리만–르베그 보조 정리(Riemann–Lebesgue Lemma)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "리만–르베그 보조 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 적분법의 의미

푸리에 급수(Fourier series)의 원래 함수 수렴성을 증명할 때 필수적으로 등장하는 부분은 리만–르베그 보조 정리(Riemann–Lebesgue lemma)이다[1]. 리만–르베그 보조 정리는 삼각 함수(trigonometric function)의 극한(limit)에 대한 적분이어서 적분법(integration)의 의미를 명확하게 생각해야 한다. 이 보조 정리를 증명한 리만Bernhard Riemann(1826–1866)과 르베그Henri Lebesgue(1875–1941)가 각각 [그림 1]의 리만 적분(Riemann integral)과 르베그 적분(Lebesgue integral)을 제안했음은 우연이 아니다.

[그림 1] 리만 적분(파란색)과 르베그 적분(빨간색)의 차이점(출처: wikipedia.org)

정성적으로는 쉽게 이해가 되는 리만–르베그 보조 정리를 엄밀하게 수학적으로 증명하려면 탄탄한 적분 정의가 필요하다.

[리만–르베그 보조 정리: 사인 함수(sine function)]

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능하면 다음이 성립한다.

                       (1)

[증명: 리만 적분]

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능이므로 정적분을 무한 급수의 극한으로 바꾼다.

                       (2)

여기서 $t_n$은 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에 있는 임의의 $x$값이다. 다음으로 함수 $g(t_n)$은 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에서 상수인 함수로서 함수 $f(t_n)$의 최소값으로 정한다. 즉, $g(t_n) \le f(t_n)$이 항상 성립한다. 식 (2)를 변형하기 위해 다음 부등식을 고려하자.

                       (3)

그러면 다음을 얻을 수 있다.

                       (4)

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능하므로 $N$이 커져갈 때 식 (4)의 둘째줄 식은 반드시 다음이 성립한다.

                       (5)

여기서 $\epsilon$은 임의의 양수이다. 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에서 함수 $g(t_n)$은 상수이므로 식 (4)의 셋째줄 식은 다음처럼 변형할 수 있다.

                       (6)

따라서, $m$이 커질 때 식 (6)의 절대값은 항상 $\epsilon/2$보다 작게 만들 수 있다.

[증명: 부분 적분]

구간 내에서 함수 $f(t)$의 미분이 존재하고 유한하다면 부분 적분(integration by parts)을 이용해서 쉽게 식 (1)을 증명할 수 있다.

                       (7)
______________________________

식 (1)에서 $m$이 커짐은 [그림 2]처럼 사인 함수가 매우 빠르게 변한다는 의미이다.

[그림 2] 진동하는 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

구간 $[\pi/(2m), 3\pi/(2m)]$에서 식 (2)를 보면 다음을 알 수 있다.

                       (8)

즉, 이 구간에서 $f(x)$는 천천히 변하지만 사인 함수는 매우 빨리 변해서 그 합은 0으로 수렴한다. 식 (1)은 이 말을 수학식으로 표현했다. 리만–르베그 보조 정리는 다음처럼 변형해서 사용할 수도 있다.

                       (9)

                       (10)

식 (9), (10) 증명은 위와 동일한 방법으로 할 수 있다.

[참고문헌]

[1] B. Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (About the Description of a Function by a Trigonometric Series), 1853.

형보다 나은 아우: 푸리에 변환(Fourier Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸리에 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 푸리에 급수의 시작
2. 디랙 델타 함수
3. 복소 함수론의 이해

[푸리에 변환 소개]

수학 분야에서 푸리에 급수(Fourier series)는 아주 성공적이지만, 푸리에 변환(Fourier transform)은 기법의 폭발력에서 푸리에 급수를 훨씬 넘어선다. 현대 통신의 시작과 끝이 푸리에 변환이기 때문에 통신 전분야에서 광범위하게 쓰이는 개념이 푸리에 변환이다. 청출어람(靑出於藍)이란 말에 딱 맞는 경우가 바로 푸리에 변환이다.

[그림 1] 통신의 개념(출처: wikipedia.org)

푸리에 변환은 푸리에 급수의 약점을 보완하기 위해 제안된 적분 변환(integral transform)이다. 이름에서도 알 수 있듯이 최초 제안자는 푸리에Joseph Fourier(1768–1830)이다. 식 (1)의 푸리에 급수는 유용하지만 함수가 반드시 주기적이어야 한다는 제약 조건이 있다.

                       (1)

이 문제를 해결하는 방법은 주기($T$)를 무한대로 보내기이다. 그러면 비주기 함수도 푸리에 급수로 변환할 수 있다. 다만 주기를 무한대로 보낸 경우는 푸리에 급수라 하지 않고 푸리에 적분(Fourier integral) 혹은 푸리에 변환(Fourier transform)이라 한다. 푸리에 적분과 푸리에 변환은 같은 공식을 다른 관점에서 표현한 적분이다. 푸리에 급수의 주기를 늘려서 급수를 적분 형태로 만들면 푸리에 적분이라 한다. 푸리에 변환은 시간 함수를 주파수 함수로 바꾸어 생각한다. 즉 푸리에 적분과 푸리에 변환은 설명이 약간 다르지만 같은 수식의 서로 다른 이름이다.

식 (1)을 이용해 푸리에 적분 혹은 푸리에 변환을 정의한다. 먼저 식 (1)에서 $F_m \cdot T$를 만들고 주기 $T$를 무한대로 보낸다. 그러면 새로운 변수 $F(\omega)$는 다음처럼 정의된다.

                       (2)

여기서 $m$은 식 (1)의 푸리에 급수를 표현하고 있으므로 먼저 무한대로 가야 한다. 이런 푸리에 급수 조건을 만족시킨 후 그다음에 $T$를 무한대로 보낸다. 이산적인 $m \cdot \omega_0$가 연속적인 $\omega$가 되는 이유를 알려면 적분(integration)의 의미를 봐야 한다. 단순하게 생각하면 $\omega_0$는 이산적인 각주파수(angular frequency)의 간격이므로 주기 $T$가 커질수록 $\omega_0$는 $2 \pi /T$에 의해 작아진다. 그러면 주기 $T$가 커짐에 따라 각주파수 간격 $\omega_0$는 계속 줄어들어 이산적인 값이 연속적인 값으로 바뀌는 모습을 상상할 수 있다. 또한 $m$은 무한대로 발산하고 있으므로 각주파수가 변할 수 있는 범위는 $-\infty$에서 $\infty$임을 알 수 있다.

