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2021년 3월 10일 수요일

다절 정합 변환기(Multisection Matching Transformer)

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[그림 1] 특성 임피던스가 다른 전송선로로 구성한 다절 정합 변환기: $Z_{0n}$ = $Z_{n-1}$(출처: [2])

토막 정합(stub matching)에서 임피던스 정합(impedance matching)의 대역폭을 넓히기 위해 사용한 이중 토막 정합(double stub matching)의 개념을 더욱 확장한 [그림 1]에 보인 다절 정합 변환기(multisection matching transformer)를 고려한다[1]–[4]. 다절 정합 변환기는 특성 임피던스, 선로 길이 등이 다른 전송선로 분절(transmission line segment)을 여러 개 붙인 다절 전송선로(multisection transmission line)로 구현한다. 이때 전송선로 분절은 [그림 1]처럼 계단 형태로 임피던스가 변하기 때문에 다절 정합 변환기 대신 계단형 임피던스 변환기(stepped-impedance transformer)로 명명하기도 한다.

(a) 종접속 Π형 회로망(cascaded Π-network or Δ-network)

(b) 테브넹 등가 회로의 예시

[그림 2] LC 집중 회로 소자로 구현한 다절 정합 변환기(출처: [3])

1/4파장 길이를 갖는 전송선로는 LC 집중 회로 소자로 대체할 수 있기 때문에, [그림 2]와 같이 다절 정합 변환기를 T형 회로망(T-network or Y-network)이나 Π형 회로망(Π-network or Δ-network)의 종접속(cascade)으로 만들어서 원하는 임피던스 정합(impedance matching)을 실현할 수 있다[3]. 더구나 개별 LC 집중 회로망의 위상을 조정하고 종접속으로 연결함으로써 전체 임피던스 정합망의 출력 위상 특성을 우리가 원하는 수치로 설계가 가능하다[3].

[그림 3] 전원과 부하가 있는 전송선을 가진 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)

다절 정합 변환기에 필요한 소반사 근사(small reflection approximation) 기반 반사 근사식을 유도하기 위해 [그림 1]에 나온 다절 정합 변환기는 [그림 3]의 실례처럼 1개의 전송선로 분절만 가진다고 가정한다. [그림 3]의 내부에 존재하는 전압 $V(z)$와 전류 $I(z)$는 원래 복잡한 관계식을 가지지만, 등가 전압원(equivalent voltage source) $V_\text{eq}$을 활용하면 간단한 수식으로 표현 가능하다.

(1a)

반사가 매우 작다는 소반사 근사[$|\Gamma|$ $\approx$ $0$]를 식 (1a)에 적용할 경우, $V_\text{eq}$ $\approx$ $V_S$가 되므로 다중 반사(multiple reflection)를 생각하지 않아도 된다. 전원부에서 생기는 반사도를 $\Gamma_0$ = $(Z_0 - Z_S) \mathbin{/} (Z_0 + Z_S)$로 두고 식 (1a)를 다시 정리한다.

(1b)

여기서 $1 + \Gamma_0$ = $2 Z_0 \mathbin{/} (Z_0 + Z_S)$이다. 그러면 $z$ = $-l$에서 계산한 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}$는 전원과 부하 반사도의 합으로 나온다.

(2)

여기서 $\Gamma_1$ = $\Gamma_L$이다. 식 (2)가 가진 물리적 의미는 분명하다. 다중 반사가 있더라도 소반사 근사를 가정할 수 있으면, 임피던스 불연속이 일어나는 지점의 반사만 더함으로써 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}$를 얻을 수 있다. 이 과정은 [그림 1]에 보인 다절 정합 변환기에도 적용가능하므로, 각 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 합산해서 $\Gamma_\text{tot}$를 공식화한다.

(3a)

여기서 $\theta_0$ = $0$, $\psi_n$ = $\sum_{k=0}^n \theta_k$, $\theta_k$ = $\beta_k l_k$; $N$은 전송선로 분절의 개수이다. 다절 정합 변환기를 구성하는 전송선로 분절의 $\theta_n$이 $\theta_n$ = $\psi$로 모두 같다면, 식 (3a)의 지수 항이 간략화된다.

