평면의 방정식(Equation of Plane)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "평면의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터

평평한 면을 나타내는 평면(平面, plane)은 기본 개념이 아주 쉽지만 수학 공식으로 평면을 표현하려면 어려움이 크다. 3차원 공간의 평면을 공식화하는 방법은 많이 있지만, 고급 개념인 벡터(vector)를 쓰면 평면의 방정식이 바로 얻어진다.

[그림 1] 3차원 공간 상의 평면 모습(출처: wikipedia.org)

벡터 개념으로 평면의 방정식을 유도하기 위해 [그림 1]과 같은 그림을 상상한다. 평면 상에 존재하는 임의의 점을 $\bar r$ = $(x, y, z)$, 우리가 위치를 알고 있는 평면 상의 고정된 점은 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이라 쓴다. 그러면 $\bar r$과 $\bar r_0$이 만드는 벡터는 평면에 항상 수직인 법선 벡터(normal vector) $\bar n$과의 벡터 내적(inner product)이 항상 0이다.

                  (1)

여기서 $\bar n$ = $(a, b, c)$이다. 결과적으로 식 (1)은 법선 벡터 $\bar n$을 가진 평면을 위한 대수 방정식이 된다.

식 (1)에 제시한 평면의 방정식을 이용해 3차원 곡면의 접평면(接平面, tangent plane)도 정의할 수 있다[1]. 구배(gradient) 연산자를 쓰면, 임의의 곡면 $f(x, y, z)$ = $0$에 대한 접평면의 방정식을 쉽게 유도할 수 있다.

[그림 2] 구에 접하는 평면 혹은 접평면(출처: wikipedia.org)

[접평면의 방정식]

곡면 $f(x, y, z)$ = $0$ 위의 점 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$에 접하는 평면의 방정식은 다음과 같다.

                  (2)

[증명]

구배는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향이므로, $\bar \nabla f$는 자동적으로 곡면의 법선 벡터와 평행하게 된다. 따라서 $\bar n$ = $\bar \nabla f$를 식 (1)에 대입해서 정리하면 식 (2)가 바로 얻어진다.

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만약 곡면을 $z$ = $f(x, y)$로 표현하면, $F(x, y, z)$ = $f(x, y) - z$ = $0$으로 생각해서 식 (2)에 대입한다. 그러면 $z$ = $f(x, y)$의 접평면의 방정식도 얻을 수 있다.

             (3)

여기서 $z_0$ = $f(x_0, y_0)$이다.

[그림 3] 점과 평면 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리처럼 점과 평면 사이의 거리를 유도할 때도 벡터 개념이 매우 유리하다.

[점과 평면 사이의 거리(distance from a point to a plane)]

점 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$에서 평면 $ax+by+cz+d$ = $0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같다.

                              (4)

여기서 점과 평면 사이의 거리는 최단 거리 혹은 수직인 거리로 정한다.

[증명]

[그림 3]에 있는 평면의 방정식 일반형 $ax+by+cz+d$ = $0$을 바꾸어서 식 (1)과 같은 평면의 방정식 표준형 $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)$ = $0$을 만든다. 여기서 법선 벡터는 $\bar n$ = $(a, b, c)$, $\bar r_1$ = $(x_1, y_1, z_1)$은 평면 위의 점이다. 점과 직선 사이의 거리처럼 벡터 $\bar n$과 $\bar u$ = $\bar r_0 - \bar r_1$ = $(x_0, y_0, z_0) - (x_1, y_1, z_1)$ 사이의 내적을 계산해서 식 (4)를 증명한다.

                              (5)

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[그림 4] 헤세 표준형을 위한 기하 구조(출처: wikipedia.org)

원점에서 시작하는 법선 벡터 $\bar n$을 가진 [그림 4]는 식 (1)을 바라보는 새 관점을 알려준다. 원점과 평면 사이의 거리를 $D$로 두면, $\bar n$ = $D \hat n$으로 표현 가능하다. 또한 $\bar r_0$는 평면 위의 점이므로 $\bar n$ = $\bar r_0$이 되게 한다. 그러면 식 (1)에 기술한 평면의 방정식은 점과 평면 사이의 거리를 결정하는 공식으로 바뀌게 된다.

