1. 삼각 함수
2. 삼각 함수의 합차 공식
5. 시컨트 수와 오일러 수
1. 기본(basics)
(1.1a)
(1.1b)
(1.2a)
(1.2b)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6a)
(1.6b)
(1.7)
[기본 항등식]
(1.8)
(1.9)
[증명]
탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
______________________________
(1.10)
(1.11)
(1.12)
[역함수]
(1.13)
(1.14)
[증명]
식 (1.6b)에 $\cot x$ = $a$, $\cot y$ = $1/a$를 넣으면 $\cot (x + y)$ = $0$이 된다. 이때 $x + y$ = $\pi/2$가 되어서 식 (1.14)가 증명된다.
______________________________
(1.15)
2. 급수 표현식(series representation)
(2.1)
(2.2)
(2.3a)
(2.3b)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
3. 미분(differentiation)
(3.1)
(3.2a)
(3.2b)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
______________________________
(3.7)
(3.8)
4. 부정적분(indefinite integral)
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8a)
(4.8b)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
식 (4.13)의 실수부와 허수부는 각각 식 (4.12)의 둘째식과 첫째식이 된다.
(4.14)
(4.15a)
(4.15b)
(4.16)
5. 정적분(definite integral)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.5)
(4.6)
6. 이상 적분(improper integral)
(6.1)
(6.2)
(7.1)
(7.2)
여기서 $-\pi/2 \le \phi_0 \le \pi/2$이다.
(7.3)
식 (7.2)의 둘째식도 식 (7.3)처럼 증명한다.
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
여기서 $\pi - x \ge x$라서 두 거듭제곱의 차이는 $0$보다 작거나 같다.
[그림 1] 단위 원에 출현하는 여러 가지 삼각 함수(출처: wikipedia.org)
1. 기본(basics)
기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수(sine and cosine functions)의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.
[기본 관계식]
(1.1a) (1.1b) (1.2a) (1.2b) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6a) (1.6b) (1.7)[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 변수 치환을 적용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 증명할 수 있다. 식 (1.6a)에 $y = x$를 대입한 후 정리해서 식 (1.7)을 유도한다.
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[기본 항등식]
(1.8) (1.9)탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
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(1.10) (1.11)[증명]
식 (10)의 좌변을 정리한 후, 식 (1.6a)를 적용해서 식 (1.10)으로 간략화한다.
식 (10)의 좌변을 정리한 후, 식 (1.6a)를 적용해서 식 (1.10)으로 간략화한다.
(1.12)식 (1.11)의 증명을 위해, 좌변을 통분해 $(1-\cos^2)/\cos x$ = $\sin^2 x / \cos x$로 정리한다.
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[역함수]
(1.13) (1.14)식 (1.6b)에 $\cot x$ = $a$, $\cot y$ = $1/a$를 넣으면 $\cot (x + y)$ = $0$이 된다. 이때 $x + y$ = $\pi/2$가 되어서 식 (1.14)가 증명된다.
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[복소 지수 함수의 합과 차]
(1.15)[기수 함수(cardinal function)]
(1.16a: 
(1.16b: 탱크 함수기수 함수는 $x$가 변할 때, 세는 수인 기수(基數, cardinal number)를 선택한다. 싱크 함수는 $x$ = $0$을 제외한 모든 기수를 영점(zero) 관점에서 선택한다. 탱크 함수(tanc function)는 기수 함수가 아니지만, 싱크 함수와 닮아서 함수명을 탱크(tanc: tangent cardinal)로 부른다.
2. 급수 표현식(series representation)
[기본 함수]
(2.1) (2.2)[역함수]
(2.3a) (2.3b)여기서 $x$ = $\tan \theta$, $|x| \le 1$이다.
[증명]
식 (3.7)을 적분하고 피적분 함수는 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)로 전개해서 증명한다.
(2.4)여기서 이항 정리의 수렴 조건으로 인해 $t^2 < 1$ 혹은 $|x| < 1$이다. 또한 $x$ = $\pm 1$에서 식 (2.4)의 마지막식은 감소하는 교대 급수(alternating series)라서 수렴한다.
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탄젠트 역함수에 대한 무한 급수인 식 (2.3)은 그레고리의 급수(Gregory's series)라고 부른다. 그레고리의 급수는 수학자 그레고리James Gregory(1638–1675)가 1668년그레고리 30세, 조선 현종 시절에 발견했다. 이외에도 그레고리는 1663년에 발명한 최초의 반사 망원경인 그레고리 망원경(Gregorian telescope)으로도 유명하다. 식 (2.3)에 $x$ = $1$을 대입하면, 식 (2.3)의 우변은 $\pi/4$에 수렴한다.