식 (2)의 개념과 이산적 각주파수의 특성을 식 (1)의 첫째식에 도입하면 함수 $f(t)$를 푸리에 변환 $F(\omega)$로 표현할 수 있다.

                       (3)

식 (3)의 유도 과정을 정확히 이해하려면 적분법(integration)을 반드시 이해해야 한다. 추가로 식 (3)은 푸리에 변환의 매우 중요한 특징이다. 원래 함수 $f(t)$와 그 푸리에 변환 $F(\omega)$가 일대일 대응(一對一對應, one-to-one mapping)함을 보여준다. 만약 서로 다른 함수 $f_1(t)$와 $f_2(t)$가 동일한 푸리에 변환 $F(\omega)$를 가진다면 어떻게 될까? 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)을 의미하는 식 (3)에 의해 $f_1(t) = f_2(t)$가 반드시 성립해야 한다. 즉, 푸리에 변환 $F(\omega)$가 같으면 변환의 원래 함수 $f(t)$는 유일하다. 식 (2)를 식 (3)에 대입하면 재미있는 관계 하나를 유도할 수 있다.

                       (4)

식 (4)는 모든 $t$에 대해 성립하므로 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 쓰면 다음처럼 멋진 적분식이 증명된다.

                       (5)

식 (5)는 복소 함수론(complex analysis or complex function theory)을 이용해서도 증명 가능하다.

[그림 2] 복소 적분을 위한 닫힌 경로(출처: wikipedia.org)

[푸리에 변환과 디랙 델타 함수]

                        (6)

[증명: 복소 함수론]

복소 지수 함수 $e^{i \omega |t - t'|}$은 적분이 잘 되지만, 식 (6)처럼 적분 구간이 무한하면 정적분이 정의되지 않는다. 이를 해결하기 위해 해석 함수를 다루는 복소 함수론을 적극적으로 활용한다. 적분 변수 $\omega$에 대해 $e^{i \omega |t - t'|}$은 해석적이어서 복소 평면 상에 어떤 적분 경로를 잡더라도 적분이 가능하고 유수(residue)도 없다. 먼저 $t > t'$인 경우로 가정해서 식 (6)의 우변을 계산한다. 식 (6)의 우변을 있는 그대로 적분하기는 어려우므로[∵ 함수 $e^{i \omega |t - t'|}$를 제외한 나머지 부분이 상수이기 때문에], 시간 $t$에 대해 식 (6)을 다시 적분한다. 

                       (7)

여기서 $\Delta > 0$, $T > 0$, $T > \Delta$이다. 식 (7)의 둘째 줄에서 적분 순서를 바꿀 수 있는 이유는 조르당의 보조 정리(Jordan's lemma)에 의해 $\omega$에 대한 적분[= $\int_{-\infty}^\infty e^{i \omega (t-t')}\,d\omega$]의 절대값이 $\pi \mathbin{/} |t - t'|$보다 작은 성질에 기인한다. 식 (7)과 같은 접근법은 디랙 델타 함수의 정의에 쓰는 슈바르츠Laurent Schwartz(1915–2002)가 제안한 분포(distribution)에 해당한다. 분포 관점에서는 함수를 그대로 두지 않고 정적분해서 그 결과를 관찰한다. 구간 선택에 관계없이 정적분된 결과가 하나로 고정되면, 이 함수는 디랙 델타 함수의 성질을 가진다.

다음 단계로 식 (7)의 마지막 적분 구간을 전체 실수에서 [그림 2]처럼 닫힌 복소 경로로 바꾼다. 이 절차는 [그림 2]에 있는 $c_1$을 따라가는 적분이 조르당의 보조 정리로 $0$이 되는 결과를 이용한다. 새로운 닫힌 경로 $c_1 + c_2$ 내부에 극점(pole)이 없어서 유수는 없으므로, 유수 정리(residue theorem)에 따라 [그림 2]의 닫힌 경로 적분은 $0$이 된다. 그래서 식 (7)의 적분도 $0$이 된다.

                       (8)

양의 실수 $\Delta$를 한없이 줄이거나 $T$를 아주 크게 만들더라도 식 (8)은 언제나 성립한다. 그러면 복소 적분의 영인자(nullity of complex integration)에 의해 피적분 함수인 식 (6)의 우변은 항상 $0$이 된다.

                        (9)

시간이 $t < t'$인 경우도 식 (7)–(9)와 비슷한 과정을 거쳐서 적분값이 $0$임을 확인한다. 다음 단계로 $t$ $\approx$ $t'$ 근방에서 식 (6)의 우변을 적분한다.

                        (10)

여기서 $\Delta$는 임의로 작게 잡을 수 있다. 식 (10)의 둘째 줄에 있는 피적분 함수에는 $e^{-i \omega \Delta}$가 있기 때문에, $c_1$에서 적분이 발산해서 전체 실수에 대한 적분을 [그림 2]와 같은 경로로 바꿀 수 없다.[즉, 그림 2의 큰 반원에서 $e^{-i \omega \Delta}$가 발산한다.] 그래서 $\omega$의 부호를 바꾸어서 [그림 2]의 $c_1$ 경로에서 발산하지 않게 한다.[$\omega \to -u$] 또한 식 (10)의 마지막 과정은 손쉽게 유수 정리(留數定理, residue theorem)를 이용할 수도 있다.

[그림 3] 양뱡향으로 감쇠하는 지수 함수

[증명: 로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)]

식 (6)의 우변을 정적분하기 위해, [그림 3]처럼 양방향으로 감쇠하는 지수 함수의 푸리에 변환을 구한다.

                       (11)

여기서 $\sigma$는 임의의 작은 양의 실수이다. 식 (11)에서 $\sigma \to 0$일 때, 성급하게 푸리에 변환값을 $0$이라고 하면 안된다. 대부분은 $0$이 되지만 $\omega$까지 $0$이 되면 분모가 $0$이 되는 문제가 생긴다. 아래에 제시한 디랙 델타 함수를 만드는 로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)를 고려한다. 

                       (12)

따라서 다음 관계가 성립해서 식 (6)이 증명된다.

                       (13)

______________________________

식 (2)처럼 푸리에 급수로부터 푸리에 변환을 유도함이 일반적이지만 푸리에 변환으로부터 푸리에 급수를 유도할 수도 있다. $f(t)$가 주기 함수(periodic function)인 경우도 식 (2)를 이용해 푸리에 변환을 구할 수 있다. 즉, 주기 함수도 함수이므로 푸리에 변환식에 넣어 아래와 같이 적분을 해본다.

