2022년 7월 17일 일요일

프레넬 방정식(Fresnel Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프레넬 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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(a) 이중 틈에 의한 간섭 무늬

 
(b) 이중 틈의 구조
[그림 1] 영의 이중 틈 실험(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 평면파가 만드는 이중 틈의 간섭 특성(출처: wikipedia.org)

백년 이상 지속된 빛의 입자론(wave theory)과 미립자론(corpuscular theory)의 경쟁에서, 빛이 파동이라는 증명을 확실히 한 결과는 1802년영 29세, 조선 순조 시절에 영Thomas Young(1773–1829)이 수행했던 이중 틈 실험(double-slit experiment) 혹은 영의 실험(Young's experiment)이다[1]. 이중 틈의 간섭 무늬와 자세한 구조는 [그림 1, 2]에 있다. 긴 틈의 너비 $a$가 파장 $\lambda_0$에 비해 매우 좁은 경우[$a \ll \lambda_0$]는 점 전원(point source)으로 간주할 수 있다. 동위상을 가진 두 점 전원이 원역장(遠域場, far field)에서 만드는 전체 전기장 $E_\text{tot}(x, y)$는 다음과 같은 비례 관계를 가진다.

                  (1)

여기서 $k_0$는 진공중의 파수(wavenumber), $\rho_1$ = $\sqrt{x^2 + (y-d/2)^2}$, $\rho_2$ = $\sqrt{x^2 + (y+d/2)^2}$이다. 원역장 조건(far-field condition)으로 인해 식 (1)은 다시 간략화된다.

                  (2)

여기서 $\sin \theta$ = $y/\rho$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$이다. 전자파 원천에서 복사되는 단위 입체각당 복사 선속 혹은 전력(radiant flux or power)을 나타내는 복사 세기(radiant intensity) $I_e(\theta)$는 포인팅 벡터(Poynting vector)로 계산한다.[$I_e(\theta)$의 $e$는 에너지를 의미] 그래서 식 (2)에 의해 복사 세기는 $\theta$의 함수가 된다.

                  (3)

복사 세기가 가장 강해지는 각도 $\theta$는 $\pi d \sin \theta / \lambda_0$ = $n \pi$를 만족해야 하므로, 보강 간섭(constructive interference) 조건은 다음처럼 얻어진다.

                  (4)

여기서 $n$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots$이다. 따라서 이중 틈 실험이 잘 되려면, $d > a$인 조건에서 긴 틈의 너비 $a$와 이중 틈의 간격 $d$를 최대한 좁혀야 한다.
긴 틈의 너비 $a$가 파장 $\lambda_0$에 비해 무시할 수 없는 크기를 가진 경우는 틈에 유기되는 전기장의 위상을 모두 고려해야 한다. 쉽게 접근하기 위해 이중 틈이 아니고 $y$ = $0$에 위치한 단일 틈이 복사하는 전기장을 고려한다. 넓은 너비를 가진 긴 틈의 내부에서는 전기장의 위상이 변하기 때문에, 위상을 포함한 적분을 새롭게 정의한다. 다음 단계로 틈의 내부에 생기는 미소 점 전원의 기여에 의한 전기장의 복사 패턴 $P_0(x, y)$를 계산한다.

                  (5)

여기서 $R$ = $\sqrt{x^2 + (y-y')^2}$, $\operatorname{Sa}(\cdot)$는 표본화 함수(sampling function), 미소 점 전원의 크기는 $a \ll \lambda_0$인 조건에서 $1$이 되도록 $dy' \mathbin{/} a$로 선택한다. 식 (5)에서 $a \ll \lambda_0$로 둔 경우, 복사 패턴(radiation pattern) $P_0(x, y)$는 식 (1)에 나온 $e^{i k_0 \rho}$에 수렴한다. 따라서 전체 전기장과 복사 세기는 $\theta$에 대해 다음 비례 관계를 가진다.

