[경고] 아래 글을 읽지 않고 "벡터 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 벡터의 시각화(출처: wikipedia.org)
물리학에 자주 등장하는 다양한 벡터 항등식(vector identity)을 자세히 소개한다. 특별한 조건이 없는 경우, 대부분의 벡터 항등식은 좌변과 우변을 모두 전개한 후 서로 비교하여 증명한다.
1. 미분이 없는 벡터 항등식
아래 항등식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.
(1.1)
(1.2)
(1.3: 벡터 삼중적 혹은 BAC-CAB 규칙)
(1.4)
(1.5)
(A.1)
(A.2)
(A.3)
2. 미분 포함 벡터 항등식
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4: 회전 연산자의 발산)
(2.5: 발산 연산자의 영인자)
(2.6: 구배 연산자의 회전)
(2.7: 회전 연산자의 영인자)
(B.3)
3. 스칼라와 벡터 함수가 결합한 미분 포함 벡터 항등식
(3.1a)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5a)
4. 라플라시안 포함 벡터 항등식
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
5. 벡터 곱을 결합한 미분 포함 벡터 항등식
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12a)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(E.1)
(E.2)
(7.2a)
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
(7.13)
(7.14)
(7.15)
(7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
8. 적분 포함 벡터 항등식
여기서 $\hat n$은 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 단위 벡터이다. 닫힌 표면 적분이 이루어지는 $s$는 부피 $v$의 껍데기라는 뜻에서 $s$ 대신 $\partial v$라고 쓰기도 한다.
9. 적분 포함 다이애드 항등식
아래 항등식은 구배(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 연산자를 기반으로 증명한다.
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$이다.
식 (9.3)을 증명하기 위해 구(sphere)에 대한 체적 적분 가정과 식 (9.2)를 적용한다.
(I.1)
여기서 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다. 식 (I.1)에서 0이 아닌 적분만 모아서 정리하면 다음과 같다[1].
(I.2)
여기서 적분의 편의성을 위해 $\bar r'$ = $(0, 0, 0)$이라 가정하며 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$ = $\cos \phi \sin \theta \hat x$ + $\sin \phi \sin \theta \hat y$ + $ \cos \theta \hat z$이다.
[참고문헌]
[1] J. L. Volakis and K. Sertel, Integral Equation Methods for Electromagnetics, Raleigh, NC, USA: SciTech Publishing, 2012.
[2] J. G. Van Bladel, Electromagnetic Fields, 2nd ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2007. (방문일 2020-01-27)
[다음 읽을거리]
1. 텐서 미적분학
여기서 $(\cdot)^*$는 벡터에 대한 켤레 복소수(complex conjugate)를 의미한다. 식 (1.3)은 좌변과 우변의 항들을 비교하여 증명하지 않고 내적(inner product)과 외적(outer product)의 개념을 이용하여 증명할 수 있다. 식 (1.3)의 좌변을 보면, 좌변을 계산한 최종 벡터는 $\bar A$를 성분으로 가질 수 없다. 또한, 이 벡터는 $\bar B \times \bar C$에 수직이어야 하므로, 좌변의 벡터는 $\bar B, \bar C$로 구성되어야 한다.[∵ $\bar B \times \bar C$는 $\bar B, \bar C$가 구성하는 평면의 법선 벡터 방향을 가지기 때문이다.] 그러면 식 (1.3)의 좌변은 다음처럼 표현할 수 있다.
(A.1)
식 (A.1)의 양변에 $\bar A$를 내적하여 정리하면 상수 $b, c$는 다음 관계를 가져야 한다.
(A.2)
상수 $c$는 나눗셈을 포함할 수 없어서 상수 $b$는 인수 $\bar A \cdot \bar C$를 꼭 가진다. 상수 $b$의 특성을 확인하기 위해, 식 (A.2)의 결과를 식 (A.1)에 넣은 후, 양변에 $\bar B$를 내적하여 서로 비교한다. 그러면 다음 관계식을 유도할 수 있다.
