포인팅의 정리(Poynting's Theorem)

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1. 맥스웰 방정식
2. 대칭적인 맥스웰 방정식
3. 정말 유용한 페이저 개념
4. 저항
5. 전기장의 에너지
6. 자기장의 에너지

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[그림 1] 쌍극자에서 복사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

전자파(electromagnetic wave) 특성 계산에서 흔히 사용하는 포인팅의 정리(Poynting's theorem)는 전자파의 전력 전달 특성을 설명한다. 전기장(電氣場, electric field)과 자기장(磁氣場, magnetic field)으로 구성된 전자파는 전력(電力, power)을 어떻게 전달할까? 이름에서도 알 수 있듯이 포인팅 정리의 공식적인 증명은 1884년포인팅 32세, 조선 고종 시절에 포인팅John Henry Poynting(1852–1914)이 하였다[1].[포인팅에게는 억울한 일이지만, 포인팅 벡터의 최초 증명[2, 4]은 은둔의 과학자인 헤비사이드가 먼저 했다.] 포인팅은 포인팅의 정리를 증명하기 위해 시간 편미분을 이용해 이론 전개를 했다. 우리는 시간 편미분 대신 페이저(phasor)를 이용해서 더 쉽게 접근한다. 이에 따라 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)을 먼저 고려한다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (2)와 (4)의 켤레 복소수(complex conjugate)에 자기장의 켤레 $\bar H^*$와 전기장 $\bar E$를 각각 곱하여 빼주면 식 (5)의 벡터 항등식 형태로 만들수 있다.

                         (5)

그러면 아래 식 (6)을 얻을 수 있다.

                         (6)

여기서 $\epsilon$과 $\mu$는 실수로 가정한다. 식 (6)에서 자기장에 켤레 복소수를 적용한 이유는 평균 전력(average power)을 적용하기 위해서이다. 이 부분은 아래 식 (13)에서 자세하게 설명한다. 별생각 없이 보면, 현재까지 유도한 식이 공식 놀음이라 생각할 수도 있다. 그래서 포인팅 정리는 다음 단계가 더 중요하다.

[그림 2] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

식 (6)을 [그림 2]의 $V$에 대해 체적 적분해서 좌변에 발산 정리(divergence theorem)를 적용해 포인팅 정리의 물리적 의미를 파악한다.

          (7a: $e^{-i \omega t}$)

          (7b: $e^{j \omega t}$)

식 (7)에 존재하는 항목을 차례로 살펴본다.

• : 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector)로서 전자파가 이송하는 전력 밀도[W/㎡]를 나타내며, 벡터 $\bar S$의 방향이 전자파의 에너지 전달 방향임
• : 전류(electric current)가 생산[음의 양]하거나 소비[양의 양]하는 전력 밀도[W/㎥]이며, 전력의 생산과 소비는 전기장(electric field)에 대한 전류의 방향이 결정함
• : 자류(magnetic current)가 생산[음의 양]하거나 소비[양의 양]하는 전력 밀도[W/㎥]이며, 전력의 생산과 소비는 자기장(magnetic field)에 대한 자류의 방향이 결정함
• : 전기장이 가진 에너지 밀도[J/㎥]이며, 전기장이 커지면 에너지도 커짐
• : 자기장이 가진 에너지 밀도[J/㎥]이며, 자기장이 커지면 에너지도 커짐

위에서 정의한 $\bar S$는 페이저를 사용해서 필연적으로 복소수가 포함되어 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector)라 부른다. 만약 포인팅을 따라 시간 편미분으로 유도하면 $\bar S = \bar E \times \bar H$라 쓰고 그냥 포인팅 벡터(Poynting vector)라 한다.