                              (6)

여기서 $\bar r_0$ = $(a, b, c)$, $\hat n$ = $(a, b, c) \mathbin{/} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, $\bar r$ = $(x, y, z)$이다. 거리 정보를 담고 있는 식 (6)은 제안자 헤세Ludwig Otto Hesse(1811–1874)의 이름을 따서 헤세 표준형(Hesse normal form)이라 부른다. 헤세는 다차원 구배(gradient)를 계산하는 헤세 행렬(Hessian matrix)로도 유명하다. 식 (4)와 같은 방식으로 바꿀 때는 원래 점 $(x_0, y_0, z_0)$를 평행 이동하여 원점으로 보낸다. 이때 평면의 방정식은 $a(x+x_0) + b(y+y_0) + c(z+z_0) + d$ = $0$으로 변형된다. 그러면 식 (6)을 따라 $\hat n \cdot \bar r$ = $(ax+by+cz) / \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ = $- (ax_0+b y_0 + cz_0 + d) / \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ = $D$가 손쉽게 얻어진다.

우리가 고려하는 평면은 3차원 공간에 있지만, 식 (1)과 (2)를 보면 3차원보다 큰 다차원 공간의 평면도 가능할 것 같다. 예를 들어, 식 (1)에 따라 $n$차원 공간에 존재하는 평면의 방정식은 다음처럼 쓸 수 있다.

                              (7)

여기서 $\bar n$ = $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$, $\bar r$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$, $\bar r_0$ = $(b_1, b_2, \cdots, b_n)$이다. 평면을 일반화시킨 기하학적 대상체는 초평면(超平面, hyperplane)이라 부른다. 일반적으로 초평면은 현재 물체가 놓인 $n$차원보다 하나만큼 차원이 작은 $n-1$차원 공간을 뜻한다. 식 (7)에 의하면, 어떤 좌표 성분 하나는 다른 모든 좌표 성분으로 표현되어서 선형 종속(linear independence)이 된다. 따라서 식 (7)은 $n$차원보다 하나 작은 $n-1$차원을 나타내므로 초평면이 된다. 초평면 개념을 식 (4)에 적용할 수 있다. 벡터와 내적을 $n$차원으로 확장해서 $n$차원 공간의 점 $\bar y$ = $(y_1, y_2, \cdots, y_n)$과 초평면 사이의 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.

                              (8)

여기서 $\bar r_0$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$은 평면 위에 있다. 식 (8)을 섬세하게 음미하면, 현실에서 만나거나 상상할 수 없는 $n$차원 공간을 기하학적으로 자유롭게 다룰 수 있게 하는 수학적 추상화의 힘을 느낄 수 있다.

[그림 5] 평면에 대한 영상 $\bar r_0'$ = $(x_0', y_0', z_0')$

[평면에 대한 영상(image for a plane)]

점 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이 평면 $ax+by+cz+d$ = $0$에 대해 만드는 영상(image) $\bar r_0'$ = $(x_0', y_0', z_0')$의 공식은 다음과 같다.

                              (9)

여기서 영상 $\bar r_0'$은 평면 기준으로 $\bar r_0$과 같은 거리만큼 떨어지면서도 $\bar r_0$과 반대편에 있는 점, $\bar n$ = $(a, b, c)$, $\hat n$ = $\bar n \mathbin{/} |\bar n|$, $\bar r_1$ = $(x_1, y_1, z_1)$은 평면 위의 임의 점이다.

[증명: 벡터 연산]

[그림 5]에 따라 평면에서 점 $\bar r_0$에 가는 벡터는 $\bar r_0 - \bar r_1$이다. 이 벡터가 가진 성분 중에서 $\hat n$ 방향은 $\hat n \cdot (\bar r_0 - \bar r_1)$이다. 이 값을 $\bar r_0$에서 2배만큼 빼주면, 평면 기준으로 $\bar r_0$에서 반대 방향에 있으면서도 떨어진 거리는 같은 영상이 얻어진다.

[증명: 직선의 방정식]

점 $\bar r_0$과 영상 $\bar r_0'$의 중점은 평면상에 있어서 다음과 같은 방정식을 만족한다.

                  (10)

또한 $\bar r_0' - \bar r_0$은 평면에 수직하며 $\hat n$과 같은 방향이므로, 다음과 같은 직선의 방정식이 성립한다.

                  (11)

식 (10)과 (11)을 연립해서 비례 상수 $k$를 결정한다.

                  (12)

식 (12)를 식 (11)에 넣어서 확정한 영상은 $\bar r_0'$ = $\bar r_0 + k \bar n$으로 나온다. 여기서 $d$ = $-\bar n \cdot \bar r_1$이다.