(A.3)
여기서 식 (1.2)에 의해 둘째식 위와 아래 결과는 서로 같으므로, $b$와 $b'$에 대해 연립하면 식 (A.3)의 셋째식이 얻어진다. 또한 식 (A.1)의 좌변에 의해 결과식은 벡터 $\bar A, \bar B, \bar C$의 이중 외적이므로, 식 (A.1)의 우변의 성분은 $\bar A, \bar B, \bar C$의 삼중곱으로만 구성되어야 한다. 그러면 $b$ = $k \bar A \cdot \bar C$로 쓸 수 있다. 여기서 $k$는 $\bar A, \bar B, \bar C$의 성분과 관계없다. 스칼라 $k$를 결정하기 위해 $\bar A$ = $\bar C$ = $\hat x$, $\bar B$ = $\hat y$로 두고 계산한다. 그러면 $k$ = $1$이 얻어져서 식 (1.2)가 쉽게 증명된다.
벡터 내적과 외적의 크기 관계인 식 (1.5)의 쉬운 증명은 다음과 같다.
(A.4)
여기서 $\theta$는 두 벡터 $\bar A, \bar B$ 사이의 끼인각(included angle)이다. 좌표계 기반 벡터의 개념만 보면, 벡터의 내적과 외적은 큰 관계가 없어보인다. 하지만 벡터의 원류인 사원수(四元數, quaternion)에서는 벡터의 내적과 외적이 사원수의 곱셈으로 연결된다. 이로 인해 벡터의 크기 관계도 식 (1.5)처럼 서로 완벽하게 연결된다.
2. 미분 포함 벡터 항등식
아래 항등식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다. 증명은 데카르트 좌표계에서 했지만 좌표계의 등가성에 의해 다른 모든 직교 좌표계에서 성립한다.
(2.1)
(2.2)
(2.A.1)
(2.3)
(2.4: 회전 연산자의 발산)
(2.5: 발산 연산자의 영인자)
(2.6: 구배 연산자의 회전)
(2.7: 회전 연산자의 영인자)
(2.8)
여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $\bar r - \bar r'$ = $\bar R$ = $R \hat R$, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다. 미분 연산자 $\bar \nabla$와 $\bar \nabla'$은 거의 비슷하지만, 미분하는 기준이 결정적으로 다르다. 예를 들어, 편미분의 기준이 원천점인지 관측점인지에 따라 $x$에 대한 미분 부호는 다음처럼 정반대가 된다.
(B.1)
식 (2.3)을 증명하기 위해 다음 관계식을 관찰한다.
(B.2)
식 (B.2)는 $R \ne 0$인 곳에서 항상 $0$이라는 뜻이므로, 원천점($\bar r'$)을 포함한 체적 적분을 이용해 식 (2.3)에서 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 자연스럽게 도출됨을 증명한다.
(B.3)
여기서 반지름 $R$이 $0$으로 가서 체적과 표면적이 모두 $0$이 된다.
3. 스칼라와 벡터 함수가 결합한 미분 포함 벡터 항등식
미분을 포함한 벡터 항등식을 이용해 스칼라 함수까지 포함된 미분 포함 벡터 항등식을 다양하게 찾을 수 있다. 벡터 항등식을 유도할 때는 좌표계 구성이 쉬운 데카르트 좌표계를 주로 선택한다. 데카르트 좌표계인 $(x, y, z)$를 기준으로 좌변과 우변의 편미분 계산한 후, 양변을 서로 비교해서 증명을 완성한다. 또한 발산과 회전 연산자는 텐서량이라서 데카르트 좌표계에서 증명한 결과는 일반 좌표계로 쉽게 확장된다.
