조금은 느리게 살자: 벡터 공간(Vector Space)

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[그림 1] 2차원 벡터 공간(출처: wikipedia.org)

물체의 움직임을 성공적으로 기술하는 벡터(vector)에 벡터와 스칼라(scalar) 연산을 추가한 수학적 구성을 벡터 공간(vector space)이라 부른다. 벡터 공간은 우리가 인지할 수 있도록 벡터로 구축하고, 벡터가 스칼라와 상호 작용하여 영향을 주고 받는 영역이라고 상상할 수 있다. 하지만 수학에서 공간(空間, space)은 더 폭넓은 개념을 가져서, 집합에 특정한 연산을 정의해 원소를 다양하게 계산할 수 있는 구조를 뜻한다. 따라서 벡터 공간은 집합의 원소가 벡터인 공간이며, 이 공간은 벡터와 스칼라의 다양한 계산 방식을 지원한다. 이러한 벡터 공간을 더 굳건한 수학적 기초에 올리기 위해, 기존 벡터 덧셈[$\bar u + \bar v$] 및 스칼라배[$a \bar v$]의 계산을 바탕으로 페아노Giuseppe Peano(1858–1932)는 독창적인 벡터 공간 $V$의 공리(公理, axiom)를 1888년페아노 30세, 조선 고종 시절에 제안했다.

선형 결합(linear combination)과 닫힘(closure): $a \bar u + b \bar v \in V$
벡터의 교환성(commutativity): $\bar u + \bar v$ = $\bar v + \bar u$
벡터의 결합성(associativity): $\bar u + (\bar v + \bar w)$ = $(\bar u + \bar v) + \bar w$
벡터의 항등원(identity element): $\bar v + \bar 0$ = $\bar v$
벡터의 역원(inverse element): $\bar v + (-\bar v)$ = $\bar 0$
스칼라의 항등원: $1 \bar v$ = $\bar v$
스칼라의 교환성: $a(b\bar v)$ = $(ab) \bar v$
분배성(distributivity): $a(\bar u + \bar v)$ = $a \bar u + a \bar v$, $(a + b) \bar v$ = $a \bar v + b \bar v$

여기서 벡터 공간인 집합 $V$의 원소는 벡터 $\bar u, \bar v, \bar w$이고, 스칼라 $a,b$는 사칙 연산이 잘 정의되는 체(體,field)인 집합 $F$의 원소, $\bar 0$은 영 벡터(zero vector)이다. 벡터 덧셈 $\bar u + \bar v$와 스칼라배 $a \bar v$를 바탕으로 벡터 뺄셈을 $\bar u - \bar v$ = $\bar u + (-\bar v)$로 정의한다. 그러면 벡터 공간의 공리로부터 다음 관계식도 쉽게 도출된다.

스칼라의 항등원, 벡터의 역원: $1 \bar v$ = $\bar v$ $\Rightarrow$ $1 \bar v + (- \bar v)$ = $\bar v + (- \bar v)$ = $\bar 0$ $\Rightarrow$ $(-1) \bar v$ = $- \bar v$
분배성, 벡터의 역원: $(1-1) \bar v$ = $\bar v + (-1) \bar v$ = $\bar v + (-\bar v)$ = $\bar 0$ $\Rightarrow$ $0 \bar v$ = $\bar 0$
스칼라의 교환성: $c\bar 0$ = $c 0 \bar v$ = $(c0) \bar v$ = $0 \bar v$ $\Rightarrow$ $c \bar 0$ = $\bar 0$

여기서 $c$는 스칼라이다.

벡터 덧셈과 스칼라배를 유한 번 연속적으로 적용하여 새로운 벡터 $\bar w$를 만드는 선형 결합(linear combination)은 벡터 공간의 본질적인 연산이다.

(1)

벡터 공간 $V$에 속한 $\bar v_i$를 $n$개 모아서 다른 벡터 공간 $W$를 편성하는 과정은 생성 혹은 펼침(span)으로 부른다.

(2)

이 경우 $W$는 $V$의 부분 집합(subset)이므로, $W$가 다시금 벡터 공간의 공리를 모두 만족하면 $W$는 $V$의 부분 공간(subspace)이 된다. 참신한 관점으로 선형 결합으로 만든 두 벡터 공간 사이의 함수 관계는 선형 사상(linear mapping or linear map) $\mathfrak{L}: V \to W$가 된다.

(3)