베버 변환(Weber Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베버 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 형보다 나은 아우: 푸리에 변환

2. 한켈 변환

3. 베셀 함수

4. 단위 계단 함수의 푸리에 변환

[그림 1] 원통 좌표계의 성분(출처: wikipedia.org)

한켈 변환(Hankel transform)의 일반화인 베버 변환(Weber transform)[1]은 간단한 의문에 기반을 두고 있다. 한켈 변환인 식 (1)을 보면 반지름 $\rho$의 크기는 항상 $0$부터 시작해서 무한대로 간다. 반지름의 시작점을 $0$이 아닌 임의의 양의 실수인 $a$에서 출발해서 무한대로 가는 적분 변환(integral transform)을 정의할 수 있을까? 여기에 대한 답이 베버 변환이다. 베버 변환의 재발견자인 오르William McFadden Orr(1866–1934)의 이름까지 붙여서 베버–오르 변환(Weber–Orr transform)이라고도 부른다[7].

                      (1)

식 (1)에 등장한 제1종 베셀 함수를 변형해 $\rho$ = $a$에서 항상 함수값이 $0$ 혹은 접선 경계 조건(tangential boundary condition)을 가진 접선 동축 함수(coaxial function for tangent) $C_n (\rho; \kappa)$로 바꾼다. 그러면 한켈 변환은 다음과 같은 새로운 접선 베버 변환(Weber transform for tangent)이 된다.

                      (2)

여기서 $\kappa$에 관계없이 $C_n(a; \kappa)$ = $0$, 한켈 변환의 특성에 의해 $\kappa$ $\ge$ $0$이다. 베셀 함수 곱의 적분을 사용해서 식 (2)에 사용한 동축 함수의 직교성을 구해본다[2].

                      (3)

여기서 $\kappa'$ $\ge$ $0$, $C_n'(\cdot)$은 입력 변수(argument)에 대한 미분이다. 식 (3)의 계산에는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)이 꼭 필요하다.

                      (4)

식 (4)를 이용해서 식 (3)을 점근적으로 계산한다.

                      (5)

여기서 $\phi_n$ = $\kappa b - (n+1/2)\pi/2$, $\phi_n'$ = $\kappa' b - (n+1/2)\pi/2$이다. 식 (5)를 더 간략화하려면, 단위 계단 함수의 푸리에 변환에서 구한 삼각 함수의 극한값이 필요하다.

                  (6)

식 (6)에 의해 식 (5)에 나온 삼각 함수 곱의 극한은 다음과 같다.

                  (7)

                  (8)

                  (9)

식 (7)–(9)를 다시 식 (5)에 대입해서 깔끔하게 마무리한다.

                  (10)

여기서 $\kappa$와 $\kappa'$는 $0$부터 시작하므로 $\delta(\kappa + \kappa')$은 무시한다. 식 (10)을 다시 쓴 식 (11)은 베버 변환에 대한 새로운 디랙 델타 함수(Dirac delta function)의 정의이다.

                  (11)

식 (11)을 기반으로 정의한 접선 베버 역변환(inverse Weber transform for tangent)은 다음과 같다.

                  (12)

식 (12)를 식 (2)에 넣으면 베버 변환과 역변환 관계가 쉽게 증명된다.

                  (13)

반지름 $\rho$에 대한 직교성인 식 (3)과 조금 다른 $\kappa$에 대한 직교성도 다음처럼 계산할 수 있다.

                  (14)

식 (14)의 증명을 위해 베셀 함수를 모두 한켈 함수로 바꾼다.

             (15)

식 (15)의 마지막식을 다시 변형해서, 식 (16)과 같은 한켈 함수를 이용한 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태가 나타나게 한다.

                      (16)

                      (17)

다시 말해 식 (17)의 피적분 함수에 있는 처음 네 항을 다음처럼 정리하면 식 (16)이 나온다.

                   (18)

[그림 2] 제1종 한켈 함수를 위한 닫힌 경로

식 (17)의 마지막 두 항이 가진 복잡성으로 인해 실수 영역에서 적분하기는 매우 어렵다. 이를 위해 복소 함수론을 [그림 2]처럼 적용해서 식 (17)의 다섯째 항을 위한 적분 경로를 변경한다.