위의 관찰을 바탕으로 식 (7)을 설명할 수 있다. 식 (7)의 좌변은 포인팅 벡터를 포함하고 있다. 식 (7)의 좌변 앞에 ($-$) 부호가 있으므로 포인팅 벡터는 특정한 닫힌 면적을 뚫고 들어가는 방향[그림 2에서 $-n$ 방향]이다. 이 특성은 식 (7)의 우변과 같아야 한다. 식 (7)의 우변은 전류의 소비 전력, 자류의 소비 전력, 전기장의 저장 전력, 자기장의 저장 전력과 같다. 즉, 식 (7)의 우변은 모두 전력과 관계된다. 따라서, 식 (7)의 우변에 있는 포인팅 벡터는 전력 밀도를 의미해야 하고 특정 체적 $V$를 뚫고 들어가는 포인팅 벡터는 그 체적 $V$의 입력으로 작용해서 체적에서 사용하는 전력[소비 혹은 저장]과 같아야 한다. 이러므로 포인팅 벡터를 전자기파가 이송하는 전력 밀도로 정의함이 타당하다. 식 (7)의 우변에 있는 소비 전력을 이해하기 위해 식 (8)과 (9)를 고려한다.

        (8)

        (9)

여기서 전류 $I_e$와 자류 $I_m$은 일정하다고 가정하며, $V_e, V_m$은 전기와 자기 포텐셜(potential)을 나타낸다. 쉽게 말해 전기력[= 전하 × 전기장]이 작용할 수 있는 공간에서 전류가 전기력과 같은 방향으로 흐르면 전력이 소비된다는 의미이다. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다. 자기력[= 자하 × 자기장]하에서 자류가 힘의 방향과 같은 방향으로 흐르면 전력은 소비된다. 이 부분이 잘 이해가 안 되면 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 상기한다. 다만, 식 (8)과 (9)처럼 전기장과 자기장이 전기 포텐셜[전압]과 자기 포텐셜[자압]로만 표현되지 않고 전기와 자기 벡터 포텐셜(vector potential)까지 고려해야 정확한 계산이 된다. 식 (8)과 (9)에서 최종식이 포텐셜로만 표현되지만, 소비 전력의 의미 이해에는 큰 지장이 없다. 왜냐하면 전기장은 전기력과 연계되고 전기력을 거리에 대해 적분하면 전기 에너지가 되는 관계때문이다. 이를 이해하기 위해 다음 식 (10)을 본다. 이 경우 전기 포텐셜을 전기장의 거리 적분으로 생각하면 쉽다.

                (10)

식 (10)의 유도에서 $q_e$ = $0$ 조건을 가정한다. 저항(resistor)이나 도선에서는 전류가 계속 해서 흐르기 때문에 이 가정은 타당하다. $q_e \ne 0$인 경우는 전하가 축적되는 현상이므로 커패시터(capacitor)와 관계있으며 이는 전기장의 에너지 밀도인 식 (11)로 유도된다. 만약 $\bar M$ = $0$이면 소비 전력은 식 (8)로만 표현된다. 하지만 힘을 구성하는 원천은 전기력과 자기력인데 식 (8)에는 전기장만이 나타나 있다. 무엇이 문제일까? 사실 문제가 되는 부분은 전혀 없다. 자기력이 있지만 항상 전류가 흐르는 방향과 수직인 방향으로 생기므로 식 (8) 입장에서는 전력 기여가 없다. 이상의 논의를 고려하면 식 (8)과 (9)가 소비 전력을 의미함은 분명하다. 마지막으로 식 (7)의 마지막 두 항이 저장 전력 밀도가 되는 이유를 살펴본다. 이를 위해 페이저(phasor)를 쓰지 않고 시간 영역에서 두 항을 유도한다.

                         (11)

                         (12)

식 (11)과 (12)의 우변을 보면, 에너지 밀도는 시간에 대해 미분된다. 에너지의 시간 미분은 전력이 되므로 식 (11)과 (12)의 좌변은 전력 밀도가 됨을 쉽게 알 수 있다.