                       (14)

그러면 식 (14)처럼 한 주기에 대한 적분과 무한 급수(infinite series)의 곱으로 이루어진 결과를 얻을 수 있다. 더 진행하기 위해 충격 열(impulse train)에 대한 다음 관계를 이용한다.

                       (15)

식 (15)에 의해 식 (14)에 있는 무한 급수는 디랙 델타 함수로 표현될 수 있다. 식 (15)를 식 (14)에 대입하여 정리하면 다음 푸리에 급수를 얻을 수 있다.

             (16)

여기서 $\omega_0$ = $2 \pi/T$이다. 식 (16)에 의해 주기 함수의 푸리에 변환 $F(\omega)$은 충격 열(impulse train)로 표현된다. 충격 열에 있는 각 디랙 델타 함수의 크기는 푸리에 계수 $F_m$이다. 식 (16)에서 주기 함수의 푸리에 변환이 발산하는 이유는 푸리에 변환의 적분 구간인 음의 무한대에서 양의 무한대까지 함수값이 계속 존재하기 때문이다.[∵ 주기 함수의 정의에 의해 모든 시간에서 함수가 주기적으로 존재해야 한다.]

식 (2)와 (3)을 종합하여 다음의 푸리에 변환쌍(Fourier transform pair)을 정의할 수 있다.

                        (17)

푸리에 변환쌍은 서로 일대일 대응이 되므로 시간 영역 $f(t)$를 풀든지, 주파수 영역 $F(\omega)$를 풀든지 동일한 결과를 얻는다. 이건 굉장히 중요한 관점을 보여준다. 시간 함수 $f(t)$로 특성 해석이 어려운 경우 다른 영역인 $F(\omega)$를 고려하면 시간 함수 $f(t)$의 특성을 쉽게 얻을 수도 있다. 물론 이건 그때 그때 다르다.

푸리에 변환이 내포하고 있는 특성을 좀더 고민한다. 식 (3)의 최종 결과를 보면 푸리에 변환은 다음과 같다.

                       (18)

식 (18)의 좌변은 우리가 흔히 보는 시간 영역(time domain) 신호이다. 시간 영역 신호는 [그림 4]처럼 시간에 따라 진폭이 변화되는 신호이다.

[그림 4] 시간 영역 신호의 파형(출처: wikipedia.org)

우리가 신호의 특성을 관측하는 방법 중의 하나는 시간에 대해 진폭 특성이 어떻게 변하는 가를 관찰하기이다. 즉, 특정 지점의 진폭 관측하기는 시간 영역의 관측법이다. 식 (18)의 우변은 시간 영역 관측과는 전혀 다르게 빈도수[혹은 주파수]의 분포를 구해 이 빈도수 분포를 무한히 합친다. [그림 5]처럼 시간에 따라 주기적으로 변하는 신호들을 분포[혹은 주파수별 진폭]에 맞게 모으면 신기하게도 시간 영역 관측과 일치한다는 개념이 푸리에 변환의 의미이다.

[그림 5] 주파수가 일정한 신호들(출처: wikipedia.org)

이 성질은 상식적으로 이해할 수 없는 결과이다. 하지만 식 (18)의 좌변과 우변이 같다는 증명은 이미 식 (3)에 나와있다. 이 부분이 푸리에 변환을 처음 배울 때 헷갈리는 점이다. 초보자 눈에는 함수를 표현할 때 식 (18)의 우변처럼 $f(t)$로 쓰면 쉬울 것 같다. 하지만 [그림 4]를 다시 본다. 실제 시간 영역 파형은 시간적으로 복잡하며 더군다나 계속 변하고 있다. 예를 들어, [그림 4]의 파형을 수학 함수로 표현본다. 잘 할 수 있는가? [그림 4]와 같은 파형을 수학적으로 효과적이게 표현하려면 빈도수[혹은 주파수]를 기준으로 함수를 표현하면 된다. 시간적으로 변하는 성분은 잘 알려진 지수 함수(exponential function) $\exp(i \omega t)$로 표현하고 주파수별 진폭[실제로는 복소수]에 해당하는 $F(\omega)$에만 집중하면 [그림 4]의 시간 파형을 [그림 5]와 같은 주기 함수의 무한 합으로 표현할 수 있다. 주파수별 진폭을 표현하는 공간은 주파수 영역(frequency domain)이라 한다. 다른 관점으로 보면 식 (18)의 좌변에 표시한 함수 $f(t)$는 시간 $t$와 어떤 함수 관계를 가지고 있는지 전혀 알 수 없다.[∵ 함수 이름이 $f(t)$라는 부분 외에 아무런 정보도 없다.] 하지만 식 (18)의 우변을 보라. 이 함수 $f(t)$는 시간 변화가 분명히 $\exp(i \omega t)$에 연관되어 있다. 믿을 수 없지만 임의의 모든 함수 $f(t)$가 $\exp(i \omega t)$에 연관되어 있다.

[그림 6] 천지창조(출처: wikipedia.org): 벽화의 3차원 영상은 [여기]

계속 강조하고 있는 푸리에 변환의 핵심은 현재 시간 $t$와 전혀 관계없는 새로운 영역인 빈도수 $f$로 해석 관점을 바꾸기이다. 현재 시점에 집중하지 않고[시간 영역] 신의 영역에 해당하는 태초부터 세상 끝까지 퍼져 있는 주기 함수[혹은 빈도수]의 분포[주파수 영역]를 본다. 따라서, 현재를 관찰하지 말고 처음부터 끝까지 나타나는 빈도를 봄이 푸리에 변환이다. 푸리에 변환이 시간에 대해 적용되면 시간-주파수가 서로 쌍이 된다. 시간에 대한 봄과 주파수의 분포에 대해 봄은 서로 동일하다. 공간의 경우에는 공간과 파수(wavenumber)가 서로의 쌍이다. 즉, 공간에 집중하지 않고 공간적 주기의 빈도수 분포를 본다. 푸리에 변환은 시간과 공간에만 적용되지는 않는다. 현재 상태($t$)와 빈도수($\omega$)를 정의할 수 있는 어떤 곳에도 쓰일 수 있다. 식 (18)은 말 그대로 수학적 관계이므로 $t$-$\omega$ 대신 다른 변수를 써도 문제없다. 예를 들면 푸리에 변환은 사진 압축에도 쓰일 수 있다. 대표적인 압축 형태인 JPEG(Joint Photographic Experts Group)는 푸리에 변환의 일종인 이산 코사인 변환(discrete cosine transform, DCF) 기반하고 있다.