                  (6)

[그림 1(b)]처럼 이중 틈에서 회절된 빛을 균일 평면파로 가정함으로써 원역장에서 간편하게 산란 특성을 계산하는 기법은 프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)이라 불린다. 식 (5)는 잘 알려진 푸리에 변환(Fourier transform) 공식이라서, 프라운호퍼 회절에 따르면 원역장의 전자장은 근역장 분포의 푸리에 변환과 동일하다. 그래서 [그림 1]과 같은 1차원이 아닌 2차원 모양[사각형, 원형 등]으로 틈이 구성되더라도 2차원 푸리에 변환을 적용해 원역장을 쉽게 공식화할 수 있다. 프라운호퍼 근사를 사용하여 산란이나 회절 특성을 도출한 결과물은 프라운호퍼 회절 적분(Fraunhofer diffraction integral)으로 명한다. 식 (3)과 (6)은 이중 틈을 조건으로 유도한 프라운호퍼 회절 적분이다.
이중 틈 실험은 빛의 파동론을 지지하는 강력한 증거이지만, 과학 역사상 최고 천재인 뉴턴이 주장했던 빛의 미립자론을 붕괴시키기에는 조금 부족한 점이 있었다. 빛의 미립자론을 무덤에 확실히 매장한 과학자는 프레넬Augustin-Jean Fresnel(1788–1827)이다. 빛이 횡파(橫波, transverse wave) 혹은 가로파라는 조건과 편파(偏波, polarization) 개념을 도입해서, 프레넬은 경계면에서 빛의 반사와 투과를 지배하는 프레넬 방정식(Fresnel equation)을 1821년프레넬 33세, 조선 순조 시절에 제안했다[2].

[그림 3] 경계면에서 반사 및 투과하는 전자파

[그림 4] 공기에서 유리로 갈 때의 반사율과 투과율(출처: wikipedia.org)

[그림 5] 유리에서 공기로 갈 때의 반사 및 투과 계수(출처: wikipedia.org)

프레넬은 어렵게 유도했지만, 이제는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용해서 엄밀하게 프레넬 방정식을 증명할 수 있다. 프레넬 방정식의 공식화를 위해서는 전자파의 편파를 정의해야 한다. 경계면을 기준으로 가로 방향[혹은 경계면에 평행인 방향]전기장(electric field)만 있는 파동은 TE(電氣, 횡전기 혹은 가로 전기, Transverse Electric)파라고 한다. TE파는 경계면[그림 3에서 $zx$평면]에만 전기장이 있고, 경계면에 수직 방향[그림 3에서 $y$방향]으로는 전기장이 없는 파동이다. 다른 측면으로 TE파의 자기장(magnetic field)은 경계면에 관계없이 아무 방향이나 존재할 수 있다. 즉, TE파는 경계면과 전기장에 집중해서 파동을 구분한다. TE파와 비슷하지만 차별화되는 TM(氣, 횡자기 혹은 가로 자기, Transverse Magnetic)파도 있다. TM파는 모든 자기장이 경계면을 이루는 평면[그림 3에서 $zx$평면]에 존재하고, 수직 방향[그림 3에서 $y$방향]으로는 자기장이 $0$이다. 전기장은 경계면을 고려하지 않고 마음대로 위치할 수 있다. 또한 입사파, 반사파, 투과파가 모두 존재하는 영역은 입사 평면(plane of incidence)이라 한다. [그림 3]에서는 모든 파동이 존재하는 $xy$평면이 입사 평면이다. 편파는 전기장으로 판별하므로, 입사 평면에 전기장이 수직인 편파는 직각 편파 혹은 수직 편파(perpendicular polarization)가 된다. 전기장이 입사 평면에 평행하게 있는 경우는 평행 편파(parallel polarization)라 부른다. 혹은 독일어 전통에 따라 직각 편파는 S편광(偏光), 평행 편파는 P편광으로 작명하기도 한다.[독일어로 senkrecht(젠크레히트)는 수직의, parallel(파라렐)은 평행의를 의미한다.] 복잡해서 다시 정리하면, TE파는 직각 편파 혹은 S편광, TM파는 평행 편파 혹은 P편광과 등가이다. TE파와 TM파의 특별한 경우로 TEM(氣, 횡전자기 혹은 가로 전자기, Transverse ElectroMagnetic)파도 있다. [그림 3]에서 $\theta_i$ = $0^\circ$이 되면, 경계면에 평행으로[혹은 가로 방향으로] 전기장과 자기장이 동시에 존재하고 수직 방향으로는 전자기장이 없는 매우 간단한 TEM파가 된다. 또한 $\theta_i$ = $0^\circ$인 TE파와 TM파는 서로 다른 편파가 아니고 TEM파로 동일한 특성을 가진다.
매질 상수인 $\mu, \epsilon$은 일반적으로 복소수이기 때문에, 광학에서 쓰는 굴절률(屈折率, refractive index) $n$ = $\sqrt{\epsilon / \epsilon_0}$은 복소수로 확장되어서 프레넬 방정식에 적용되어야 한다.