                  (19)

여기서 $\kappa$ = $0$에 있는 가지점(branch point)을 피하도록 경로 $c_1$과 $c_3$은 실수축보다 약간 더 위에 설정한다. 또한 [그림 2]와 식 (19)에서 무한히 커지는 반원 상의 피적분 함수 특성을 확인하기 위해서, 베셀과 한켈 함수를 점근적으로 풀어쓴다.

                  (20)

여기서 $\rho + \rho' $ $\ge$ $2a$, $\psi_n$ = $(n + 1/2) \pi /2$이다. 그러면 반원 상의 푸리에 변환에 의해 $c_2$의 복소 적분은 식 (19)처럼 당연히 $0$에 수렴한다. 다음 단계로 식 (19)의 최종 결과에 나타난 한켈 함수의 입력 변수를 양의 값으로 변경한다.

                   (21)

                   (22)

식 (22)를 식 (17)의 마지막식에 대입하여 정리하면 식 (14)가 최종적으로 유도된다. 그러면 식 (2)를 식 (12)에 대입해서 원래 함수를 다시 만드는 적분을 정의할 수 있다.

                   (23)

식 (23)은 베버 변환을 시작한 유명한 베버의 적분 정리(Weber's integral theorem)이다[5].

접선 베버 변환 및 역변환과 비슷하게 $\rho$ = $a$에서 미분값이 항상 $0$ 혹은 법선 경계 조건(normal boundary condition)을 만족하는 법선 동축 함수(coaxial function for normal) $D_n (\rho; \kappa)$를 도입한다. 함수 $D_n (\rho; \kappa)$에 대한 법선 베버 변환(Weber transform for normal)과 연관된 역변환은 다음과 같다[2], [3].

                   (24)

                   (25)

여기서 $\kappa$에 관계없이 $D_n'(a; \kappa)$ = $0$이다. 법선 동축 함수의 직교성도 식 (11)과 (14)처럼 증명할 수 있다.

                   (26)

                   (27)

한켈 변환의 일반화인 베버 변환은 당연히 한켈 변환을 필연적으로 포함한다. 예를 들어 $a \to 0$인 극한을 적용하면, 접선과 법선 베버 변환인 식 (2)와 (24)는 바로 한켈 변환이 된다.

                   (28)

여기서 $C_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n(\kappa a)$, $D_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n'(\kappa a)$이다. 비슷한 방식으로 한켈 역변환과 베버 역변환의 관계도 유도할 수 있다.

                   (29)

여기서 $F(\kappa)$ = $\mathfrak{H}[f(\rho)]$이다. 식 (28)과 (29)를 식 (1)과 비교하면, 베버 변환에서 반지름의 시작점 $a$를 $0$으로 보내는 특별한 경우가 한켈 변환이다.

이번에는 제한이 없는 $\kappa$를 무한대로 보내서 베버 변환의 피적분 함수를 간략화한다. 베셀 함수의 점근식에 따라 고친 경우에 식 (2)는 굉장히 단순해진다.

                   (30)

                   (31)

함수를 $g(x), S(\kappa)$로 바꾸면, 식 (31)은 정확히 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)을 표현한다. 식 (12)에 나온 베버 역변환도 식 (31)과 같은 방식으로 모양을 바꾸어서 푸리에 사인 역변환(inverse Fourier sine transform)으로 바꾼다.

                   (32)

                   (33)

여기서 $x$ = $\rho - a$이다. 따라서 접선 베버 변환은 푸리에 사인 변환의 일반화로 볼 수 있다. 비슷한 방식을 이용해서 식 (24), (25)에 제시한 법선 베버 변환쌍은 푸리에 코사인 변환쌍(Fourier cosine transform pair)으로 변형된다.

                   (34)

                   (35)

                   (36)

                   (37)

결국 베버 변환이 복잡해보이는 이유가 명확히 있다. 베버 변환은 한켈 변환과 푸리에 사인 및 코사인 변환을 내부적으로 모두 포함하며 일반화하고 있기 때문에, 적분 표현식이 복잡할 수밖에 없다.

