[경고] 아래 글을 읽지 않고 "버금 르장드르 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
르장드르 함수(Legendre function) $P_n(x)$의 일반화인
버금 르장드르 함수(associated Legendre function) $P_n^m(x)$는
차수(次數, degree) $n$과 계수(階數, order) 혹은 계층수
(階層數) $m$을 가지고 있다. 버금 르장드르 함수에서 $m$ = $0$으로 대입한 아주 특별한 경우가 르장드르 함수이다. 버금 르장드르 함수는 $m$까지 변화해서 함수를 생성하기 때문에, 함수값을 계산하기도 수학식에서 다루기도 더 어렵고 복잡하다. 버금 르장드르 함수가 만족하는 미분 방정식은
르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)으로 부른다.
(1a)
(1b)
(2)
여기서 $m, n$은 정수이다. 식 (1)과 (2)의 해는 각각 $P_n^m(x)$와 $P_n^m(\cos \theta)$로 나타낸다.
(3)
리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function) 혹은 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)와 복소 지수 함수
(complex exponential function)를 이어주는 접착제 역할에 뽑힌 함수가 바로 버금 르장드르 함수이다. 버금 르장드르 함수는 $\theta$축을 다루는 기본 함수일 뿐만 아니라 $r, \phi$축의 변화를 연결해주는 속성도 가지고 있다. 이런 특성으로 인해 버금 르장드르 함수를 제대로 이해해야 구 좌표계 문제를 정상적으로 해결할 수 있다. 버금 르장드르 함수 $P_n^m (x)$의 차수와 계수는
$\phi$방향으로 $2 \pi$ 주기를 가지게 하고
$\theta$의 모든 정의역에서 $P_n^m (x)$가 유한하도록 만들기 위해 $m,n$을 정수로 제한한다. 하지만 $\phi$방향 주기 조건과 $\theta$에서 유한성을 버리면, 차수와 계수는 모두 실수 혹은 복소수가 될 수 있어서 $P_n^m (x)$ 대신 $P_\nu^\mu (x)$를 사용한다. 여기서 차수와 계수 $\nu, \mu$는 실수와 복소수 범위에 있다.
1. 기본(basics)
[정의] 
(1.1a)
(1.1b)
여기서 $P_n(x)$는
르장드르 함수(Legendre function)이다.
[음의 차수와 계수]
(1.2)
(1.3)
[증명]르장드르 함수 $P_n(x)$에 대한
음의 차수 공식에 넣어서 식 (1.2)를 증명한다. 식 (1.3)을 밝히기 위해, 식 (1.3)의 우변에 식 (2.1)을 넣고
일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용해서 정리한다.
(1.4)
(1.5)
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식 (1.4)로 인해 버금 르장드르 함수의 정의인 식 (2.1)에는 보기 싫은 항인 $(-1)^m (1 - x^2)^{m/2}$가 필연적으로 출현한다.
[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)] 
(1.6)
[증명]식 (2.1)에 따라 $-x$에 대한 미분은 $\frac{d^{n+m}}{d(-x)^{n+m}} [(-x)^2 - 1]^n$ = $(-1)^{n+m} \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}} (x^2 - 1)^n$이 되어서 식 (1.6)이 유도된다.
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[차수와 계수의 관계]
(1.7)
여기서 $m \ge 0$이다.
[증명]
만약 $n+m > 2n$이라면, 식 (2.1)에 의해 미분한 값은 반드시 0이 된다.
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만약 $m < 0$인 경우는 식 (1.3)을 적용해서 계산한다. 그러면 $-m > n$인 조건도 $P_n^m(x)$를 0으로 만든다. 따라서 $|m| > n$인 $P_n^m(x)$는 항상 0이다.
(1.8a)
(1.8b)
[증명]
식 (1.8a)를 증명하기 위해, 식 (2.1)에 $n$ = $m$을 대입한 후에 $2^m m!$ = $(2m)!!$, $\frac{d^{2m}}{dx^{2m}} x^{2m}$ = $(2m)!$로 놓고 정리한다.
식 (1.8b)에 식 (1.3)을 적용해서 식 (1.8a)로 바꾸면, 식 (1.8b)의 우변이 그대로 유도된다.
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2. 함수 표현식(function representation)
[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]
(2.1)
[증명]르장드르 함수 $P_n(x)$에 대한
로드리그의 공식(Rodrigues' formula)을 식 (1.1a)에 대입한다.
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[생성 함수(generating function)]
(2.2)
여기서 $|t| < 1$, $(\cdot)!!$은
이중 계승(double factorial)이다.
[증명]
먼저 르장드르 함수 $P_n(x)$의
생성 함수를 $x$에 대해 $m$번 미분한다.
(2.3)
(2.4)
식 (2.3)의 우변도 동일하게 미분을 하고 식 (2.4)의 결과를 식 (2.3)의 좌변에 넣는다.
(2.5)
여기서 식 (1.7)에 의해 $P_0^m (x)$ = $P_1^m (x)$ = $\cdots$ = $P_{m-1}^m (x)$ = $0$이다.
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식 (2.2)에 식 (1.8)을 넣어서 버금 르장드르 함수의 생성 함수를 더욱 간략화할 수 있다.
(2.6)
식 (2.6)은 $P_{k+m}^m(x)$의 특성을 $P_m^m(x)$와 연결시킬 때에 매우 편리하게 사용된다.
3. 재귀 관계(recurrence relation)
버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 주로 르장드르 함수에서 얻는 재귀 관계를 재활용해서 유도한다.
[단순한 재귀 관계]
(3.1)
(3.2)
식 (3.2)를 $m$번 미분하고 $(-1)^m (1-x^2)^{m/2}$을 곱해서 계수 $m$을 가진 버금 르장드르 함수를 만들면 식 (3.1)이 바로 유도된다.