                  (7)

여기서 $\epsilon_c$는 전도성 매질의 유전율, $\sigma$는 매질의 전기 전도도(electric conductivity)이다. 식 (7)처럼 복소수인 굴절률 $n_c$는 복소 굴절률(complex refractive index)이라 한다. 대기 중의 전자파 전파를 다룰 때는 굴절률 $n$을 변형한 굴절도(屈折度, refractivity) $N$을 주로 사용한다. 공기로 인해 대기 굴절률은 진공 중의 굴절률인 1보다 약간 큰 1.0003 정도이다. 이 값은 1과 너무 비슷해서 값을 더 크게 표현할 필요가 있다. 그래서 진공 중의 굴절률보다 현재 매질의 굴절률이 얼마나 큰지를 상대적으로 표현하기 위해 굴절도 $N$을 다음처럼 도입한다.

                  (8)

식 (8)을 써서 대기의 특성은 굴절률 $n$ = $1.0003$ 대신 $N$ = $300$으로 더 보기 좋게 나타낼 수 있다. 굴절도 $N$은 특히 대기 굴절률의 시간 및 공간적 변화를 정밀하게 묘사한다.


   1. TE파, 직각 편파, S편광   

균일 평면파인 입사 전자기장 $\bar E_z^i(x, y)$와 $\bar H_{x, y}^i(x, y)$를 [그림 3]의 경계면에 평행 혹은 입사 평면에 수직이 되도록 정의한다.

                  (1.1)

여기서 $\bar k_i$ = $k_{ix} \hat x - k_{iy} \hat y$, $\bar \rho$ = $x \hat x + y \hat y$, $k_{ix}$ = $k_1 \sin \theta_i$, $k_{iy}$ = $k_1 \cos \theta_i$, $k_1$ = $\omega \sqrt{\mu_1 \epsilon_1}$이다. 비슷한 방식으로 반사 및 투과 전자기장도 공식화한다.

                  (1.2)

                  (1.3)

여기서 $\bar k_r$ = $k_{rx} \hat x + k_{ry} \hat y$, $k_{rx}$ = $k_1 \sin \theta_r$, $k_{ry}$ = $k_1 \cos \theta_r$, $\bar k_t$ = $k_{tx} \hat x - k_{ty} \hat y$, $k_{tx}$ = $k_2 \sin \theta_t$, $k_{ty}$ = $k_2 \cos \theta_t$, $k_2$ = $\omega \sqrt{\mu_2 \epsilon_2}$, $r_s$와 $t_s$는 각각 반사 계수(reflection coefficient)투과 계수(transmission coefficient)이다. 반사 및 투과 계수는 각각 경계면에서 반사 및 경계면으로 투과되는 전기장의 비율이다. 전자기장의 경계 조건(boundary conditions)를 적용해서 경계면인 $y$ = $0$에서 전기장과 자기장의 접선 성분(tangential components)을 연속으로 만든다.

                  (1.4)

                  (1.5)

여기서 매질의 특성인 고유 임피던스(intrinsic impedance)는 각각 $\eta_1$ = $\sqrt{\mu_1 / \epsilon_1}$, $\eta_2$ = $\sqrt{\mu_2 / \epsilon_2}$이다. 식 (1.4)와 (1.5)는 $x$에 관계없이 모든 점에서 성립해야 한다. 그래서 직관적으로 $k_{ix}$ = $k_{rx}$ = $k_{tx}$인 위상 정합 조건(phase-matching condition)을 도입한다. 위상 정합 조건은 빛의 반사와 굴절 법칙을 그대로 유도한다.

                  (1.6)

식 (1.6)을 식 (1.4)와 (1.5)에 대입해서 $r_s, t_s$에 대해 다시 정리한다.

