로렌츠 진동자 모형(Lorentz Oscillator Model)

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1. 전기 쌍극자 모멘트

2. 유전체의 비밀

3. 탄성에 대한 훅의 법칙

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt)와 exp(jωt) 시간 약속을 둘 다 사용하고 있습니다.

[그림 1] 로렌츠 진동자 모형으로 근사화한 복소 유전율(출처: wikipedia.org)

원자(atom)의 내부 구조를 모르던 시절에 나온 로렌츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)은 전자(electron)와 양성자(proton) 간의 전기력만 이용한 이론화인데도 유전율(permittivity) $\epsilon$의 주파수 변동성을 잘 설명한다[1]. 로렌츠 진동자 모형은 전기력, 훅의 법칙(Hooke's law), 견인 계수(drag coefficient) $\gamma$가 전자에 함께 작용한다고 생각해서 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 적용한다.

                  (1)

여기서 $\bar r$은 양성자를 원점으로 정한 전자의 위치, $\bar E$는 전기장(electric field), $m_e$와 $e$는 각각 전자의 질량과 전하량, $k$는 스프링 상수(spring constant); 견인 계수 $\gamma$는 손실(loss)을 설명하며 전자의 평균 자유 시간(mean free time) $\tau$에 대한 역수인 $\gamma$ = $1/\tau$이다. 견인 계수 기호로 $\gamma$ 대신 대문자인 $\Gamma$를 쓰는 경우도 있다.

전자가 만드는 분극 밀도(polarization density)를 $\bar P$ = $-n_e e \bar r$로 두고 식 (1)을 변형한다.

                  (2)

여기서 $n_e$는 단위 부피당 존재하는 전자 개수인 전자 농도(electron concentration)이다. 드루데 모형(Drude model)으로 유도한 전기 전도도 $\sigma$를 써서 식 (2)를 간단히 표현한다.

                  (3)

여기서 $\sigma$ = $n_e e^2 \mathbin{/} (\gamma m_e)$, 진동자(oscillator)의 공진 각주파수(resonant angular frequency)는 $\omega_0$ = $\sqrt{ k / m_e}$이다.

   1. exp(-iωt) 시간 약속   

전기장과 전자의 위치는 주기성이 있다고 가정해 페이저(phasor) 기반으로 $\bar E$ = $\bar {\bf E}(\omega) e^{-i \omega t}$, $\bar r$ = $\bar {\bf r}(\omega) e^{-i \omega t}$로 둘 수 있다. 이를 식 (1)에 대입해서 $\bar {\bf r}(\omega)$를 구한다.

                          (1.1)

외부 전기장에 의해 양성자에서 멀어진 전자는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) $\bar {\bf p}(\omega)$를 형성한다.

                          (1.2)

체적 $V$에 존재하는 $N$개의 전기 쌍극자 모멘트는 모두 같은 방향을 향한다고 간략화함으로써 분극 밀도 $\bar {\bf P}(\omega)$를 쉽게 얻는다.

                          (1.3)

여기서 $n_e$ = $N/V$는 전자 농도(electron concentration), 플라즈마 각주파수(plasma angular frequency)는 $\omega_p$ = $\sqrt{n_e e^2 \mathbin{/} (m_e \epsilon_0)}$, $\chi_e (\omega)$는 전기 감수율(electric susceptibility)이다. 전기장이 생성하는 물질 내부의 분극 밀도를 알기 때문에, 구성 관계식(constitutional relation)을 써서 주파수에 따라 변하는 복소 유전율(complex permittivity) $\epsilon(\omega)$를 공식화한다.

                          (1.4)

여기서 $\chi_e(\omega)$ = $\chi_e'(\omega) + i \chi_e''(\omega)$이다. 공진 주파수 $f_0$ = $\omega_0 \mathbin{/} (2 \pi)$는 수십 THz 이상으로 매우 높고 다수의 공진이 생길 수 있기 때문에, 실제 측정 결과를 보정하는 공식은 식 (1.4)를 더 일반화해서 사용한다.

                          (1.5)

여기서 $\epsilon_\infty$는 무한대에서 측정한 유전 상수[이론적으로는 1이지만 실험에서는 1이상 나옴], $f_j$는 $j$번 공진의 가중치, $N_r$은 공진 개수이다. 식 (1.5)에서 $s_j$ = $\omega_p^2 f_j$, $\Gamma_j$ = $\gamma_j$로 쓰기도 한다.

