조금은 느리게 살자

2011년 12월 19일 월요일

베타 함수(Beta Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베타 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수

감마 함수(gamma function)를 정의한 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1730년오일러 23세, 조선 영조 시절에 새롭게 도입한 또 하나의 함수가 식 (1)에 있는 베타 함수(beta function)이다.

(1)

베타 함수는 제1종 오일러 적분(Euler integral of the first kind)이라고도 하지만 오일러가 해둔 기여가 너무 많아[∵ 오일러 이름이 들어가는 정의가 너무 많다.], 이 용어는 잘 쓰이지 않는다. 제2종 오일러 적분(Euler integral of the second kind)은 당연히 감마 함수이다. 그리스 알파벳은 알파($A$), 베타($B$), 감마($\Gamma$) 등의 순서이므로, 제1종과 제2종 오일러 적분은 자연스럽게 베타와 감마 함수로 불린다. 식 (1.6)을 고려하면, 베타 함수는 조합(combination)의 일반화로 볼 수 있다.

식 (1)에 제시한 베타 함수의 적분 구간을 제한하여 불완전 베타 함수(incomplete beta function)를 다음처럼 정의한다.

(2)

여기서 $B(1; a, b)$ = $B(a, b)$로 쓸 수 있다. 식 (2)에 제시한 불완전 베타 함수를 이용하면 다음 체비셰프 적분(Chebyshev integral)을 계산할 수 있다.

(3)

여기서 $C$는 적분 상수이다. 삼각 함수의 거듭제곱에 대한 적분은 식 (2)의 불완전 베타 함수를 이용해 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.

(4)

(5)

여기서 $t$ = $\sin^2 \theta$, $0 \le x \le 1$, $0 \le \vartheta \le \pi/2$이다. 베타 함수로 표현할 수 있는 적분은 다음과 같다.

(6)

(7)

이와 같이 불완전 베타 함수는 다항식이나 삼각 함수의 거듭제곱에 대한 적분식에 자주 등장한다.

1. 기본(basics)

[감마 함수]

(1.1)

[증명]

다음 감마 함수 정의를 활용하자.

(1.2)

식 (1.1)의 우변 정의대로 다음을 계산하자.

(1.3)

식 (1.3)의 변수 치환에서 면적을 변환할 때는 야코비 행렬(Jacobian)을 이용해야 한다.

(1.4)

즉 $(w, t)$가 식 (1.3)과 같이 변하면 $u$는 $0$에서 무한대까지, $v$는 무한대에서 $0$까지 변한다. 그래서 식 (1.4)에 있는 야코비 행렬식의 부호는 음이다. 실제 적분은 식 (1.3)의 첫째식처럼 $(u, v)$ 모두 $0$에서 무한대까지 가야 하므로, 야코비 행렬식의 부호를 바꾸어야 한다.

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[교환 법칙]

(1.5)

[증명]

식 (1.1)의 $x, y$를 바꾸면 증명된다.

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[조합(combination)]

(1.6)

여기서 $k, m$은 자연수이다. 식 (1.1)에서 $x, y$를 자연수로 한정하면, 베타 함수는 조합(combination)이 된다.

[$x$는 자연수, $y$ = $1/2$]

(1.7)

여기서 $n$ = $0, 1, 2, \cdots$이다.

[증명]

식 (1.1)에 값을 대입하고 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)을 적용한다.

(1.8)

______________________________

[$x+1/2$는 자연수, $y$ = $1/2$]

(1.9)

여기서 $n$ = $0, 1, 2, \cdots$이다.

[증명]

식 (1.7)처럼 베타 함수를 감마 함수로 바꾸고 정리한다.

(1.10)

여기서 $(2n-1)!!$과 $(2n)!!$은 홀수와 짝수에 대한 이중 계승(double factorial)이다.

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식 (1.7)과 (1.8)을 서로 곱하면 계승과 이중 계승이 약분되어서 굉장히 간단한 관계식이 얻어진다.

