라플라스 방정식용 등각 사상(Conformal Mapping for Laplace's Equation)

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1. 등각 사상

2. 완전 미분

3. 전압

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전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi$에 대한 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 다음과 같은 형태를 가진다.

              (1)

식 (1)에 등장한 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$의 한 성분이 일정하면[$\partial/\partial n$ = $0$이면], 식 (1)은 3차원이 아닌 2차원의 헬름홀츠 방정식으로 간략화된다.

              (2)

여기서 $\partial \phi/\partial n$ = $0$, $(u, v, n)$은 직교하는 좌표(coordinates)이다. 좌표 $(u, v, n)$을 새로운 좌표 $(\alpha, \beta, n)$으로 바꿈으로써 2차원 헬름홀츠 방정식을 새로운 좌표계인 $(\alpha, \beta)$에서 표현할 수 있다. 이를 위해 2차원 라플라시안을 연산자 관점에서 인수 분해한다.

              (3)

완전 미분(exact differential)에 따라 식 (3)의 우변에 나온 인수를 $(\alpha, \beta)$ 좌표계의 편미분으로 바꾼다.

              (4)

여기서 $\alpha$ = $\alpha(u, v)$, $\beta$ = $\beta(u, v)$, 복소 함수 $\gamma$ = $\alpha + i \beta$는 $w$ = $u+iv$에 대한 해석 함수여서 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)인 $\partial \alpha / \partial u$ = $\partial \beta / \partial v$, $\partial \beta / \partial u$ = $-\partial \alpha / \partial v$를 만족한다. 식 (4)를 식 (3)의 우변에 대입한 후 정리해서 두 좌표계에 대한 2차원 라플라시안의 관계식을 도출한다.

              (5)

              (6)

식 (6)을 식 (2)에 넣어서 좌표 변환한 2차원 헬름홀츠 방정식을 구한다.

              (7)

원래 문제인 식 (2)를 있는 그대로 풀지 않고, 계산이 더 쉬운 $(\alpha, \beta)$ 좌표계로 문제 영역을 옮겨서 해결할 수 있는 방안이 바로 식 (7)이다. 3차원인 경우는 더욱 어려워서 보통 텐서 미적분학(tensor calculus)을 사용해서 문제 영역을 옮긴다.

또한 좌표 변환을 하면 매질 특성이 $k$에서 $k/|d\gamma/dw|$로 바뀌는 어려움이 생겨서, 등각 사상을 쓸 때는 $f$ = $0$인 정전장과 $\rho$ = $0$인 원천이 없는 조건을 적용한 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 유도해 푼다.

              (8)

식 (8)과 같은 라플라스 방정식은 다양한 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance)을 구할 때 빈번하게 사용된다[1].

[참고문헌]

[1] P. K. Kythe, Handbook of Conformal Mappings and Applications, New York: CRC Press, 2019.

[2] R. Herman, 8.6: Laplace’s Equation in 2D, Revisited, Introduction to Partial Differential Equations, The LibreTexts, USA.

차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)

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1. 수치 미분

2. 미분 방정식의 의미

[그림 1] 함수 $f(x)$의 차분 모습(출처: wikipedia.org)

임의 수열 $f_n$의 차이를 이용해서 $f_n$ = $a f_{n-1} + b f_{n-2} + \cdots$ 등과 같은 형태로 표현한 수식을 차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)이라 부른다. 차분 방정식의 대표적인 예는 등비 급수(geometric series)이다.

                  (1)

여기서 $f_0$ = $a_0$은 초기값(initial value), $r$은 공비(common ratio)이다. 식 (1)은 $f_n$을 기준으로 차분이 하나만 있어서 일계 차분 방정식(the first order difference equation)이 된다. 식 (1)을 확장해서 이계 차분 방정식(the second order difference equation)도 쉽게 생성할 수 있다.

                  (2)

여기서 $a, b$는 상수, $f_0, f_1$은 이미 주어진 초기값이다. 식 (2)를 풀기 위해, 식 (1)처럼 $f_n$ = $r^n$이라 가정한다. 그러면 차분 방정식은 통상적인 2차 방정식으로 간략화된다.