복소 유전율 대신 광학 전도도(optical conductivity)에 로렌츠 진동자 모형을 쓰기도 한다. 광학 전도도는 전기 전도도(electrical conductivity)를 광학 영역으로 일반화한 지표이다. 복소 유전율에서 정의한 손실 탄젠트(loss tangent)를 전기 전도도 형태로 바꾸어서 광학 전도도 $\sigma(\omega)$를 정의한다. 그래서 광학 전도도는 광학 영역에서 물질에 흡수되는 양과 관련된다.

                          (1.6)

여기서 주파수가 매우 커지면 광학 전도도는 0에 수렴한다.[∵ $\epsilon(\omega)$는 $1/\omega^2$ 비율로 작아진다.]

   2. exp(jωt) 시간 약속   

[그림 2.1] RLC 직렬 공진 회로(출처: wikipedia.org)

독특하게 생긴 로렌츠 진동자 모형을 [그림 2.1]에 보인 전기 회로의 RLC 직렬 공진 회로(series resonant circuit)로 등가화해 상상할 수 있다[2]. 분극 전류 밀도(polarization current density) $\bar J_p$ = $d \bar P / dt$를 식 (3)에 대입한다.

                  (2.1)

식 (2.1)에 $e^{j \omega t}$ 시간 약속을 가진 페이저를 적용한다.

                  (2.2)

여기서 $LC$ = $1/\omega_0^2$이다. 식 (2.2)는 기존 운동 방정식인 식 (1)을 RLC 직렬 공진 회로로 단순히 바꾼다는 측면이 있지만, 당연히 RLC가 가진 물리적 성질에 기반을 두고 있다. 먼저 인덕턴스(inductance) $L$은 전류의 관성과 관계되므로, 전자의 관성 질량(inertial mass)인 $m_e$는 $L$과 연결된다. 역수 $1/C$는 일래스턴스(elastance)이므로 스프링의 탄성 비율에 해당한다. 식 (2.2)에 임피던스(impedance) $\bf Z$를 정의해서, RLC 직렬 공진 회로의 $\bar {\bf J}_p (\omega)$를 구한다.

                  (2.3)

다음 단계로 분극 전류 밀도를 분극 밀도와 전기장으로 바꾸어서 전기 감수율 $\chi_e(\omega)$를 얻는다.

                          (2.4)

이때 로렌츠 진동자 모형에 저장되는 에너지 밀도는 $L, C$에 대해 $u_m, u_e$로 각각 정의한다. 여기서 $u_m$은 관성 질량 $m_e$에 의한 운동 에너지(kinetic energy) 밀도, $u_e$는 스프링 $k$와 관계된 위치 에너지(potential energy) 밀도이다.

                  (2.5)

여기서 $u_t$는 전체 에너지 밀도이며 0보다 크거나 같다. 시스템에 저장된 에너지 밀도인 식 (2.5)의 마지막식을 보면, 리액턴스의 주파수 변화율은 항상 0보다 커야 한다. 이 결과는 잘 알려진 포스터의 리액턴스 정리(Foster's reactance theorem)로도 예측 가능하다. 최종적으로 식 (2.5)의 $u$를 가지고 로렌츠 진동자 모형에 저장된 전기장의 에너지(energy of electric field) $W_e$를 공식화한다.

                  (2.6)

회로량 $R, X$를 포함한 식 (2.6)을 매질 특성인 유전율의 관계식으로 변형하기 위해 $\chi_e'$의 미분을 고려한다.

                  (2.7)

저손실(low loss) 혹은 공진(resonance)을 벗어난 조건, $R \ll |X|$에서 항 $R/X$를 무시한 식 (2.7)을 식 (2.6)에 대입한다[2].

                          (2.8a)

여기서 $\epsilon'$ = $\epsilon_0 (1 + \chi_e')$이다. 저항 $R$ = $0$인 때, 식 (2.8a)는 근사식이 아닌 등식이 된다. 어떤 크기의 체적 $v$를 선택하든지 저장된 에너지 $W_e$는 0보다 커야 하므로,[∵ 식 (2.6)에서 $dX/d\omega > 0$] 저손실 혹은 비공진(nonresonance) 가정에서 유전율 실수부의 주파수 특성은 다음 부등식을 따른다.

                          (2.8b)

하지만 직렬 공진(series resonance)에 가까운 대역에서 $X \approx 0$이 발생하기 때문에, 공진 주파수의 근방에서 식 (2.7)의 매질 기울기 $d (\omega \chi_e') \mathbin{/} d\omega$는 0보다 작아진다. 물론 공진 주파수를 벗어난 지점에서는 식 (2.8b)가 잘 성립한다.