[그림 7] JPEG의 기저 함수(출처: wikipedia.org)

JPEG에서는 [그림 8]과 같은 사진을 있는 그대로 저장하지 않고 영상 처리(image processing)를 통해 [그림 7]과 같은 빈도수를 가진 기저 함수(basis function)의 진폭으로 저장한다. 즉, 영상 처리를 위해 JPEG는 사진을 8×8 픽셀(pixel) 단위로 쪼갠다. 8×8 픽셀은 하나의 블록(block)이 된다. HDTV의 기준 해상도인 1024×768 픽셀은 JPEG 블록 기준으로는 128×96 블록이 된다. 블록이 상하좌우로 변할 수 있는 빈도의 특성은 DCT를 따르므로 푸리에 급수(Fourier series)를 구성하는 기저 함수는 [그림 7]처럼 생겨야 한다. 이 기저 함수는 푸리에 급수의 삼각 함수 역할을 하므로, 우리가 결정할 부분은 삼각 함수의 계수이다. 즉 계산한 삼각 함수의 계수는 [그림 8]을 복원할 [그림 7]에 있는 기저 함수의 진폭으로 쓰인다. 이 진폭을 적당히 압축하면 저장되는 그림 파일의 크기를 획기적으로 줄일 수 있다.

[그림 8] 영상 처리의 시험 사진: 레나(출처: lenna.org)

영상 처리에 빈번하게 사용하는 사진은 [그림 8]의 레나(lena or lenna)이다[1]. [그림 8]처럼 레나는 영상 처리를 위한 다양한 시각적 요소들(곡선, 평면, 거울, 그림자, 살색, 질감 등)을 가지고 있으며 더군다나 대상이 아름다운 여인(?)이다[1]. 역사를 추적해 보면 '레나'는 원래 도색 잡지인 플레이보이(Playboy)에 나오는 사진이었다. 1970년 즈음 이를 불법으로 복사해서 영상 처리에 몰래 사용했고 용기 있는 누군가가 학술지에 영상 처리 이론과 함께 이 사진을 공개해서 사진이 급속도로 퍼졌다. 이후에 이 사진은 레나라는 이름도 가지게 되었고 사진의 주인공은 인터넷의 으뜸 여인 혹은 영부인(First Lady of the Internet)이 된다. 그래서 [그림 8]은 원래 상업적 사진이었으나 워낙 많이 사용되었기 때문에 저작권이 희미해진 사진 중의 하나이다.

푸리에 변환쌍은 식 (17)이 기본이기는 하지만, 푸리에 변환과 역변환의 정의가 $1/(2\pi)$만큼 다르다. 그래서 식 (17)의 둘째 정의에서 적분 변수를 $\omega$에서 $2 \pi f$로 바꾸어서 대칭적인 푸리에 변환쌍을 정의할 수 있다.

                       (19)

여기서 $df$ = $d\omega/(2 \pi)$이다. 그러면 주파수 영역의 변수만 $\omega$에서 $f$로 바뀔 뿐, 푸리에 변환된 결과는 $\hat g(f)$ = $F(\omega)$로 동일하다. 변수를 바꾸기 싫을 때는 상수 항 $1/(2\pi)$을 푸리에 변환과 역변환에 동등하게 나누면 된다.

                       (20)

식 (17)과 비교하면, $F(\omega)$ = $\sqrt{2 \pi} \hat F(\omega)$이어서 기준 변환과 상수배만큼 차이가 난다. 푸리에 변환쌍의 정의가 여러 개일 수 있어서, 관련 자료를 볼 때는 주의를 기울여야 한다. 약간 귀찮고 혼란스러운 느낌이 있지만, 푸리에 변환이 워낙 유명하고 많이 쓰이기 때문에 이런 번잡함이 생긴다. 그래서 푸리에 변환쌍에 대한 여러 정의도 잘 공부해둔다. 앞서간 선배 연구자의 어깨 위에 굳세게 서서 나만의 새로운 응용을 멋지게 만들 수 있을 것이다.

푸리에 변환은 여러 변수를 함께 쓸 수 있어서 다차원으로 쉽게 확장된다. 푸리에 변환쌍인 식 (7)이 여러 변수에 대해 곱해진다고 생각한다. 만약 $n$차원 위치 벡터(position vector)를 $\bar x$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$로 두면, 파수 벡터(wavenumber vector) $\bar k$ = $(k_1, k_2, \cdots, k_n)$에 대해 다차원 푸리에 변환(multidimensional Fourier transform) $\mathfrak{F}_n[\cdot]$과 역변환 $\mathfrak{F}_n^{-1}[\cdot]$은 다음과 같이 공식화된다[2].

                  (21)

여기서 벡터 내적(inner product)은 $\bar k \cdot \bar x$ = $k_1 x_1 + k_2 x_2 + \cdots + k_n x_n$이다.

[참고문헌]

[1] L.-M. Po, "Lenna 97: A complete story of Lenna," City University of Hong Kong, Hong Kong, 2001.

[2] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.

[3] 박원우, 딥러닝을 위한 푸리에 영상처리, 홍릉, 2023.

[다음 읽을거리]
1. 평면파를 이용한 푸리에 변환 기법
2. 한켈 변환

3. 이산 푸리에 변환

4. 바이어슈트라스 변환

5. 푸리에 변환의 성질

6. 단위 계단 함수의 푸리에 변환

7. 라플라스 변환

8. 멜린 변환

9. 베버 변환

10. 라돈 변환

11. 고속 푸리에 변환

푸리에 급수의 시작(Fourier Series)

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1. 열 방정식

[그림 1] 푸리에 급수를 이용한 톱니파의 표현(출처: wikipedia.org)

통신 이론(communication theory)을 공부한 사람이면 누구나 아는 개념이 아래의 기함수(奇函數, odd function)에 대한 푸리에 급수(Fourier series)이다. 간단하게 푸리에 사인 급수(Fourier sine series)라고도 한다.

                       (1)

여기서 $f(t)$는 기함수라 가정했고, $T$는 신호의 주기(period), $F_m$은 푸리에 계수(Fourier coefficient)이다. 푸리에 급수는 임의의 주기 함수(periodic function)를 삼각 함수(trigonometric function)의 무한 급수(infinite series)로 표현할 수 있어서 매우 신기하다. 경이로운 푸리에 급수를 이용해서 일반 함수의 특성을 기저 함수의 무한 급수로 분석하는 방법은 푸리에 해석(Fourier analysis)이라고 부른다. 식 (1)이 성립하기 때문에, 푸리에 계수 $F_m$은 다음과 같은 적분을 통해 쉽게 구할 수 있다.

