron mobility)라 할 수도 있다. 식 (13)의 둘째식을 $0$으로 둔 이유는 시간이 무한대로 흐르면 전자 운동이 안정화되어 더 이상의 운동량 변화는 없기 때문이다. 즉, 전기장을 가하면 처음에는 전자가 가속받아 운동량이 증가하지만, 시간이 한없이 지나면 정상 상태(正常狀態, stationary state)가 되어 더 이상의 속도 변화는 없어진다. 식 (12)에 있는 미분 방정식은 쉽게 풀리는 방정식이다. 식 (10)과 (13)을 고려하면 식 (12)의 해는 식 (14)와 같다.
(14)
식 (14)를 식 (12)에 대입해서 정리하면 쉽게 해가 됨을 증명할 수 있다. 전자의 유동 속도를 나타내는 $\bar u$는 전자의 실제 속도가 아니다. [그림 4]와 같이 전자의 실제 속도는 매우 빠르나 양성자에 부딪혀 얼마가지 못하고 반대 방향으로 가기 때문에 등가적으로 측정되는 전진 속도인 유동 속도는 그리 빠르지 않다. 이 유동 속도를 식 (4)의 좌변에 대입하면 식 (8)이 얻어진다.
(15)
여기서 전하 농도(charge concentration) $n_e$는 전자의 단위 부피당 개수[= $N/V$]이다. 전기 이동도 $\mu_e$를 사용하면, 전도도($\sigma$)는 $e n_e \mu_e$가 된다. 농도 $n_e$는 물질의 고유 특성으로서 밀도, 몰 질량(molar mass) 및 아보가드로 수(Avogadro constant, $N_A$)에 의해 결정된다.
여기서 $\tau$는 평균 자유 시간(mean free time)을 나타낸다. 평균 자유 시간은 무엇을 의미하는가? 이를 이해하기 위해 확률(確率, probability) 개념을 도입한다. 식 (10)을 이용하여 시간 $t$와 $t + dt$ 사이에서 운동량이 줄어들 확률을 식 (17)과 같이 정의한다.
(17)
식 (17)이 제대로 된 확률인지 확인하기 위해 식 (18)을 계산한다. 전체 확률값이 $1$이 되므로, 식 (17)은 확률 관점으로 잘 정의된다.
(18)
식 (17)을 이용하여 시간의 기대값(expectation)을 계산하면 식 (19)가 된다.
(19)
그런데, 시간의 기대값은 무슨 의미인가? 정의된 확률이 운동량을 기준으로 제시되므로, 시간의 기대값은 전자의 운동량이 존재하는 평균 시간이 된다. 그래서 $\tau$는 전자가 양성자에 부딪히지 않고 진행할 수 있는 평균 시간을 뜻하게 된다.
미분형 옴의 법칙인 식 (8)로부터 식 (20)을 쉽게 증명할 수 있다. 먼저 식 (4)로부터 유도를 시작한다.
(21)
여기서 전류 밀도 $\bar J$와 면적 미분소 $d \bar a$는 같은 방향으로 잡아서[∵ 전류가 뚫고 지나가는 단면적은 우리 임의대로 잡을 수 있다. 즉, 단면적이 어떤 모양으로 있든지 전류 밀도 $\bar J$만 적절히 포함하면 흐르는 전류 $I$는 동일하다.] 벡터를 사용하지 않고 스칼라를 사용하였다.[∵ 내적을 구성하는 벡터가 같은 방향이면 두 벡터 크기의 곱으로 생각할 수 있다.] 전압과 전기장의 관계로부터 식 (22)가 정의된다.
(22)
여기서도 전기장 $\bar E$의 방향과 선 미분소 $d \bar l$의 방향을 동일하게 잡았다.[∵ 전기장을 정의하는 선 미분소의 방향도 우리가 임의로 잡을 수 있다.] 이와 같은 방식으로 전류 밀도, 전기장, 면적 미분소, 선 미분소가 동일한 벡터 방향을 가지게 만들 수 있다.[면적 미분소와 선 미분소의 방향이 같기 때문에 면적 미분소와 선 미분소의 단순곱은 정확히 공간을 이루는 부피 미분소($dv$ = $da\cdot dl$)가 된다.] 식 (22)를 식 (21)에 대입하여 전압 미분소 $dV$를 다음처럼 구한다.
