쌍곡선 함수(Hyperbolic Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 삼각 함수
2. 타원의 방정식
3. 쌍곡선의 방정식
4. 복소수

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

타원(楕圓, ellipse) 표현에 성공적으로 사용한 매개변수인 삼각 함수(三角函數, trigonometric function)를 다시 보자.

                  (1)

                  (2)

잘 알려진 삼각 함수의 성질인 $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$을 이용해서 타원의 자취를 식 (2)처럼 손쉽게 기술할 수 있다. 하지만 [그림 1]에 제시한 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)에도 비슷한 논리를 적용할 수 있을까? 식 (2)에 있는 쌍곡선의 방정식은 식 (1)과 비슷하면서도 다르다.

                  (3)

삼각 함수의 항등식인 $\sec^2 \phi - \tan^2 \phi$ = $1$을 이용해서 $x$ = $a \sec \phi$, $y$ = $b \tan \phi$로 좌표점 $(x, y)$를 구성할 수 있다. 하지만 $\phi$ = $\pi/2$에 다가갈수록 $(x, y)$가 발산하는 귀찮은 문제가 생긴다. 그래서 식 (3)을 만족하면서도 $(x, y)$는 유한하도록, 식 (2)와 비슷하게 $(x, y)$의 자취를 다음처럼 공식화한다.

                  (4)

분명히 식 (4)는 식 (3)을 만족하지만 중대한 문제가 있다. 좌표점 중에서 $y$값이 복소수이므로, 2차원 평면에 표시할 수 없다. 또한 $\phi$가 아무리 변하더라도 $x, y$가 매우 커지거나 작아질 수 없다. 타원의 매개변수인 식 (2)의 접근법을 유지하면서도 식 (3)을 만족하는 매개변수를 어떻게 하면 찾을 수 있을까? 우리의 고민을 해결하기 위해 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하자.

                         (5)

식 (5)에 따라 코사인(cosine)과 사인(sine) 함수를 다음처럼 계산할 수 있다.

                         (6)

식 (4)와 (6)을 대비해서 보면, 우리가 찾은 매개변수인 식 (4)의 문제점을 쉽게 해결 할 수 있다. 바로 각도를 표현하는 $\phi$에 다음처럼 복소수를 대입하면 된다.

                         (7)

식 (7)을 구성하는 함수는 지수 함수(exponential function)이므로, 값이 무한정 커지거나 작아질 수 있다. 사인 함수의 경우는 표현식 앞에 순허수 $i$도 출현했다. 따라서 식 (7)에 $a, b$를 곱하여 식 (3)에 대입하면 잘 성립하므로, 식 (7)은 우리가 찾던 새로운 쌍곡선 매개변수의 기초 함수가 된다.

[그림 2] 쌍곡선 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

유용한 식 (7)을 이용해 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 및 쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수를 정의할 수 있다.

                          (8)

식 (8)을 이용하면 쌍곡선 자취의 매개변수를 다음처럼 세련되게 표현할 수 있다.

                  (9)

삼각 함수와 비슷하게 정의한 식 (8)과 같은 함수는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)라 한다. 1760년대람베르트 30세 무렵, 조선 영조 시절 무렵에 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)와 리카티Vincenzo Riccati(1707–1775)가 쌍곡선 함수를 독립적으로 제안했다. 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계는 다음과 같다.

                          (10)

식 (8)의 함수를 나누면 쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수도 얻는다.

                          (11)

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수는 $\coth x$ = $1/\tanh x$로 정의한다. 코탄젠트 함수와는 $\coth x$ = $i \cot (ix)$ 관계를 가진다. 비슷하게 쌍곡 시컨트(hyperbolic secant)와 쌍곡 코시컨트(hyperbolic cosecant) 함수는 각각 $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$, $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$로 만든다.

쌍곡선 함수의 여러 공식은 새롭게 유도될 필요가 없다. 우리가 흔히 쓰는 삼각 함수 공식에 식 (10)의 관계를 대입하여 편리하게 쌍곡선 함수 공식을 생성할 수 있다.