식 (7)의 포인팅 정리는 수학적 관계이므로, 시간 변화가 없는 직류(DC) 경우에도 성립한다. 이 경우 포인팅 벡터는 전자파가 아닌, 순수 전기장과 자기장이 이송하는 전력 밀도를 의미한다.[$\because$ 시간 변화가 없으면 통상적으로 전자파는 발생하지 않는다.]

페이저(phasor) 정의를 이용해서 전자기파의 평균 전력(average power) 특성을 살펴본다.

                         (13)

여기서 $\epsilon, \mu$는 실수(real number)로 가정한다.[∵ 전자파가 공기중으로 전파될 때는 손실이 거의 없으므로 실수로 가정해도 된다.] 식 (8)과 (9)의 논의를 통해 식 (13)의 의미를 헤아린다. 식 (13)의 우변이 ($+$)이면 주어진 체적에서 소비되는 전력이다. 전자파는 전력 보존 법칙(conservation of power)이 성립해야 하므로, 식 (13)의 좌변은 반드시 체적내로 유입되는 전자파의 평균 전력이 되어야 한다. 이런 특성 때문에 식 (6)과 (7)에서 포인팅 벡터를 정의할 때, 자기장에 켤레 복소수를 취한다. 이와 비슷한 관계는 평균 AC 전력(average AC power)을 정의할 때도 쓰인다. 예를 들어, 전류의 켤레 복소수로 평균 AC 전력을 정의한 것처럼 전자파의 평균 전력은 자기장[자기장과 전류는 밀접한 관계]의 켤레 복소수를 사용한다. 식 (13)을 보면 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변]에 영향을 줄 수 있는 부분은 전류 혹은 자류가 만들거나 소비하는 전력이다. 원천(source) 역할을 하는 전류와 자류는 보통 유한한 체적[식 (13)의 우변에 있는 $v$]내에만 존재하므로 식 (13)의 좌변에 있는 표면적($s$)을 어떻게 잡더라도 식 (13)의 우변은 일정하다. 즉, 유입된 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변]은 전류와 자류의 전력 소비분[식 (13)의 우변]과 항상 일정하다. 혹은 전류와 자류의 전력 생산분[식 (13)의 우변에 ($-$)을 취함]은 방출된 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변에 ($-$)를 취함]과 같다. 그래서, 식 (13)은 수학적으로 재미있는 결론을 낸다. 전자파 전력을 계산하기 위한 표면적($s$)은 전류와 자류를 포함하게만 잡는다면 어떠한 표면적이라도[혹은 무한대로 잡아도] 관계없다.[혹은 전류와 자류를 포함하도록 어떤 표면적($s$)을 잡더라도 평균 전력은 항상 보존되어 어느 위치에서나 같다.] 우리에게 자유를 부여하기 때문에, 이와 같은 특성은 수학자들이 매우 좋아하는 관계이다.

발산 정리(divergence theorem)를 이용해 식 (13)을 미분형(differential form)으로 표현하면 아래와 같다.

                         (14)

즉, 평균 포인팅 벡터(average Poynting vector)의 발산은 전류와 자류 전력 밀도의 실수부(real part)가 된다.[여기서 평균은 시간 평균(time average)이다.]

                         (15)

예를 들어 식 (13)과 (14)에 $\bar J$ = $\bar M$ = $0$ 조건[원천 없음]을 부여하면 식 (15)를 얻는다. 원천이 없기 때문에 표면 적분이 0이 되어 전자파의 평균 전력은 0이 된다. 이 뜻은 특정 영역에 유입된 전자파 전력은 반드시 다른 영역으로 방출된다는 뜻이다.

원역장(far field)에서 포인팅 벡터의 허수부(imaginary part)에 집중한다. 원역장이란 의미는 원천에서 매우 멀어진 영역을 의미한다.[이론적으로는 원천에서 무한대 만큼 멀어져야 원역장이 된다.] 원역장에서는 전기장과 자기장의 관계가 균일 평면파(uniform plane wave)가 되므로 포인팅 벡터의 허수부는 항상 0이 된다. 따라서, 원역장에서 다음 관계가 성립한다.

