[경고] 아래 글을 읽지 않고 "회전의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
전파공학과에 대대로 내려오는 전설이 있다. "학부 4학년을 졸업할 때까지 회전(回轉, Curl) 연산자의 진짜 의미를 알면 천재다." 학부생들이 매우 어려워해서 전자기학을 잠자기학으로 만드는 원흉은 바로 회전 연산자이다. 이 회전 연산자는 분명히 말하지만 쉽지 않다. 하지만, 아래에 회전 연산자를 이해하기 위한 비법이 숨어 있다. 학부 졸업하기 전까지 이해해서 진짜 천재(?)가 되어 보도록 하자.
[그림 1] 물레방아(출처: wikipedia.org)
회전 연산자를 이해하기 위해 [그림 1]의 물레방아를 관찰한다. 바람개비, 풍차, 물레방아 등과 같은 회전체가 돌아가는 원리는 무엇인가? 바로 물레방아의 양끝[위아래 혹은 좌우]에 동일한 힘이 가해지지 않고 서로 다른 힘이 가해지기 때문에 물레방아가 회전할 수 있다. 이를 수학적으로 표현하는 연산자가 식 (1)에 제시한 회전 연산자이다.
(1)
여기서 벡터 $\bar A$ = $(A_x, A_y, A_z)$로 정의한다. [그림 1]의 물레방아가 회전할 수 있도록 $xy$평면에 힘의 방향을 표시하면 [그림 2]가 된다.
[그림 2] 물레방아를 회전 연산자로 설명(출처: wikipedia.org)
만약 좌표계의 $x$축 방향으로 벡터 $A_y$가 작용하면 물레방아는 회전하게 된다. 혹은 좌표계의 $y$축 방향으로 벡터 $A_x$가 작용하게 되면 역시 물레방아가 회전한다. 이게 헷갈리면 가까운 곳에 있는 물레방아로 가서 물이 물레방아의 어느 위치로 떨어지는지 잘 본다. 물레방아를 찾기 어려우면, 나무젓가락, 색종이, 압침으로 바람개비를 만들어 회전이 이해될 때까지 바람개비를 돌린다.
[그림 2]에서 좌표계의 $x$축 방향에 대한 벡터 변화를 본다. [그림 2]에서 위치가 $x$ = $a$보다 작으면 작용하는 힘이 없고 $x$ = $a$보다 크면 $2 \Delta A_y$ 만큼의 힘이 작용한다.[주황색 화살표를 $\Delta A_y$로 간주] 그러면 $x$축에 대한 $A_y$의 변화는 $2 \Delta A_y - 0$ = $2 \Delta A_y$가 된다. 이때 $x$축 방향 변화인 $\Delta x$로 나누면 회전을 생성하기 위한 변화율은 식 (1)의 $z$방향 벡터 성분과 비슷하게 $2 \Delta A_y/ \Delta x$가 된다. 마찬가지로 $y$축 방향 벡터 변화도 계산할 수 있다. $y$ = $b$보다 작으면 0이고 $y$ = $b$보다 크면 벡터 $A_x$의 변화는 $\Delta A_x - 0$ = $\Delta A_x$가 된다.[녹색 화살표를 $\Delta A_x$로 생각] $y$축 방향 변화인 $\Delta y$로 나누면 그 변화율은 $\Delta A_x/\Delta y$가 된다. 여기서 조심할 부분이 하나 있다. 회전은 벡터량이므로 크기 뿐만 아니라 방향도 고려해야 한다.
[그림 3] 회전 벡터를 정의하기 위한 오른손 법칙(출처: wikipedia.org)
회전 벡터를 정의하기 위해 [그림 3]을 고려한다. 회전은 원 운동을 의미하지만, 그 회전 벡터 방향을 [그림 3]처럼 빨간색 화살표로 표현하기는 매우 번거롭다. 그래서 오른손 법칙을 도입해서 원 운동 방향[네 손가락이 가리키는 방향]을 [그림 3]처럼 엄지손가락의 방향[파란색 화살표]으로 정의한다. 이 오른손 법칙 개념을 [그림 2]에 적용하면, 회전하는 주황색 화살표는 결국 $z$ 벡터 방향을 지시하고 회전하는 녹색 화살표는 $-z$ 벡터 방향이 된다. 따라서 $x$와 $y$축 변화에 의한 회전 연산자 특성은 아래처럼 정의해야 한다.
