[그림 1] 전자파 산란의 예: 일몰(출처: wikipedia.org)
[그림 1]의
전자파 산란
(electromagnetic scattering)을 계산할 때 유용한 개념이 표면 등가의 원리
(surface equivalence principle)이다[1]–[4]. [그림 2]와 같은 복잡한 산란체의 전자파 산란 특성을 구할 때는 산란체의 모양을 직접 고려하기보다 우리가 계산하기 쉬운 표면
[그림 2에서 파란색 원 혹은 직육면체, 원기둥, 구 등]을 택하면 좋다. 복잡한 복사체
(radiator)의 경우에도 [그림 2]와 동일하게 계산할 수 있다.
[그림 2] 산란체 혹은 복사체를 위한 가상 표면: 영역 (I)에서 영역 (II)로 진행하는 전자기장
[그림 2]의
파란색 원 주변에는 어떤 전류도 없기 때문에
경계 조건(boundary condition)에 의해 다음이 성립한다.
(1)
(2)
1. $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$ 가정
[그림 1.1] 영(零)의 전자기장 가정: 영역 (I)은 등가적으로 비어있음
우리는 산란체 자체보다는 산란되는 전자파에 관심 있음을 꼭 명심한다. 그러면 산란체의 원천은 영역 (I)에 있고, 우리의 관심 영역은 [그림 2]처럼 원천이 없고 산란파만 있는 영역 (II)가 된다. 그래서 문제를 간단하게 만들기 위해 [그림 1.1]처럼 강제적으로 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$이라 가정한다[1].
[그림 1.2] 영역 (I)에 놓인 산란체를 등가적인 표면 전류 및 자류 밀도 $\bar J_s, \bar M_s$로 변환
[그림 1.2]처럼 영역 (I) 내부에 산란체가 있을 수 있지만, 영역 내부의 전자기장을 0으로 두고 내부가 자유 공간(free space)으로 비어있다고 가정한다. 이후 영역 (I)을 둘러싸는 표면에 놓인 전류 및 자류 밀도 $\bar J_s, \bar M_s$로 영역 (I)의 전자기적 영향을 등가적으로 치환한다. 이렇게 산란 구조를 [그림 1.1]처럼 바꾸는 방식은 제안자 이름을 따서 러브 등가 원리(Love equivalence principle)로 칭한다[1]. 물론 이렇게 하면 영역 (I)에 원래 있던 전자장[$\bar E_1 \ne 0$, $\bar H_1 \ne 0$]과는 다른 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$인 경우를 풀게 된다. 하지만 관심 영역이 영역 (II)이기 때문에 영역 (I)의 전자장이 다르게 설정되더라도 문제는 없다. 식 (2)에서 조건 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$을 넣으면 다음을 얻는다.
(1.1)
즉, $\bar M_s, \bar J_s$를 식 (1.1)과 같이 설정하면 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$이라고 두더라도 정확하게 영역 (II)의 전자장을 계산할 수 있다. 재미있게도 내 마음대로 [그림 1.1]의 녹색 원을 설정할 수 있기 때문에 전류 분포 계산을 위한 기하 구조를 자유롭게 선택할 수 있다. 만약 산란체가 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC)였다면 표면에서는 전기장 $\bar E_2$가 0이므로, $\bar M_s$ = $0$이며 $\bar J_s$ = $\hat n \times \bar H_2$이다. 즉 산란 전자장은 오로지 표면 전류 밀도 $\bar J_s$에 의해서만 결정된다. 마찬가지로 산란체가 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC)라면 표면 자기장 $\bar H_2$ = $0$이므로, $\bar J_s$ = $0$이 된다. 따라서 산란 전자장은 $\bar M_s$가 결정한다.
[그림 1.1]의 개념은 이렇게 생각할 수도 있다. 예를 들어 $\bar J_s$는 영역 (I)에서 $-\bar H_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar H_2/2$를 생성한다고 본다. 마찬가지로 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 또한, $\bar J_s$가 만든 자기장은 파동이 되기 위해 같은 특성의 전기장을 만들어야 한다. 영역 (I)에서는 $+\bar E_2/2$가 되고 영역 (II)에서도 $+\bar E_2/2$가 된다.