[참고문헌]

[1] T. Hirosige, "Origins of Lorentz' theory of electrons and the concept of the electromagnetic field," Hist. Stud. Phys. Sci., vol. 1, pp. 151–209, Jan. 1969.

[2] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd ed., New York, NY, USA: Wiley-IEEE Press, 2001, pp. 33–39.

위너–킨친 정리(Wiener–Khinchin Theorem)

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1. 확률

2. 푸리에 변환의 성질

[그림 1] 스펙트럼 분석기(spectrum analyzer)에 나타난 잡음 모습(출처: wikipedia.org)

열 잡음(thermal noise)처럼 시간에 따라 무작위(randomness)로 나오는 물리 현상을 분석하는 도구로 매우 유명한 확률 과정(random process) 혹은 추계 과정(stochastic process)이 있다. 확률 과정은 확률을 측정하는 확률 실험(random experiment)에 의해 도출되는 확률 변수(random variable)를 나열해서 구성한다. 나열되는 순서는 보통 시간을 따르기 때문에, [그림 1]처럼 시간에 따라 무작위로 변하는 확률 변수[그림 1에서 전력 분포]의 모임을 확률 과정이라 한다. 시간 대신 다른 매개변수[예를 들어 시행 순서, 저장 위치 등]의 차례를 가정하더라도, 이 순서의 변화는 확률 과정에 속한다. 전기 회로에 자주 나오는 잡음 전압(noise voltage)을 예로 보면, 오랜 시간 관찰한 잡음 전압은 평균(mean)이 거의 0 V이고, 표준 편차(standard deviation)는 온도에 따라 비례적으로 커지는 확률 과정이다.

[그림 2] 시간에 따른 입자의 위치 변동(출처: wikipedia.org)

물위에 떠있는 꽃가루의 움직임 같은 브라운 운동(Brownian motion)은 확률 과정의 또 다른 예가 된다. [그림 2]처럼 입자는 시간에 따라 무작위로 이동하지만, 이동 평균(moving average)은 대충 $x$ = $0$에 가깝고, 분산(variance)에 해당하는 이동 위치의 제곱은 0이 아닌 값을 가진다. 따라서 [그림 2]와 같은 브라운 운동은 확률 실험의 결과물인 표본 $s$에서 확률 변수 $X_{t, s}$ 혹은 $X(t, s)$를 시간 $t$ = $t_i$ 순서로 나열하는 확률 과정 $\{X_{t, s}\}$ 혹은 $\{X(t, s)\}$로 설명할 수 있다. 확률 실험의 표본이 하나라면 굳이 $\{X_{t, s}\}$로 표기하는 대신 간략화한 $\{X_{t}\}$ 혹은 $\{X(t)\}$를 사용한다. 시간마다 확률 변수를 완전히 바꾸면 이론화가 너무 어려워져서, 시간에 따라 $X_t$는 계속 바뀌지만 확률 분포(probability distribution)는 모든 시간에서 하나의 확률 변수 $X$의 함수로 생성된다고 가정한다. 이 경우를 확률 과정의 정상성(定常性, stationarity) 혹은 정상 확률 과정(stationary random process)으로 부른다.

정상성을 관찰하는 시간 범위를 축소해서, 안정 상태(steady state)처럼 $t$ = $0$에서 $\tau$까지 관찰한 결과가 이후 시간에도 특점 시점 $t_1, t_2$에 관계없이 계속 반복된다는 병진 대칭(translational symmetry)을 가진 정상성도 정의한다. 즉, 확률 과정은 $t_1, t_2$가 아닌 $\tau$ = $t_2 - t_1$의 병진 대칭성을 가진다. 이는 기존 정상성의 범위를 넓히거나 약화시킨 추상화라서 광의 정상성(wide-sense stationarity, WSS) 혹은 약의 정상성(weak-sense stationarity)으로 명한다. 시점을 2개가 아닌 임의 $n$개로 넓혀도 병진 대칭성이 있다는 정상성은 엄격 정상성(strict stationarity) 혹은 강한 정상성(strong stationarity)으로 구분한다. 광의 정상성은 킨친Aleksandr Khinchin(1894–1959)이 제안한 중요한 확률 개념이다. 이외에도 킨친은 확률 변수를 써서 확률 과정의 수학적 정의도 내렸다.

확률 지식에 기반해서 엄격 정상성과 광의 정상성을 각각 정의한다.

