조금은 느리게 살자

2020년 7월 28일 화요일

QR 분해(QR Decomposition)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "QR 분해"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 행렬
2. 행렬식의 기하학적 의미
3. 가우스 소거법

[그림 1] 데카르트 좌표계의 정규 직교 기저, $\hat i, \hat j, \hat k$(출처: wikipedia.org)

가우스 소거법(Gaussian elimination)의 중요한 결과인 LU 분해(lower–upper decomposition)를 사용하면 1차 연립 방정식을 매우 효과적으로 풀 수 있다.

(1)

여기서 $\bf P$는 순열 행렬(permutation matrix)이다. 행렬식(determinant)의 고민에서 나온 벡터 공간(vector space)의 정규 직교 기저(orthonormal basis)를 만들 때는 QR 분해(QR decomposition) 혹은 QR 인수 분해(QR factorization)를 쓰면 정말 편리하다. 다른 관점으로 보면 벡터 공간의 직교 기저를 만드는 방식을 체계적으로 정리한 개념이 행렬의 QR 분해이다. QR 분해라는 목적지로 가기 위한 첫걸음은 좌표계(coordinate system)에서 시작한다. 우리가 살고 있는 공간은 3차원이지만, 3이란 숫자에 너무 집착할 필요는 없다. 좌표계 구성에 따라 임의의 $n$차원 공간까지 상상할 수 있다. 따라서 임의의 $n$차원에 있는 벡터를 $\bar v$라 할 수 있다. 벡터 $\bar v$를 구성하는 기저(basis)를 만들기 위해 선형 독립(linear independence)인 $n$개의 벡터 $\bar r_i$를 다음처럼 선택한다.

(2)

선형 독립인 벡터는 충분히 기저가 될 수 있지만, 벡터의 성분(component)을 계산할 때는 많이 불편하다. 이 개념을 이해하기 위해 식 (2)에 있는 $\bar r_i$를 이용해 $\bar v$를 구성한다.

(3)

여기서 $\alpha_i$는 벡터 $\bar v$의 스칼라 성분(scalar component)이다. 성분 $\alpha_i$를 구하기 위해, 식 (3)에 나온 선형 결합(linear combination)을 행렬로 만든다.

(4)

여기서 $\bar r_i$는 행 벡터(row vector)라 생각한다. 행렬을 구성하는 행 벡터 $\bar r_i$가 서로 선형 독립이기 때문에, 역행렬이 존재해서 $\alpha_i$를 유일하게 정할 수 있다. 기저를 새롭게 보기 위해, 식 (3)에 내적(inner product)을 적용한 후 다음처럼 계산할 수도 있다.

(5)

기저 간의 모든 내적 $\bar r_j \cdot \bar r_i$를 원소로 하는 행렬에 기본 행 연산(elementary row operation)을 써본다. 그러면 행렬에 있는 어떤 행에서는 다음 식이 나온다.

(6)

여기서 $\bar w$는 행렬에 사용한 기본 행 연산을 표현하는 벡터이다. 식 (4)에 있는 행렬 $[\bar r_i]$에 적절한 기본 행 연산을 적용하면 식 (5)에 구성한 행렬 $[\bar r_j \cdot \bar r_i]$가 얻어지므로, 식 (5)의 행렬도 역행렬이 분명 존재한다. 그래서 식 (6)에 있는 모든 원소가 $0$이 되기는 불가능하다. 이러한 결론을 내적 관점으로 보면, 어떤 벡터든지 모든 기저에 직교하기[$\bar w \cdot \bar r_i$ = $0$]는 불가능하다.

[그림 2] 2차원 벡터에 대한 그람–슈미트 과정(출처: wikipedia.org)

식 (4), (5)에서 기저의 선형 결합으로 표현한 벡터의 성분을 구하는 방법을 유도했지만 여전히 복잡하다. 그래서 내적에 대한 직교(orthogonality) 개념까지 적용해서 더 간략화한다. 먼저 내적과 벡터 성분의 관계를 이해하기 위해, $\alpha_i$를 내적으로만 표현한다. 첫 단계로 식 (3)에 정의한 $\bar v$에서 기저 $\bar r_1$이 없는 새로운 벡터를 $\bar v^{(1)}$이라 한다.