                         (12)

   1. 기본(basics)   

[쌍곡선 함수의 합차 공식]

                         (1.1)

                         (1.2)

[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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[기본 항등식]

                         (1.3)

                         (1.4)

여기서 $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$, $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$이다.

[증명]
삼각 함수의 기본 항등식에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[역쌍곡 함수(inverse hyperbolic function)]

                         (2.1)

[증명]

식 (8)에서 $x, y$를 바꾸고 2차 방정식에 대한 근의 공식을 써서 식 (2.1)을 만들어낸다. 예를 들어, $\sinh^{-1} x$의 결과는 다음처럼 유도한다.

                         (2.2)

함수값 $\sinh 0$ = $0$을 만족해야 하므로, 식 (2.2)에서 ($+$) 부호를 택한다.

______________________________

식 (2.1)의 $x$를 $1/x$로 바꾸어서 쌍곡선 함수의 역수에 대한 역함수도 도출한다.

                         (2.3)

여기서 식 (2.1)을 이용해 식 (2.2)의 정의역도 바꾼다.

   3. 급수 표현식(series representation)   

[기본 함수]

                         (3.1)

[증명]
삼각 함수의 테일러 급수와 식 (10)을 이용하여 증명할 수 있다.
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[베르누이 수]

                         (3.2)

                         (3.3)

                         (3.4)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]
베르누이 수(Bernoulli number)에 대한 생성 함수(generating function)를 이용해 증명한다. 식 (3.3)의 증명에 식 (1.2)를 이용한다. 식 (1.3)을 쓰면 식 (3.4)도 증명할 수 있다.
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식 (3.3)에 식 (11)을 대입해서 탄젠트에 대한 테일러 급수도 얻을 수 있다.

                         (3.5)

여기서 $\tan x$ = $-i \tanh (ix)$이다.

[오일러 수]

                       (3.6)

여기서 $E_{2m}$은 오일러 수(Euler number)이다.

   4. 미분(differentiation)   

[기본 함수]

                         (4.1)

                         (4.2)

[증명]
미분 공식에 식 (12)를 대입하여 증명한다.

                         (4.3)
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[역함수]

                         (4.4a)

                         (4.4b)

[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

                         (4.5a)

                         (4.5b)

                         (4.5c)

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   5. 부정적분(indefinite integral)   

[역함수]

                         (5.1a)

                         (5.1b)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]
식 (4.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

                         (5.2)
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쌍곡선 함수가 나오는 부정적분을 할 때는 피적분 함수의 대소 관계를 반드시 확인해야 한다.

쌍곡선의 방정식(Equation of Hyperbola)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 유클리드 기하학
2. 타원의 방정식
3. 포물선의 방정식

생긴 모양은 타원(楕圓, ellipse)과 매우 다르지만, 이란성 쌍둥이처럼 2차 곡선(quadratic curve)의 생성 원리와 방정식이 타원과 완전 비슷한 곡선이 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)이다.

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

타원의 생성 원리가 두 초점(focus)에서 나온 직선 길이의 합이 같다는 규칙이라면, 쌍곡선은 두 초점에서 나온 직선 길이의 차가 같다는 규칙을 사용한다.

[그림 2] 쌍곡선의 작도(출처: wikipedia.org)

[그림 2]에 있는 쌍곡선의 작도 방식을 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

                  (1)

여기서 점 $\bar P$는 쌍곡선의 자취 $(x, y)$, $\bar F_1$ = $(c, 0)$, $\bar F_2$ = $(-c, 0)$, $2a$는 쌍곡선 사이의 길이, $c$는 초점의 위치이다. 식 (1)을 정리해 쌍곡선 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

                   (2)

여기서 $c^2$ = $a^2 + b^2$이다. 쌍곡선의 점근선(漸近線, asymptote)을 구하기 위해 식 (2)를 변형한다.

                  (3)

따라서 쌍곡선은 $x, y$가 커짐에 따라 직선 $y$ = $\pm (b/a) x$로 수렴한다.