                  (1.7)

                  (1.8)

여기서 접선 파동 임피던스(tangential wave impedance)는 각각 $Z_1$ = $\eta_1 \mathbin{/} \cos \theta_i$, $Z_2$ = $\eta_2 \mathbin{/} \cos \theta_t$이다. 입사각이 $\theta_i$ = $0^\circ$로 바뀌어 TE파가 TEM파로 되면, 접선 파동 임피던스는 매질의 고유 임피던스인 $Z_1$ = $\eta_1$, $Z_2$ = $\eta_2$로 간단해진다. 식 (1.6)에서 가정한 위상 정합 조건은 논란의 여지가 약간 있다. 빛의 반사와 굴절 법칙을 아는 상태에서 답을 꿰맞춘 방식이라 정상적이고 공정한 유도 과정일까? 답을 예상해 문제를 푼 후 답을 다시 확인하는 기법은 전자파 분야에서 용납되는 엄밀한 방법론이다. 왜냐하면 유일성 정리(uniqueness theorem)가 있기 때문에, 어떤 방식으로 답을 향해가든지 답은 딱 하나라서 답을 가정해 답을 맞추는 방식도 너그럽게 인정된다.
[그림 3]에서 진공중을 전파하는 전자파가 유전체에 입사할 때, 매질1은 $\mu_1$ = $\mu_0$와 $\epsilon_1$ = $\epsilon_0$이고, 매질2는 $\mu_2$ = $\mu_0$와 $\epsilon_2$ = $\epsilon_r \epsilon_0$ = $n^2 \epsilon_0$이라고 가정한다. 이 경우 반사 계수 $r_s$는 다음과 같다.

                  (1.9)

여기서 $\epsilon_r$은 유전 상수(dielectric constant), $n$은 굴절률(refractive index)이다. 식 (1.9)에 의해 유전체로 입사하는 TE파는 입사각 $\theta_i$에 관계없이 항상 반사가 생긴다. 반대로 유전체인 매질2에서 진공인 매질1로[혹은 빽빽한 매질에서 성긴 매질로] 진행하는 전자파는 식 (1.6)에 유도한 스넬의 법칙(Snell's law)에 문제가 생겨서[혹은 투과각 $\theta_t$가 복소수로 바뀌어서] 특정 입사각 $\theta_i$ 이상에서는 필연적으로 전체 내부 반사 혹은 전반사(全反射, total internal reflection)를 만든다. 굴절률이 큰 매질[= $n_1$]에서 작은 매질[= $n_2$]로 전자파가 이동할 때[$n_1 > n_2$], 전체 내부 반사가 생기기 시작하는 입사각은 임계각(critical angle) $\theta_c$라 한다.

                  (1.10)

여기서 $n_1 > n_2$이다. 예를 들어, [그림 5]와 같이 유리에서 공기로 갈 때 전체 내부 반사가 일어나는 임계각은 $\theta_c$ = $\sin^{-1} (1/1.5)$ $\approx$ $41.81^\circ$이다. 즉, $41.81^\circ$보다 $\theta_i$가 커지면, 전자파는 절대 유리를 빠져나올 수 없다.
반사 및 투과 계수를 전력 혹은 전력 밀도 관점으로 표현한 양은 각각 반사율(reflectance) $R_s$ 및 투과율(transmittance) $T_s$이다. 예를 들어, [그림 4]는 유리에 의해 반사 및 투과되는 전력을 반사율과 투과율로 보여준다. TE파의 반사율 $R_s$는 식 (1.8)의 첫째식을 제곱해서 구한다.

                  (1.11)

투과율 정의에는 고민이 조금 필요하다. 매질1과 매질2의 접선 파동 임피던스가 다르므로, 각 매질에 생기는 전력을 구할 때는 서로 다른 접선 파동 임피던스를 써야 한다. 

                  (1.12)

여기서 무손실을 위해 $Z_1, Z_2$는 실수로 생각한다. 식 (1.11)과 (1.12)에 있는 반사율과 투과율을 더해서 전력 보존도 확인한다.

                  (1.13)

매질이 무손실이니까 당연하게도 식 (1.13)처럼 프레넬 방정식은 전력 보존 법칙(conservation of power)을 만족한다.
자성이 없는[$\mu_1$ = $\mu_2$ = $\mu_0$] 유전체에 대한 TE파의 반사 계수는 매우 간단해질 수 있다. 매질1에서 전자파가 입력된다고 가정한다.