[∵ 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 양쪽 영역에서 전기장의 부호가 같아야 되는 이유를 알 수 있다. 또한 잘 전파되던 자기장을 등가 전류로 바꾸기 때문에 $\bar H_2$는 당연히 $\bar E_2$를 유도해야 한다.] $\bar J_s$와 $\bar M_s$가 만든 전기장을 합치면 영역 (I)에서 $\bar E_2/2 - \bar E_2/2$ = $0$, 영역 (II)에서는 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2$ = $\bar E_2$가 됨을 알 수 있다[2]. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다.
(a) 표면 전류 밀도 $\bar J_s$
(b) 표면 자류 밀도 $\bar M_s$
[그림 1.3] 평면 $z$ = $0$에 존재하는 표면 전류 및 자류 밀도
표면 등가의 원리는 근사 없는 완벽한 관계식이지만, 정말 전자장을 등가 표면 전류 밀도로 생각할 수 있는지 의심이 들기도 한다. 그래서 [그림 1.3]과 같은 표면 전류/자류 밀도를 생각한다. 표면 전류/자류 밀도는 $z$ = $0$인 평면 전체에 있기 때문에, 원천이 생성하는 전자장은
균일 평면파(uniform plane wave)가 된다. 따라서 무한히 펼쳐진 표면 전류 밀도 $\bar J_s$에 의한 전자장 $\bar E_e$와 $\bar H_e$, 표면 자류 밀도 $\bar M_s$에 의한 전자장 $\bar E_m$와 $\bar H_m$은 각각 다음처럼 표현된다.
[예를 들어 $\bar J_s$를 알면 자기장의 접선 경계 조건에 의해 자기장 $\bar H_e$가 나온다. 다음으로 평면파 조건을 사용해 $\bar H_e$로부터 $\bar E_e$를 구한다.]
(1.2a)
(1.2b)
맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 이용해서 식 (1.2a)에서 식 (1.2b)를 바로 얻을 수도 있다. 입사 전자장을 $\bar E_i (\bar r)$ = $E_0 e^{i k z} \hat x$ = $\eta H_0 e^{i k z} \hat x$, $\bar H_i (\bar r)$ = $H_0 e^{i k z} \hat y$라 가정하여 식 (1.1)에 대입한다. 그러면 [그림 1.3]에 있는 전류/자류 밀도는 $\bar J_s$ = $- H_0 \hat x$, $\bar M_s$ = $- \eta H_0 \hat y$가 된다. 이 결과를 식 (1.2)에 대입하면 $z > 0$ 영역의 전자장은 다음처럼 표현된다.
(1.3)
식 (1.3)에 있는 전기장을 모두 더하면 원래 입사 전기장이 나오며[$\bar E_e + \bar E_m$ = $\bar E_i$], 자기장도 마찬가지 결과를 얻는다. 반대로 $z < 0$ 영역의 전자장은 다음처럼 표현된다.
(1.4)
식 (1.4)에 있는 전기장을 더하면 0이 나오고[$\bar E_e + \bar E_m$ = $0$], 자기장도 $0$이 나온다. 이 결과는 [그림 1.1]에서 가정한 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$인 조건과 동일하다.
2. 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC) 가정
[그림 2.1] 완전 전기 도체 가정
조건 $\bar E_1$ = $\bar H_1$ = $0$을 만들 수 있는 물체 중의 하나는
완전 전기 도체이다.
침투 깊이(skin depth) 개념에 의해 완전 전기 도체 내부의 전자기장은 항상 0이다.