(3.1a)
(3.1b: 미분 연산자)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5a)
(3.5b: 미분 연산자)
위 식에서 $\bar A$가 상수 벡터인데도 발산 $\bar \nabla \cdot \bar A$와 회전 $\bar \nabla \times \bar A$가 $0$이 되지 않는 경우도 있다. 물론 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 이 벡터 연산은 모두 $0$이 된다. 그래서 데카르트 좌표계가 아닌 곡선형 좌표계에서 벡터 연산을 적용할 때는 주의를 기울어야 한다. 예를 들어, 임의 좌표계에서 미분 연산자 $\bar A \cdot \bar \nabla$와 $\bar A \times \bar \nabla$를 적용할 때는 식 (3.1b)와 식 (3.5b)를 써야 한다.
4. 라플라시안 포함 벡터 항등식
벡터 미분 연산중 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$은 아래와 같이 정의한다. 명칭 라플라시안에 있는 -이안(-ian)의 원뜻은 -에서 나옴 혹은 -와 관계이므로, 직역하면 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)의 제안이 된다. 하지만 이 연산자를 그냥 우리말로 바꾸면 이상하므로[굳이 직역하면 라플라스식(式), 라플라스발(發), 혹은 라플라스꺼. 의역하면 라플라스 연산자], 용어에 나오는 -이안(-ian)을 의역하여 연산자(operator)라고 생각하고 영어 이름 그대로 라플라시안이라 부른다. 그래서 $\nabla^2$을 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 조금 길게 이름 붙이기도 한다.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7a)
(4.7b)
여기서 $f_0$는 상수 함수, $\bar A_0$은 상수 벡터이다.
식 (4.6)은 데카르트 좌표계에서 두 번 미분해서 쉽게 증명될 수 있다. 예시적으로 $x$축에 대해 두 번 미분한 결과를 소개한다. 나머지 $y, z$축에 대한 미분 과정도 동일하다.
(D.1)
5. 벡터 곱을 결합한 미분 포함 벡터 항등식
아래 벡터 곱을 결합한 미분 연산자는 데카르트 좌표계에서 더 쉽게 정의된다. 다이애드(dyad)로 정의한 식 (7.1)과 (7.2)를 이용하면 벡터 곱을 결합한 미분 연산자는 좌표 불변성(座標不變性, coordinate invariant or coordinate independent)이 성립함을 증명할 수 있다.
(5.2)
아래 항등식의 증명 자체는 쉽다. 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12a)
(5.12b)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
여기서 $\bar A_0$은 상수 벡터, $r$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $R$ = $|\bar r - \bar r'|$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$, $\bar r$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r - \bar r'$ = $\bar R$ = $R \hat R$, $x_1$ = $x$, $x_2$ = $y$, $x_3$ = $z$이다.
식 (5.3)은 식 (5.7)을 통해 쉽게 증명 가능하다. 식 (5.7)에서 $\bar A$, $\bar B$를 상호 교환해서 쓰면 다음을 증명할 수 있다.
(E.1)
식 (5.11)은 식 (5.9)와 (5.10)을 이용해 다음처럼 증명한다.
(E.2)
식 (5.13)은 다이애드(dyad)로 표현한 식 (7.1)을 이용해 바로 구할 수도 있다. 혹은 식 (5.12a) 혹은 (5.12b)의 셋째줄에 제시한 처음 두 항을 다이애드 표현식 (7.1)로 단순화하여 증명할 수도 있다.
6. 미분이 없는 다이애드 항등식
다이애드(dyad)는 두 벡터를 일렬로 배치하여 표기하는 텐서량이다. 다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$를 다룰 때 필요한 정의는 다음과 같다.
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
여기서 $\text{trans}(\cdot)$는 전치(transpose) 연산자, $\text{tr}(\cdot)$은 대각합(trace) 연산자, $\bar D^{(i)}$ = $\bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$, ${}^{(i)} \bar D$ = $\hat i \cdot \bar{\bar{D{}}}$이다. 다이애드를 포함하는 다양한 항등식은 다음과 같다. 다이애드 항등식의 증명은 좌변과 우변을 전개하여 각각 서로 비교하면 된다.