(7)

여기서 벡터의 내적(inner product) $\bar r_1 \cdot \bar r_1$은 $|\bar r_1|^2$과 같아서 두 번 나오는 $\bar r_1$을 단위 벡터로 만들어주며, $\bar v$에서 $\bar r_1$과 같은 방향의 성분을 찾기 위해 $\bar v \cdot \bar r_1$ 연산을 사용한다. 식 (7)에 $\bar r_1$을 내적하면 $0$이 나오므로 $\bar v^{(1)}$과 $\bar r_1$은 서로 수직이다. 식 (7)에서 기저 벡터 $\bar r_1$을 단위 기저 벡터(unit basis vector) $\hat r_1$로 바꾸면 더 간단해진다.

(8)

여기서 $\hat r_1$ = $\bar r_1 / |\bar r_1|$이다. 식 (8)과 비슷하게 벡터 $\bar v^{(1)}$에서 $\bar r_2$와 관계없는 벡터를 $\bar v^{(2)}$라 한다.

(9)

식 (9)를 식 (8)에 대입해서 정리하면 $\bar v$를 다음처럼 표현할 수 있다.

(10)

식 (10)에서 멈추지 않고 $\bar v^{(n)}$까지 계속 진행하면, 식 (3)에 대한 깔끔한 표현식을 얻을 수 있다.

(11)

여기서 벡터 $\bar r_i$는 서로 직교할 필요가 없지만, $\bar v^{(i)}$와 $\bar r_i$는 항상 직교한다[$\bar v^{(i)} \cdot \hat r_i$ = $0$]. 식 (5)보다는 식 (11)이 더 간단하지만, 기저가 서로 직교하지 않기 때문에 벡터 성분의 표현식이 여전히 복잡하다. 그래서 서로 직교하는 기저를 이용해 식 (11)을 더 간략화하면 좋다. 그래서 일반 벡터 $\bar v$에 적용한 식 (10)과 같은 절차를 일반 기저 $\bar r_i$에 사용해 정규 직교 기저 $\hat e_i$를 만든다. 예를 들어, [그림 2]에 있는 2차원 벡터와 정규 직교 기저 $\hat e_1, \hat e_2$를 보면, 대각선으로 표시된 일반 벡터 $\bar v_2$를 서로 직교하는 정규 직교 기저인 $\hat e_1, \hat e_2$의 선형 합으로 표현할 수 있다. 전체 과정 중에서 첫번째 정규 직교 기저 $\hat e_1$은 처음 나오는 기저이기 때문에 간단히 $\hat e_1$ = $\hat r_1$으로 둔다. 그 다음 정규 직교 기저 $\hat e_2, \cdots, \hat e_n$ 등은 다음처럼 차례차례 만든다.

(12)

여기서 $\bar s_i$는 직교하지만 크기가 1이 아닐 수 있는 직교 기저이다. 식 (12)의 첫째식이 [그림 2]에 정확히 대응한다. 식 (12)에 의해 정규 직교 기저는 서로 선형 독립이면서 다음 관계를 항상 만족한다.

(13)

이러한 정규 직교 기저를 생성하는 방법을 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)이라 부른다. 정규 직교 기저를 이용하면, 식 (11)과는 다르게 식 (3)에 있는 벡터를 매우 간단히 표현할 수 있다.

(14)

식 (14)와 비슷한 모양으로 일반 기저 $\bar r_i$를 $\hat e_i$의 선형 결합으로 나타낼 수도 있다. 식 (12)의 첫째식을 다음처럼 바꾼다.

(15)

위와 유사한 방법으로 모든 $\bar r_i$를 $\hat e_i$의 선형 결합으로 표현할 수도 있다.

(16)

그람–슈미트 과정과 식 (16)을 이용하면 행렬 분해의 중요한 기법인 QR 분해 방법을 유도할 수 있다.

[QR 분해]
열 벡터가 서로 선형 독립인 행렬 $\bf A$는 다음과 같은 두 행렬 $\bf Q$, $\bf R$의 곱으로 분해될 수 있다.

(17)

여기서 $\bf Q$의 열 벡터(column vector)는 그람–슈미트 과정으로 만든 정규 직교 기저, $\bf R$은 상삼각 행렬(upper triangular matrix)이다.

[증명]
열 벡터 ${\bf a}_i$를 가진 행렬 $\bf A$는 다음과 같다.