                       (16)

식 (16)을 예쁘게 모으면 전류와 자류 전력 밀도의 허수부는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

                       (17)

즉, 복사되지 못하는 전류와 자류의 전력 생산분은 전기장과 자기장의 에너지로 축적된다. 그리고 원천 위치에 몰려있는 전류와 자류의 전력 생산분이 유한하면 전공간에 퍼지는 전기장과 자기장의 에너지 차이도 반드시 유한하다.

[그림 3] 원천을 포함하는 가상의 구

이제까지 논의한 개념을 바탕으로 포인팅 정리를 원천 $\bar J, \bar M$ 없이 표현한다. 먼저 식 (7a)를 아래처럼 원천 관점에서 다시 쓴다.

                       (18)

여기서 문제 영역은 [그림 3]처럼 반지름이 $r$ = $r_1$인 가상 구[그림 3의 초록색 구]이며, 이 가상 구는 모든 원천을 포함한다. 식 (13)과 (17)을 살펴보면, 원천이 만드는 실수 전력(real power)은 복사 전력($P_r$)이며, 원천의 허수 전력(imaginary power)은 해당 체적이 포함하는 전기장과 자기장 에너지의 차이와 관련된다. 회로 관점에서 실수와 허수 전력은 각각 유효 전력(effective or available power) 및 무효 전력(reactive power)을 의미한다. 따라서 식 (18)에서 체적 반지름을 $r \to \infty$로 설정한 경우, 다음처럼 원천에 대한 체적 적분 관계식을 새롭게 얻을 수 있다.

                       (19)

여기서 $P_r$은 실수이며 전자파의 복사 전력(radiated power)을 나타낸다. 식 (19)를 식 (18)에 대입하면 임의 위치의 포인팅 벡터는 다음을 반드시 만족한다.

                       (20)

[그림 4] 태양빛의 복사 압력을 이용한 우주 탐사선(출처: wikipedia.org)

포인팅 벡터는 전자파의 에너지 전달을 표현하고 있다. 에너지(energy)는 힘(force)과 관계되므로 전자파가 에너지 전달 방향으로 압력(pressure)을 가하고 있다. 이 현상은 복사 압력(radiation pressure)이라 부른다. 복사 압력 관계식을 구하기 위해 먼저 전력과 힘 관계식을 고려한다. 

                       (21)

파동의 경우는 속도가 일정하므로 식 (21)에서 $\bar v$는 상수이다. 또한, 압력은 힘을 면적으로 나눈 값이므로 전자파에 대해 다음 관계가 성립한다.

                       (22)

여기서 $\mathfrak{\bar f}$는 단위 면적당 힘[혹은 복사 압력]이다. 식 (22)에서 면적 적분의 방향을 포인팅 벡터 방향으로 잡으면 복사 압력 $\mathfrak{\bar f}$를 포인팅 벡터를 이용해 정의할 수 있다.

                       (23)


[참고문헌]

[1] J. H. Poynting, "On the transfer of energy in the electromagnetic field," Proc. Roy. Soc. London, vol. 175, pp. 343–361, Jan. 1884.

[2] A. E. Emanuel, "About the rejection of Poynting vector in power systems analysis," Journal of Electrical Power Quality and Utilisation, vol. 13, no. 1, 2007.

[3] G. Pelosi and S. Selleri, "Energy in electromagnetism: the Poynting vector," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 59, no. 6, pp. 148–153, Dec. 2017.

[4] O. Heaviside, "The Induction of currents in cores," Electrician, vol. 13, pp. 133–134, June 1884.