[베르누이 수]
(2.5) (2.6) (2.7)여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.
[증명]
쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 테일러 급수를 이용해 식 (2.5)를 증명한다. 식 (1.7)을 바꾸면 $\tan x$ = $\cot x - 2 \cot(2x)$이다. 이 결과에 식 (2.5)를 넣어서 정리하면 식 (2.6)을 얻는다. 다음으로 식 (1.8)에서 $\csc (2x)$ = $(\tan x + \cot x)/2$을 만들어서 식 (2.5)와 (2.6)을 대입하면, 식 (2.7)이 유도된다.
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[표 2.1] 홀수번 탄젠트 수의 실제값, $T_{2m-1}$
| 탄젠트 수, $T_{2m-1}$ | 탄젠트 수의 자연수값 |
|---|---|
| $T_1$ | 1 |
| $T_3$ | 2 |
| $T_5$ | 16 |
| $T_7$ | 272 |
| $T_9$ | 7936 |
| $T_{11}$ | 353792 |
| $T_{13}$ | 22368256 |
| $T_{15}$ | 1903757312 |
| $T_{2m-1}$ |  |
| 생성 함수 | |
[탄젠트 수의 정의]
자주 쓰는 탄젠트 함수는 탄젠트 수(tangent number)를 정의해서 식 (2.6)에 유도한 무한 급수의 항을 간략화하기도 한다. 간단하게 보면, 탄젠트 함수를 직접 미분해서 테일러 급수를 얻고 다시 항별 비교를 통해 탄젠트 수를 계산할 수 있다. 하지만 $\tan x$의 고계 미분을 몇 번 하면 지쳐서 더 이상 진행하기 어렵다. 이때는 수학의 도움을 받아야 한다. 베르누이 수라는 좋은 도구가 있으므로, 베르누이 수를 바탕으로 탄젠트 함수에 있는 탄젠트 수를 만들어낸다. 탄젠트 수의 실제값은 [표 2.1]에 자세히 소개한다[1].
(2.8)여기서 $T_{2m}$ = $0$이다. 탄젠트 수의 정의식은 다음과 같다.
(2.9)여기서 짝수번 베르누이 수의 부호는 $(-1)^{m+1}$이다. 식 (2.9)에 의해 탄젠트 수는 항상 $0$이거나 양수이며, 절대 음수가 될 수 없다. 즉, 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)의 일종이다. 이에 반해 베르누이 수 $B_{2m}$은 부호가 바뀌는 정수열(整數列, integer sequence)이 된다.
[탄젠트 수의 성질]
(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.
(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.
(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.
(2.10)3. 미분(differentiation)
[기본 함수]
(3.1) (3.2a) (3.2b)
[증명]
미분 공식을 활용하여 식 (3.2a)를 증명한다.
(3.3)식 (3.2b)도 식 (3.3)과 거의 동일한 과정으로 유도된다.
______________________________
[역함수]
(3.4)
[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.
(3.5) (3.6) (3.7)[증명]
역함수의 미분 공식과 함께 식 (3.2)와 (1.9)를 사용한다.
(3.8)______________________________
4. 부정적분(indefinite integral)
[역함수]
(4.1)
여기서 $a > 0$, $C$는 적분 상수이다.
[증명]
식 (3.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.
(4.2)여기서 사인 역함수의 주치를 고려해 $-\pi/2 \le t \le \pi/2$이다.
______________________________
(4.3)[증명]
변수 치환과 식 (1.9), (3.2)를 이용해서 증명한다.
(4.4)______________________________
[삼각 함수 곱]
(4.5)[삼각 함수의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)]
(4.6)[증명]
식 (1.8)을 이용해서 $\csc(2x)$를 탄젠트와 코탄젠트 함수로 바꾼 후에 그대로 적분한다.
(4.7)______________________________
(4.8a) (4.8b)여기서 $|a| > |b|$이다.
[증명]
분모와 분자에 $a-b \cos x$를 곱한 후에 기본적인 적분 절차대로 진행하여 식 (4.8a)를 유도한다.
(4.9)그 다음에 식 (4.8b)는 변수를 $x$ = $t + \pi/2$로 치환해서 분모를 식 (4.8a)처럼 바꾸면 손쉽게 증명된다.
______________________________
(4.10)[증명]
어려워 보이지만 변수 치환만 제대로 하면 쉽게 결과가 나온다.
(4.11)여기서 $c$ = $\cos (ax)$, $s$ = $\sin (ax)$이다.
______________________________
식 (10)과 비슷한 식 (4.8a)를 쓸 수도 있지만, $a$ = $0$이 되면 식 (4.8a)는 복소수 연산을 도입해야 한다.