(18)

선형 독립인 열 벡터 ${\bf a}_i$를 일반 기저로 생각하면, 그람–슈미트 과정을 적용할 수 있어서 $\bf Q$를 다음처럼 생성할 수 있다.

(19)

여기서 열 벡터 ${\bf q}_i$는 $\bf A$에 대한 정규 직교 기저이다. 그러면 식 (16)에 따라 ${\bf a}_i$를 ${\bf q}_i$의 선형 결합으로 바꿀 수 있다.

(20)

여기서 $(\cdot)^T$는 전치 행렬(transpose)이다. 식 (20)을 행렬의 곱으로 쓰면 다음을 얻을 수 있다.

(21)
______________________________

QR 분해를 할 때 사용하는 그람–슈미트 과정은 나눗셈(division)과 매우 유사하다. 그래서 분해 명칭에 몫(quotient)과 나머지(remainder)를 뜻하는 QR을 사용한다.

QR 분해에 나오는 행렬 $\bf Q$는 열 벡터가 서로 직교하는 재미있는 성질이 있다. 행렬을 구성하는 행 벡터 혹은 열 벡터가 서로 직교하는 정방 행렬(square matrix)은 직교 행렬(orthogonal matrix) 혹은 정규 직교 행렬(orthonormal matrix)이라 부른다. 여기서 직교 행렬을 구성하는 행이나 열 벡터의 크기는 $1$이 되어야 한다. 행렬 $\bf Q$의 행과 열의 개수가 같으면, $\bf Q$도 직교 행렬이 된다. 그래서 직교 행렬을 표현하는 알파벳으로 Q를 쓴다. 직교 행렬은 다음과 같은 중요한 성질이 있다.

[직교 행렬의 성질]

직교 행렬 $\bf Q$는 다음 성질이 성립한다.

(a)

(21)

(b)

(22)

(c)

(23)

(d) 열 벡터가 서로 직교하면 행 벡터도 직교한다. 그 반대도 참이다.

[명제 (a)의 증명]

열 벡터의 직교성에 의해 행렬 $\bf Q$와 전치 행렬의 곱은 항등 행렬(identity matrix)이 된다.

(24)

식 (24)에 전치 행렬을 취하면 다음 관계식도 얻을 수 있다.

(25)

따라서 $\bf Q$의 전치 행렬은 역행렬이 된다.

[명제 (b)의 증명]

전치 행렬과 행렬 곱의 행렬식은 다음 관계가 성립한다.

(26)

(27)

따라서 식 (24)에 의해 $|{\bf Q}|^2$ = $1$이다.

[명제 (c)의 증명]

식 (23)을 다음처럼 변형한 후 식 (24)를 대입하면 식 (23)이 증명된다.

(28)

[명제 (d)의 증명]

식 (25)의 좌변에 의해 행 벡터도 서로 직교한다.

______________________________

직교 행렬의 원소는 모두 실수이다. 만약 행렬의 원소가 복소수(complex number)까지 될 수 있고, 복소수 관점에서 열 벡터가 서로 직교하면, 이 행렬은 유니터리 행렬(unitary matrix)이라 부른다. 즉, 직교 행렬을 복소 영역으로 확장하면 유니터리 행렬이 된다.

식 (22)에 의해 직교 행렬의 행렬식은 $1$ 혹은 $-1$이다. 두 값을 구별하기 위해, 행렬식이 $1$이면 정상 직교 행렬(proper orthogonal matrix)이라 한다. 행렬식이 $-1$인 경우는 이상 직교 행렬(improper orthogonal matrix)이 된다. 식 (23)은 직교 행렬이 있든지 없든지 원래 벡터의 크기는 일정함을 뜻한다. 즉, 직교 행렬의 연산을 적용하더라도 벡터의 크기는 항상 보존된다. 물론 벡터의 방향은 바뀔 수 있다.

LU 분해와 비슷하게 QR 분해를 이용해서 1차 연립 방정식을 다음처럼 효과적으로 풀 수 있다.

(29)

식 (29)의 마지막식은 상삼각 행렬 $\bf R$만 계산하면 되므로, 후진 대입법(backward substitution)을 사용하면 된다. 다만 QR 분해로 연립 방정식을 풀 때는 행렬의 곱과 전치 행렬 연산이 필요하므로, LU 분해만큼 효과적이지는 않다.