                          (1a: 광의 정상성, $\tau$ = $t_2 - t_1$)

                          (1b: 엄격 정상성)

여기서 $\operatorname{Cov}(X, Y)$는 공분산(covariance), 평균 $\mu_X$와 분산 $\operatorname{Var}[X]$ = $\sigma_X^2$은 유한; $F_X(\cdot)$는 $\{X_t\}$의 결합 확률 분포(joint probability distribution)로 만든 누적 분포 함수(cumulative distribution function)이다. 이름 그대로 $n$개 시점의 결합 확률 분포에 대해 병진 대칭성을 보장하는 엄격 정상성은 평균과 공분산 조건만 가진 광의 정상성보다 확률 기준으로 더 엄격하고 강력하다.

공분산 대신 신호 처리에 많이 쓰는 자기 상관(autocorrelation) 함수로 식 (1a)를 대신할 수 있다. 먼저 시간 평균(time average)을 이용해 확률 변수 $X$에 대한 자기 상관 함수 $\rho_{XX}(t_1, t_2)$와 자기 공분산(auto-covariance) 함수 $K_{XX}(t_1, t_2)$를 정의한다.

                          (2: 시간 평균)

                          (3a: 엄격 정상성)

여기서 $\langle X \rangle$는 $X$의 시간 평균이다. 시간 평균은 각 시간에 확률 변수가 발생하는 확률이 동일하다고 가정하고 계산한 평균이다. 광의 정상성에서는 시간차 $\tau$ = $t_2 - t_1$로 자기 상관과 공분산을 쓸 수 있어서 식 (3a)가 간략화된다.

                          (3b: 광의 정상성)

여기서 $K_{XX}(0)$ = $\sigma_X^2$이다. 따라서 광의 정상성에서는 시점에 무관하게 공분산이 같다는 조건이나 간편한 자기 상관 함수 $\rho_{XX}(\tau)$를 쓸 수 있다.

확률 과정 $x(t)$를 위해 정의한 자기 상관 함수 $\rho_{XX}(\tau)$와 광의 정상성 개념을 합쳐서, 간단하지만 심오한 정리인 위너–킨친 정리(Wiener–Khinchin theorem)를 만든다[1]. 증명에 앞서 관측 시간 $T$에서만 적분해서 만드는 절단된 푸리에 변환(truncated Fourier transform)을 정의한다.

                        (4a)

이 푸리에 변환의 크기 $|F_T(\omega)|$를 제곱하고 $T$로 나누어서 전력 스펙트럼 밀도(power spectral density) $S(\omega)$를 계산한다.

                       (4b)

여기서 $|F_T(\omega)|^2$은 에너지 스펙트럼 밀도(energy spectral density)이다. 이상을 종합해서 위너–킨친 정리를 유도한다.

[위너–킨친 정리] [1]

                       (5a)

                       (5b)

여기서 $X_T(\omega)$는 확률 과정 $x(t)$의 절단된 푸리에 변환이다.

[증명]

확률 과정 $x(t)$의 절단된 푸리에 변환 $X_T(\omega)$는 새로운 확률 변수가 된다.

                       (6a)

식 (6a)를 에너지 스펙트럼 밀도로 만들어서 시간 평균을 적용한다.

                       (6b)

식 (6b)에 나온 마지막식에 병진 대칭성에 대한 이중 적분식을 응용해서 단일 적분으로 바꾼다.

                       (6c)

여기서 $u$ = $t + \tau$이다. 시간 구간 $T$를 무한대로 보내면, 피적분 함수에 있는 $|\tau|/T$는 0으로 수렴하기 때문에 식 (5a)가 얻어진다. 식 (5b)는 식 (5a)의 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)이다.

______________________________

식 (5b)에 $\tau$ = $0$을 대입하면, 위너–킨친 정리 방식의 파르세발의 정리(Parseval's theorem)가 얻어진다.

위너–킨친 정리를 이용해서 확률 과정인 잡음 전압(noise voltage) $v(t)$의 특성을 분석할 수 있다. 잡음이 생기는 전기 회로에 대한 확률 실험에서 적당한 표본을 선택해 시간 $T$ 동안 수집한 $v(t)$는 다음과 같다.

                       (7a)

여기서 $\omega_m$ = $2 \pi m \mathbin{/} T$; 진폭 $a_m, b_m$은 광의 정상성을 만족하며 실수인 확률 변수, $v(t)$는 푸리에 급수(Fourier series)로 공식화, 잡음 $v(t)$의 시간 평균값은 0이다. 식 (7a)로 구성한 자기 상관 함수는 다음과 같다.