                      (2)

여기서 $F_{-m}$ = $-F_m$, 첫째식은 어떤 함수 $(\cdot)$를 한 주기 $T$에 대해 적분(integration)이다. 기함수를 한 주기에 대해 적분하면 둘째식에 있는 사인 함수(sine function)의 직교성(orthogonality: 서로 다른 두 함수를 곱해 적분하면 항상 0이 되는 성질)에 의해 셋째식이 얻어진다. 유명한 식 (2)는 푸리에Joseph Fourier(1768–1830)가 제안한 푸리에 계수를 결정하는 방법이다. 만약 $f(t)$가 우함수이면 식 (2)의 마지막 적분식에 의해 $F_m$ = $0$이 된다. 즉, 식 (2)의 적분식은 우함수와는 관계없는 식이다. 혹은 식 (2)의 적분식은 어떤 함수의 기함수 특성을 뽑는 식이라 생각할 수도 있다.[∵ 우함수 특성은 0이 되기 때문에]

여기까지는 왠만한 통신 이론 책에 나오는 내용이라 특별한 부분은 없다. 하지만 푸리에 급수를 식 (2)에 있는 적분으로 외우고 푸리에 급수의 모든 면을 다 안다고 생각하면 큰 오산이다. 푸리에  급수의 핵심은 식 (2)가 아니고 식 (1)이기 때문이다. 식 (1)이 성립하면 식 (2)는 자동적으로 얻어진다. 통신 이론을 배운 대부분의 학생들은 식 (1)을 고민하지 않는다. 식 (1)을 푸리에 급수의 정의라 생각하고 교수가 하는 말을 그대로 받아들이는 경우가 99.9%이다.  하지만 이런 학생들은 현재를 넘어서는 새로운 통신 방식을 제안할 수 없다. 식 (1)의 의미를 심각하게 고민하고 교수말을 믿지 않는 고집스러운 0.1%의 학생들이 장래에 진정한 통신공학자가 될 것이다. 푸리에 급수를 고민하지 않고는 CDMA(Code Division Multiple Access), OFDM(Orthogonal Frequency-Division Multiplexing), MIMO(Multiple-Input and Multiple-Output)와 같은 창의적인 통신 방식을 제안할 수 없다. 통신에서 푸리에 급수를 사용하는 이유는 무엇일까? 바로 신호 처리가 쉽기 때문이다. 식 (1)로 다시 돌아가 상상한다. 주기 함수 $f(t)$를 그대로 사용하기가 쉬운가 아니면 삼각 함수의 무한 급수를 사용하기가 쉬운가? 언뜻 보면 무한 급수가 없는 $f(t)$를 쓰기가 쉬울 것 같지만 우리는 주기 함수 $f(t)$에 대해 아는 부분이 없어 이 함수를 그대로 쓸 수는 없다. 하지만 푸리에 급수로 통칭하는 삼각 함수의 무한 급수는 계수 $F_m$만 결정되지 않았고 시간적 변화를 의미하는 삼각 함수는 모두 결정되어 있으므로 주기 함수 $f(t)$의 성질을 푸리에 급수를 이용해 분석할 수 있다. 따라서 시간적으로 변하는 $f(t)$를 푸리에 계수 $F_m$만으로 결정할 수 있다. 이 뜻을 제대로 이해하기가 통신 공부의 시작이다. 

식 (1)은 증명이 필요한 공식이다. 푸리에가 이 방법론을 제안했을 때 가장 많은 비판을 받은 부분이 식 (1)이다. 식 (1)은 절대 정의가 아니다. 식 (1)이 푸리에 급수의 정의라면 이후 전개되는 식 (2)와 같은 내용은 동어반복이 되어 수학 이론에 심각한 결함이 된다. 대부분의 경우 식 (1)은 맞지만 모든 경우에 대해 성립하지는 않는다. 이 개념을 이해하기 위해 [그림 1]을 본다. 삼각 함수를 계속 더해가면 [그림 1]처럼 톱니파(sawtooth wave)를 근사화할 수 있다. 무한개의 삼각 함수를 더하면 톱니파를 완벽히 표현할 수 있다. 그런데 문제점이 하나 있다. $t$ = $\pm \pi, \pm 3 \pi$ 등에서 톱니파는 불연속이어서 함수값을 특정할 수 없다. 그런데 푸리에 급수는 불연속점인 $t$ = $\pm \pi, \pm 3 \pi$ 등에서 함수값이 0이라고 하고 있다. 그래서, 불연속 함수(discontinuous function) 측면으로 보면 푸리에 급수는 식 (1)을 항상 만족하지는 않는다. 따라서, 식 (1)의 등호(=)를 새롭게 바꾸어서 불연속 함수에도 적용가능하도록 해야한다.[∵ 불연속인 경우는 등호가 성립하지 않기 때문에 식 (1)을 다르게 써야 한다.] 식 (1)의 증명을 위해 푸리에 급수를 확장한다. 기함수와 전혀 다른 특성을 갖는 우함수(偶函數, even function)에 대해 푸리에 급수를 정의하면 다음과 같다. 우함수에 대한 푸리에 급수는 푸리에 코사인 급수(Fourier cosine series)라고 한다.

                      (3)

식 (2)와 동일한 방법을 식 (3)에 적용하면 계수 $G_m$을 다음처럼 얻을 수 있다.

                      (4a)

여기서 $G_{-m}$ = $G_m$이다. 노이만 수(Neumann number) $\varepsilon_m$을 이용해 식 (4)에 등장한 적분을 더 편하게 표현할 수 있다.

                      (4b)

여기서 $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$, $\delta_{ml}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 따라서 푸리에 급수는 기함수, 우함수 여부에 따라 사인(sine) 혹은 코사인(cosine) 함수로 표현할 수 있다. 만약 $g(t)$가 기함수이면 식 (4)의 마지막 적분식에 의해 $G_m$ = $0$이 된다. 즉, 식 (4)의 적분식은 기함수와는 관계없는 식이다.  다른 측면으로 보면 식 (4)의 적분식은 어떤 함수의 우함수 특성을 추출한다.[∵ 기함수 특성은 0이 되기 때문에] 또한, 다음처럼 모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있다.