[다음 읽을거리]
1. 전자기파에 대한 유일성 정리
2. 로렌츠 상반 정리
3. 전자파의 운동량

로그 함수(Logarithmic Function)의 기원

 [경고] 아래 글을 읽지 않고 "로그 함수의 기원"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 삼각 함수의 합차 공식

2. 아름다운 숫자, 오일러의 수

[그림 1] 지수 함수와 로그 함수(출처: Wikipedia)

처음 수학을 공부하게 되면 하품 나는 함수를 여럿 만나게 된다. 특히 지수 함수(exponential function)와 로그 함수(logarithmic function)는 참 재미없다. 그런데 로그 함수의 기원을 추적하여 이해하게 되면 이 로그 함수에 경의를 표하게 된다. 로그 함수를 발명한 네이피어John Napier(1550–1617)에게 반드시 감사해야 한다. 로그 함수는 산수를 빠르게 하기 위해 고안된 개념이다. 로그 함수가 존재하기 이전에는 어떻게 계산을 빠르게 했을까? 고대로부터 삼각 함수는 잘 알려져 왔음을 기억한다. 고대에 제안된 삼각 함수를 잘 이해하지 못하는 현대의 고등학생들은 뭐지? 어쨌든 삼각 함수의 합차 공식에서 증명한 아래 공식을 눈여겨본다.

                        (1)

식 (1)을 보면 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 관계를 파악할 수 있다. 즉, 코사인 계산표가 있으면 곱셈을 덧셈으로 계산할 수 있다. 이 개념이 후일 로그 함수의 중요 개념이 된다. 예를 들어, $123 \times 456$을 식 (2)를 이용해 계산한다.

                        (2)

식 (2)에서 $X$ = $123$, $Y$ = $456$, $R$ = $1000$으로 두면

     (3)

신기하게도 곱셈 연산없이 덧셈만 했지만 답은 정확하게 맞다. 그러면 로그 함수를 발명할 필요는 없었을 터인데 어떻게 된 일일까? 식 (2)의 연산법은 문제가 있다. $X, Y$가 너무 크거나 작으면 결과가 부정확해지며 삼각 함수를 이용해 나눗셈과 지수 연산을 하기는 너무 불편하다. 이런 관점을 이해해서 새로운 연산법을 개발하기로 마음 먹은 최초의 수학자가 네이피어이다. 로그 함수 발견에는 아름다운 우연이 하나 있다[1]. 덴마크 천문학자인 튀코 브라헤Tycho Brahe(1546–1601)는 식 (2)와 같은 삼각 함수 연산법을 잘 했다. 폭풍우 때문에 어쩔 수 없이 천문대에 묵게 된 영국의 왕자에게 브라헤는 이 계산법을 소개해 주었다. 이를 눈여겨 본 사람은 왕자가 아니라 왕자의 주치의인 존 크레이그John Craig(?–1620)였다. 존 크레이그는 이 새로운 개념을 그의 친구인 네이피어에게 알려주었다. 그후 네이피어는 20년을 연구하여 새로운 단어인 로그[logarithm = logos(비례) + arithmos(숫자)]를 제안하고 식 (2)를 대체할 수 있는 로그 함수 개념과 계산표를 제시하였다.

지수 함수와 로그 함수는 역함수 관계이므로, 지수 함수부터 이해하면 로그 함수로 더 쉽게 다가갈 수 있다. 신기하게도 네이피어가 1614년네이피어 61세, 조선 광해군 시절에 로그 함수를 제안한 후에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1745년오일러 38세, 조선 영조 시절에 로그 함수를 기반으로 지수 함수를 다시 제안했다[3], [4]. 우리 교과서에는 지수 함수, 로그 함수 순으로 나오지만, 상식과 다르게 발견 순서는 거꾸로인 사실이 재미있다. 사실 수학 교과서에 나오는 개념의 발견 순서는 책을 뒷장부터 거꾸로 보는 순서와 거의 동일하다. 다만 대수학자 오일러는 지수와 로그의 함수 관계를 넘어서는 고민을 계속 했다. 그는 로그 함수의 정의역으로 음수가 가능한지, 가능하다면 어떤 방식으로 로그 함수를 정의해야 하는지를 끊임없이 생각했다. 결국 오일러는 로그 함수의 정의역 문제를 깔끔하게 해결했고, 고민과 노력을 통해 가장 아름다운 수학 공식 중 하나인 오일러의 공식(Euler's formula)까지 찾아냈다.
지수 함수와 로그 함수의 가장 중요한 성질은 아래 식이다.