(2)
식 (2)는 식 (1)의 $z$축 방향 회전 연산자 성분과 동일하다. 이 개념을 $yz$, $zx$평면에도 적용하면 식 (1)과 같은 공식을 얻을 수 있다. 따라서 식 (1)에 제시한 회전 연산자의 의미는 회전 검출기(rotation detector)이다. 임의의 벡터 함수에 회전 연산자를 적용하면 이 벡터 함수가 회전이 있는지 여부를 회전 검출기로 판별할 수 있다.
[스토크스의 정리]
(3)
여기서 벡터 $d \bar a$는 면적 미분소(differential surface), 벡터 $d \bar l$은 선 미분소(differential line)이다. 벡터 $d \bar a$와 $d \bar l$의 방향은 [그림 4]와 같이 오른손 법칙으로 정한다. 식 (3)에서 적분 기호에 동그라미가 있는 표기는 적분의 시작점과 끝점이 같은 선 적분(line integral)을 의미한다.
[그림 4] 면적 미분소와 선 미분소의 방향 정의(출처: wikipedia.org)
[증명]
스토크스의 정리는 발산 정리와 비슷하므로 3차원 공간 상에 [그림 5]와 같은 면적 차분 $\Delta S$[= $\Delta x \Delta y$]를 고려한다. 극한의 정의상 면적 차분을 무한히 줄이면 면적 미분소 $d \bar a$가 된다.
[그림 5] 데카르트 좌표계 상의 면적 차분
식 (3)을 증명하기 위해 식 (3)의 우변을 식 (4)와 같이 차분으로 바꾼다.
(4)
식 (4)는 선 적분의 차분이므로 벡터 $A_x, A_y$에 대한 차분값을 합치고 극한을 취하면 식 (5)를 얻는다.
(5)
식 (5)의 결과를 모든 면적에 대해 모으면 적분이 되므로 $\Delta x \Delta y$ 면적 차분에 대해 식 (3)을 증명할 수 있다. 이 결과를 $\Delta y \Delta z$, $\Delta z \Delta x$ 면적 차분으로 확장하면 식 (3)으로 쓴 일반식을 증명할 수 있다. 발산 정리와 동일하게 수학적으로 엄밀하게 유도하려면 식 (4)의 면적 차분에 리만 적분을 적용해서 식 (3)을 증명해야 한다. 발산 정리와 비슷하게 면적에 대한 선 적분 합성은 좀더 생각을 해야 한다. 이를 이해하기 위해 [그림 6]을 살펴본다.
[그림 6] 선 적분의 구간 합성
[그림 6]에서 두 개의 면적 적분 영역을 합치면 하나의 면적 적분으로 합성됨을 쉽게 이해할 수 있다. 하지만, 두 개의 선 적분을 그냥 합치면 [그림 6]의 좌측과 우측은 동일하지 않다. 이를 해결하기 위해 선 적분을 정의할 때 벡터적으로 정의한다. 즉, [그림 6]의 좌측 선 적분을 합칠 때 녹색 화살표와 주황색 화살표가 서로 중첩이 되도록 한다. 녹색 화살표와 주황색 화살표는 크기는 같고 방향은 반대이므로 정확히 서로 상쇄되어 합성한 선 적분에 전혀 기여하지 않는다. 따라서, [그림 6]의 좌측 선 적분의 합성은 필연적으로 [그림 6]의 우측 선 적분이 된다. 이 개념을 활용하면 일반적인 경우에 대해[적분 영역을 어떻게 잡더라도] 식 (3)이 증명된다.