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평면에 대한 영상은 빛의 반사를 직선으로 추적할 때에 유용하게 사용된다. 평면을 표현하는 단위 법선 벡터 $\hat n$은 식 (9)에서 제곱 특성을 가져서 $-\hat n$을 써도 문제없다.

[참고문헌]

[1] M. Corral, Tangent Plane to a Surface, Vector Calculus, Schoolcraft College, Jan. 2021.

[다음 읽을거리]

1. 구의 방정식

2. 초구의 성질

구의 방정식(Equation of Sphere)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원의 방정식

2. 평면의 방정식

[그림 1] 3차원 공간에 그린 구(출처: wikipedia.org)

2차원에서 가장 완벽한 도형이 원(圓, circle)이라면, 원에 대응하는 3차원 도형은 구(球, sphere)이다. 구는 중심에서 반지름이 일정한 점의 3차원 자취이다. 구의 정의에 따라 구의 방정식은 다음과 같이 기술한다.

                  (1)

여기서 구의 중심은 $(a, b, c)$, 반지름은 $r$이다. 원의 매개변수 표현식을 참고해서 구의 매개변수 표현식도 쉽게 유도할 수 있다. 먼저 3차원이 아닌 2차원으로 한정해서 $(x-a)^2 + (y-b)^2$ = $\rho^2$이라 둔다. 그러면 반지름 $r$에 대해 다음 관계가 성립해야 한다.

                  (2)

여기서 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ = $1$, $\rho$는 $x, y$에 대한 2차원 반지름이다. 2차원 반지름 $\rho$는 음수가 아니므로, 새로운 각도 $\theta$의 변화 범위는 $0 \le \theta \le \pi$가 되어야 한다. 식 (2)에 따라 점 $(x, y, z)$를 매개변수 $(r, \theta ,\phi)$로 표현할 수 있다.

                  (3)

새로운 매개변수 $(r, \theta ,\phi)$는 구 좌표계(spherical coordinate system)의 좌표 성분에 쓰인다. 2차원 각도 $\phi$는 평면에서의 방향[예를 들어, 동쪽 혹은 서쪽]을 가리키는 방위각(方位角, azimuth)이며, 3차원 각도 $\theta$는 극고도각(極高度角, polar angle)이라 부른다. 흔히 쓰는 고도각(高度角, elevation angle)은 적도[= $0^\circ$]에서 시작해 북극[= $90^\circ$]으로 올라가지만, 극고도각은 북극[$\theta$ = $0$]에서 출발해 적도[$\theta$ = $\pi/2$]를 거쳐 남극[$\theta$ = $\pi$]으로 간다. 그래서 고도각과 극고도각은 꼭 구별해서 써야 한다. 또한 극고도각 $\theta$의 변화 방향은 방위각 $\phi$의 변화에 직교하도록 정한다. 서로 직교하는 좌표 성분으로 구성한 편리한 좌표계를 직교 좌표계(直交座標系, orthogonal coordinate system)라고 부른다. 그래서 $(r, \theta ,\phi)$로 만든 직교 좌표계는 구의 속성을 표현하고 있어서 당연히 구 좌표계가 된다.

반지름 $r$을 고정하고 각도 $\theta, \phi$를 바꾸면서 구의 표면적 $S$를 계산한다. 각도 $\theta, \phi$에 대응하는 호의 길이(arc length)를 각각 $r d \theta, \rho d\phi$라 둔다. 그 다음에 서로 직교하는 두 호의 길이를 적분해서 구의 표면적 $S$를 유도한다.

                  (4)

구의 표면적 $S$를 반지름 $r$에 대해 양파 껍질 적분법(onion skin integration)을 적용하면, 그 적분값은 구의 부피 $V$가 된다.

                  (5)

식 (4)와 (5)에 따라 표면적과 부피는 서로 미적분 관계에 있다.

                  (6)

원과 호의 길이로 정의한 라디안(radian)의 개념을 확장해서 3차원 공간에 쓸 수 있는 입체각(立體角, solid angle) $\Omega$를 정의한다. 먼저 식 (4)에 따라 미소 표면적 $dS$를 반지름 제곱으로 나눈 값인 미소 입체각 $d\Omega$를 도입한다.