(1.11)

식 (1.11)에서 두 베타 함수의 $x$는 $1/2$만 차이가 나지만, $x$가 커짐에 따라 두 베타 함수의 곱은 0에 수렴한다.

2. 함수 표현식(function representation)

[삼각 함수(trigonometric function)]

(2.1)

[증명]

식 (1)의 적분 변수를 $t$에서 $\sin^2 \theta$로 치환하면 증명된다.

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[무리 함수]

(2.2)

여기서 $0 < \alpha < 1$이다.

[증명]

적절한 변수 치환을 이용해서 베타 함수로 만든다.

(2.3)

그 다음에 식 (1.1)에 대입해서 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)을 적용한다.

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식 (2.2)는 특이하게도 $x, x_0$에 대해 상수가 된다. 식 (2.2)와 같은 무리 함수의 적분이 가진 성질을 이용해서 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)에 대한 정확한 해법을 유도할 수 있다.

3. 특정값(specific value)과 극한(limit)

(3.1)

[증명]

식 (1.1)에 넣어서 $\Gamma^2 (1/2) \mathbin{/} \Gamma(1)$을 얻는다. 여기서 $\Gamma(1/2)$ = $\sqrt{\pi}$이다.

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[다음 읽을거리]

1. 연산 미적분학

2. 아벨의 적분 방정식

3. 베타 분포

2011년 12월 16일 금요일

2차원 자유 공간 그린 함수(2D Free-space Green's Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "2차원 자유 공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
2. 1차원 자유 공간 그린 함수

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자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동 방정식을 전류 밀도(current density) $J_y$ = $J_z$ = $0$이라 가정하여 단순화한다.

(1)

그러면 식 (1)과 같이 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)으로 표현할 수 있다. 2차원을 만들기 위해 식 (2)의 라플라시언(Laplacian)에서 $z$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial / \partial z$ = $0$]하면 식 (3)에 있는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 2차원 스칼라 파동 방정식을 얻는다.

(2)

(3)

여기서 벡터 $\rho$는 2차원 좌표점 $(x, y)$를 나타낸다.

[그림 1] 2차원 원천

[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[데카르트 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수]

(4)

[증명]

증명을 위해 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 아래와 같은 적분으로 표현한다.

(5)

식 (5)는 푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명 가능하다. 식 (5)를 식 (3)에 대입해서 그린 함수를 다음처럼 표현한다.

(6)

2차원 함수인 $g(\bar \rho, \bar \rho'; k)$는 변수 $x$의 함수이므로, 푸리에 변환으로 스펙트럼 영역(spectral domain)에서 표현한다.[식 (6)의 첫째식] 다만 $y$의 변화는 피적분 함수 $g(y, y'; \eta)$에 반영하며, $\xi^2 + \eta^2$ = $k^2$으로 $\xi, \eta$가 서로 연결된다. 식 (6)을 계산하면, $g(y, y'; \eta)$는 다음 1차원 자유 공간 그린 함수(1D free-space Green's function)에 대한 미분 방정식을 만족한다.

(7)

식 (7)의 최종 결과를 식 (6)의 첫째식에 대입하면 식 (4)가 증명된다.

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식 (4)는 푸리에 변환(Fourier transform)처럼 스펙트럼 영역(spectral domain)에서 표현되므로 스펙트럼 영역 그린 함수(spectral domain Green's function)라 부른다. 무한 적분으로 표현되어 어려워 보이기는 하지만 그린 함수를 미분(differentiation)하거나 적분(integration)하기는 쉽다.

텐서 이론(tensor theory)에 의해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 좌표 독립성(coordinate independence)을 가진다. 즉, [그림 2]의 데카르트 좌표계에서 답을 구한 결과와 다른 좌표계에서 구한 결과는 반드시 동일해야 한다. 그래서, 우리의 논의를 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 옮겨본다.