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좌표계의 기준이 되는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 상수 벡터의 회전은 $0$이 되어서 회전 원천은 없게 된다. 하지만 좌표계의 단위 벡터가 변하면, 상수 벡터 $\bar A$의 회전이 $0$이 아닐 수 있다. 예를 들어, 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)의 방위각 단위 벡터 $\hat \phi$의 회전은 $\bar \nabla \times \hat \phi$ = $1/\rho \cdot \partial (\rho \cdot 1) / \partial \rho \hat z$ = $\hat z \mathbin{/} \rho$이다. 이 말은 방위각 $\phi$가 변하는 방향으로 도는 벡터의 회전 원천은 $\hat z \mathbin{/} \rho$가 되어서 수학에서 정의하는 [그림 3]의 오른손 법칙을 뜻한다. 구 좌표계(spherical coordinate system)에서도 $\bar \nabla \times \hat \theta$ = $1/r \partial (r \cdot 1) / \partial r \hat \phi$ = $\hat \phi \mathbin{/} r$, $\bar \nabla \times \hat \phi$ = $1/(r \sin \theta) \cdot \partial (\sin \theta \cdot 1) / \partial \theta \hat r- 1/r \partial (r \cdot 1) / \partial r \hat \theta$ = $\hat r / (r \tan \theta) - \hat \theta / r$ = $\hat z \mathbin{/} r$이다. 그래서 방향이 바뀌는 단위 벡터가 [그림 2]와 비슷하게 구성되면, 상수 벡터이지만 회전 원천이 존재할 수 있게 된다.
스토크스의 정리에는 재미있는 이야기가 숨어있다. 통상적인 수학 정리와 다르게 스토크스 정리를 증명한 수학자는 한켈 함수(Hankel function)로 유명한 한켈Hermann Hankel(1839–1873)이다. 한켈은 1861년한켈 22세, 조선 철종 시절에 유명한 스토크스의 정리를 증명했다. 그러면 스토크스는 무엇을 했을까? 스토크스는 케임브리지 대학교(University of Cambridge)의 루카스 교수(Lucasian Professor) 자격으로 1854년스토크스 35세, 조선 철종 시절에 스미쓰 경진대회[스미쓰 상(Smith's Prize)을 수여하기 위한 시험] 문제를 출제했다[1]. 이 문제 중 하나가 바로 스토크스의 정리이다. 믿을 수 있는가? 출제자가 궁금해하지만 아직 증명되지 않은 수학 문제를 수학과 과학 분야 경진대회에 내다니, 참 대단한 자부심이다. 이 기막힌 경진대회를 치른 학생 중 하나가 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 정립한 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)이다. 맥스웰은 경진대회 문제를 풀면서 증명이 어려운 8번 문제[스토크스의 정리]를 분명 고민했을 것이다. 하지만 자신이 10년 뒤에 완성할 맥스웰 방정식의 핵심 도구가 8번 문제란 사실을 시험 당시에는 예상하지 못했을 것이다.[맥스웰은 회전(curl)이란 용어도 스스로 제안했다.] 수학과 과학의 역사에서 이런 기막힌 우연이 다시 있을까? 천재의 세계에서는 당연하지만, 이미 2등 랭글러(Wrangler: 수학 분야 최우등 졸업생)인 맥스웰은 스미쓰 경진대회에서도 뛰어난 성적을 거두어 공동 일등으로 스미쓰 상을 수상했다.[맥스웰은 케임브리지 대학교의 수학 분야 졸업 시험도 잘 치러서 1854년 2등 랭글러로 졸업했다.]
발산 정리와 스토크스의 정리를 활용하면 다양한 벡터 항등식을 유도할 수 있다.
발산 정리와 스토크스의 정리를 활용하면 다양한 벡터 항등식을 유도할 수 있다.
[회전 연산자의 영인자(零因子, nullity)]
(6)
[증명]
식 (6)을 면적 적분하고 식 (3)에 제시한 스토크스의 정리를 적용하면
(7)
식 (7)의 우변이 0이 되는 이유는 구배 연산자의 특성 때문이다.