                  (3)

식 (2)의 해법인 식 (3)에 나온 오른쪽 식은 차분 방정식을 규정하는 특성 방정식(characteristic equation)이다. 식 (3)에 나온 특성 방정식을 풀어서 나온 공비를 $r_1$, $r_2$라고 하면, 식 (2)의 일반해(general solution)는 미분 방정식처럼 $r_1^n$과 $r_2^n$의 선형 결합으로 구한다.

                  (4)

여기서 $c_1, c_2$는 초기값으로부터 결정한다.

상미분 방정식(ordinary differential equation)처럼 다음과 같은 형태로 기술된 $m$계 차분 방정식($m$th order difference equation)은 해의 존재성과 유일성이 쉽게 증명된다[1].

                  (5)

여기서 ${\bf x}_{n-1}$은 $m$차원을 가진 수열 벡터(vector), $f_0, f_1, \cdots, f_{m-1}$은 이미 알고 있는 초기값, 초기값 벡터는 ${\bf x}_{m-1}$ = $[f_0~f_1~\cdots~f_{m-1}]$이다. 식 (5)에 초기값 벡터 ${\bf x}_{m-1}$부터 차례로 ${\bf x}_{m}, {\bf x}_{m+1}$ 등을 대입하면, 함수값은 $f_{m}$, $f_{m+1}$, $f_{m+2}$ 등으로 유일하게 나온다. 즉, 식 (5)에 ${\bf x}_{m+k-1}$을 넣으면, $f_{m+k}$가 출력되고 그 다음 입력 벡터 ${\bf x}_{m+k}$도 구성된다. 그러면 $n$ = $0, 1, \cdots, m+k$에 대해 $f_0, f_1, \cdots, f_{m+k}$를 출력하는 함수 $f(x)$를 다항 함수 보간(polynomial interpolation) 등으로 만들 수 있다. 여기서 $f_n$ = $f(x)|_{x=n}$은 $0 \le x \le m+k$에서 성립한다. 그 다음 단계로 $x$의 범위를 늘리기 위해, 이전에 생성한 $f(x)$를 식 (5)에 넣어서 $m+k \le x \le m+k+1$에서도 $f(x)$가 정의되게 한다. 여기서 이전 범위에서 변하는 $f(x)$를 ${\bf x}_{n-1}$의 성분에 대입해 연속으로 바꿈으로써 식 (5)의 좌변은 자동적으로 $m+k \le x \le m+k+1$에서 연속이다. 이 과정은 계속 될 수 있으므로, 식 (5)의 차분 방정식은 항상 해를 가진다. 식 (5)와 같은 차분 방정식의 해가 유일하다는 증명도 쉽다. 만약 $n$ = $k$부터 $f(k)$와 함수값이 다른 $g(k)$가 있다고 가정한다. 그러면 식 (5)에 따라 $g(k)$ = $F({\bf x}_{k-1})$ = $f(k)$가 되므로, $g(k)$는 $f(k)$와 다를 수 없어서 모순이다. 해의 존재성과 유일성으로 인해 차분 방정식을 다양한 방식으로 풀 수 있다. 예를 들어, 식 (2)를 풀 때에 Z 변환(Z-transform)을 써도 된다.

                  (6)

차분 방정식은 미분 방정식(differential equation)을 근사적으로 풀 때 매우 유용하다. 수학적 미분을 수치 미분으로 교체해서 미분 방정식을 차분 방정식으로 바꾸어 푸는 방식은 유한 차분법(finite difference method, FDM)이라 부른다. 유한 차분법에서는 해의 수렴성을 꼭 확인해서 풀어야 한다. 왜냐하면 수치 미분으로 인해 반복적인 연산이 들어가므로, 차분 방정식의 해가 미분 방정식의 해로 수렴한다는 확인이 꼭 필요하기 때문이다.

[참고문헌]

[1] S. Tauber, "Existence and uniqueness theorems for solutions of difference equations," Am. Math. Mon., vol. 71, no. 8, pp. 859–862, Oct. 1964.