                  (1.14)

사인 함수로 정리되어 매우 간략화된 식 (1.14)는 프레넬의 사인 법칙(Fresnel's sine law)이라 부른다. 프레넬의 사인 법칙은 TE파에만 성립한다. 투과각 $\theta_t$를 쓰지 않고 입사각 $\theta_i$와 유전 상수 $\epsilon_r$만 써서 식 (1.9)를 다시 쓴다.

                  (1.15)

여기서 $\epsilon_r$은 복소 유전 상수(complex dielectric constant)일 수 있다. 식 (1.15)를 사용하면 입사 영역의 정보만 가지고도 반사 계수 $r_s$를 매우 쉽게 계산할 수 있다.


   2. TM파, 평행 편파, P편광   

식 (1.1)–(1.3)에 제시한 TE파와 유사한 방식으로 입사, 반사, 투과 전자기장을 각각 표현한다.

                  (2.1)

                  (2.2)

                  (2.3)

두 영역의 경계면인 $y$ = $0$에서 접선 자기장 $H_z(x, 0)$와 접선 전기장 $E_x(x, 0)$의 연속 조건과 위상 정합 조건을 적용한다.

                  (2.4)

                  (2.5)

여기서 접선 파동 어드미턴스(tangential wave admittance)는 각각 $Y_1$ = $1 \mathbin{/} (\eta_1 \cos \theta_i)$, $Y_2$ = $1 \mathbin{/} (\eta_2 \cos \theta_t)$이다. 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 알면, 식 (1.8)로부터 식 (2.5)를 다음처럼 쉽게 만들 수 있다.

                  (2.6)

여기서 $E \to H$, $\mu \leftrightarrow \epsilon$, $\eta \leftrightarrow 1/\eta$로 바꾼다. 진공에서 유전체로 전파되는 전자파의 반사 계수 $r_p$는 식 (1.9)와 비슷하게 얻어진다.

                  (2.7)

TE파와 다르게 TM파는 반사 계수가 $0$인 입사각인 브루스터 각(Brewster's angle) $\theta_B$가 존재한다. 브루스터 각은 프레넬 방정식이 나오기 6년전인 1815년브루스터 34세, 조선 순조 시절에 브루스터David Brewster(1781–1868)가 실험적으로 발견했다[3]. 식 (2.7)을 이용하면 브루스터 각은 $\sin \theta_B$ = $\sqrt{\epsilon_r \mathbin{/}(\epsilon_r +1)}$, $\cos \theta_B$ = $ 1 \mathbin{/} \sqrt{\epsilon_r +1}$이다. 유전 상수로 기술한 브루스터 각 $\theta_B$를 각 매질의 굴절률로 다시 쓰면 다음과 같다.

                  (2.7)

여기서 $n_1$과 $n_2$는 각각 매질1과 매질2의 굴절률, 전자파는 매질1에서 입력된다. 예를 들어, 유리를 향해 쏜 TM파의 브루스터 각은 $\theta_B$ = $\tan^{-1} 1.5$ $\approx$ $56.31^\circ$이다. TM파에서 전체 내부 반사가 일어나는 조건은 TE파와 동일하게 식 (1.10)으로 구한다. 또한 TM파의 반사율 $R_p$와 투과율 $T_p$는 다음처럼 공식화한다.

                  (2.8)

                  (2.9)

                  (2.10)

[그림 2.1] 브루스터 각의 물리적 이해(출처: wikipedia.org)

TE파에는 없는 개념인 브루스터 각이 TM파에만 생기는 이유는 무엇인가? 브루스터 각은 유전체를 구성하는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)를 보여준다. 유전체로 투과된 전기장[그림 2.1에서 화살표 ↔]은 유전체 내부에 수없이 존재하는 전기 쌍극자 모멘트를 진동시켜서 강제로 분극(polarization)을 만든다. 전기장이 만든 분극은 사실 매우 작은 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)로 작용한다. 전기장이 흘리는 분극 전류(polarization current)에 의해 헤르츠 다이폴은 전자파를 복사한다. 다만 전기장이 분극을 만드는 방향을 제외한 곳으로만 전자파가 복사된다. 즉, 투과한 전기장 방향으로는 전자파가 전혀 생기지 않아서 그 방향으로는 반사가 자동적으로 없다. [그림 2.1]에 보인 브루스터 각 $\theta_B$와 투과각 $\theta_t$가 가지는 직각 관계를 스넬의 법칙에 대입해서 식 (2.7)을 보다 쉽게 유도한다.