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[발산 연산자의 영인자(零因子, nullity)]
(8)
[증명: 스토크스의 정리]
식 (8)을 체적 적분하고 발산 정리를 적용하면
(9)
식 (9)의 우변에 있는 닫힌 표면적 $S$를 [그림 7]과 같이 $S_1$과 $S_2$로 분리한다.
[그림 7] 닫힌 표면적의 영역별 분리
[그림 7]에 있는 $S_1$과 $S_2$의 표면적 각각에 대해 스토크스의 정리를 적용하면 식 (10)과 같이 선 적분의 크기는 같고 방향이 다른 결과가 얻어져서 최종 결과는 0이 된다.
(10)
여기서 $C_1$은 주황색 화살표, $C_2$는 파란색 화살표이며 $C_1$ = $-C_2$를 만족한다.
[증명: 발산과 회전의 정의]
식 (1)에 제시한 데카르트 좌표계의 회전 정의와 아래 발산 정의를 기계적으로 식 (8)에 대입하면 식 (8)의 결과가 0이 됨을 보일 수 있다.
(11)
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식 (8)을 증명하기 위해 식 (10)처럼 수식 전개를 했지만 증명의 핵심은 [그림 7]이다. 닫힌 표면적은 자른 단면이 동일한 윗면과 아랫면으로 항상 나눌 수 있다. 이때 윗면과 아랫면의 면적 벡터 방향은 서로 반대이므로 스토크스의 정리를 식 (8)에 적용하면 항상 0이 된다.
벡터 함수 $\bar A$가 구배 연산자로 표현되면 식 (6)에 의해 당연히 $\bar A$의 회전은 0이 된다. 거꾸로 $\bar A$의 회전이 0이라면 이 벡터 함수는 구배 연산자로만 표현될 것인가? 이 질문에 대한 답이 아래 정리이다.
[회전 연산자의 영인자 ≡ 구배 연산자]
회전이 0인 벡터 함수는 반드시 구배 연산자로만 표현된다.
(12)
[증명]
식 (1)을 $0$이라 두어서 회전이 $0$이기 위한 벡터 함수 $\bar A$ = $(A_x, A_y, A_z)$의 조건을 구한다.
(13)
식 (13)을 적분하면 벡터 함수 $A_x, A_y, A_z$의 관계는 식 (14)처럼 표현된다.
(14)
여기서 함수 $g_1, h_1, g_2, h_2$는 각 편미분에 대해서는 적분 상수가 된다. 식 (14)에 의해 $A_y$와 $A_z$는 각각 다음 두 가지 적분 조건을 만족해야 한다. 먼저 식 (14)의 둘째식을 셋째식에 넣고 정리해서 식 (14)의 첫째식으로 기술된 $A_y$와 항등인 아래 둘째식을 구한다.
(15)여기서 $\int \frac{\partial}{\partial z} I_x \,dz$ = $I_x + k_1(x, y)$, $I_x$ = $\int A_x \, dx$, $\partial k_1 (x, y) /\partial y$는 $g_2 (x, y)$에 포함된다고 가정한다. 마찬가지로 식 (14)의 첫째식을 넷째식에 대입함으로써 식 (14)의 둘째식과 다른 $A_z$의 새로운 표현식을 유도한다.
(16)여기서 $\int \frac{\partial}{\partial y} I_x \,dy$ = $I_x + k_2(z, x)$, $\partial k_2 (z, x) /\partial z$는 $h_2 (z, x)$에 넣어서 생략한다. 따라서 식 (15)와 (16)이 동시에 성립하기 위한 관계식은 다음과 같다.
(17)
식 (17)의 첫째식을 $z$에 대해 편미분하거나 둘째식을 $y$에 대해 편미분하면, $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$는 다음 등식을 만족해야 한다.
(18)여기서 $\partial g_2(x, y)/\partial z$ = $\partial h_2(z, x)/\partial y$ = $0$, $\frac{\partial}{\partial z} \int h_1(y, z) \, dz$ = $h_1(y, z)$, $\frac{\partial}{\partial y} \int g_1(y, z) \, dy$ = $g_1(y, z)$이다. 또한 식 (14)는 함수 $A_x$에 의해 $A_y$와 $A_z$가 자동적으로 결정됨을 의미한다. 만약 $A_x$ = $\partial f/ \partial x$라 가정한 후, 식 (14)의 첫째식과 둘째식에 대입해본다.
