2020년 10월 18일 일요일

멜린 변환(Mellin Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "멜린 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


약간 생소한 이름을 가진 멜린 변환(Mellin transform)은 유명한 라플라스 변환(Laplace transform)과 매우 비슷한 모양을 가지고 있다. 두 적분 변환의 유사성을 확인하기 위해, 식 (1), (2)에 제시한 멜린 변환과 역변환을 식 (3), (4)에 있는 라플라스 변환과 비교해보자.

                  (1)

                  (2)

                  (3)

                  (4)

멜린 변환과 라플라스 변환의 관계를 만들 때는 양방향 라플라스 변환(bilateral Laplace transform)이 편하다.

                  (5)

                  (6)

식 (5)에서 $u$ = $e^{-t}$로 변수 치환해서 정리하면 멜린 변환인 식 (1)을 얻을 수 있다.

                  (7)

마찬가지로 브롬위치 적분(Bromwich integral)인 식 (6)을 변수 치환해서 멜린 역변환인 식 (2)를 매우 쉽게 유도한다.

                  (8)

따라서 멜린 변환과 양방향 라플라스 변환의 관계를 정리하면 다음과 같다.

                  (9)


[참고문헌]
[1] A. D. Poularikas (Ed.), The Transforms and Applications Handbook, 2nd ed., Boca Raton, USA: CRC Press, 2000.
[2] H. J. Eom, "Integral transforms in electromagnetic formulation," J. Electromagn. Eng. Sci., vol. 14, no. 3, pp. 273–277, Sep. 2014.

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