                  (7)

내적(inner product)을 이용해 임의의 미소 면적 $d \bar a$를 구의 표면으로 정사영하면, 입체각으로 임의의 3차원 각도를 측정할 수 있다. 즉, 구의 표면을 뚫고 나오는 단위 벡터(unit vector) $\hat r$과 미소 면적 $d \bar a$를 내적해서 임의의 3차원 각도를 재는 입체각 $\Omega$를 새롭게 정의한다.

                  (8)

입체각을 헤아리는 단위는 스테라디안(steradian, sr)이라 부른다. 스테라디안은 입체를 뜻하는 스테레오스(στερεός)와 빛줄기를 말하는 라디우스(radius)의 합성어이다. 식 (7)에 의해 전체 3차원 공간에 대한 입체각은 $4 \pi$ sr이다.

구의 방정식을 이용해서 여러 가지 구의 성질을 다소 쉽게 증명할 수 있다.

[그림 2] 구에 접하는 평면 혹은 접평면(원본 출처: wikipedia.org)

[구의 접평면(tangent plane to a sphere)]
구의 접평면은 항상 구에 수직이다.

[증명]

구의 방정식을 변형해서 구 표면을 $f(x, y, z)$ = $x^2+y^2+z^2 - r^2$ = $0$으로 표현한다. 여기서 구의 중심은 $(x_0, y_0, z_0)$ = $(0, 0, 0)$이다. 접평면의 방정식을 적용해서 구 표면 위의 점 $(x_1, y_1, z_1)$에서 구의 접평면을 구한다.

                  (9)

접평면의 법선 벡터 $(x_1, y_1, z_1)$은 구의 중심에서 구 표면으로 가는 위치 벡터(position vector)이기도 하므로, 구의 접평면은 구에 항상 수직이다.

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구의 방정식과 접평면을 쓰면, 원을 이용해서 증명한 점과 직선 사이의 거리 관계를 3차원으로 확장할 수 있다.

[점과 평면 사이의 거리(distance from a point to a plane)]

점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 직선 $ax+by+cz+d = 0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같다.

                              (10)

여기서 점과 평면 사이의 거리는 최단 거리 혹은 수직인 거리로 정한다.

[증명]

[그림 2]처럼 점 $(x_0, y_0, z_0)$를 중심으로 하는 구를 그려서 평면 $ax+by+cz+d$ = $0$에 접하게 한다. 그러면 식 (9)에 있는 구의 접평면 방정식은 다음과 같아진다.

                              (11)

평면의 방정식을 바꾸어서 $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1)$ = $0$으로 쓰면, 평면의 법선 벡터 $\bar n$은 $(a, b, c)$가 된다. 다음 단계로 구의 중심에서 평면의 접점으로 가는 벡터 $\bar v$ = $(x_1, y_1, z_1) - (x_0, y_0, z_0)$는 $\bar n$에 평행해서 $\bar v$ = $-k \bar n$로 둔다. 여기서 $\bar n, \bar v$의 크기에 따라 스칼라 $k$의 크기는 $|k|$ = $r/\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$이다. 최종적으로 구의 반지름 $r$ 혹은 점과 평면 사이의 거리 $D$는 다음처럼 표현된다.

                              (12)

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식 (10)을 위한 증명은 초구(超球, hypersphere)에 접하는 초평면(超平面, hyperplane)까지 확장되어 다차원에 있는 점과 초평면 사이의 거리까지 유도할 수 있다.

[다음 읽을거리]

1. 구 좌표계

2. 회전 행렬

3. 초구의 성질

푸리에 사인 및 코사인 변환(Fourier Sine and Cosine Transforms)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸리에 사인 및 코사인 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 푸리에 변환

[그림 1] 푸리에 코사인 변환의 이산화와 필터 스펙트럼(filter spectrum) 특성(출처: wikipedia.org)

기함수(奇函數, odd function)와 우함수(偶函數, even function)에 대해 푸리에 급수(Fourier series)가 푸리에 사인 및 코사인 급수(Fourier sine and cosine series)로 바뀌는 성질처럼, 푸리에 변환(Fourier transform)도 기함수와 우함수 조건에 따라 적분 변환(integral transform)이 약간 달라질 수 있다. 먼저 함수 $f(t)$가 기함수라 가정한다. 그러면 $f(-t)$ = $-f(t)$인 조건에 따라 푸리에 변환은 다음처럼 변형된다.