(19)
여기서 $f$ = $f(x, y, z)$이며 편미분의 적분 상수 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$는 고려하지 않는다. 적분 상수 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$를 고려하기 위해 식 (19)와 유사하게 $g_1(y, z)$ = $\partial g(y, z)/\partial y$라 가정하고 식 (18)에 대입해 다음 관계를 얻는다.
(20)
새로운 적분 상수 $h_3(z)$를 생각하지 않으면, 식 (20)에 따라 적분 상수 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$는 어떤 함수 $g(y, z)$의 구배임을 알 수 있다. 최종적으로 $h_3(z)$ = $\partial h(z)/ \partial z$라 놓으면, 식 (19)와 (20)에 의해 회전이 $0$인 벡터 함수는 반드시 구배 연산자로만 표현된다.
(21)
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벡터 함수가 회전을 가지지 않으면, 간단하게 비회전 벡터 함수(irrotational vector function)라고 부른다. 조금 더 고상하게 스칼라 함수가 포텐셜을 이루는 경우가 비회전이라서, 이런 함수를 박판 벡터 함수(lamellar vector function)라고 할 수도 있다. 여기서 박판은 얇은 판을 뜻하며, 포텐셜이 일정해 스칼라 함수가 등고선처럼 분포한다고 생각해 박판 혹은 얇은 판이란 용어를 쓴다.
1. 기본(basics)
[그림 1.1] 그린 정리를 위한 적분 영역(출처: wikipedia.org)
[그린의 정리(Green's theorem)]
(1.1)
[증명]
그린 정리는 스토크스 정리의 특별한 경우이다. $\bar A = (A_x, A_y, 0)$라 두고 이를 식 (3)에 대입하면 식 (1.1)을 얻을 수 있다.
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[스토크스 정리의 변형: 구배 연산자]
(1.2)
[증명]
식 (3)에 의해 임의 스칼라 함수 $f$와 상수 벡터 $\bar C$에 대해 다음 정리가 성립한다.
(1.3)
(1.4)
그러면 아래 식이 항상 성립해야 한다.
(1.5)
식 (1.5)의 셋째 줄은 상수 벡터 $\bar C$에 대한 항등식이다. 즉, 임의의 상수 벡터와 내적(inner product)한 값이 항상 0이 되는 벡터는 영 벡터이므로 식 (1.2)가 반드시 성립해야 한다.
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식 (3)에 제시한 벡터에 대한 스토크스의 정리는 다이애드(dyad)까지 확장될 수 있다. 먼저 다이애드의 회전을 정의한다.
[다이애드 회전 연산자]
(1.6)
(1.7)
전자파 분야에서 주로 사용하는 다음과 같은 다이애드 표기법을 이용해 식 (1.6)을 다시 정의하면 다음과 같다.
(1.8)
식 (1.1)의 성분으로 식 (1.6)을 다시 정의하면 다음과 같다.
(1.9)
여기서 $\bar D^{(i)}$ = $\bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$이다. 식 (3)의 좌변을 다이애드로 바꾸어 식 (1.9)를 대입하면 다이애드로 확장된 스토크스의 정리를 다음처럼 증명할 수 있다.
[다이애드 스토크스의 정리]
(1.10)
따라서 다이애드는 발산과 회전 연산자에 모두 적용 가능하므로, 헬름홀츠의 정리(Helmholtz' Theorem)에 따라 모든 벡터 미적분학에 다이애드를 자유롭게 활용할 수 있다.
[참고문헌]
[1] G. G. Stokes, Smith's Prize Exam, University of Cambridge, 1854.
[참고문헌]
[1] G. G. Stokes, Smith's Prize Exam, University of Cambridge, 1854.
[다음 읽을거리]
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