(3b)

여기서 $\psi_n$ = $n \psi$, $\psi$ = $\beta l$이다. [그림 1]에 나온 반사도 $\Gamma_n$의 점화식(漸化式, recurrence formula)은 $Z_{0n}, Z_{0,n+1}$로 생성한다.

(3c)

여기서 $Z_{0n}$ = $Z_{n-1}$, $Z_{00}$ = $Z_S$, $Z_{0,N+1}$ = $Z_L$이다. 전송선로 분절의 특성 임피던스가 $Z_S, Z_L$에 대해 대칭인 경우는 반사도도 $\Gamma_n$ = $\Gamma_{N-n}$처럼 대칭 관계이므로 식 (3b)가 다음과 같이 바뀐다.

(4a: 모든 $N$)

(4b: $N$이 홀수)

(4c: $N$이 짝수)

여기서 $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$는 노이만 수(Neumann number)이다. 식 (3c)에 소반사 근사를 적용함으로써 반사도를 로그 함수로 근사하고 특성 임피던스 변화를 지수 함수로 나타낼 수 있다.

(5a)

(5b)

여기서 $x$ $\approx$ $0$, $t$ $\approx$ $1$에 가깝다. 따라서 분절별 반사도 $\Gamma_n$이 주어질 때 식 (5b)를 이용해서 분절별 특성 임피던스의 변화를 근사적으로 빠르게 계산할 수 있다.

1. 이항 다절 정합 변환기(binomial multisection matching transformer) [1], [2]

[그림 1.1] 이항 다절 정합 변환기의 반사 및 투과 특성(출처: [2])

[그림 1.1]처럼 통과 대역(passband)에서 최대로 평평한(maximally flat) 응답을 가진 이항 다절 정합 변환기(binomial multisection matching transformer)를 만들 때는 이항 정리(binomial theorem)를 활용한다. 식 (3b)를 이항 정리와 연립해서 각 전송선로 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 결정한다.

(1.1a)

(1.1b)

여기서 $\psi$ = $\beta l$, $\beta$ = $2 \pi \mathbin{/} \lambda_g$; $\Gamma_0$은 [그림 1]에 보인 최초 혹은 최종 전송선로 분절의 반사도, $\psi$는 각 전송선을 통과할 때 생기는 위상이다. 식 (1.1a)가 최대로 평평한 반사도 성질을 보이는 이유를 알기 위해 식 (1.1a)에 절대값을 취한다.

(1.2)

[그림 1.1]의 형태와 같이 통과 대역의 중심 $\psi$ = $\psi_c$에서 반사도를 0으로 두면, $\psi_c$ = $\pi/2$ 혹은 $l$ = $\lambda_c / 4$이다. 여기서 $\lambda_c$ = $2 \pi \mathbin{/} \beta_0$는 중심 주파수(center frequency) $f_0$에서 생기는 관내 파장(guided wavelength)이다. 중심점 $\psi$ = $\psi_c$에서 살짝 멀어질 경우는 거듭제곱으로 인해 반사도는 거의 0에 가깝고 응답의 잔물결(ripple)이 없지만, $\psi$ = $0$ 혹은 $\pi$로 접근하면 반사가 급격히 증가한다.

반사도 $\Gamma_0$을 결정하기 위해 저주파 근사인 $\psi$ = $0$을 식 (1.1a)에 대입한다.

(1.3a)

그러면 $\psi$에 대한 전체 반사도가 간략화된다.

(1.3b)

개별 전송선로 분절의 특성 임피던스 $Z_{0n}$도 식 (5b)에 의해 쉽게 결정된다.

(1.4a)

식 (1.4a)의 정확도를 알려고 $n$ = $N$을 대입해서 정리한다.

(1.4b)

여기서 $\sum_{n=0}^N$ = $2^N$, $\Gamma_\text{tot}(0)$ = $\Gamma_0 2^N$, $e^{2x}$ $\approx$ $(1+x) \mathbin{/} (1-x)$이다. 완벽히 같지는 않지만 $Z_{0,N+1}$ $\approx$ $Z_L$이 나오므로, 식 (1.4a)는 [그림 1.1]과 같은 반사도 응답을 얻기 위한 훌륭한 근사식이다.