[그림 3] 쌍곡선의 이심률(출처: wikipedia.org)

[그림 3]에 정의한 이심률(離心率, eccentricity) $e$를 이용해 쌍곡선의 방정식을 다시 한 번 유도한다. 초점 $\bar F$에서 2차 곡선 위의 점 $\bar P$까지 거리와 준선(準線, directrix)에서 $\bar P$까지 거리의 비율을 이용해 이심률을 기술하면 다음과 같다.

                     (4)

여기서 $L$은 준선에서 $\bar P$까지 거리이다. 원점 $(0, 0)$을 지나는 2차 곡선의 초점이 $\bar F$ = $(f, 0)$, 준선이 $x$ = $p$일 때, 방정식 형태로 식 (4)를 써본다.

                  (5)

여기서 $\bar P$ = $(x, y)$, $L$ = $|x-p|$, 왼쪽 식에 $\bar P$ = $(0, 0)$을 대입해 $p$를 정한다. 결과적으로 $p$ = $\pm f/e$이지만, $x$의 1차 항을 살리기 위해 $p$ = $-f/e$를 택해 식 (5)의 오른쪽 식을 얻는다.[∵ 포물선과 비슷하게 만들기 위해서] 이심률 $e$ = $1$일 때, 식 (5)가 포물선임은 자명하다. 그래서 $e \ne 1$이라 가정해서 식 (5)를 완전 제곱식으로 고친다.

                  (6)

식 (6)에서 $e < 1$이면 타원이 되고, $e > 1$이면 쌍곡선이 된다. 이러한 성질은 [그림 4]에서 볼 수도 있다.

[그림 4] 이심률에 따른 2차 곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

식 (2)와 (6)을 비교하면 쌍곡선의 이심률을 다음처럼 얻을 수 있다.

                   (7)

또한 [그림 1, 3]에 있는 초점의 좌표를 이용해 $f$ = $c - a$ = $a(e - 1)$ = $b^2 / [a(e+1)]$임도 알 수 있다. 따라서 쌍곡선인 경우 식 (6)을 간단히 표현할 수 있다.

                  (8)

[그림 2]에 제시한 쌍곡선의 작도 원리는 [그림 5]와 같은 부반사경을 가진 망원경 설계에 직접 적용할 수 있다.

[그림 5] 카세그렝 망원경의 광 경로(출처: wikipedia.org)

[그림 5]처럼 포물선(抛物線, parabola)과 쌍곡선 궤적을 가진 부반사경 망원경은 카세그렝 망원경(Cassegrain telescope)이라 부른다. 프랑스의 천주교 사제 겸 천문학자인 카세그렝Laurent Cassegrain(1629–1693)이 1672년조선 현종 시절 무렵에 제안했다. 카세그렝 망원경은 반사경 안테나의 가장 표준적인 형태이다. 다만 [그림 5]와 같은 광 경로가 성립하려면 쌍곡선에 입사하는 광과 반사하는 광 사이에 [그림 6]과 같은 반사의 원리가 성립해야 한다.

[그림 6] 쌍곡선의 반사 원리(출처: wikipedia.org)

쌍곡선의 반사 원리를 증명하기 위해 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$를 고려한다. 식 (1)에 제시한 쌍곡선의 특성을 활용해서, 선분 $\overline{PF_2}$ 상에  $\overline{PF_1}$과 같은 길이를 가지도록 점 $L$을 선택한다. 또한 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$가 이루는 각의 이등분선을 $w$라 한다. 직선 $w$의 점 중에서 점 $P$가 아닌 임의의 점을 $Q$라 한다. 그러면 삼각형 $\triangle PQL$과 $\triangle PQF_1$이 합동이어서, 선분 $\overline{QL}$과 $\overline{QF_1}$은 서로 같다. 따라서 점 $Q$에 대해 다음 관계가 성립한다.