[다음 읽을거리]

1. 선형 최소 제곱법

2. 행렬의 고유치와 고유 벡터

2020년 7월 27일 월요일

삼각 함수 항등식(Trigonometric Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수
2. 삼각 함수의 합차 공식

3. 테일러 급수

4. 베르누이 수

5. 시컨트 수와 오일러 수

[그림 1] 단위 원에 출현하는 여러 가지 삼각 함수(출처: wikipedia.org)

1. 기본(basics)

기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수(sine and cosine functions)의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.

[기본 관계식]

(1.1a)

(1.1b)

[삼각 함수의 합차 공식]

(1.2a)

(1.2b)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6a)

(1.6b)

(1.7)

[증명]

삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 변수 치환을 적용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 증명할 수 있다. 식 (1.6a)에 $y = x$를 대입한 후 정리해서 식 (1.7)을 유도한다.
______________________________

[기본 항등식]

(1.8)

(1.9)

[증명]
탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
______________________________

(1.10)

(1.11)

[증명]
식 (10)의 좌변을 정리한 후, 식 (1.6a)를 적용해서 식 (1.10)으로 간략화한다.

(1.12)

식 (1.11)의 증명을 위해, 좌변을 통분해 $(1-\cos^2)/\cos x$ = $\sin^2 x / \cos x$로 정리한다.

______________________________

[역함수]

(1.13)

(1.14)

[증명]
식 (1.6b)에 $\cot x$ = $a$, $\cot y$ = $1/a$를 넣으면 $\cot (x + y)$ = $0$이 된다. 이때 $x + y$ = $\pi/2$가 되어서 식 (1.14)가 증명된다.
______________________________

[복소 지수 함수의 합과 차]

(1.15)

[기수 함수(cardinal function)]

(1.16a: 싱크 함수(sinc function) 혹은 정규화 싱크 함수)

(1.16b: 탱크 함수(tanc function))

기수 함수는 $x$가 변할 때, 세는 수인 기수(基數, cardinal number)를 선택한다. 싱크 함수는 $x$ = $0$을 제외한 모든 기수를 영점(zero) 관점에서 선택한다. 탱크 함수(tanc function)는 기수 함수가 아니지만, 싱크 함수와 닮아서 함수명을 탱크(tanc: tangent cardinal)로 부른다.

2. 급수 표현식(series representation)

삼각 함수의 미분이 간단해지므로 삼각 함수의 테일러 급수(級數, Taylor series)도 아래와 같이 쉽게 표현된다.

[기본 함수]

(2.1)

(2.2)

[역함수]

(2.3a)

(2.3b)

여기서 $x$ = $\tan \theta$, $|x| \le 1$이다.

[증명]

식 (3.7)을 적분하고 피적분 함수는 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)로 전개해서 증명한다.

(2.4)

여기서 이항 정리의 수렴 조건으로 인해 $t^2 < 1$ 혹은 $|x| < 1$이다. 또한 $x$ = $\pm 1$에서 식 (2.4)의 마지막식은 감소하는 교대 급수(alternating series)라서 수렴한다.

______________________________

탄젠트 역함수에 대한 무한 급수인 식 (2.3)은 그레고리의 급수(Gregory's series)라고 부른다. 그레고리의 급수는 수학자 그레고리James Gregory(1638–1675)가 1668년그레고리 30세, 조선 현종 시절에 발견했다. 이외에도 그레고리는 1663년에 발명한 최초의 반사 망원경인 그레고리 망원경(Gregorian telescope)으로도 유명하다. 식 (2.3)에 $x$ = $1$을 대입하면, 식 (2.3)의 우변은 $\pi/4$에 수렴한다.

[베르누이 수]

(2.5)

(2.6)

(2.7)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 테일러 급수를 이용해 식 (2.5)를 증명한다. 식 (1.7)을 바꾸면 $\tan x$ = $\cot x - 2 \cot(2x)$이다. 이 결과에 식 (2.5)를 넣어서 정리하면 식 (2.6)을 얻는다. 다음으로 식 (1.8)에서 $\csc (2x)$ = $(\tan x + \cot x)/2$을 만들어서 식 (2.5)와 (2.6)을 대입하면, 식 (2.7)이 유도된다.