                        (4)

                            (5)

                        (6)

여기서 $a$는 밑수(base), $x$는 지수(指數, exponent), $X$는 진수(眞數, argument) 혹은 역로그(antilogarithm)라고 부른다. 식 (5), (6)은 곱셈을 덧셈으로 혹은 등비 수열(等比數列, geometric series)을 등차 수열(等差數列, arithmetic series)로 바꾸는 관계를 의미한다. 식 (5) 혹은 (6)이 증명되면, 모든 지수와 로그 함수의 성질을 증명할 수 있다. 먼저 오일러의 수를 이용하여 지수 함수를 극한으로 정의한다.

                        (7)

다음 단계로 식 (7)을 식 (5)에 대입하여 지수 함수의 극한이 나오도록 모은다.

        (8)

식 (7)을 변형하여 로그 함수도 아래와 같은 극한 형태로 표현할 수 있다.

                        (9)

여기서 $\log(X)$는 자연 로그(natural logarithm)이다. 식 (9)는 오일러가 로그 함수를 엄밀하게 정의하기 위해 사용한 극한이다. 식 (9)를 식 (6)에 대입하여 식 (6)을 증명한다.

     (10)

로그 함수는 오일러 수(Euler's number)의 정의를 이용해 아래와 같이 미분할 수 있다.

             (11)

로그 함수의 적분은 부분 적분법을 이용하면 된다.

                       (12)

자연 로그는 $\ln x$로 쓸 수도 있다. 함수 $\ln x$를 자연 로그로 사용한 최초의 문헌은 1893년조선 고종 시절에 등장한다[2]. 이후 수학 문헌에는 $\log x$와 $\ln x$가 혼재되면서 사용되고 있다. 미분 방정식이 아니라 계산 자체를 많이 하는 공학 분야에서는 $\log x$를 밑수(base)가 10인 상용 로그(common logarithm)로 간주한다. 상용 로그는 많이 쓰이기 때문에 로그의 계산 결과를 나타내는 각 항에는 이름이 붙어 있다. 예를 들어, 진수(眞數, argument) $X$의 상용 로그는 $\log X$ = $n + a$가 되며, $n$은 지표(指標, index), $a$는 가수(加數, addend)라 부른다. 여기서 $n$은 정수이고, 실수 $a$는 $0 \le a < 1$ 범위를 만족한다. 이진수(binary number)를 다루는 컴퓨터 분야에서는 밑수가 2인 로그를 $\log x$로 표기하기도 한다.

식 (5)를 일반적인 형태인 함수(函數, function) 형태로 쓰면 다음과 같다.

                       (13)

여기서 $f(0) = 1$이다. 식 (13)을 만족하는 함수는 식 (5)와 같은 지수 함수뿐일까? 이 예상을 증명하기 위해 식 (13)을 $y$에 대해 미분한 후 $y = 0$을 대입한다.

                       (14)

식 (14)에 의해 식 (13)의 함수 관계를 만족하는 함수는 지수 함수가 유일하다.

[참고문헌]

[1] 줄리언 해빌, 오일러 상수 감마, 승산, 2008.

[2] I. Stringham, Uniplanar Algebra, Berkeley Press, 1893.

[3] F. Cajori, "History of the exponential and logarithmic concepts," The American Mathematical Monthly, vol. 20, no. 2, pp. 35–47, Feb. 1913.