                  (9)

식 (9)에 의해 점 $P$와 다른 $Q$는 식 (1)을 만족하지 못하므로, 절대 쌍곡선 위의 점일 수 없다. 이로 인해 직선 $w$는 점 $P$에서만 쌍곡선과 만나므로 쌍곡선의 접선이 된다. 최종적으로 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$는 [그림 6]과 같은 반사 원리를 만족한다.

매개변수를 이용해서 쌍곡선 위의 점 $\bar P$ = $(x, y)$를 표현한다. 어떻게 하면 쉽게 할까? 타원의 매개변수 구성과 유사하게, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)를 도입해서 점 $\bar P$의 움직임을 간단하게 쓴다.

                  (10)

여기서 $t$는 임의의 실수가 된다. 식 (10)의 관계를 이용하면 쌍곡선이 등장하는 다양한 기하학적 문제를 대수적으로 해결할 수 있다.

식 (2)에 정의한 쌍곡선의 방정식을 이용하면, 다소 유도가 복잡한 여러 가지 쌍곡선의 성질을 밝힐 수 있다.

[점근선과 수선이 만드는 면적]
쌍곡선 위의 한 점에서 각 점근선에 내린 수선이 만드는 면적은 항상 같다.

[증명]

점과 직선 사이의 거리(distance from a point to a line) 공식을 써서 두 수선이 만드는 면적 $\square$를 계산하여 증명한다.

                  (11)

여기서 점근선의 방정식은 $bx \pm ay$ = $0$, $(x, y)$는 쌍곡선 위의 점이라서 $(bx)^2 - (ay)^2$ = $(ab)^2$을 만족한다.

______________________________

특이하게도 쌍곡선의 점근선과 수선이 만드는 면적은 쌍곡선의 모양을 결정하는 $a, b$와 직접적인 연관이 있다.

아래 2차 곡선은 타원, 포물선, 쌍곡선이 될 수 있다. 2차 곡선의 종류를 결정하는 공식은 원뿔 곡선의 판별식(discriminant of conic section) $D$이다.

                  (12)

식 (12)에 나온 2차 항으로 만든 행렬의 행렬식을 원뿔 곡선의 판별식으로 사용한다. 만약 $D$ = $ac - b^2 < 0$이라면, 이 행렬로 계산한 고유치의 부호가 서로 달라서 식 (12)를 변형한 방정식은 식 (2)와 같은 모양이 된다. 그래서 $D < 0$인 경우에만 식 (12)는 쌍곡선을 표현한다.

[다음 읽을거리]
1. 쌍곡선 함수

단진자(Simple Pendulum)의 운동 방정식

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "단진자의 운동"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 르장드르 타원 적분
2. 뉴턴의 운동 법칙

천장에 매달려서 좌우로 왔다갔다하며 똑딱거리는 물체를 진자(振子, pendulum)라고 한다. 단순한 진자의 움직임에 비해 진자의 운동 방정식은 매우 복잡하다. 천장에 매달려 있어서 줄에 의한 마찰력이 있다. 줄의 질량과 탄성 특성도 무시할 수 없다.

[그림 1] 진자의 운동(출처: wikipedia.org)

현실에 있는 실제 진자의 운동을 정확하게 묘사하기 어렵기 때문에, 외부 힘을 중력(重力, gravity)만 고려해서 여러 실제 조건을 없앤 단진자(單振子, simple pendulum)를 생각한다. 단진자는 무게 중심(center of gravity)에 모든 질량이 있어서 질점(質點, mass point)의 운동만 고려하면 된다. 또한 단진자를 매단 줄은 질량이 없고 천장과 마찰하지도 않는다. 오직 단진자에 작용하는 외부 힘은 중력만 있다.

[그림 2] 진자 운동의 외부 힘 분해(출처: wikipedia.org)

단진자 가장을 바탕으로 외부 힘인 중력을 분해하면 [그림 2]와 같다. 뉴턴의 제2 법칙(Newton's second law)에 따라 단진자 질점의 운동을 유도한다. 진자의 운동 방향과 중력의 작용 방향이 반대이기 때문에, 단진자의 운동 방정식(equation of motion for  a simple pendulum)을 다음처럼 기술할 수 있다.[혹은 진자의 운동을 방해하는 방향으로 중력이 작용하고 있다.]