(3.3)
(3.4)
식 (3.4)의 첫째식에서 둘째식으로 넘어갈 때는 식 (3.5)가 필요하다.
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[$\sqrt{1-x^2}$을 가진 재귀 관계]
(3.5)
[증명]
(3.6)
(3.7) ______________________________
4. 특정값(specific value)과 극한(limit)
(4.1a)
(4.1b)
[증명]식 (1.1a)를 써서 간편하게 식 (4.1)을 얻는다.
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(4.2)
[증명]식 (2.2)에 $x$ = $0$을 대입하고
뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 적용한다.
(4.3)
식 (4.3)의 무한 급수와 식 (2.2)의 우변을 비교해서 $P_{k+m}^m(0)$ = $P_{2l+m}^m(0)$이 가지는 값을 결정한다.
(4.4)
여기서 $k$ = $2l$이다. 식 (4.4)에서 $n$ = $2l + m$ 혹은 $l$ = $(n-m)/2$이라 두면, $2l$이 짝수라서 $n+m$도 항상 짝수가 된다. 그래서 $n+m$인 경우에만 함수값이 식 (4.2)의 첫째식과 같이 주어진다.
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(4.5)
[증명]값 $x$ = $\pm 1$을 넣고
뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 써서 식 (2.6)에 나온 분모를 무한 급수로 바꾼다.
(4.6)
식 (4.6)에 $n$ = $k+m$ 혹은 $k$ = $n-m$과 식 (1.8)을 대입한 후, 식 (2.6)과 항별로 비교해서 식 (4.5)의 우변을 얻는다.
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(4.7)
[증명] [3]
먼저 $m \ge 0$, $x$ = $\cos \theta$이라 놓고 식 (4.5)를 변형해서 식 (4.7)의 첫째식을 얻는다. 반대로 $m < 0$인 경우는 식 (1.3)을 써서 계수를 0보다 크게 만든다. 그러면 식 (4.5)를 다시 쓸 수 있어서 식 (4.7)의 둘째식도 증명된다.
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5. 정적분(definite integral)
[버금 르장드르 함수의 직교성(orthogonality of associated Legendre function)] [1]
(5.1)
여기서 $\delta_{nl}$은
크로네커 델타(Kronecker delta)이다.
[증명]르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)은 $q(x)$ = $m^2 \mathbin{/} (x^2 - 1)$, $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $n(n+1)$을 가진
스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)이므로, 고유 함수 $P_n^m(x)$는 서로 직교해서 $n \ne l$이라면 적분이 항상 0이 된다. 그래서 $n$ = $l$라고 한정하고 식 (2.1)을 식 (5.1)에 대입한 후에,
르장드르 함수의 직교성처럼
부분 적분(integration by parts)으로 답을 구한다.
(5.2)
여기서 부분 적분에 나오는 적분이 없는 항
[$\int f'g\,dx$ = $fg - \int fg',dx$에서 $fg$]은 항상 0이다.
[∵ 점 $x$ = $\pm 1$에서 $X^n X^m$은 영점을 $n+m$개 가지고 있고, 부분 적분으로 인해 미분은 $n+m-1$번을 하기 때문이다.] 식 (5.2)의 마지막식에
일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용하고 계산한다.
(5.3) 여기서 $n+m+k \le 2n$과 $n+m-k \le 2m$을 동시에 만족하는 값은 $k$ = $n-m$이 유일하다. 식 (5.3)을 식 (5.2)에 다시 넣고 베타 함수(beta function)를 써서 최종 유도를 완성한다.
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(5.7) 여기서 $m \ne 0$, 만약 $m$ = $k$ = $0$이면 적분값이 발산한다.
[증명] [2]
르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)을
스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)으로 바꿀 때, 식 (5.1)의 증명과는 다르게 $q(x)$ = $-n(n+1)$, $r(x)$ = $1 \mathbin{/} (1-x^2)$, $\lambda$ = $-m^2$로 둔다. 다만 $r(x)$가 $x$ = $\pm 1$ 근방에서 발산하므로 $\lim_{x \to \pm 1} r(x) P_n^m(x)$는 유한해야 한다. 이에 따라 고유 함수 $P_n^m(x)$의 직교성을 이용해 $m \ne k$인 적분은 0이 됨을 쉽게 밝힐 수 있다. 반면에 계수가 $m$ = $k$인 경우는 식 (5.2)와 비슷한 연산을 되풀이한다.
(5.8) 다만 식 (5.2)와 다르게 부분 적분에서 적분이 없는 항이 사라지지 않는 경우가 발생한다. 왜냐하면 $X^n$과 $X^{m-1}$을 각각 $n$번 및 $m-1$번 미분함으로 인해 $x$ = $\pm 1$에서 $X$의 영점이 사라지기 때문이다. 식 (5.8)의 마지막 적분은
일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)으로 처리한다.
(5.9)
여기서 $k$는 $n+m+k \le 2n$과 $n+m-k \le 2m -2$를 동시에 만족할 수 없어서 적분이 0으로 나온다. 따라서 $x$ = $1$과 $-1$에서 함수값을 구하면 식 (5.7)의 적분이 유도된다. 먼저 식 (5.8)의 마지막식에 $x$ = $1$를 넣어서 항별로 계산한다.
(5.10)
(5.11)
점 $x$ = $-1$의 함수값은 식 (5.11)과 크기는 같고 부호만 바뀌므로, 식 (5.11)을 두 배한 값을 식
(5.8)의 마지막식에 넣어서 최종적으로 식 (5.7)을 증명한다.______________________________
[다음 읽을거리]
(1)
(5.4)
(5.6)