[지수 함수와 삼각 함수의 곱]
(4.12)[증명]
지수 함수가 피적분 함수로 있는 경우는 오일러의 공식(Euler's formula)으로 쉽게 증명한다.
(4.13)______________________________
식 (4.12)의 두 식을 더해서 매운 간단한 적분 공식을 추가적으로 얻는다.
(4.14)물론 식 (4.14)의 우변을 미분하거나 좌변의 첫째 항[= $ae^{ax} \sin (bx)$ = $(e^{ax})' \sin (bx)$]에 부분 적분을 사용해서 결과를 유도할 수도 있다.
[푸리에 급수(Fourier series)]
(4.15a) (4.15b)여기서 정수 $m$은 $m \ge 1$이다.
[증명]
등비 급수의 합 공식을 써서 식 (4.15a)의 분자를 변형한다.
(4.16)식 (4.15b)의 증명에는 식 (4.15a)를 이용한다. 분모를 사인 함수로 바꾸고 $t$ = $x+1$로 치환해서 마지막식을 정리한다.
______________________________
식 (4.15)에서 $m < 0$인 경우는 식 (4.15)의 결과에 켤레 복소수를 적용한다. 만약 $m$ = $0$이라면 식 (4.15)에서 유한 급수만 제거하면 된다.
5. 정적분(definite integral)
[삼각 함수 곱]
(5.1)여기서 $a_m$ = $m \pi \mathbin{/} (2a)$, $\delta_{}ml$은 크로네커 델타(Kronecker delta), $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$은 노이만 수(Neumann number)이다.
(5.2)[거듭제곱]
(5.3)[증명]
식 (5.3)은 베타 함수(beta function)의 적분 표현식으로 유도한다.
______________________________
베타 함수 $B(x, y)$는 감마 함수(gamma function) $\Gamma(x)$의 곱과 나누기로 표현되는 특수 함수이다.
[증명]
식 (5.4)에서 $u$ = $\log(x/a) \mathbin{/} \log(b/a)$로 변수 치환해서 적분한다.
______________________________
[삼각 함수의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)]
(5.5)여기서 $a > 0$, $|a| > |b|$이다.
[증명]
식 (5.5)의 부정적분 결과인 식 (4.8a)에는 $x$ = $\pi/2$에서 불연속인 탄젠트 함수가 있어서 적분 구간을 분리해서 계산한다.
(4.6)______________________________
식 (5.5)는 특이하게도 르장드르 함수(Legendre function)를 정의하기 위해 사용한다.
6. 이상 적분(improper integral)
[로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)]
(6.1)여기서 $\sigma > 0$이다.
[증명]
(6.2)식 (6.2)의 적분 구간을 바꾸어서 식 (6.1)을 얻는다.
______________________________
7. 부등식(inequality)
[조르당의 부등식(Jordan's inequality): 사인 함수와 각도]
(7.1)여기서 $0 \le x \le \pi/2$이다.
[증명]
함수 $f(x)$ = $\sin x - 2 x / \pi$를 새롭게 정의한다. 이 함수는 구간의 양끝에서 $f(0)$ = $f(\pi/2)$ = $0$을 만족한다. 함수의 미분은 $df(x)/dx$ = $\cos x - 2 / \pi$이다. 따라서 $f(x)$는 ↗↘과 같은 모양이다. 비슷하게 $g(x)$ = $x - \sin x$라 놓고 미분하면 $dg(x)/dx$ = $1 - \cos x$이다. 따라서 $g(x)$는 $g(0)$ = $0$부터 항상 증가하는 음이 아닌 함수이다. 그래서 식 (7.1)이 항상 성립한다.
______________________________
[삼각 함수 제곱의 최대와 최소]
(7.2)[증명]
삼각 함수를 다음처럼 변형해서 식 (7.2)의 첫째식을 유도한다.
(7.3)______________________________
식 (7.2)에 의해 삼각 함수 제곱의 최대와 최소는 두 삼각 함수의 위상이 0˚ 혹은 90˚를 기준으로 동일하게 벌어질 때 생긴다.
[코사인 함수와 2배각]
(7.4)[증명]
코사인 함수를 제곱한 후, 다음처럼 정리해서 증명한다.
(7.5)______________________________
[거듭제곱]
(7.6)여기서 $\nu \ge 0$이다.
[증명]
적분 구간을 분리해서 $\cos x$가 $0$보다 크거나 같도록 바꾼다.
(7.7)______________________________
[참고문헌]
[1] N. J. A. Sloane, "A000182: tangent (or "zag") numbers," The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (방문일 2022-06-11)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8a)
(8b)
(8c)
(9a)
(9b)
(9c)