______________________________

[표 2.1] 홀수번 탄젠트 수의 실제값, $T_{2m-1}$

탄젠트 수, $T_{2m-1}$	탄젠트 수의 자연수값
$T_1$	1
$T_3$	2
$T_5$	16
$T_7$	272
$T_9$	7936
$T_{11}$	353792
$T_{13}$	22368256
$T_{15}$	1903757312
$T_{2m-1}$
생성 함수

[탄젠트 수의 정의]

자주 쓰는 탄젠트 함수는 탄젠트 수(tangent number)를 정의해서 식 (2.6)에 유도한 무한 급수의 항을 간략화하기도 한다. 간단하게 보면, 탄젠트 함수를 직접 미분해서 테일러 급수를 얻고 다시 항별 비교를 통해 탄젠트 수를 계산할 수 있다. 하지만 $\tan x$의 고계 미분을 몇 번 하면 지쳐서 더 이상 진행하기 어렵다. 이때는 수학의 도움을 받아야 한다. 베르누이 수라는 좋은 도구가 있으므로, 베르누이 수를 바탕으로 탄젠트 함수에 있는 탄젠트 수를 만들어낸다. 탄젠트 수의 실제값은 [표 2.1]에 자세히 소개한다[1].

(2.8)

여기서 $T_{2m}$ = $0$이다. 탄젠트 수의 정의식은 다음과 같다.

(2.9)

여기서 짝수번 베르누이 수의 부호는 $(-1)^{m+1}$이다. 식 (2.9)에 의해 탄젠트 수는 항상 $0$이거나 양수이며, 절대 음수가 될 수 없다. 즉, 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)의 일종이다. 이에 반해 베르누이 수 $B_{2m}$은 부호가 바뀌는 정수열(整數列, integer sequence)이 된다.

[탄젠트 수의 성질]

(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.

(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.

(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.

(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.

시컨트 수(secant number) $S_{2m}$과 $T_{2m-1}$을 연결하면, 위처럼 탄젠트 수의 다양한 성질을 증명할 수 있다.

[시컨트 수]

(2.10)

여기서 $S_{2m}$은 시컨트 수이다. 시컨트 수는 주로 재귀 관계를 이용해서 계산한다.

3. 미분(differentiation)

[기본 함수]

(3.1)

(3.2a)

(3.2b)

[증명]

미분 공식을 활용하여 식 (3.2a)를 증명한다.

(3.3)

식 (3.2b)도 식 (3.3)과 거의 동일한 과정으로 유도된다.

______________________________

[역함수]

(3.4)

[증명]

역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

(3.5)

(3.6)

______________________________

(3.7)

[증명]

역함수의 미분 공식과 함께 식 (3.2)와 (1.9)를 사용한다.

(3.8)

______________________________

4. 부정적분(indefinite integral)

[역함수]

(4.1)

여기서 $a > 0$, $C$는 적분 상수이다.

[증명]

식 (3.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

(4.2)

여기서 사인 역함수의 주치를 고려해 $-\pi/2 \le t \le \pi/2$이다.

______________________________

(4.3)

[증명]

변수 치환과 식 (1.9), (3.2)를 이용해서 증명한다.

(4.4)

______________________________

[삼각 함수 곱]

(4.5)

[삼각 함수의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)]

(4.6)

[증명]

식 (1.8)을 이용해서 $\csc(2x)$를 탄젠트와 코탄젠트 함수로 바꾼 후에 그대로 적분한다.

(4.7)

______________________________

(4.8a)

(4.8b)

여기서 $|a| > |b|$이다.

[증명]

분모와 분자에 $a-b \cos x$를 곱한 후에 기본적인 적분 절차대로 진행하여 식 (4.8a)를 유도한다.

(4.9)

그 다음에 식 (4.8b)는 변수를 $x$ = $t + \pi/2$로 치환해서 분모를 식 (4.8a)처럼 바꾸면 손쉽게 증명된다.

______________________________

(4.10)

[증명]

어려워 보이지만 변수 치환만 제대로 하면 쉽게 결과가 나온다.

(4.11)

여기서 $c$ = $\cos (ax)$, $s$ = $\sin (ax)$이다.