[참고문헌]

[1] H. Weber, "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen (About a representation of arbitrary functions by Bessel's functions)," Mathematische Annalen (Mathematical Annals), vol. 6, pp. 146–161, Jun. 1873.

[2] R. K. M. Thambynayagam and T. M. Habashy, "A new Weber-type transform," Quart. Appl. Math., vol. 61, no.3, pp. 485–493, Sep. 2003.

[3] X. Zhang and D. Tong, "A generalized Weber transform and its inverse formula," Appl. Math. Comput., vol. 193, no. 1, pp. 116–126, Oct. 2007.

[4] H. J. Eom, "Integral transforms in electromagnetic formulation," J. Electromagn. Eng. Sci., vol. 14, no. 3, pp. 273–277, Sep. 2014.

[5] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.

[6] C. K. Youngdahl and E. Sternberg, "Three-dimensional stress concentration around a cylindrical hole in a semi-infinite elastic body," J. Appl. Mech., vol. 33, no. 4, pp. 855–865, Dec. 1966.

[7] W. M. Orr, "Extensions of Fourier's and the Bessel–Fourier Theorems," Proc. R. Ir. Acad. A, vol. 27, pp. 205–248, 1909.

조르당의 보조 정리(Jordan's Lemma)

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1. 복소 함수론의 쉬운 이해

[그림 1] 복소 평면 상에서 반원을 따라가는 닫힌 경로(출처: wikipedia.org)

실수 함수(real function)에 대한 적분을 복소 함수(complex function)의 적분으로 확장할 때는 [그림 1]과 같은 적분 경로를 많이 만난다. 왜냐하면 실수 영역에서는 적분이 매우 어렵지만 복소 함수의 근원적 특성인 유수 정리(residue theorem)로 인해 복소 적분(complex integration)이 매우 쉬워질 수 있기 때문이다. 예를 들어, 우리가 구하고 싶은 적분이 실수 경로 $c_2$를 따라가는 적분이라면, 유수 정리에 따라 원래 적분을 다음처럼 다시 쓸 수 있다.

                  (1)

여기서 $a > 0$, $z_m$은 $m$번째 극점(pole)이다. 식 (1)의 마지막식에서 복소 적분이 어려운 부분은 복소 경로 $c_1$을 따라가는 적분 $I_1$이다. 반원의 반지름 $R$이 무한대로 갈 때 $I_1$이 $0$이라면, $c_1$과 $c_2$가 만드는 닫힌 경로 안에 있는 유수만으로 다음처럼 $I_2$를 편하게 구한다.

                  (2)

복소 함수론의 유수 정리를 이용해 실수 영역에 정의된 이상 적분(improper integral)을 식 (2)처럼 간단하게 계산하려면, 무한히 커지는 반원 $c_1$ 상을 따라 적분하는 $I_1$의 크기를 결정해야 한다. 이런 경우에 쓰이는 무한한 반원 상의 복소 적분 크기에 대한 부등식 관계는 조르당의 보조 정리(Jordan's lemma)라 한다. 당연히 조르당의 보조 정리는 수학자 조르당Camille Jordan(1838–1922)이 매우 큰 기여를 했다[1].

조르당의 보조 정리를 증명하기 위해 $R$이 고정된 상태에서 반원 상의 적분인 $I_1$을 편각(argument) $\phi$에 대한 적분으로 바꾼다.

                  (3)

식 (3)의 크기를 정하기 위해서, $R$이 커질 때 $f(z)$ < $\epsilon$이 항상 성립한다고 가정한다. 수학적으로 더 정확히 쓰면, 임의로 작은 양의 실수 $\epsilon$에 대해  $R$ > $R_\epsilon$이면 $|f(z)|$ < $\epsilon$을 만족하는 $R_\epsilon$이 항상 존재한다. 그래서 식 (3)의 크기는 다음처럼 제한된다.