[4] D. Bal, "Leibniz, Bernoulli and the logarithms of negative numbers," Montclair State University. (방문일 2019-10-16)

[다음 읽을거리]
1. 감마 함수
2. 데시벨과 로그 함수
3. 복소수

삼각 함수의 합차 공식(合差公式, Angle Sum and Difference Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수의 합차 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수

삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)은 예전 이과반 고등학생을 괴롭히는 매우 복잡한 공식이다. 이 공식을 굳이 배우는 이유는 삼각 함수를 미분하기 위해서이다. 먼저 삼각 함수의 합차 공식을 외울 수 있는 쉬운 방법을 생각해 보자. 아래 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용하면 삼각 함수 합차 공식을 잊지 않고 계속 기억할 수 있다.

                         (1)

식 (1)의 오일러 공식을 이용하면 아래식이 얻어진다.

                       (2)

식 (2)의 실수부와 허수부를 각각 비교하면 아래의 삼각 함수 합차 공식을 쉽게 암기할 수 있다.

                        (3)

여기서 조심할 부분이 있다. 식 (2)는 삼각 함수 합차 공식의 증명이 아니다. 쉽게 외우기 위한 수단일 뿐이다. 오일러 공식을 증명할 때 삼각 함수의 미분을 썼고 삼각 함수의 미분은 삼각 함수 합차 공식을 필요로 하기 때문에 식 (2)를 이용해 식 (3)을 증명하기는 동어 반복이다. 따라서 식 (3)의 증명은 다음처럼 해야 한다.

[증명: 기하학]

[그림 1] 합차 공식 증명을 위한 사각형

삼각 함수 정의를 활용하면 [그림 1]을 통해 합차 공식을 쉽게 증명할 수 있다. [그림 1]에 표시한 길이를 $x$축과 $y$축 관점으로 합하면 아래식을 얻는다.

                       (4)

[증명: 벡터 내적]

2차원 벡터의 내적(內積, inner product)을 이용해서도 합차 공식을 쉽게 증명할 수 있다[1]. 임의의 2차원 벡터를 $\bar a, \bar b$라 하자.

                          (5)

식 (5)를 이용해서 내적을 계산하면 아래식을 얻는다.

                       (6)

[그림 2] 사각형으로 합차 공식을 증명(출처: wikipedia.org)

[증명: 사각형]

[그림 1]에 있는 직사각형을 아예 큰 직사각형 안으로 넣으면 [그림 2]가 된다. 두 삼각형의 각을 $\alpha, \beta$라 한 후, 유클리드 기하학(Euclidean geometry)을 이용해 직사각형 안에 있는 네 직각 삼각형의 변 길이를 결정한다. 직사각형에서 좌변과 우변의 길이가 같으므로, $\sin (\alpha + \beta)$ 공식을 증명할 수 있다. 또한 위변과 아래변의 길이가 같아서 $\cos (\alpha + \beta)$ 공식도 얻을 수 있다. 

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삼각 함수의 합차 공식을 이용하면 삼각 함수의 미분을 쉽게 구할 수 있다.

[사인 함수의 미분]

                          (7)

[증명]

                          (8)

여기서 삼각 함수 항등식(trigonometric identity)에 의해 $1-\cos h = 2 \sin^2 (h/2)$, $\lim_{h \to 0} 2 \sin^2 (h/2)/h$ = $\lim_{h \to 0} \sin (h/2)$ $\lim_{h \to 0} \sin (h/2)/(h/2)$ = $0$이다.

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[코사인 함수의 미분]

                          (9)

[증명]

식 (7)에서 $x \to x + \pi /2$를 하면 식 (9)가 증명된다.

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식 (8)의 증명에서 모호한 부분이 하나 있다. 함수 $\sin h/h$의 극한이 1임을 어떻게 알 수 있나? 사실 라디안(radian)을 사용하는 이유가 여기에 있다.

[$\sin h/h$의 극한]

                          (10)

[증명]

                        (11)

여기서 원의 반지름 $r = 1$이라 단순화했다. 또한 라디안 정의는 아래와 같다.