                      (5)

따라서, 식 (1)과 (3)을 합치면 우함수와 기함수 특성이 모두 합쳐지기 때문에 임의의 주기 함수에 대한 복소 푸리에 급수(complex Fourier series)를 얻을 수 있다. 복소 푸리에 급수는 기함수 혹은 우함수 여부에 관계없이 모든 주기 함수에 적용할 수 있는 일반적인 기법이다.

                 (6)

식 (6)을 정리하면 다음과 같다.

                      (7)

여기서  $F_{-m}$ = $-F_m$,  $G_{-m}$ = $G_m$이다. 식 (2)와 (4)를 일반 함수 $h(t)$에 적용하기 위해 식 (5)처럼 $h(t)$ = $h_{\rm even}(t) + h_{\rm odd}(t)$라 한다. 다음으로 식 (2)와 (4)의 최종 결과인 $F_m$, $G_m$ 표현식을 식 (7)에 대입하면 복소 푸리에 계수 $H_m$은 다음으로 결정된다.

   

        (8)

혹은 식 (7)의 최종 결과인 $h(t)$ = $\sum_{m=-\infty}^\infty H_m e^{i m \omega_0 t}$를 $-T/2$에서 $T/2$까지 직접 적분해서[혹은 복소 지수 함수의 직교성을 이용해서] 식 (8)을 구할 수 있다. 푸리에 급수 개념을 정리하기 위해 복소 푸리에 급수와 푸리에 사인 및 코사인 급수의 관계를 증명한 식 (5)에서 (8)까지를 다시 본다. 우함수와 기함수 특성을 차례로 합치면 일반식인 복소 푸리에 급수가 식 (7)과 (8)처럼 얻어진다. 거꾸로 복소 푸리에 급수로부터 푸리에 사인 및 코사인 급수를 유도하려면 복소 지수 함수(complex exponential function)를 오일러 공식(Euler's formula)을 이용해 코사인과 사인으로 분해하여 식 (8)처럼 적분한다. 그러면 복소 푸리에 급수의 계수 $H_m$이 $F_m$과 $G_m$으로 나누어짐을 보일 수 있다. 푸리에 계수의 수렴 특성을 알기 위해 다음 적분식을 생각한다[1].

                      (9)

여기서 $F_m$은 식 (8)로 정의된다. 식 (9)를 이용해 부등식을 만들면 이게 유명한 베셀의 부등식(Bessel's inequality)이 된다.

                      (10)

만약 $f(t)$가 제곱 적분 가능한 함수(square-integrable function)이면 식 (10)의 좌변이 유계(bounded)가 된다. 또한 정수 $M$은 한없이 커질 수 있으므로 식 (10)의 좌변이 무한 급수가 되더라도 유계가 된다. 따라서, $f(t)$가 제곱해서 적분 가능한 경우 푸리에 계수 제곱값의 무한 급수는 항상 수렴한다.

[그림 2] 디리클레 핵심의 함수값(출처: wikipedia.org)

푸리에 급수가 원래 함수로 수렴한다는 증명은 다음의 등비 급수(geometric series)부터 시작한다.

                 (11)

식 (11)의 우변에 있는 등비 급수(geometric series)는 매우 중요하기 때문에 특별한 이름이 붙어있다. 푸리에 급수가 가진 원래 함수로의 수렴성을 증명한 디리클레Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805–1859)의 이름을 따서 다음 등비 급수를 디리클레 핵심(Dirichlet kernel)이라 부른다.

                      (12)

디리클레 핵심은 등비 급수를 이용해 다음처럼 쉽게 계산할 수 있다.

                      (13)

식 (12)의 디리클레 핵심을 이용해 식 (11)의 부분합 $S_M$을 다시 정의하면 다음과 같다.

                      (14)

아래에서 푸리에 급수의 원래 함수 수렴성을 편하게 증명하기 위해 주기 $T$ = $2 \pi$로 가정한다. 이렇게 하더라도 일반성이 떨어지지 않는다.

[연속 함수와 푸리에 급수]

함수 $f(t)$가 연속이면 $f(t)$에 대해 다음 푸리에 급수 관계가 반드시 성립한다.

                       (15)

[증명: 디리클레 방법] [4]

디리클레 핵심을 한 주기에 대해 적분하면 다음을 얻을 수 있다.

                       (16)

여기서 $u$ = $-t'$이다. 식 (9)처럼 함수 $f(t)$와 부분합 $S_M$을 서로 빼본다. 이때 부분합은 식 (14)처럼 정의하고 함수 $f(t)$도 적분으로 바꾸기 위해 식 (16)의 둘째식을 사용한다[1]. 그러면 함수 $f(t)$와 부분합 $S_M$의 차이는 다음처럼 함수 $f(t)$를 부분합 $S_M$으로 근사한 경우의 오차값이 된다.

                       (17)

다음으로 $M$을 무한대로 보내서 식 (17)의 결과가 0이 되면 증명은 끝이 난다. 하지만 이렇게 하기 전에 식 (17)에 나타난 함수 $f(t)$로 이루어진 식을 $g(t)$로 정의해서 그 특성을 좀더 세밀하게 파악한다. $f(t)$가 연속이기 때문에 $t \ne t'$인 경우는 $g(t)$도 연속이다. $t$ = $t'$이면 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 통해 다음을 얻는다.

                       (18)

함수 $f(t)$가 연속이면 그 미분은 유한하므로 식 (18)의 값은 존재하며 유한하다.[∵ $0 < |t-t'| < \delta \Rightarrow |[f(t) - f(t')]/\epsilon| < 1$, 여기서 $f(t)$는 유한한 점에서만 미분 불가능일 수 있으며, $\epsilon$이 매우 작은 경우 $\delta, \epsilon$은 일대일 대응이 성립한다. 이 부분이 헷갈리면 테일러 급수(Taylor series)를 봐라.] 그래서, $g(t)$는 모든 점에서 유한하다. 이 결과를 이용해 $M$을 무한대로 보내면 다음이 성립해서 식 (15)가 증명된다.

                       (19)

함수 $g(t)$가 유한한 경우 식 (19)가 성립하는 이유는 [그림 3]의 사인 함수 진동으로 설명할 수 있다.

[그림 3] 진동하는 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

$M$이 커짐에 따라 식 (19)의 사인 함수가 빠르게 진동하므로 느리게 변하는 함수 $g(t)$가 한 번은 더해지고 한 번은 빼지므로 이를 모두 모으면[혹은 적분하면] 0으로 수렴하게 된다.