                  (1)

여기서 $s$ = $l \theta$, $l$은 천장에서 진자까지 길이, $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration), $\omega_0$ = $\sqrt{g/l}$이다. 진자의 움직임이 매우 적다면[$\theta \approx 0$] 다음처럼 근사식을 얻을 수 있다.

                  (2)

여기서 초기 조건은 $t$ = $0$에서 $\theta(0)$ = $\theta_0$, $\theta'(0)$ = $0$이다. 따라서 진자의 주기(週期, period) $T_0$는 근사적으로 진자의 길이와 중력 가속도로만 결정된다.

                  (3)

식 (1)은 전형적인 비선형 미분 방정식(nonlinear differential equation)이므로 풀기가 매우 어려워 보인다. 하지만 양변에 $d \theta / dt$를 곱해서 정리하면 미분 방정식의 해가 쉽게 얻어진다.

                  (4)

식 (4)를 시간에 대해 적분한다.

                  (5)

여기서 $\omega_0^2 C$는 적분 상수이며 초기 조건으로 $C$를 구할 수 있다. 진자가 운동을 시작하는 $t$ = $0$에서는 진자는 최대 높이에 있고[$\theta(0)$ = $\theta_0$] 각속도(角速度, angular velocity)는 없이[$\theta'(0)$ = $0$] 멈추어 있다. 이 초기 조건을 식 (5)에 대입하면 진자의 위치별 각속도를 정확히 얻을 수 있다.

                  (6)

진자는 $\theta$ = $\theta_0$에서 움직이기 시작해서 $\theta$ = $0, -\theta_0, 0, \theta_0$을 순차적으로 거치며 주기 운동을 한다. 따라서 진자의 주기를 다음 적분으로 구할 수 있다.

                  (7)

식 (7)을 간략화하기 위해 아래와 같은 변수 치환을 이용해 계산한다.

                  (8)

식 (8)의 결과를 제1종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)으로 쓰면 진자의 주기에 대한 최종식을 얻을 수 있다.

                  (9)

                  (10)

여기서 $T_0$는 진자 주기의 근사식 (3)이다.

공기 저항이 있는 실제적인 진자의 운동 방정식을 만들려면 공기에 의한 견인력(牽引力, drag force)을 고려해야 한다. 견인력은 유체에 의해 운동체가 방해받는 힘이다. 그래서 견인력은 저항력(resistance force)이라고도 부른다. 견인력 $F_D$를 정확히 모형화하기는 어렵기 때문에, 물리 현상의 근사에 자주 쓰이는 테일러 급수(Taylor series)를 적용한다[3].

                  (11)

여기서 $v$는 물체의 속도이다. 물체가 움직이지 않으면 견인력은 없어서 $F_D(0)$ = $0$이다. 식 (11)에서 유체 속을 움직이는 물체의 속도 $v$가 작다고 가정해서 견인력을 매우 간단한 형태로 표현한다.

                  (12)

여기서 $\gamma$는 견인 계수(牽引係數, drag coefficient), 유체의 마찰에 의해 견인력이 생기므로 $F_D(v)$는 질량 $m$에도 비례한다고 근사한다. 그러면 식 (1)에 나온 단진자의 운동 방정식에 견인력을 넣어서 공기 저항을 가진 진자의 운동 방정식(equation of motion for a pendulum with air resistance)을 새롭게 유도한다.

                  (13)

여기서 $s$ = $l \theta$이다. 식 (13)을 근사 없이 풀기는 매우 어려우므로, 식 (2)처럼 진자가 움직이는 각도가 작아서 $\sin \theta \approx \theta$라고 놓는다.

                  (14)

여기서 $\lambda$는 진자의 감쇠와 진동을 표현한다. 공기 저항이 거의 없는 경우라면, 식 (14)에 등장한 제곱근은 음수가 되어서 $\lambda$는 허수부를 가진다[3].