이항 다절 정합 변환기의 위상 대역폭(phase bandwidth)을 $\psi_\text{BW}$로 두고 식 (1.3b)를 다시 씀으로써 다절 정합 변환기의 $\psi_\text{BW}$를 유도한다.

(1.5a)

여기서 $\psi_\text{BW}$ = $\beta_e l$; $\Gamma_\text{BW}$는 $\psi_\text{BW}$를 위상 대역폭으로 만드는 반사도의 기준 크기이다. 식 (1.5a)를 분수 대역폭(fractional bandwidth)의 정의에 넣어서 주파수 대역폭(frequency bandwidth) $\text{BW}$를 명확히 도출한다.

(1.5b)

(1.5c)

여기서 $v_p$ = $f_0 \lambda_c$는 파동의 위상 속도(phase velocity), $f_e$는 $\Gamma_\text{BW}$가 나오는 끝단 주파수(edge frequency), 중심 주파수 $f_0$에서 반사도를 0으로 만들기 위한 선로 길이는 $l$ = $\lambda_c/4$이다.

2. 체비쇼프 다절 정합 변환기(Chebyshev multisection matching transformer) [1], [2]

[그림 2.1] 체비쇼프 다절 정합 변환기의 반사 및 투과 특성(출처: [2])

[표 2.1] 전송선로 분절의 개수 $N$, 통과 대역의 최대 반사도 $\Gamma_m$, 전원과 부하 임피던스의 비율 $\delta_z$에 대한 분수 대역폭(fractional bandwidth)의 변화: $\delta_z$ = $\max(Z_L/Z_S, Z_S/Z_L)$(출처: [2])

이번에는 체비쇼프 함수(Chebyshev function)를 활용해서 주파수에 대한 반사도 변화를 급격하게 만드는 체비쇼프 다절 정합 변환기(Chebyshev multisection matching transformer)를 고려한다. 체비쇼프 다절 정합 변환기는 이항 다절 정합 변환기보다 반사도의 기울기를 더 급격하게 만들 수 있지만, 체비쇼프 함수의 성질로 인해 [그림 2.1]처럼 통과 대역에서 잔물결(ripple)이 필연적으로 생긴다. 다절 정합 변환기에 채택하는 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial) $T_n(x)$는 다음처럼 정의된다.

(2.1)

여기서 $x$ = $\cos \theta$이다. 독립 변수 $x$의 크기가 1보다 크면 복소수가 나와서 식 (2.1)은 끝없이 커지는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)가 된다. 물론 $x$의 크기가 1보다 작거나 같으면 $T_n(x)$는 삼각 함수를 따라가므로 함수값은 $[-1, 1]$에 제한된다.

식 (4)와 (2.1)에 바탕을 두고 반사도 응답을 체비쇼프 다항식으로 설정한다.

(2.2)

여기서 $\psi$ = $\beta l$; $T_N(1)$ = $1$로 인해 통과 대역(passband)의 위상 $\psi$ = $\psi_m$에서 통과 대역의 최대 반사도 혹은 잔물결 $\Gamma_m$이 얻어진다. 이항 다절 정합 변환기와 같이 통과 대역의 중심점은 $\psi$ = $\psi_c$ = $\pi/2$로 둔다. 통과 대역의 최대 반사도 $\Gamma_m$을 정하기 위해, 식 (1.3a)처럼 식 (2.2)에 $\psi$ = $0$을 대입한다.

(2.3)

각 전송선로 분절의 반사도 $\Gamma_n$을 결정하려고, 식 (2.2)에 나온 체비쇼프 다항식 $T_N(\cdot)$를 급수 형태로 바꾼다.

(2.4a)

여기서 $x$ = $\cos \psi$, $z$ = $z_0 x$, $z_0$ = $\sec \psi_m$; 차수(degree) $N$이 정해지면 $b_m$은 자동적으로 도출된다. 식 (2.4a)에서 거듭제곱 $x^n$은 체비쇼프 다항식의 급수로 표현되기 때문에 $a_n$과 $b_m$의 관계가 유도된다.