[그림 3] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[원통 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수]

(8)

여기서 $H_0^{(1)}(\cdot)$는 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)이다.

[증명]

문제를 간단히 만들기 위해 $(x', y')$ = $(0, 0)$이라 가정한다.[혹은 원천이 원점에 있다.] 그러면, 모든 방향으로 동등하게 전자파가 복사되므로 방위각(方位角, azimuth) $\phi$방향으로는 전자파의 변동이 없다고 가정할 수 있다.[혹은 $\partial / \partial \phi$ = 0] 따라서, 식 (9)의 원통 좌표계 라플라시언(Laplacian)은 식 (10)처럼 간략해진다.

(9)

(10)

미분 방정식 (10)을 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)인 식 (11)과 비교하면 다음을 얻을 수 있다.

(11)

(12)

식 (12)의 최종 결과는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)과 전자파의 복사 조건(radiation condition)을 이용한다. 또한 조건에서 $\rho$ $\ne$ $\rho'$이므로 식 (12)는 $(x, y)$ $\ne$ $(x', y')$만 아니면 모든 점에서 맞는 답이다. $(x, y)$ = $(x', y')$인 경우마저도 식 (12)가 성립하려면 식 (10)의 디랙 델타 함수의 조건을 만족하도록 상수 $A$를 정해야 한다. 그래서 상수 $A$만 정하면 증명은 끝난다. 조건 $\rho$ $\ne$ $\rho'$에 의해 식 (12)는 $(x, y)$ = $(x', y')$인 매우 작은 근방에서도 성립하기 때문에 $(x, y) \to (x', y')$로 가는 극한을 이용한다. 즉, 상수 $A$ 결정을 위해 [그림 4]의 원통을 생각하고 그 반지름이 0으로 가도록 한다.

[그림 4] 원통(출처: wikipedia.org)

[그림 4]의 체적에 대해 식 (10)을 체적 적분하고 반지름 $r$을 0으로 보낸다.

(13)

여기서 증명을 위해 발산 정리(divergence theorem)와 다음의 베셀 함수 공식을 이용한다.

(14)

(15)

그러면 원천이 $(x', y')$ = $(0, 0)$에 있는 경우는 증명이 된다. 또한 좌표 독립성이 있기 때문에 $(x, y)$ = $(u-x', v-y')$을 만족하는 새로운 좌표계 $(u, v)$로 좌표 변환하면 식 (8)이 자동적으로 얻어진다.[∵ $(u, v)$ = $(x', y')$에서 $(x, y)$ = $(0, 0)$이 된다.]

______________________________

식 (8)은 적분 없이 공간 상의 좌표값으로만 표현되어서 공간 영역 그린 함수(space domain Green's function)라 부른다. 최종 표현식은 간단하지만 원통 좌표계이므로, 실제 문제에서 식 (8)을 직접 적분하기는 어렵다. 그래서 식 (8) 대신 데카르트 좌표계인 식 (4)를 주로 사용한다.

두 가지 방법으로 힘들게 증명할 수 있지만 새로운 소득이 있다. 아래와 같이 새로운 적분을 하나 정의할 수 있다.

(16)

식 (16)은 2차원 바일 항등식(2D Weyl identity)이라 부르기도 한다.

그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)를 사용하면, 원천점 $\bar \rho'$과 관측점 $\bar \rho$를 구분해서 2차원 자유 공간 그린 함수를 새롭게 정의할 수 있다.

(17)

여기서 $Z_\nu(\cdot)$는 임의의 베셀 함수[$Z$ = $J, N, H, I, K$], $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$, $\Phi$ = $\tan^{-1} \left[(y-y')/(x-x')\right]$; 무한 급수의 수렴 조건은 $\rho < \rho'$이다. 식 (17)에서 $Z_\nu(\cdot)$ = $H_0^{(1)}(\cdot)$라 두고 정리해서 원천점과 관측점이 서로 분리되도록 한다.