                  (4)

여기서 사인 함수의 부등식 $2 \phi / \pi$ $\le$ $\sin \phi$이 성립한다. 식 (4)의 증명에 쓰인 사인 함수의 부등식은 조르당의 부등식(Jordan's inequality)이라고도 한다. 식 (4)에 의해 $R \to \infty$로 가면, $\epsilon$은 $0$에 근접해서 $|I_1|$은 $0$에 수렴한다. 그래서 조르당의 보조 정리를 다음처럼 명확히 기술한다.

                  (5)

식 (5)를 더 일반화해서 조르당의 보조 정리를 $I_1$의 크기에 대한 부등식 관계로 바꿀 수 있다. 만약 $c_1$ 상에서 $f(z)$의 크기가 $0$으로 가지 않고 유한한 최대값 $M$을 가지면, $I_1$의 크기는 다음과 같은 부등식을 만족한다.

                  (6)

여기서 $M$ = $\max(|f(z)|)$이다. 식 (5)의 확장인 식 (6)도 조르당의 보조 정리가 된다. 즉 무한히 커지는 $R$ 상에서 $|f(z)|$가 항상 0이면, 식 (6)에 의해 $I_1$ = $0$이 성립한다. 이 결과는 식 (5)와 동일해서 식 (6)은 식 (5)의 일반화이다.

[그림 2] 표본화 함수의 적분을 위한 닫힌 경로

조르당의 보조 정리는 다양한 실수 함수의 적분에 사용될 수 있다. 식 (2)를 기반으로 표본화 함수 $\operatorname{Sa}(x)$ = $\sin x / x$의 무한 적분을 해본다.

                  (7)

여기서 조르당의 보조 정리에 의해 $c_3$ 상의 복소 적분은 $0$이다.

[참고문헌]

[1] C. Jordan, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique (Course of Analysis at the École Polytechnique), Paris: Gauthier-Villars, 1894, pp. 285–286.

Z 변환(Z-transform)

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1. 라플라스 변환

2. 이산 푸리에 변환

3. 차분 방정식

[그림 1] 연속 함수의 이산화 예시(출처: wikipedia.org)

연속적인 푸리에 변환(Fourier transform)을 이산화(離散化, discretization)해서 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform, DFT)을 만들 수 있다면, 라플라스 변환의 이산화 형태는 Z 변환(Z-transform)이 될 수 있다. 컴퓨터 시대와 함께 등장한 디지털 신호 처리(digital signal processing, DSP)의 기본 도구인 Z 변환은 의외로 오래된 역사를 가지고 있다. 드 무아브르Abraham de Moivre(1667–1754)가 1730년드 무아브르 63세, 조선 영조 시절에 확률(probability) 이론에 사용하려 Z 변환과 비슷한 생성 함수(generating function) 개념을 제안했다. 생성 함수는 멱급수(power series)로 전개한 항이 특정 수열(sequence)을 표현하는 함수이다. 예를 들어, 수열 $a_n$을 만드는 생성 함수 $G(a_n; x)$는 다음처럼 정의한다.

                  (1)

한참 후인 1812년라플라스 63세, 조선 순조 시절부터 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)도 드 무아브르의 생성 함수를 열심히 사용했다. 이산 신호(discrete signal) 혹은 표본화(sampling)에 쓰이는 현재와 비슷한 Z 변환은 후레비츠Witold Hurewicz(1904–1956)가 1947년후레비츠 43세, 미군정 시절에 다시 제안했다.

리만 적분(Riemann integral)으로 표현된 식 (2)의 라플라스 변환(Laplace transform)을 다시 무한 급수(infinite series)로 바꾸어서 Z 변환을 자연스럽게 정의할 수 있다.

                  (2)

                  (3)

여기서 $T$는 [그림 1]에 보여진 이산화 간격이다. 주기 $T$는 계속 반복되므로 생략해서 식 (3)을 Z 변환으로 정의한다.

                  (4)

여기서 연속 함수 $x(nT)$의 수열 형태가 $x[n]$이다. 복소 함수론(complex analysis) 관점으로 식 (4)는 로랑 급수(Laurent series)를 표현한다. 식 (4)에 정의된 로랑 급수의 수렴 반경(radius of convergence) 안에서 유수 정리(residue theorem)에 의해 Z 역변환(inverse Z-transform)을 구할 수 있다.