                  (2.11)

식 (2.11)로 인해 유전체 내부에 존재하지만 볼 수 없는 전기 쌍극자 모멘트의 실재와 복사 특성을 세련되게 예상할 수 있다.
식 (1.14)처럼 자성 없는 조건으로 유전체에서 생기는 TM파의 반사 계수를 간단히 표현한다.

                  (2.12)

여기서 매질1에서 전자파가 입사한다. 식 (2.12)에는 탄젠트 함수가 등장해서 프레넬의 탄젠트 법칙(Fresnel's tangent law)이라 이름 붙인다. 식 (1.15)처럼 입사각 $\theta_i$와 유전 상수 $\epsilon_r$만을 써서 $r_p$를 다시 표현한다.

                  (2.13)

여기서 $\epsilon_r$은 복소수일 수 있다.


   3. TE파와 TM파   

입사 전자파를 TE파와 TM파로 완전히 분리해서 고려하기는 번거로워서 TE파와 TM파의 반사 계수를 하나로 합친 다이애드 반사 계수(dyadic reflection coefficient) $\bar{\bar{r}}$도 빈번하게 사용된다. 다이애드 반사 계수는 입사 전기장의 편파에 관계없이 반사 전기장을 정확하면서 쉽게 계산할 수 있게 한다. 다이애드 반사 계수를 정의하기 위해, 기하 광학(geometrical optics, GO)에서 사용하는 광선(ray) 중심의 좌표계인 광선 고정 좌표계(ray-fixed coordinate system)부터 고려한다[4]. [그림 3.1]에 보인 광선 고정 좌표계의 두 기저 벡터(basis vector)는 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^i$ 혹은 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^r$이다.

[그림 3.1] 표면에 대한 광선 고정 좌표계의 기저 벡터, $\hat e_\perp$와 $\hat e_\parallel$

광선 고정 좌표계의 기저 벡터는 두 종류의 평면을 생성한다. 하나는 송신 광선(Tx ray) 혹은 입사 광선(incident ray) $\hat T$와 표면의 법선 벡터 $\hat n$이 이루는 입사 평면이며, 나머지 하나는 반사 광선(reflection ray) $\hat R$과 $\hat n$이 만드는 반사 평면(plane of reflection)이다. 입사파와 반사파는 같은 평면에 있으므로 입사와 반사 평면은 동일하지만, 입사와 반사 평면의 기저 벡터는 각각 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^i$ 및 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^r$로써 서로 다르다. [그림 3.1]에 나온 단위 벡터 $\hat T, \hat n$은 문제의 조건이라서 이미 정해져 있어서, 입사각은 $\cos \theta_i$ = $- \hat T \cdot \hat n$, 반사각은 $\cos \theta_r$ = $\hat R \cdot \hat n$으로부터 결정된다. 반사 광선의 단위 벡터 $\hat R$도 $\hat T, \hat n$을 이용해 공식화한다.

                  (3.1)

여기서 $\hat R \cdot \hat n$ = $- \hat T \cdot \hat n$이다. 입사 혹은 반사 평면을 정하는 법선 벡터 $\hat e_\perp$는 외적(outer product)으로 정의한다.

                  (3.2)

입사와 반사 평면이 동일하다는 성질은 식 (3.1)과 (3.2)를 조합해서 편하게 증명한다. 즉, 식 (3.1)에 $\hat n$을 외적해서 $\hat R \times \hat n$ = $\hat T \times \hat n$을 얻는다. 이 결과는 식 (3.2)에 따라 두 평면의 $\hat e_\perp$이 동등하다는 뜻이라서, 입사와 반사 평면은 서로 같다. 식 (3.2)로 얻은 $\hat e_\perp$를 이용해서 $\hat e_\parallel^i$와 $\hat e_\parallel^r$도 차례대로 유도된다.

                  (3.3)

추가적인 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel$의 관계식도 도출한다.