______________________________

위 증명에서 함수가 연속이면 유한한 점을 제외하고 그 미분은 유한하다는 명제를 사용한다. 이 명제는 모든 경우에 대해 참일까? 아니다. 이 부분을 규명한 바이어슈트라스Karl Weierstrass(1815–1897)의 증명으로 연속성과 미분 가능성에 대한 이해가 깊어졌다. 바이어슈트라스는 삼각 함수 급수를 이용해서 모든 점에서 연속이지만 미분의 발산으로 인해 모든 점에서 미분 불가능한 함수[2]인 바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)를 제안했다. 연속이지만 모든 영역에서 미분 불가능한 바이어슈트라스 함수는 현실과 동떨어져 있다고 생각할 수도 있다. 하지만 바이어슈트라스 함수의 대표적인 예가 프랙탈(fractal)임을 고려하면, 연속인 미분 불가능 함수(continuous non-differentiable function)는 현실에서도 중요한 의미가 있을 수 있다. 그래서 연속이지만 프랙탈과 같은 성질을 갖는 함수는 제외해야 하므로, 위와 같은 방식으로 증명할 때는 매우 조심스럽게 접근해야 한다.

[증명: 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)]

스튀름–리우빌 이론을 이용하면 쉽게 식 (15)를 증명할 수 있다. 먼저 푸리에 급수가 식 (20)에 있는 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)을 만족함을 보인다.

                       (20)

다음 단계로 $p(x)$ = $1$, $q(x)$ = $0$, $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $m^2$을 식 (20)에 대입한다.

                       (21)

즉, 복소 지수 함수는 스튀름–리우빌 미분 방정식을 만족하며 경계 조건이 주기적이므로 경계 조건이 고정되었다. 따라서, 복소 지수 함수는 고유 함수의 완비성(completeness of eigenfunctions)을 만족하여 모든 함수를 식 (15)처럼 표현할 수 있다.

______________________________

식 (19) 증명은 [그림 3]을 이용해서 대충하면 되지만 이런 정도 설명에 만족하면 진전은 별로 없다. 우리가 헷갈리는 개념은 수학의 대가들도 헷갈린다. 우리가 수양이 부족하다기보다 그 헷갈림 속에 명확하게 설명되지 아니한 수학적 진리가 있기 때문이다. 식 (19)를 명확히 증명하려면 리만–르베그 보조 정리Riemann–-Lebesgue lemma)를 이용해야 한다. 리만–르베그 보조 정리를 증명하려면 적분법의 진정한 의미를 고민해야 된다. 푸리에 급수를 연구하던 리만Bernhard Riemann(1826–1866)이 리만 적분(Riemann integral)을 새롭게 정의하고 삼각 함수 급수의 유일성을 고민하던 칸토르Georg Cantor(1845–1918)가 집합론(set theory)을 제안했던 사실은 우연이 아니다. 수학 역사에서 보면 푸리에 급수는 새로운 신천지였다. 푸리에 급수로 인해 함수(function)의 개념, 연속성과 미분 가능성, 무한 급수, 적분법, 집합론 등이 변화되었거나 새롭게 제안되었다. 푸리에는 열 방정식(heat equation)을 풀기 위한 해법으로 푸리에 급수(Fourier series)를 제안했다[6]. 열은 물리적인 실체를 가지며 측정도 가능하기 때문에 푸리에 급수가 적절한 해법임은 분명했다. 하지만 수학적으로는 결함이 있었다. 불연속 함수를 삼각 함수의 합으로 표현할 수 있다는 관찰은 푸리에 급수의 큰 문제점이었다. 푸리에 급수는 수학자 라그랑주Joseph-Louis Lagrange(1736–1813)의 사랑하는 제자 푸리에가 제안한 획기적인 방법이었지만, 수학적으로 결함이 있는 방법을 라그랑주는 절대 인정할 수가 없었다. 19세기 초반에는 불연속 함수를 함수로 취급하지 않았기 때문에 불연속 함수를 연속 함수가 될 수 있게 하는 식 (1)은 큰 결함이라 생각했다. 요즘은 이 부분이 문제가 되지는 않는다. 불연속 함수도 정의상 함수이기 때문에 이 함수를 푸리에 급수로 표현해도 수학적으로 전혀 문제가 되지 않는다. 개념을 좀더 확장하면 [그림 1]처럼 유한한 점에서 불연속인 함수도 푸리에 급수 전개가 가능하다. 디리클레가 1829년디리클레 24세, 조선 순조 시절에 증명했던 방법[4]을 참고해서 불연속점에서의 수렴 특성을 증명한다.

[조각마다 연속인 함수와 푸리에 급수]

함수 $f(t)$가 조각마다 연속(piecewise continuous)이면 다음 푸리에 급수가 반드시 성립한다.

                          (22)

[증명]

조각마다 연속은 함수가 유계이면서 유한한 점에서만 불연속임을 뜻한다. 식 (14)의 적분 변수를 바꾸면[$t-t' \rightarrow t'$] 다음을 쉽게 얻을 수 있다.

                          (23)

식 (23)의 첫째식과 둘째식은 $t' \leftrightarrow -t'$ 변수 치환 관계를 가진다. 식 (17)처럼 주기 함수와 부분합을 빼주면 다음과 같다.

  (24)

함수 $f(t)$로 이루어진 식을 $g(t)$로 정의해서 그 특성을 본다.

                          (25)

함수 $g(t)$는 $t'$ = $0$일 때만 문제가 있으므로, 이 경우의 극한을 구한다. 변수 $t'$가 항상 0보다 크면서 0으로 접근하면 식 (25)의 첫째식을 써서 계산하면 된다.

                          (26)

변수 $t'$가 0보다 작으면서 0으로 접근할 때는 식 (25)의 둘째식을 쓰면 된다. 따라서, $g(t)$는 모든 점에서 유한하므로 $M$이 커짐에 따라 식 (24)는 0으로 수렴한다.

______________________________

이상의 증명을 통해 푸리에 급수를 정확히 표현하려면 식 (15)가 아닌 식 (22)를 써야한다. 또한 식 (22)에 의해 식 (9)의 베셀 부등식은 항등식이 된다. 이 항등식은 파르세발의 정리(Parseval's theorem)라고 부른다.

                          (27)

만약 계수 $F_m$의 제곱이 아닌 $F_m$이 절대 수렴하면, 푸리에 급수는 모든 영역에서 균등 수렴한다. 푸리에 급수의 균등 수렴성은 바이어슈트라스 $M$판정(Weierstrass $M$-test)으로 손쉽게 결정한다. 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 이용하면 디리클레 핵심이 만드는 무한 급수를 아름답게 정의할 수도 있다. 대신 아래 식이 성립하려면, 적분 개념에 기반을 둔 리만–르베그 보조 정리가 필수적으로 적용되어야 한다.