______________________________

식 (10)과 비슷한 식 (4.8a)를 쓸 수도 있지만, $a$ = $0$이 되면 식 (4.8a)는 복소수 연산을 도입해야 한다.

[지수 함수와 삼각 함수의 곱]

(4.12)

[증명]

지수 함수가 피적분 함수로 있는 경우는 오일러의 공식(Euler's formula)으로 쉽게 증명한다.

(4.13)

식 (4.13)의 실수부와 허수부는 각각 식 (4.12)의 둘째식과 첫째식이 된다.

______________________________

식 (4.12)의 두 식을 더해서 매운 간단한 적분 공식을 추가적으로 얻는다.

(4.14)

물론 식 (4.14)의 우변을 미분하거나 좌변의 첫째 항[= $ae^{ax} \sin (bx)$ = $(e^{ax})' \sin (bx)$]에 부분 적분을 사용해서 결과를 유도할 수도 있다.

[푸리에 급수(Fourier series)]

(4.15a)

(4.15b)

여기서 정수 $m$은 $m \ge 1$이다.

[증명]

등비 급수의 합 공식을 써서 식 (4.15a)의 분자를 변형한다.

(4.16)

식 (4.15b)의 증명에는 식 (4.15a)를 이용한다. 분모를 사인 함수로 바꾸고 $t$ = $x+1$로 치환해서 마지막식을 정리한다.

______________________________

식 (4.15)에서 $m < 0$인 경우는 식 (4.15)의 결과에 켤레 복소수를 적용한다. 만약 $m$ = $0$이라면 식 (4.15)에서 유한 급수만 제거하면 된다.

5. 정적분(definite integral)

[삼각 함수 곱]

(5.1)

여기서 $a_m$ = $m \pi \mathbin{/} (2a)$, $\delta_{}ml$은 크로네커 델타(Kronecker delta), $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$은 노이만 수(Neumann number)이다.

(5.2)

[거듭제곱]

(5.3)

[증명]

식 (5.3)은 베타 함수(beta function)의 적분 표현식으로 유도한다.

______________________________

베타 함수 $B(x, y)$는 감마 함수(gamma function) $\Gamma(x)$의 곱과 나누기로 표현되는 특수 함수이다.

[삼각 함수와 로그 함수의 합성]

(5.4)

여기서 $\delta_{ml}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[증명]

식 (5.4)에서 $u$ = $\log(x/a) \mathbin{/} \log(b/a)$로 변수 치환해서 적분한다.

______________________________

식 (5.4)는 정전장(靜電場, electrostatics)을 원통 좌표계에서 풀 때 등장한다.

[삼각 함수의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)]

(5.5)

여기서 $a > 0$, $|a| > |b|$이다.

[증명]

식 (5.5)의 부정적분 결과인 식 (4.8a)에는 $x$ = $\pi/2$에서 불연속인 탄젠트 함수가 있어서 적분 구간을 분리해서 계산한다.

(4.6)

______________________________

식 (5.5)는 특이하게도 르장드르 함수(Legendre function)를 정의하기 위해 사용한다.

6. 이상 적분(improper integral)

[로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)]

(6.1)

여기서 $\sigma > 0$이다.

[증명]

로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)와 푸리에 변환의 쌍대성(duality)에 의해 다음 푸리에 변환이 성립한다.

(6.2)

식 (6.2)의 적분 구간을 바꾸어서 식 (6.1)을 얻는다.

______________________________

7. 부등식(inequality)

[조르당의 부등식(Jordan's inequality): 사인 함수와 각도]

(7.1)

여기서 $0 \le x \le \pi/2$이다.

[증명]

함수 $f(x)$ = $\sin x - 2 x / \pi$를 새롭게 정의한다. 이 함수는 구간의 양끝에서 $f(0)$ = $f(\pi/2)$ = $0$을 만족한다. 함수의 미분은 $df(x)/dx$ = $\cos x - 2 / \pi$이다. 따라서 $f(x)$는 ↗↘과 같은 모양이다. 비슷하게 $g(x)$ = $x - \sin x$라 놓고 미분하면 $dg(x)/dx$ = $1 - \cos x$이다. 따라서 $g(x)$는 $g(0)$ = $0$부터 항상 증가하는 음이 아닌 함수이다. 그래서 식 (7.1)이 항상 성립한다.

______________________________

[삼각 함수 제곱의 최대와 최소]