[2] S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, 3rd ed., New York, USA: Springer, 2005.

[다음 읽을거리]

1. Z 변환

2. 이산 푸리에 변환

수치 미분(Numerical Differentiation)

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1. 미분법의 의미

[그림 1] 여러 가지 차분 방법(출처: wikipedia.org)

미분 공식을 이용해서 어떤 종류의 함수든지 미분을 할 수 있지만, 컴퓨터를 사용해서 미분을 근사할 때는 다음과 같은 차분(差分, difference)을 사용한다.

                  (1)

여기서 $x$의 차분 $h$가 0으로 한없이 접근하면 차분은 미분이 된다. 식 (1)은 현재점 $x$를 기준으로 전방에 위치한 $x+h$의 함수값으로 차분을 구해서 전방 차분(forward difference) $\Delta_f$라 부른다. 이 차분과 $h$의 나눗셈은 차분 몫(difference quotient)이면서 미분의 근사 혹은 수치 미분(numerical differentiation)이 된다. 비슷하게 후방에 있는 $x-h$ 점에서 시작해 구한 차분은 당연히 후방 차분(backward difference) $\Delta_b$가 된다.

                  (2)

혹은 점 $x$의 앞과 뒤에 있는 함수값의 차분을 써서 중앙에서 구한 차분을 만들기도 한다.

                  (3)

여기서 첫째식의 분자는 중앙 차분(central difference) $\Delta_c$, 둘째식의 분자는 대칭 차분(symmetric difference) $\Delta_s$로 이름 붙인다.

전방 차분 몫의 오차는 테일러 급수(Taylor series)를 이용해서 쉽게 구할 수 있다.

           (4)

여기서 $y$ = $f(x)$, $h \ll 1$이다. 식 (4)는 일종의 근사라서 마음에 쏙 들지 않는다. 미분에 대한 평균값의 정리(mean value theorem)에서 출발해 식 (4)를 더 엄격하게 표현한다[1].

                  (5a)

                  (5b)

여기서 $x \le \xi \le x+h$이다. 식 (5a)의 결과는 제1차 잉여항(remainder term)을 포함한 테일러 급수(Taylor series)와 동일하다. 비슷한 방식으로 대칭 차분 몫의 오차도 공식화된다.

                  (6)

테일러 급수를 이용한 분석에 따라, $y$ = $f(x)$가 부드럽게 변하는 경우에 중앙이나 대칭 차분 몫이 전방이나 후방 차분 몫보다 훨씬 더 미분값에 가깝다.

[그림 2] 차분 $h$에 대한 수치 미분 오차의 변화(출처: wikipedia.org)

이 시점에서 고민할 부분은 $h$의 선택이다. 미분 정의에 가까우려면 가능한 한 $h$를 작게 택해야 한다. 하지만 현실에서 $h$를 얼마나 작게 할 수 있을까? 여기서 말하는 현실은 컴퓨터로 계산할 때이다. 수치 계산에는 기계 엡실론(machine epsilon)이라는 나름 창의적인 개념이 있다. 0이 아닌 양수인 기계 엡실론 $\varepsilon$은 수치 계산 관점에서 $1+\varepsilon$과 $1$을 다르게 만드는 가장 큰 실수이다. 수학에서는 당연히 $1+\varepsilon$과 $1$이 다르지만, 컴퓨터는 유한한 유효 숫자로 이진수를 만들어서 계산하므로 컴퓨터 구조마다 고유한 기계 엡실론이 존재한다.

[그림 3] 이중 정밀도의 비트 분포(출처: wikipedia.org)