              (28)

여기서 첫째 줄은 식 (15)에서 증명한 내용을 디리클레 핵심으로 다시 쓴 식이며 둘째 줄은 첫째 줄의 표현을 디랙 델타 함수로 다시 표기한 식이다. 물론 푸리에 급수의 완비성(completeness of Fourier series)이 성립하기 때문에 디랙 델타 함수를 식 (8)에 바로 대입해서 계산해도 식 (28)의 둘째 줄을 얻을 수 있다. 식 (28)을 다음처럼 정리하면, 충격 열(impulse train) 혹은 디랙 빗(Dirac comb)을 복소 지수 함수의 무한 급수로 나타낼 수 있다.

                          (29)

[그림 4] 여러 가지 주기 함수(출처: wikipedia.org)

푸리에 급수 개념을 이용하면, 여러 초등 함수와 무한 급수의 관계를 쉽게 증명할 수 있다. 무한 급수에 대한 증명이 쉬워지는 이유는 푸리에 급수의 완비성 때문이다.

   1. 급수 표현식(series representation)   

[초등 함수의 급수]

•                   (1.1)

식 (1.1)의 증명을 위해 식 (3)과 같은 적분을 하면 된다. 하지만 적분이 조금 까다롭기 때문에, 테일러 급수(Taylor series)나 로랑 급수(Laurent series)를 사용하면 더 쉽게 식 (1.1)을 증명할 수 있다. 

•                   (1.2)

식 (1.1)에 있는 $x$에 $x + \pi$를 대입하면 된다.

•                   (1.3)

로그 함수 $-\log(1-x)$에 대한 테일러 급수(Taylor series)를 이용해서 식 (1.3)을 증명한다.

• 톱니파(sawtooth wave)

[그림 1, 4]에 있는 톱니파를 식 (1)을 이용해 적분하면 다음을 얻는다.

                     (1.4)

점 $x$ = $\pm \pi$ 근방에서는 불연속이며, $x$ = $\pm \pi$에서 식 (1.4)에 있는 무한 급수의 수렴값은 0이다.

• 역톱니파(reverse sawtooth wave)

[그림 1, 4]에 있는 톱니파의 좌우를 뒤집으면 역톱니파가 된다. 식 (1.4)에서 $x$ 대신 $x-\pi$를 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                     (1.5)

식 (1.5)는 식 (1.3)에 제시한 무한 급수의 허수부를 선택해서 다음처럼 초등적으로 증명할 수도 있다.

                     (1.6)

점 $x$ = $0^+$ 근처에서는 식 (1.5)의 우변이 0보다 크므로, 식 (1.6)에서 $+\pi$를 택하면 식 (1.5)의 좌변을 얻을 수 있다.

• 절대값 $|x|$

실수 $x$의 절대값에 대한 푸리에 급수는 다음과 같다.

                     (1.7)

[그림 5] 부호 함수의 모양(출처: wikipedia.org)

• 부호 함수(sign function) $\operatorname{sgn}(x)$

[그림 5]에 있는 부호 함수의 푸리에 급수는 식 (1.7)을 미분해서 쉽게 구할 수 있다.

                     (1.8)

여기서 부호 함수는 $x$ = $0$에서 불연속이다.

• 2차 함수(quadratic function)

2차 함수에 대해 푸리에 급수를 적용하면 다음 무한 급수를 얻을 수 있다.

                     (1.9)

식 (1.9)를 미분해서 식 (1.5)를 다시 유도할 수도 있다. 식 (1.9)에서 $x$ = $0$을 대입하면, 유명한 바젤 문제(Basel problem)의 답을 쉽게 구할 수 있다.

                     (1.10)

바젤 문제는 바젤 대학교(University of Basel)의 교수였던 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)가 유행시켰고, 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1734년오일러 27세, 조선 영조 시절에 무한 급수(infinite series)를 이용해 성공적으로 해결했다. 바젤 문제란 이름 자체도 베르누이와 오일러의 고향인 스위스 바젤을 기념하고 있다. 바젤의 문제를 임의의 짝수 제곱승으로 일반화할 때는 베르누이 수(Bernoulli number)가 필요하다. 베르누이 수의 제안자는 야곱 베르누이이다.

• 분수 복소 지수 함수(fractional complex exponential function) [5]

                     (1.11)

여기서 $\nu$는 실수, ${\rm sinc}(\cdot)$는 싱크 함수(sinc function)이다.이다. 식 (1.11)은 분수 차수를 가진 복소 지수 함수의 푸리에 급수 전개를 보여준다. 만약 $\nu$가 정수가 아닌 실수라면, 하나의 분수 차수는 무한개의 정수 차수를 가진 복소 지수 함수의 합으로 분리된다. 또한 정수가 아닌 분수 복소 지수 함수(fractional complex exponential function)는 $\phi$방향으로 한 바퀴를 돌더라도 원위치로 돌아오지 않기 때문에, $\phi$가 정의된 구간을 반드시 명시해야 한다.

[참고문헌]

[1] D. Jackson, "The convergence of Fourier series," The American Mathematical Monthly, vol. 41, pp. 67–84, Feb. 1934.

[2] J. Thim, Continuous Nowhere Differentiable Functions, Master Thesis, Luleå University of Technology, Sweden, 2003.
[3] 최인혁, "해석학하는 만화 [1]: 두 번 미분하기", HORIZON, 2019년 6월. (방문일 2019-10-01)

[4] P. G. L. Dirichlet, "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between given limits)," Journal für die reine und angewandte Mathematik (Journal for Pure and Applied Mathematics), vol. 4, pp. 157–169, 1829.

[5] M. V. Berry, "Optical vortices evolving from helicoidal integer and fractional phase steps," J. Opt. A: Pure Appl. Opt., vol. 6, no. 2, pp. 259–268, Jan. 2004.

[6] 이정오, "무한급수의 총합 가능성과 후세인 보르에 관하여", 한국수학사학회지, 제30권, 제6호, pp. 353–365, 2017년 12월.

[7] 박원우, 딥러닝을 위한 푸리에 영상처리, 홍릉, 2023.

[다음 읽을거리]
1. 푸리에 변환
2. 리만–르베그 보조 정리

3. 이산 푸리에 변환

4. 삼각 함수 보간

5. 바이어슈트라스 함수

6. 라돈 변환

7. 기브스 현상