(2.4b)

즉, 우리가 알고 있는 $b_m$을 식 (2.4a)의 첫째 줄에 넣고 둘째 줄과 항대항으로 비교함으로써 얻고 싶은 $a_n$을 $b_m$으로 수식화한다. 따라서 $\Gamma_n$의 관계식이 결국 체비쇼프 다항식의 계수로 정의된다. 이번에는 식 (4)와 (2.2)를 비교해서 $\Gamma_n$을 산출한다.

(2.5)

식 (2.3)을 활용해서 통과 대역의 최대 반사도 $\Gamma_m$을 만드는 위상 $\psi_m$도 구한다.

(2.6)

여기서 $\sec \psi_m \ge 1$이다.

[참고문헌]

[1] L. Young, "Stepped-impedance transformers and filter prototypes," IRE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 10, no. 5, pp. 339–359, Sep. 1962.

[2] M. Steer, 7.4: Stepped-Impedance Transmission Line Transformer, Microwave and RF Design III - Networks, The LibreTexts, CA, USA. (방문일 2026-02-03)

[3] R. Sinha, "Computer-aided design of multisection matching networks with desired phase-shift," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Exp. Briefs, vol. 69, no. 12, pp. 5074–5078, Dec. 2022.

[4] R. E. Collin, "Theory and design of wide-band multisection quarter-wave transformers," Proc. IRE, vol. 43, no. 2, pp. 179–185, Feb. 1955.

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1. 불균일 전송선로

2. 배열 안테나의 합성

2021년 3월 4일 목요일

행렬 노름과 조건수(Matrix Norm and Condition Number)

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1. 좌표계 기반 벡터

2. 행렬

[그림 1] 3차원에서 정의한 유클리드 거리(출처: wikipedia.org)

벡터(vector) $\bar r$의 크기 $|\bar r|$은 유클리드 거리(Euclidean distance) 혹은 피타고라스 거리(Pythagorean distance)를 이용하여 정의한다. 유클리드 거리는 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)를 [그림 1]처럼 연속적으로 적용해서 만든다.

(1)

피타고라스의 정리가 매우 오래 되었기 때문에, 유클리드 거리의 역사도 길다고 오해할지 모른다. 하지만 벡터에는 좌표계(coordinate system)라는 개념이 꼭 필요하므로, 식 (1)과 같은 정의는 데카르트René Descartes(1596–1650)가 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)를 발명한 1637년데카르트 41세, 조선 인조 시절(삼전도의 굴욕) 이후에나 등장한다. 우리가 현실에서 보는 좌표계는 2차원 혹은 3차원이라서 식 (1)의 정의만 사용해도 충분하다. 하지만 수학자들의 상상력은 끝이 없어서 식 (1)을 $n$차원 유클리드 거리까지 확장한다.

(2)

$n$차원 벡터 공간(vector space)에 사용되는 식 (2)는 현실 세계의 자유로운 확장이다. 그래서 기하학에 바탕을 둔 유클리드 거리 이외에 다양한 거리 개념을 만들 수 있다. 수학에서는 유클리드 거리를 일반화해서 계량하는 함수를 노름(norm)이라 한다. 이 노름의 치역은 음이 아닌 실수로 정의한다. 노름의 어원은 표준을 뜻하는 라틴어 노르마(norma)이다. 그래서 노름 대신에 규준(規準)이란 용어를 쓰기도 한다. 노름 개념이 벡터에 쓰이면 벡터 노름(vector norm), 행렬까지 확장하면 행렬 노름(matrix norm)이라 한다. 노름은 거리를 일반화하기 때문에 표기법도 유클리드 거리와는 달라진다. 예를 들어, 식 (2)로 정의한 유클리드 거리는 벡터 노름의 일종이라서 다음처럼 유클리드 노름(Euclidean norm)으로 표현할 수 있다.

(3)

제곱과 제곱근을 사용한 유클리드 노름을 더 일반화해서 정의한 $p$-노름($p$-norm)도 있다.