                  (15)

여기서 $\omega_0$ = $\sqrt{g/l - (\gamma/2)^2}$는 진자의 각주파수, $A, B$는 적분 상수이다. 초기 조건 $\theta(0)$ = $\theta_0$, $\theta'(0)$ = $0$을 식 (15)에 넣어서 $A, B$를 결정한다. 최종적으로 근사적 진자 방정식이 수월하게 도출된다. 

                  (16)

각가속도(angular acceleration) $\alpha$의 초기값은 식 (13)에 따라 $\theta''(0)$ = $-(g/l) \sin \theta_0$이 된다. 혹은 식 (16)을 직접 두 번 미분해서 $\theta''(0)$을 결정해도 된다. 만약 $\gamma$ = $0$인 경우에 식 (16)은 더 간단한 식 (2)가 된다.

식 (14)와 같은 근사 없이 식 (13)을 있는 그대로 정확히 풀기는 매우 어렵다. 현재까지 알려진 식 (13)의 파해법은 시간 $t$로 서로 연결된 $\theta, \omega$를 독립 변수로 간주한 후에 식 (13)의 미분 방정식에서 $t$를 제거해 완전 미분(exact differential)의 형태로 변형하는 절차를 따른다[4].

                  (17)

여기서 각속도 $\omega$ = $d\theta / dt$이다. 식 (17)의 마지막식을 완전 미분으로 바꾸는 일반화 적분 인자 $\mu(\theta, \omega)$를 결정하기 위해, 시간 $t$없이 $\theta, \omega$의 관계를 한정하는 에너지 보존 법칙을 사용한다.

                  (18)

여기서 $v$ = $\omega l$, $ds$ = $l d \theta$, 첫번째 주기에서 $\theta$는 $\theta_0$부터 시작해 반대편 최고점의 각도인 $-\theta_1$까지 변한다. 모르는 미지수가 $\theta, \omega$로 2개, 이에 해당하는 방정식도 식 (17)과 (18)을 가지고 있기 때문에, 원론적으로 미분 방정식을 풀 수 있다. 하지만 딱 여기까지만 쉽고 더 이상 전진하기가 너무 어렵다. 그래서 식 (13)을 해결하기 위한 현실적 대안으로 차분 방정식(difference equation) 혹은 유한 차분법(finite difference method, FDM)을 많이 사용한다[5]. 유한 차분법은 미분 $dt$를 차분 $\Delta t$로 바꾸어서 수치 해석적으로 미분 방정식의 해를 구하는 기법이다. FDM에 따라 식 (13)에 나온 1계와 2계 미분(the first and second differentiation)을 모두 차분으로 바꾼 방정식을 유도한다.

                  (19)

                  (20)

여기서 $\theta_n = \theta(n \Delta t)$, $\Delta t$는 시간 차분의 크기이다. 식 (20)을 정리해서 $t$ = $0$부터 차례로 시간이 도약할 때에 변화하는 $\theta_n$의 갱신 방정식(update equation)을 구할 수 있다.

                  (21)

여기서 $n$ = $1, 2, 3, \cdots$이다. 다만 $n$ = $0$에서 식 (21)에는 $\theta_{-1}$이 나오므로, 식 (21)을 같은 모양으로 사용할 수는 없다. 초기 조건 $\theta'(0)$ = $0$ 혹은 $\theta_{-1}$ = $\theta_{1}$을 식 (21)에 대입해서 $n$ = $0$에 대한 갱신 방정식을 도출한다.

                  (22)

초기 조건 $\theta''(0)$ = $-(g/l) \sin \theta_0$ 혹은 $\theta_{-1}$ = $2 \theta_0 - \theta_1 - (g \Delta t^2 / l) \sin \theta_0$를 식 (21)에 넣어도 식 (22)와 같은 결과를 얻을 수 있다. FDM에 따라 식 (22)로 $n $ = $0$ 단계를 시작하고, $n$을 하나씩 증가시키면서 식 (21)을 통해 $\theta_n$을 원하는 만큼 계산한다.