(18)

다만 그라프의 덧셈 정리에는 수렴 조건이 있으므로, 식 (18)은 $\rho < \rho'$인 영역에서만 타당하다. 만약 $\rho > \rho'$인 경우는 식 (18)에서 원천점과 관측점을 바꾸어서 다시 쓰면 된다.

(19)

식 (18)과 (19)를 합쳐서 새로운 2차원 자유 공간 그린 함수를 만든다.

(20)

식 (20)은 원천점과 관측점을 따로 적분해야 하는 경우에 매우 유용한 그린 함수 표현식이다. 하지만 식 (20)은 무한 급수이므로 수학적으로 언제나 옳으나, 수치 계산을 할 때는 $\rho, \rho'$에 따라 적당히 큰 항까지 계속 더해야 정확한 급수값이 얻어진다. 예를 들어, $k \rho$와 $k \rho'$ 중에서 큰 값을 $M$이라 할 때, 식 (20)의 무한 급수는 $-3M$에서 $3M$까지 더해져야 한다. 여기서 $3$은 임의로 택한 $M$의 배수이며, 이 배수를 키우면 급수값이 더 정확해진다.

그라프의 덧셈 정리를 쓰지 않고 정통적인 그린 함수 방법론으로 식 (20)을 유도할 수도 있다. 식 (9)에 따라 그린 함수가 만족하는 미분 방정식은 다음과 같다.

(21)

여기서 도약 조건(jump condition)을 쓰려고 마지막식에 $\rho$를 곱해서 첫째 항의 계수를 1로 만든다. 디랙 델타 함수 $\delta(\phi - \phi')$의 구성에 따라 $g(\bar \rho, \bar \rho';k)$를 무한 급수로 표현한다.

(22a)

(22b)

식 (22b)에 $e^{-il \phi}$를 곱해서 $0$에서 $2 \pi$까지 적분한다.

(23)

그러면 $R_m (\rho)$는 원통 좌표계에 대한 1차원 그린 함수 $g_m(\rho, \rho'; k)$로 다시 기술된다.

(24)

식 (24)는 베셀의 미분 방정식이라서 전형적인 그린 함수 기법으로 식 (24)의 해를 나타낸다.

(25)

여기서 $A$는 도약 조건의 상수이며 베셀 함수의 함수 행렬식(Wronskian)으로 구한다. 식 (24), (25)를 식 (22a)에 대입해서 최종적으로 정리한 결과는 정확히 식 (20)이 된다.

식 (6)과는 살짝 다르게 $x, y$ 위치의 디랙 델타 함수를 모두 식 (5)로 바꾸어서 자유 공간 그린 함수를 만들기도 한다.

[공진형 2차원 자유 공간 그린 함수]

(26)

[증명]

식 (3)에 그린 함수의 일반적 표현식을 넣어서 미지수 $A$를 결정한다.

(27)

여기서 $(2 \pi)^2 A$는 $g(\bar \rho, \bar \rho'; k)$의 2차원 푸리에 변환이다.

______________________________

식 (26)은 간단해보이지만, 피적분 함수의 분모는 $k^2$ = $\xi^2 + \eta^2$인 위치에서 항상 발산해서 실제 적분은 까다롭다. 다른 관점에서 피적분 함수가 항상 발산하는 구조를 가져서 식 (26)으로 표현한 그린 함수는 공진형 그린 함수(resonant Green's function)에 속한다.

[다음 읽을거리]
1. 3차원 자유 공간 그린 함수

1차원 자유 공간 그린 함수(1D Free-space Green's Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "1차원 자유 공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수

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전자파(electromagnetic wave)에 대한 비동차 미분 방정식(nonhomogeneous differential equation)이나 적분 방정식(integral equation)을 해석적으로 풀기 위한 그린 함수(Green's function) 방법을 1차원에 적용한다. 1차원 공간에 다른 구조물이 있으면 그린 함수가 복잡해지므로 공간상의 물질이 균일하다고 가정하는 자유 공간(free-space) 조건을 쓴다. 먼저 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동 방정식을 고려한다.