                  (7b)

위너–킨친 정리에 따라 식 (7b)를 푸리에 변환함[식 (5a)의 결과]으로써 잡음 전압이 가진 전력 스펙트럼 밀도 $S(\omega)$를 계산한다. 이 밀도를 식 (5b)처럼 적분해서 잡음 전력(noise power) $P_\text{tot}$를 얻는다.

                       (7c)

다만 $P_\text{tot}$는 한 번의 확률 실험에서 구한 값이므로, 다른 실험을 무한히 반복해서 얻은 잡음 전력의 기대값(expectation) $E[P_\text{tot}]$를 최종적으로 계산한다.

                       (8a: 앙상블 평균)

                       (8b)

여기서 $s_i$는 확률 실험의 $i$번째 표본, 광의 정상성으로 인해 $a_m, b_m$이 따르는 분산은 $\sigma_m^2$으로 동일하다.[∵ 사인과 코사인 함수는 위상 지연만 차이나므로, 광의 정상성이라서 시간에 대한 병진 대칭성이 있는 $a_m, b_m$의 확률적 특성은 같다.]

[그림 3] 여러 악기로 구성하여 연주하는 모임인 앙상블(출처: wikipedia.org)

식 (8a)는 시간을 붙박이로 놓고 표본의 평균을 구한 기대값이며 앙상블 평균(ensemble average)으로 부른다. 앙상블 혹은 총체(總體, ensemble)는 확률 실험으로 나올 수 있는 모든 결과물의 모임이다. 표본을 고정한 식 (2)의 시간 평균과 시간을 고정한 식 (8a)의 앙상블 평균이 같은 경우는 에르고드 성질(ergodicity)이라 이름 붙인다. 에르고드는 통계 역학(statistical mechanics)을 발명한 볼츠만Ludwig Boltzmann(1844–1906)이 고대 그리스어 에르곤(일, 물체, ἔργον, work, thing)과 오도스(경로, ὁδός, path)를 합쳐서 만든 용어이다. 어원적으로 보면 에르고드는 사물이 지나는 길인 물체 경로를 의미한다. 에르곤에는 협회(guild)란 의미도 있어서, 에로고드를 물체 집단이 움직이는 전체 경로로 개념을 확장해 집단 경로로 의역해도 된다. 에르고드 성질을 가진 체계인 에르고드 시스템(ergodic system)에서는 시간적으로 오랫동안 특성을 관찰할 필요 없이, 정상 확률 과정 하나를 선택해서 평균과 같은 통계적 처리로 시간적 변화를 추계해도 된다.

[참고문헌]

[1] C. Jayaprakash, "Wiener-Khinchin theorem," Ohio State University, OH, USA. (방문일 2024-06-24)

닮음 변환(Similarity Transformation)

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1. 행렬의 고유치와 고유 벡터

연립 방정식을 행렬(matrix) 형태로 표현한 $\bf Ax$ = $\bf b$의 기저(basis)를 바꾸어서 더 편하게 계산하는 ${\bf A}'{\bf x}'$ = ${\bf b}'$의 방식을 생각한다.

                          (1)

여기서 $\bf P$는 역행렬(inverse matrix)이 존재하는 적당한 정방 행렬(square matrix)이다. 이때 등장하는 새로운 행렬 변환 ${\bf A}'$ = ${\bf P}^{-1}{\bf AP}$을 닮음 변환(similarity transformation)이 혹은 $\bf A$의 켤레화(conjugation)라 한다. 또한 행렬 $\bf A$와 ${\bf A}'$은 행렬식(determinant), 대각합(trace), 고유치(eigenvalue), 특성 다항식(characteristic polynomial), 동반 행렬(companion matrix) 등을 포함한 행렬의 중요 특성이 동일하거나 유사해서 닮은 행렬(similar matrix)이라 부른다. 닮은 행렬의 대표적 예는 행렬 곱 $\bf AB$와 $\bf BA$이다.

                          (2)

여기서 $\bf P$ = $\bf A$이다. 그래서 두 행렬 곱은 닮아있지만, 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않아 동일하지 않다.

다른 관점으로 닮음 변환은 고유 분해(eigendecomposition)의 일반화이다. 고유 분해는 행렬의 대각화에 쓰이지만, 닮음 변환은 대각화(diagonalization)란 조건 없이 기저를 바꾸는 임의 행렬 $\bf P$의 곱으로만 정의하기 때문이다. 즉, 닮음 변환에서 $\bf A$가 대각 행렬(diagonal matrix)인 경우가 바로 고유 분해이다.