[그림 3] 갈릴레오를 자극한 피사 성당의 상들리에(출처: wikipedia.org)

진자의 운동은 매우 단순하지만 특수 함수에 속하는 타원 적분이 숨어있다. 제1종 타원 적분이 타원의 둘레 길이와 관계 없는 이유도 이 적분은 진자의 주기를 이해하려 제안되었기 때문이다. 식 (9)에 있는 피적분 함수의 역수를 취하면 타원의 둘레 길이를 표현하는 제2종 타원 적분이 나오기 때문에 타원 적분이라고 부른다. 하지만 타원 적분의 핵심은 진자의 주기 예측에 있다. 또한 진자의 운동에는 고전 역학의 선구자인 갈릴레오Galileo Galilei(1564–1642)의 흔적이 숨어있다. 삐딱한 갈릴레오 교수[2]는 경건한 카톨릭 예배에는 큰 관심이 없었던 모양이다. 성당 천장에 달려  왔다갔다 움직이는 촛불 상들리에를 보며 영성이 아닌 지성을 깨웠다. 누구나 보던 성당의 촛불이지만 촛불의 운동 주기가 일정함을 진지하게 고민한 신자는 갈릴레오가 최초였다. 갈릴레오는 1582년갈릴레오 18세, 조선 선조 시절부터 진자의 운동을 고민했다고 주장하지만, 기록상으로는 1602년갈릴레오 38세, 조선 선조 시절이 최초이다. 우리가 유도한 식 (3)이 잘 보여주지만, 촛불의 움직임은 천장에서 촛불까지의 길이에만 관여하고 나머지 조건과는 무관하다.[중력 가속도는 성당 내에서 일정하다고 가정한다.] 그렇다면 진자의 운동으로 시간을 잴 수 있고 진자 시계까지 만들 수 있을 것이다. 이후 갈릴레오는 진자 시계를 만들기 위해 노력을 기울였다. 갈릴레오가 제안한 진자 시계는 그후 발전을 거듭해서 1657년하위헌스 28세, 조선 효종 시절에 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)가 만든 진자 시계에서 기계 공학의 정수를 보여준다.

갈릴레오가 보여준 바와 같이 자연에 대한 지속적인 관찰이 우리 삶에 큰 영향을 줌을 경험했다. 갈릴레오가 보여준 합리적인 연구 방법론도 서서히 동료들에게 전달되었다. 선배 철학자의 사상에 억매이지 않고 우리가 경험한 관찰을 바탕으로 합리적인 인과 관계를 만들어가면 우리 주변의 자연을 충분히 이해할 수 있다는 믿음이 생겼다. 우연이겠지만 갈릴레오가 사망한 해에 근대 물리학을 만든 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)이 탄생했다.[달력이 바뀐 적이 있어서 요즘 연도로는 1643년이지만, 뉴턴 시절에는 1642년이었다.] 갈릴레오의 정신을 이어받아 뉴턴은 이전과 차별화되는 고전 역학(古典力學, classical mechanics)을 완성했다.

[참고문헌]
[1] J. A. Crawford, Pendulums and Elliptic Integrals, 2004. (방문일 2020-06-21)
[2] 박기철, "강연 한 번에 대학교수로 스카우트 된 수학자", 오마이뉴스, 2018년 10월. (방문일 2020-06-23)

[3] P. Mohazzabi and S. P. Shankar, "Damping of a simple pendulum due to drag on its string," J. Math. Appl. Phys., vol. 5, no. 1, pp. 122–130, 2017.

[4] B. R. Smith, "The quadratically damped oscillator: a case study of a non-linear equation of motion,", Am. J. Phys., vol. 80, no. 9, pp. 816–824, Sep. 2012.

[5] H. P. Langtangen, "Generalization: damping, nonlinear spring, and external excitation," Finite difference methods for vibration problems, Oct. 2015. (방문일 2022-11-13)

[다음 읽을거리]
1. 천장에 매달린 사슬의 운동 방정식