(1)

단순하게 생각하기 위해 식 (1)의 벡터 파동 방정식(vector wave equation)에서 전류 밀도(current density) $J_y$ = $J_z$ = $0$이라 가정한다.

(2)

그러면 식 (2)의 마지막줄과 같은 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)을 얻을 수 있다. 조금 이상한 면은 전류 밀도가 $x$축에 있다 하더라도 자기 벡터 포텐셜이 $x$축에만 존재한다고 가정할 수 있는가? 우리에게는 강력한 정리인 전자기파에 대한 유일성 정리(唯一性定理, uniqueness theorem)가 있다 식 (2)와 같이 풀어서 답이 얻어지면 유일성 정리에 의해 식 (2)의 접근법도 정상적인 과정이 된다. 그린 함수 방법에서는 원천항(source term)이 식 (3)처럼 디랙 델타 함수(Dirac delta function)로 표현되어야 한다.

(3)

(4)

[그림 1] 1차원 원천

1차원을 만들기 위해 식 (5)의 라플라시언(Laplacian)에서 $y, z$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial / \partial y$ = $\partial / \partial z$ = $0$]하면 식 (6)의 1차원 스칼라 파동 방정식을 얻는다.

(5)

(6)

식 (6)은 $x$ = $x'$에 존재하는 원천(source)에서 전자파를 쏜 경우 $x$축을 따라 진행하는 전자파의 형태를 표현한다.

[그림 2] 백열등의 빛 복사 모습(출처: wikipedia.org)

[1차원 자유 공간 그린 함수]

(7)

[증명]

그린 함수를 구할 때는 먼저 원천이 0인 경우부터 구해야 한다. $x \ne x'$이면 식 (6)의 우변이 0이므로 그린 함수는 다음 미분 방정식을 만족해야 한다.

(8)

식 (8)의 결과로 인해 파수(波數, wavenumber)에 해당하는 $\xi$값을 정해야 한다. 안테나(antenna)와 같은 소자를 관찰해 보면 전자파는 반드시 원천에서 멀어지는 방향으로 복사된다. 이를 전자파의 복사 조건(radiation condition)[1]이라 한다. 복사 조건을 이해하기 위해 [그림 2]의 백열등을 본다. 백열등은 빛을 만드는 원천으로 작용한다. 전기를 넣으면 백열등은 켜진다. 이때 빛은 나오지 들어가지 않는다. 전기를 넣었는데 백열등에 빛이 들어가는 현상을 본 적이 있는가? 없다. 그래서, 원천에서 빛[혹은 전자파]이 나오는 조건을 복사 조건이라 한다.

[그림 3] 블랙홀의 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 3]의 블랙홀(black hole)로도 복사 조건을 설명할 수 있다. 전자파 원천 속으로 빛이 빨려 들어가면 이 원천은 블랙홀처럼 동작한다. 백열등을 켰는데 블랙홀이 생긴다면 매우 이상하다. 그래서 빛은 원천의 바깥으로 반드시 방출되어야 한다.

복사 조건을 식 (8)에 대입하면 그린 함수는 다음처럼 표현된다.

(9)

식 (9)를 유도하기 위해 $x$ = $x'$에서 그린 함수의 연속 조건(continuous condition)을 사용하였다.[∵ 그린 함수가 불연속이면 1번 미분해도 델타 함수가 나와버린다. 이렇게 되면 식 (6)을 만족할 수 없다. 혹은 식 (10)을 보라. 그린 함수의 미분은 유한해야 한다.] 식 (9)에 있는 상수 $A$를 결정하기 위해 식 (6)을 아주 좁은 영역 $(x'-\Delta, x'+\Delta)$에 대해 적분한다.