                  (5)

여기서 $X(z)$의 수렴 반경은 $r_1 < |z| < r_2$로 표기한다. 식 (4), (5)에 있는 Z 변환과 역변환은 멜린 변환(Mellin transform)과 무척 닮아있다. 이런 유사성은 우연의 일치가 아니고, Z 변환과 멜린 변환의 초기 기여자가 라플라스이기 때문에 필연적이다.

[그림 2] 토끼 쌍으로 표현한 피보나치 수(출처: wikipedia.org)

Z 변환은 차분 방정식(difference equation)을 풀 때 매우 유용하다. 유명한 수열인 피보나치 수(Fibonacci number)의 일반항을 Z 변환으로 구해보자. 피보나치 수는 다음 관계를 만족한다.

                  (6)

식 (2.1)에 있는 단위 충격 함수(unit impulse function)를 이용해, 식 (6)을 Z 변환하기 편한 수열 $f[n]$으로 다시 쓴다.

                  (7)

여기서 $n < 0$인 $f[n]$은 $0$이다. 식 (7)에 식 (1.1)과 (1.2)를 적용해서 Z 변환한다.

                  (8)

Z 역변환을 위해서는 부분 분수 분해가 필요해서 식 (8)의 분모 다항식에 대한 근을 구한다.

                  (9)

신기하게도 다항식 근 중의 하나는 유명한 황금비(golden ratio) $\varphi$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$이다. 일단 식 (9)를 이용해서 식 (8)을 부분 분수로 분해한다.

                  (10)

마지막으로 식 (2.4)를 참고해서 식 (10)을 Z 역변환하면, 피보나치 수의 일반항 $f[n]$을 얻을 수 있다.

                  (11)

여기서 $u[n]$은 식 (2.2)에 나온 수열에 대한 단위 계단 함수이다.

 

   1. 기본(basics)   

[선형 사상(linear mapping or linearity)]

                  (1.1)

여기서 $Y(z)$는 $y[n]$의 Z 변환, $X(z)$와 $Y(z)$에 대한 수렴 반경의 교집합에서만 선형 사상이 성립한다.

[시간 편이(time shifting)]

                 (1.2)

[증명]

시간 지연(time delay)은 간단하므로, 시간 선행(time advance)에 대한 Z 변환을 증명한다.

                  (1.3)

______________________________

[비율 조정(scaling)]

                  (1.4)

여기서 $X(z)$의 수렴 반경은 $r_1 < |z| < r_2$, $X(a^{-1}z)$는 $|a|r_1 < |z| < |a|r_2$에서 수렴한다.

[켤레 복소수(complex conjugate)와 대칭성(symmetry)]

                  (1.5)

   2. 초등 함수의 변환(transform of elementary functions)   

[단위 충격 함수(unit impulse function)]

                  (2.1)

여기서 $\delta[n-n_0]$ = $\delta_{n n_0}$, $\delta_{nm}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[단위 계단 함수(unit step function)]

                  (2.2)

여기서 $u[n]$ = $u(n+0^+)$, $u(t)$는 연속적인 단위 계단 함수(unit step function), $|z| > 1$이다.

[증명]

공비(common ratio)가 $z^{-1}$인 무한 등비 급수(infinite geometric series)로 계산한다.

                  (2.3)

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[지수 함수(exponential function)]

                  (2.4)

여기서 $|z| > a$이다.

[증명]

식 (2.2)에 식 (1.4)를 대입해서 증명한다.

______________________________

   3. 길쌈(convolution)   

[정의]

                  (3.1)

[대수적 성질(algebraic properties)]

                  (3.2)

[길쌈 정리(convolution theorem)]

                  (3.3)

여기서 $X(z)$와 $Y(z)$에 대한 수렴 반경의 교집합에서만 길쌈 정리가 성립한다.

[증명]

                  (3.4)

______________________________

길쌈 정리를 적용하면 복잡해보이는 수열이 Z 변환된 급수의 곱으로 간편하게 표현된다.

[참고문헌]

[1] J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh, "The analysis of sampled-data systems," Trans. Am. Inst. Electr. Eng., vol. 71, no. 5, pp. 225–234, Nov. 1952.