(23)
여기서 전압 미분소 $dV$는 적분을 빠져 나올 수 있도록 단면적 $s$에 대해 상수로 정했다. 이 부분을 이해하기 위해 다음과 같이 생각한다. 선 미분소 $dl$의 방향은 전류 밀도 방향과 동일하게 잡았기 때문에, 선 미분소 방향으로만 전류가 흐른다. 그러면 미분형 옴의 법칙에 의해 전류가 흐르는 방향으로만 전기장이 생긴다. 이는 면적 미분소가 표현하는 단면적 방향으로만 전기장이 생긴다는 뜻이므로,[∵ 이 단면적에서는 등전위면(等電位面, equipotential surface)이 된다. 등전위면이 변화할 수 있는 유일한 방향은 길이 $l$방향이다.] 단면적 $s$ 상의 전압 $V$는 다음처럼 항상 상수가 된다.
(24)
여기서 $t_1$, $t_2$는 단면적 $s$를 구성하는 좌표 성분이다. 또한 $dl$은 전압이 최대로 변하는 방향이므로, $dl$을 잘 정의하면 단면적 $s$ 상에서 전압 미분소 $dV$가 상수가 되게 할 수 있다. 전체 전압을 구하기 위해 식 (23)을 길이 $l$에 대해 적분하면 최종식 (25)가 얻어진다.
(25)
여기서 $I$가 적분을 빠져나오는 이유는 선 미분소의 방향을 전류 방향과 동일하게 잡았으므로 전하 보존 법칙에 의해 들어간 전류는 나간 전류와 동일해서[혹은 KCL이 성립해서] 길이 $l$에 대해 상수로 취급할 수 있기 때문이다.
______________________________
식 (20)의 증명 시작은 식 (21)의 전류($I$)부터 하였다. 이와는 다르게 식 (22)의 전압($V$)부터 출발하면 식 (25)와 동일한 결과를 얻을 수 있을까? 이런 방식은 불가능하다. 전류는 전압과는 다르게 식 (24)의 등전위면과 유사한 정의를 할 수 없기 때문이다. 즉, 일반적으로 전류밀도는 전압을 정의한 선적분 바깥으로 나갈 수 없기 때문이다.
하지만, 식 (26)은 전기장 $\bar E$가 결정되지 않으면 계산될 수 없다. 따라서, 식 (25)가 저항 계산에 매우 유용한 공식이다.
[그림 5] 단순 저항기의 구조(출처: wikipedia.org)
예를 들어 [그림 5]처럼 전류가 $z$방향으로 흐르고 전도도가 일정하면, 저항 $R$은 식 (27)과 같이 얻어진다.
(27)
여기서 $l$은 저항의 길이, $A$는 저항의 단면적이다. 식 (25)에서 단면적 $s$와 길이 $l$을 구성하는 좌표계가 직교한다면, 직교 좌표계의 척도 인자(尺度因子, scale factor)를 사용하여 식 (25)를 다음처럼 간략화할 수 있다.
(A.1)
앞에서 정의한 전압(voltage), 전류(current), 저항(resistance)을 이용하면 전기 회로가 소비하는 전력을 정의할 수 있다. 먼저 전압의 정의를 이용해 전기 회로가 사용하는 일(work)은 다음처럼 정한다.
(28)
식 (28)을 미분하면 다음을 얻는다.
(29)
직류가 흐르는 전기 회로에서는 전압의 변화($dV$)가 없기 때문에 $dV$ = $0$이 된다. 이런 조건하에서 식 (29)를 시간 미분인 $dt$로 나누면 전기 회로의 전력(electric power of an electrical circuit)을 다음처럼 정의할 수 있다.
(30)
식 (30)에 옴의 법칙을 적용하면 저항 기반의 전력 공식도 유도할 수 있다.
(31)
고전 역학의 기본 언어는 힘(force)과 에너지(energy) 혹은 일률이지만, 회로 이론에서는 물성을 더 세밀히 설명하는 전류와 전압이 중심이고 필요한 경우 식 (31)을 이용해 전력으로 환산한다.
[참고문헌]
[1] P. Drude, "Zur Elektronentheorie der Metalle (On the electron theory of metals)," Annalen der Physik (Annals of Physics), vol. 306, no. 3, pp. 566–613, 1900.
[2] E. M. Purcell and D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3rd ed., Cambridge University Press, 2013.
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