                       (1)

                       (2)

식 (2)에서 새롭게 정의한 $S(\omega)$를 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)이라 부른다. 푸리에 사인 변환은 $\omega$에 대해 기함수가 된다. 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)에 따라 푸리에 사인 역변환(inverse Fourier sine transform)도 쉽게 정의된다.

                       (3)

식 (2)와 (3)의 결과를 모아서 푸리에 사인 변환쌍(Fourier sine transform pair)을 공식화한다.

                       (4)

푸리에 사인 변환된 함수를 역변환하면 다시 원래 함수로 돌아와야 하므로, 식 (4)로부터 다음과 같은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관계도 얻을 수 있다.

                       (5)

비슷한 방식으로 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform)도 정의한다. 이번에는 함수 $f(t)$를 우함수라 가정하면 $f(-t)$ = $f(t)$인 관계가 성립한다. 따라서 우함수의 푸리에 변환은 다음과 같아진다.

                       (6)

여기서 $C(\omega)$는 우함수 $f(t)$의 푸리에 변환의 일종인 푸리에 코사인 변환이 된다. 푸리에 코사인 변환은 우함수 성질을 가져서 식 (3)처럼 푸리에 코사인 역변환(inverse Fourier cosine transform)도 쉽게 구해진다.

                       (7)

식 (6)과 (7)을 합쳐서 푸리에 코사인 변환쌍(Fourier cosine transform pair)과 이에 관련된 디랙 델타 함수도 기술한다.

                       (8)

                       (9)

따라서 주어진 함수가 기함수 혹은 우함수인 경우는 푸리에 사인과 코사인 변환을 각각 적용해서 더욱 편리하게 주파수 특성을 분석할 수 있다.

푸리에 사인과 코사인 변환을 동시에 써서 $f(x)$를 바꾼 경우는 혼합 푸리에 변환(mixed Fourier transform, MFT)이라 명한다[1].

                       (10)

여기서 $\alpha$는 경계 조건을 표현하는 복소수인 혼합 계수(mixed coefficient), $x$가 무한대로 갈 때에 $f(x)$는 0으로 수렴한다. 혼합 푸리에 변환의 진정한 의미를 이해하고 싶으면, 식 (10)에 부분 적분을 적용해서 푸리에 사인 변환으로 형태를 바꾼다.

                       (11a)

                       (11b)

여기서 $\alpha$는 $m(0)$ = $0$을 만족시킨다. 경계 조건 $\alpha$ = $-f'(0)/f(0)$으로 인해, 물리학에서 $\alpha$는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)에 사용하는 임피던스(impedance) 역할이다. MFT를 적용한 $F(p)$의 역변환은 다소 복잡하다. 먼저 식 (11b)에 푸리에 사인 역변환을 적용한다.

                       (12)

여기서 $f_p(x), f_g(x)$는 각각 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)에 나오는 특수해(particular solution)와 일반해(general solution)이다. 함수 $F(p)$는 푸리에 사인 및 코사인 변환의 결과임을 기억해서 $f_p(x)$를 푸리에 사인 및 코사인 역변환으로 표현한다.

                       (13)

식 (12)로부터 일반해 $f_g(x)$는 $B e^{-\alpha x}$임을 쉽게 알 수 있다. 만약 $\Re[\alpha] \le 0$이면, $x$가 커질 때에 상수거나 발산해서 $f(x)$의 경계 조건을 만족 못한다. 이로 인해 $B$ = $0$으로 정해진다. 반면에 $\Re[\alpha] > 0$ 조건은 $f_g(x)$를 살린다. 상수 $B$를 구하기 위해 아래와 같은 지수와 삼각 함수의 직교성을 식 (12)에 곱한다.

                       (14)

                       (15)

여기서 $a > 0$, $\Re[\alpha] > 0$이다. 식 (13), (15)를 식 (12)에 대입해서 혼합 푸리에 역변환을 완성한다.

                       (16)

다만 $\Re[\alpha] > 0$인 경우는 $F(p)$를 적분해서 $f(x)$를 결정할 수 없고, 그 역변환은 $f(x)$에 대한 적분 방정식(integral equation)을 내부에 포함한다.

[참고문헌]

[1] J. R. Kuttler and R. Janaswamy, "Improved Fourier transform methods for solving the parabolic wave equation," Radio Sci., vol. 37, no. 2, pp. 5-1–5-11, Apr. 2002.

[다음 읽을거리]

1. 이산 푸리에 변환