                  (3.4a)

                  (3.4b)

따라서 송신과 반사 광선을 위한 광선 고정 좌표계의 기저는 각각 $(\hat e_\parallel^i, \hat e_\perp, \hat T)$와 $(\hat e_\parallel^r, \hat e_\perp, \hat R)$이다. 다만 $\hat T$와 $\hat n$이 평행하면 식 (3.2)의 분자와 분모가 모두 $0$이 되는 문제가 발생한다. 이 어려움을 피하기 위해 아래처럼 $\hat e_\parallel$을 먼저 정의하고, 그 다음에 식 (3.4a)로 $\hat e_\perp$을 만든다.

                  (3.5)

만약 $\theta_i \to 0$ 및 $\theta_r \to 0$이면, $\hat e_\parallel$은 $\hat e_\parallel^i$ = $d \hat T/d\theta_i \Big|_{\theta_i = 0}$ 및 $\hat e_\parallel^r$ = $-d \hat R/d\theta_r \Big|_{\theta_r = 0}$와 같이 잘 계산된다. 다음 단계로 광선 고정 좌표계를 바탕으로 입사 및 반사 전기장을 각각 분해한다.

                  (3.6)

그러면 반사 전기장 $\bar E^r$은 다이애드 반사 계수 $\bar{\bar{r}}_E$와 입사 전기장 $\bar E^i$의 내적으로 공식화된다.

                  (3.7)

                  (3.8)

                  (3.9)

여기서 $\hat e_\perp \hat e_\perp$와 $\hat e_\parallel^r \hat e_\parallel^i$는 두 벡터가 나열된 다이애드(dyad)이다. 자기장에 대해서도 동일하게 다이애드 반사 계수 $\bar{\bar{r}}_H$를 정의한다.

                  (3.10)

                  (3.11)

                  (3.12)

                  (3.13)

식 (3.9)와 (3.13)을 비교해보면, 생김새는 거의 비슷하며 편파를 나타내는 다이애드가 서로 교체된 부분만 약간 다르다.
TE파와 TM파가 동시에 존재할 때, [그림 3.1]의 표면에 생기는 등가 전류 밀도 $\bar J_s$와 등가 자류 밀도 $\bar M_s$를 구한다. 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 써서 투과되는 전자기장은 0으로 가정한다. 이때 광선 고정 좌표계의 기저 벡터 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel$과 $\hat n$이 만드는 외적이 필요하다.

                  (3.14)

                  (3.15)

그 다음에 등가 전류 및 자류 밀도의 정의식에 넣어서 $\bar J_s$와 $\bar M_s$을 결정한다.

                  (3.16)

                  (3.17)

표면에 수직 입사(normal incidence)하는 전자기장의 경우에는 식 (3.16)과 (3.17)이 더욱 더 간략화된다.

                  (3.18)

                  (3.19)

여기서 $\theta_i$ = $0$, $r_s$ = $-r_p$, $\hat e_\parallel^i$ = $\hat n \times \hat e_\perp$이다.


[참고문헌]
[1] T. Young, "The Bakerian lecture. Experiments and calculation relative to physical optics," Phil. Trans. Royal Soc. Lond., vol. 94, pp. 1–16, 1804.
[2] A. Fresnel, "Mémoire sur la loi des modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée (Memoir on the law of the modifications that reflection impresses on polarized light)," Académie des Sciences (Academy of Sciences), pp. 393–433, Jan. 1823.
[4] D. A. McNamara, C. W. I. Pistorius, J. A. G. Malherbe, Introduction to the Uniform Geometrical Theory of Diffraction, Boston, USA: Artech House, 1990.
[5] M. Oh, "Complex unit vector for the complex wave constant $\widetilde{k}$ in a lossy medium [Letters to the Editor],"  IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 63, no. 1, pp. 117–120, Feb. 2021. 

[다음 읽을거리]

댓글 2개 :

  1. 파장에 따른 굴절률이 다른 것으로 알고 있는데, 태양빛의 반사율 및 투과율을 계산하려면 모든 파장에 대해 적분을 해야하나요?

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    1. 맞습니다. 정확하게 하려면 태양빛의 전력 스펙트럼 밀도(power spectral density, PSD)에 따라 각 주파수별로 계산해야 합니다.

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