(4)

차수 $p$가 계속 커지면, 좌표 성분중에서 큰 값이 우세해진다. 그래서 최대 노름(maximum norm) 혹은 무한대 노름(infinity norm)을 다음처럼 정의한다.

(5)

$p$-노름의 차수를 $1$로 선택하면 절대값으로 계산하는 택시 노름(taxicab norm)을 얻는다.

(6)

사각형으로 도시 계획된 도로를 지나는 택시의 이동 거리와 비슷하다고 해서 식 (6)을 택시 노름이라 부른다. 택시 노름 대신 사각형 도로로 유명한 맨해튼의 거리에 빗대서 맨해튼 노름(Manhattan norm)이라고도 한다.

벡터 노름이 $0$이 되는 벡터는 영 벡터(null vector)라고 한다. 성분이 모두 $0$인 벡터도 영 벡터(zero vector)라고 한다. 여기서 영 벡터의 영어 표현을 보면 다른 용어가 사용됨을 관찰할 수 있다. 우리말 표현은 같더라도 영어로는 벡터 노름이 $0$인 벡터를 영(零) 벡터(zero vector)가 아닌 공(空) 벡터(null vector)라고 부른다. 우리가 자주 쓰는 $p$-노름에서는 공 벡터가 영 벡터이기 때문에 용어를 섞어쓰더라도 문제는 없다. 하지만 엄밀하게 쓸 때는 꼭 구별해야 한다. 벡터 노름 정의는 여러 개가 있기 때문에, 벡터 노름을 $0$으로 만드는 공 벡터는 영 벡터만 유일하다고 할 수는 없다. 즉, 영 벡터는 항상 공 벡터이지만, 공 벡터라고 해서 영 벡터라는 보장은 없다. 예를 들면, $p$-노름으로 절대값 없이 정의하는 새로운 벡터 노름을 만들 수 있다. 이때 0이 아닌 $x_0$에 대해, $\bar x$ = $(x_0, -x_0)$로 두고 1-노름처럼 $\| \bar x \|$ = $x_1 + (-x_1)$를 계산하면 0이 나온다. 하지만 공 벡터인 $\bar x$는 영 벡터가 아니어서, 공 벡터와 영 벡터는 서로 다른 정의가 된다.

벡터 노름은 유클리드 거리를 유추해서 손쉽게 정의할 수 있지만, 행렬 노름의 정의에는 수준이 다른 고민이 숨어있다. 왜냐하면 행렬은 행과 열에 모두 원소가 있기 때문에 단순히 벡터 노름을 변형해서 정의하기 어렵다. 그래서 연립 일차 방정식 ${\bf Ax}$ = $\bf b$에 등장하는 행렬의 곱 ${\bf Ax}$를 이용해서 행렬을 벡터로 바꾼 후 행렬 노름을 다음처럼 멋드러지게 정의한다.

(7)

여기서 $\bf x$는 임의의 모든 열 벡터(column vector)이다. 열 벡터에 따라 벡터 노름 $\|{\bf Ax}\|$는 달라지므로, 행렬 $\bf A$가 $\|{\bf x}\|$를 기준으로 $\|{\bf Ax}\|$를 최대로 증폭하는 비율로써 행렬 노름 $\|{\bf A}\|$를 정의한다. 또한 행렬 노름은 벡터 노름을 바탕으로 정의하므로, $p$-노름을 강조해서 다음처럼 식 (7)을 다시 쓸 수 있다.

(8)

행렬 노름의 개념은 조건수(條件數, condition number) 정의에 필수적이다. 연립 일차 방정식 ${\bf Ax}$ = $\bf b$에서 입력 열 벡터 $\bf b$의 작은 변화 $\Delta {\bf b}$에 대해, 연립 일차 방정식을 풀어서 얻는 출력 열 벡터 $\bf x$의 변화 비율로 조건수를 정의한다. 즉, 조건수는 행렬 연산에 필연적으로 생기는 수치 계산의 오차율을 의미한다. 조건수를 엄밀히 정의하기 위해, 다음과 같은 연립 일차 방정식의 계산 오차 $\Delta {\bf b}$와 $\Delta {\bf x}$를 고려한다.

