닮음 변환(Similarity Transformation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "닮음 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 행렬의 고유치와 고유 벡터

연립 방정식을 행렬(matrix) 형태로 표현한 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ = $\mathbf{b}$의 기저(basis)를 바꾸어서 더 편하게 계산하는 ${\mathbf{A}}^{\prime }{\mathbf{x}}^{\prime }$ = ${\mathbf{b}}^{\prime }$의 방식을 생각한다.

                          (1)

여기서 $\mathbf{P}$는 역행렬(inverse matrix)이 존재하는 적당한 정방 행렬(square matrix)이다. 이때 등장하는 새로운 행렬 변환 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ = ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$을 닮음 변환(similarity transformation)이 혹은 $\mathbf{A}$의 켤레화(conjugation)라 한다. 또한 행렬 $\mathbf{A}$와 ${\mathbf{A}}^{\prime }$은 행렬식(determinant), 대각합(trace), 고유치(eigenvalue), 특성 다항식(characteristic polynomial), 동반 행렬(companion matrix) 등을 포함한 행렬의 중요 특성이 동일하거나 유사해서 닮은 행렬(similar matrix)이라 부른다. 닮은 행렬의 대표적 예는 행렬 곱 $\mathbf{A}\mathbf{B}$와 $\mathbf{B}\mathbf{A}$이다.

                          (2)

여기서 $\mathbf{P}$ = $\mathbf{A}$이다. 그래서 두 행렬 곱은 닮아있지만, 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않아 동일하지 않다.

다른 관점으로 닮음 변환은 고유 분해(eigendecomposition)의 일반화이다. 고유 분해는 행렬의 대각화에 쓰이지만, 닮음 변환은 대각화(diagonalization)란 조건 없이 기저를 바꾸는 임의 행렬 $\mathbf{P}$의 곱으로만 정의하기 때문이다. 즉, 닮음 변환에서 $\mathbf{A}$가 대각 행렬(diagonal matrix)인 경우가 바로 고유 분해이다.