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$가 대칭(symmetric)이면 식 (6.7)에 의해 벡터와 다이애드의 내적에 대해 교환 법칙이 성립한다.
7. 다이애드 기반 미분 포함 벡터 항등식
식 (5.1)과 (5.2)는 데카르트 좌표계에서 손쉽게 계산할 수 있지만, 식 (7.1)과 (7.2)와 같은 다이애드(dyad)를 도입하면 항등식이 더 아름다워진다. 즉 식 (5.1)과 (5.2)를 가진 항등식을 식 (7.1)과 (7.2)를 이용해 변형하면 벡터 곱과 미분을 포함한 벡터 항등식을 임의 좌표계로 편리하게 확장할 수 있다.
(7.1a)
6. 미분이 없는 다이애드 항등식
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
여기서 $\text{trans}(\cdot)$는 전치(transpose) 연산자, $\text{tr}(\cdot)$은 대각합(trace) 연산자, $\bar D^{(i)}$ = $\bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$, ${}^{(i)} \bar D$ = $\hat i \cdot \bar{\bar{D{}}}$이다. 다이애드를 포함하는 다양한 항등식은 다음과 같다. 다이애드 항등식의 증명은 좌변과 우변을 전개하여 각각 서로 비교하면 된다.
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$가 대칭(symmetric)이면 식 (6.7)에 의해 벡터와 다이애드의 내적에 대해 교환 법칙이 성립한다.
7. 다이애드 기반 미분 포함 벡터 항등식
(7.1a)
(7.1b: 다이애드 미분 연산자)
(7.2a)
(7.2b: 다이애드 미분 연산자)
여기서 $\bar A \bar B$는 다이애드이다. 다이애드를 가진 미분 포함 벡터 항등식을 다양하게 찾아본다.
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
(7.13)
(7.14)
(7.15)
(7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
여기서 $\bar A_0$은 상수 벡터, $\bar \nabla \bar \nabla$는 다이애드를 생성하는 다이애드 구배(dyadic gradient)이다.
다이애드는 일종의 표기법이므로, 미분 규칙을 이용해서 다이애드와 미분을 포함한 다양한 벡터 항등식을 증명할 수 있다. 예를 들어, 식 (7.1)을 유도할 때는 발산의 정의에 다이애드를 넣어서 곱셈의 미분을 적용한다.
(G.1)
8. 적분 포함 벡터 항등식
아래 항등식은 구배(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 연산자의 특성을 이용하여 증명한다.
(8.1)
(8.2: 발산 정리)
(8.3)
(8.4)
(8.5: 스토크스 정리)
(8.6)
(8.1)
(8.2: 발산 정리)
(8.3)
(8.4)
(8.5: 스토크스 정리)
(8.6)
여기서 $\hat n$은 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 단위 벡터이다. 닫힌 표면 적분이 이루어지는 $s$는 부피 $v$의 껍데기라는 뜻에서 $s$ 대신 $\partial v$라고 쓰기도 한다.
9. 적분 포함 다이애드 항등식
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$이다.
식 (9.3)을 증명하기 위해 구(sphere)에 대한 체적 적분 가정과 식 (9.2)를 적용한다.
(I.1)
여기서 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다. 식 (I.1)에서 0이 아닌 적분만 모아서 정리하면 다음과 같다[1].
(I.2)
여기서 적분의 편의성을 위해 $\bar r'$ = $(0, 0, 0)$이라 가정하며 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$ = $\cos \phi \sin \theta \hat x$ + $\sin \phi \sin \theta \hat y$ + $ \cos \theta \hat z$이다.
[참고문헌]
[1] J. L. Volakis and K. Sertel, Integral Equation Methods for Electromagnetics, Raleigh, NC, USA: SciTech Publishing, 2012.
[2] J. G. Van Bladel, Electromagnetic Fields, 2nd ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2007. (방문일 2020-01-27)
1. 텐서 미적분학