(9)

여기서 불필요하게 생기는 입력 오차 $\Delta {\bf b}$에 의해 해 $\bf x$가 변하는 출력 오차를 $\Delta {\bf x}$라 한다. 식 (9)의 유도 과정을 행렬 노름으로 깔끔하게 표현한다.

(10)

식 (10)의 두 부등식을 나누어서 오차를 오차율로 바꾼다.

(11)

식 (11)에 등장한 행렬과 역행렬의 행렬 노름 곱을 행렬 $\bf A$의 조건수 ${\rm cond}({\bf A})$라 한다.

(12)

여기서 ${\rm cond}({\bf A})$는 $\kappa({\bf A})$로 표기하기도 한다. 식 (11)에 따라 조건수 ${\rm cond}({\bf A})$는 입력 열 벡터의 변화 비율 $\| \Delta {\bf b}\|/\| {\bf b}\|$이 행렬 $\bf A$에 의해 증폭되어 나타나는 출력 열 벡터의 변화 비율 $\| \Delta {\bf x}\|/\| {\bf x}\|$에 대한 최대 한계를 규정한다. 다만 조건수를 정의할 때에 사용한 행렬 노름은 $p$-노름을 사용하므로, 행렬 $\bf A$가 동일하더라도 차수 $p$에 따라 조건수는 달라질 수 있다.

행렬 노름의 정의에 식 (3)에 나온 유클리드 노름을 선택할 경우는 주로 행렬의 고유값(eigenvalue)과 고유 벡터(eigenvector) 개념을 이용한다. 먼저 대칭 행렬(symmetric matrix)을 만들기 위해 행렬 노름의 제곱을 고려한다.

(13)

여기서 $\bf S$ = ${\bf A}^T {\bf A}$는 대칭 행렬이다. 대칭 행렬의 고유값은 실수이고 서로 다른 고유값을 가진 대칭 행렬의 고유 벡터는 서로 직교한다. 이 성질을 이용해서 행렬 곱 $\bf S x$를 직교하는 고유 벡터의 선형 결합(linear combination)으로 다시 표현한다.

(14)

여기서 $\alpha_i$는 선형 결합의 계수, $\lambda_i$는 고유값, $\hat {\bf x}_i$는 $\lambda_i$에 대한 단위 고유 벡터(unit eigenvector)[$|\hat {\bf x}_i|$ = $1$]이다. 식 (14)를 식 (13)에 넣어서 행렬 관계를 대수 관계로 바꾼다.

(15)

여기서 $r_1^2 + r_2^2 + \cdots + r_n^2$ = $1$이다. 만약 $\lambda_1$이 최대 고유값이라면, $r_1^2$ = $1 - r_2^2 - \cdots - r_n^2$을 식 (15)에 대입해서 최대값을 구한다.

(16)

따라서 유클리드 노름으로 정의한 행렬 노름의 제곱은 ${\bf A}^T {\bf A}$의 최대 고유값과 동일하다.

(17)

여기서 $\lambda_{\max}[{\bf A}]$는 행렬 $\bf A$의 최대 고유값이다. 고유값의 최대값은 스펙트럼 반경(spectral radius)이라고도 한다. 만약 $\bf A$가 대칭 행렬이면, 식 (17)은 다음과 같이 더욱 간략화된다.

(18)

따라서 대칭 행렬인 경우의 조건수는 고유값의 최대값과 최소값의 비율이다.

(19)

여기서 $\lambda_{\min}[{\bf A}]$는 행렬 $\bf A$의 최소 고유값이다. 식 (19)에 따라 조건수의 최소값은 당연히 $1$이다. 고유값의 최소값이 $0$이면, 조건수는 가장 나빠져서 무한대로 발산한다. 즉, 해를 구할 수 없는 조건인 행렬식이 $0$인 경우는 조건수가 무한대로 가서 해의 계산 오차가 무한히 증가한다. 만약 고유값이 음수인 경우는 식 (19)의 결과에 절대값을 적용해서 계산해야 한다.

(20)