                        (12)

여기서 $l$은 호의 길이(arc length), $r$은 반지름(radius), $\theta$는 라디안으로 정의한 각도, $\vartheta$는 $360^\circ$ 기준 각도이다. 정성적으로 식 (11)을 이해하기는 쉽다. 식 (11)의 의미는 $x = 1$ 근방으로 계속 접근하면 호 길이는 접선 길이와 일치함이다.[혹은 돋보기로  $x = 1$ 근방을 계속 확대한다고 가정해보라. 그러면 호는 직선으로 보이며 결국은 접선과 같아진다.] 이를 더 구체적으로 알아보기 위해 각도[= $\theta$]가 $0$으로 가는 지점의 접선 방정식을 구해보자.

                          (13)

즉 $\theta = 0$ 근방에서는 $y$축에 평행한 선이 접선이며 호의 길이 $l$은 $y$와 동일하게 변하게 된다. 이 개념을 수학적으로 더 다듬어 보자. $\theta = 0$[$y = 0$ 혹은 $x = 1$] 근방의 호 길이를 의미하는 길이 미분소(length differential) $ds$[선적분(line integral)에 쓰는 바로 그 $ds$]는 식 (13)을 이용하여 아래와 같이 유도한다. 먼저 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 이용하면 2차원 평면에 있는 선분의 길이는 다음과 같은 차분[= $\Delta s$]으로 근사 가능하다. 차분 $\Delta s$에 극한(limit)을 취하면 다음과 같은 미분 결과를 얻을 수 있다.

                       (14)

여기서 $t$는 2차원 평면의 선분 궤적 $(x, y)$을 표현하는 매개변수(parameter)이며 $x, y$는 서로 직교하므로 $t$에서 $t + \Delta t$로 변할 때 얻어지는 선분 길이[= $\Delta s$]는 피타고라스 정리로 구할 수 있다. 그러면 원의 특성을 이용해 다음을 유도할 수 있다.

                       (15)

여기서 단위원 상에 있는 점 $(x, y)$는 $x^2 + y^2$ = $1$을 만족하고 미분 관계인 $x dx + y dy$ = $0$도 성립한다. 또한 식 (15)에서 $x = 1$이라 두면 $ds = dy$가 되므로 식 (11)이 증명된다. 혹은 $\theta = 0$ 근방에서는 호의 길이를 식 (15) 처럼 직선으로 간주할 수 있으므로 아래 관계를 통해 증명할 수도 있다.

                       (16)

여기서 $l$은 $(x, y)$와 (1, 0)와의 직선 거리로 정의했으며 $(x, y)$는 반지름이 $1$인 원 위에 있는 점이다.

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정석대로 해석학의 도움을 받으면 조임 정리(squeeze theorem)를 이용해 식 (10)을 쉽게 증명할 수도 있다. 하지만 우리 목표는 아주 초보적인 개념을 이용해 수학 기초를 이해하기이므로 의도적으로 조임 정리를 사용하지 않았다. 이런 의문도 가져볼 만 하다. 식 (10) 증명을 왜 이렇게 어렵게 할까? 테일러 급수나 로피탈의 정리(L'Hopital's rule)를 쓰면 쉽지 않을까? 다시 말하지만 우리는 삼각 함수의 미분을 하고 있다. 테일러 급수와 로피탈의 정리는 삼각 함수 미분을 포함하고 있으므로 식 (10)의 증명에 사용할 수 없다.

[참고문헌]

[1] BARK, "삼각함수의 합차공식에 대한 증명", 평범한 학생의 공부방, 2010. (방문일 2011-01-30)

[다음 읽을거리]
1. 로그 함수의 기원

2. 삼각 함수 항등식

파인만(Richard Feynman) 교수의 강연 동영상

자세한 내용은 이 링크를 참고하면 된다.

- 코넬 대학(Cornell University, USA) 1964년 강연: law of gravitation - an example of physical law

- 오클랜드 대학(University of Auckland, New Zealand) 1979년 강연: quantum electrodynamics