예를 들어, 요즘 사용되는 컴퓨터는 실수 계산을 할 때에 기본적으로 이중 정밀도(double precision)인 64 비트(bit)를 사용한다. 예전에는 단일 정밀도인 32 비트를 주로 사용했다. 이중 정밀도의 비트 분포는 [그림 3]에서 볼 수 있다. C 언어의 실수 자료형(data type)에서 단일 정밀도는 float, 이중 정밀도는 double로 칭한다. [그림 3]에 따라 컴퓨터가 쓰는 이중 정밀도 실수가 가진 유효 숫자(有效數字, significant figure)는 52 비트를 가진다. 이 52 비트는 항상 1.으로 시작하는 이진 소수의 유효 숫자라서 가장 낮은 소수 자리수는 소수점 이하 52번째이다. 그래서 지수(exponent)가 0인 이중 정밀도 실수에서, 1과 가장 가까운 이진수는 1.0000000000000000000000000000000000000000000000000001이 된다. 따라서 이중 정밀도의 기계 엡실론은 $\varepsilon$ = $2^{-52}$ =  2.22044604925031$\cdots \times 10^{-16}$이다. 그러면 $h$ = $\varepsilon$인 경우가 가장 최적의 수치 미분을 얻게 하는가? [그림 2]의 결과를 보면, 우리 예상과는 다르게 $\varepsilon$보다 훨씬 큰 $h$를 선정해야 한다. 수치 미분의 오차를 최대로 줄이는 $h$를 구하기 위해, 컴퓨터로 함수를 계산할 때에 필연적으로 나타나는 반올림 오차(round-off error)를 기계 엡실론 개념으로 근사화한다.

                  (7)

여기서 $\varepsilon_1$ = $\varepsilon_1(x)$, $\varepsilon_2$ = $\varepsilon_2(x, h)$,  $\widetilde{f}(x)$는 $x$에서 계산한 반올림 오차를 반영한 함수값, $f(x)$는 정확한 함수값이다. 식 (7)을 식 (1)에 대입해서 반올림 오차를 가진 수치 미분을 구한다[1].

                  (8)

여기서 $h$는 매우 작아서 $f(x+h)$ $\approx$ $f(x)$이다. 식 (8)을 다시 식 (5b)에 넣어서 수치 미분의 오차 $E (h)$와 최대 오차 $E_{\max}(h)$를 표현한다.

                  (9)

여기서 $|\varepsilon_2 - \varepsilon_1| \le 2 \varepsilon$, $\varepsilon$는 이중 정밀도의 기계 엡실론, $f(\xi)$와 $f^{(2)}(\xi)$는 $x \le \xi \le x+h$에서 거의 상수이면서 0은 아니라고 가정한다. 식 (9)의 둘째식을 미분해서 0이 되는 값이 바로 최적의 $h$인 $h_\text{opt}$이다[1].

                  (10)

함수 $f(x)$마다 $h_\text{opt}$는 다르지만, 편하게 근사하기 위해 보통 $h_\text{opt}$ $\approx$ $2 \sqrt{\varepsilon}$ $\approx$ $3 \times 10^{-8}$으로 생각한다. 이 결과는 [그림 2]에 보이는 $h_\text{opt}$를 잘 설명한다.

   1. 기본(basics)   

[정의]

                  (1.1)

독립 변수 $x$의 차분인 $h$가 같은 간격으로 변하는 경우의 차분을 정의하기 위해 식 (1.1)을 빈번하게 사용한다.

[선형 사상(線型寫像, linear mapping)]

                  (1.2)

모든 종류의 차분에 대해 선형 사상이 항상 성립한다.

[곱의 차분]

                  (1.3a)

                  (1.3b)

여기서 $f_{m+0.5}$ = $(f_m + f_{m+1})/2$, $f_{m-0.5}$ = $(f_{m-1} + f_{m})/2$이다.

[증명]

함수 곱을 식 (1.1)에 넣고 정리해서 식 (1.3)을 증명한다. 나머지 차분도 동일하게 접근할 수 있다.

                  (1.4a)

                  (1.4b)

______________________________

식 (1.3b)의 마지막식은 차분 연산에 빈번하게 쓰이는 유용한 공식이다. 다만 좌변과 완벽히 같지는 않기 때문에, $h$가 0에 매우 가깝다는 조건이 필요하다.

[참고문헌]

[1] K. Mørken, Chapter 11. Numerical Differentiation, Numerical Algorithms and Digital Representation, University of Oslo, Norway, Nov. 2010. (방문일 2023-04-16)

[2] F. B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis, 2nd ed., New York, USA: Dover Publications, 1987.