[혹은 도체 내부의 전류 밀도가 유한하기 위해서는 전기장이 0으로 가야한다. 전기장이 0이면 자기장도 당연히 0이 되어야 한다.] 영역 (I)을 0으로 만들기 위한 방책으로 [그림 2.1]의 완전 전기 도체 혹은 [그림 3.1]의 완전 자기 도체를 도입하는 기법은 쉘쿠노프 등가 원리(Schelkunoff equivalence principle)로 이름 붙인다[4]. 수학자 쉘쿠노프
Sergei Alexander Schelkunoff(1897–1992)는 전자파 공학을 만든 초창기 기여자 중 한 명이다.
[그림 2.2] 완전 전기 도체에 대한 영상법
따라서 [그림 2]의 영역 (I)에 자그마한 완전 전기 도체가 있다고 [그림 2.1]처럼 생각하고 그 크기가 커져
파란색 원을 완전히 채운다고 가정한다. 그러면
파란색 원에 있던 표면 전류 및 자류 밀도는 [그림 2.2]의
영상법(method of images)에 의해 다음 관계가 성립한다.
(2.1)
쉽게 생각하면 [그림 2]의 파란색 원 위치에 [그림 2.1]처럼 완전 전기 도체가 있기 때문에 자류 밀도는 2배가 되고 전류 밀도는 없어진다고 생각하면 된다. 그래서 [그림 2.1]처럼 완전 전기 도체가 있는 문제를 풀더라도 영역 (II)에서의 전자기장 결과는 같아진다. 다만 식 (2.1)의 둘째식은 곰곰히 볼 필요가 있다. 전체 전류 밀도의 결과는 0이지만 중간 과정이 있다. 구체적으로 보면 영역 (I)의 내부 전자장을 0으로 만들기 위해 도입한 PEC에는 $-\bar J_s$란 전류 밀도가 유기된다. 하지만 영역 (I)의 자기장이 이 전류 밀도를 직접 만들지는 않는다. 표면 등가의 원리로 $\bar J_s$가 먼저 만들어지고, 그 다음에 $\bar J_s$가 PEC에 매우 근접해서 생긴 영상 전류 밀도가 $-\bar J_s$이다. 따라서 PEC 표면에는 $\bar J_s$와 같은 크기를 가진 영상 전류 밀도가 있기 때문에, 전체 전류 밀도는 0이 되어서 PEC 표면에는 자류 밀도만 존재할 수 있다.
[그림 2.1]의 현상은 다른 방식으로 생각할 수도 있다. [그림 2.1]에서는 자류 밀도만 존재하기 때문에 전류 밀도는 고려할 필요가 없다. 자류 밀도 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 하지만 PEC가 있기 때문에 영역 (I)에서는
반사(reflection)되어 전기장 $-\bar E_2/2$는 $+\bar E_2/2$로 바뀌어야 한다. 그러면 영역 (II)에서 전체 전기장은 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2$ = $\bar E_2$가 된다.
[그래서 식 (2.1)의 자류 밀도 $\bar M_s$가 두배가 되었다.] 당연히 맥스웰 방정식에 의해 $\bar E_2$는 자기장 $\bar H_2$를 만든다.
[그림 2.3] PEC 소자에 대한 다양한 표면 등가의 원리 적용: $g(\cdot)$와 $g_\text{PEC}(\cdot)$는 각각 자유 공간 및 PEC의 그린 함수(Green's function)
PEC에 대한 쉘쿠노프 등가 원리를 적용하는 절차는 [그림 2.3]처럼 상상할 수 있다. 모든 전자기 문제는 산란체를 없애고 자유 공간상의 등가 전류나 자류를 두는 러브 등가 원리로 풀 수 있다. 쉘쿠노프 등가 원리에서는 자유 공간을 만드는 대신 생각하기 쉬운 PEC 표면을 가정한다. 임의의 구조를 가진 PEC 표면은 PEC의 그린 함수 $g_\text{PEC}(\bar r, \bar r'; k)$를 구할 수 없기 때문에 해석적으로 공식화가 가능한 PEC 표면이 필요하다. 예를 들어, [그림 2.3]의 마지막 그림처럼 PEC인 무한 평면에 개구면
(aperture)이 있을 때는 [그림 2.1]과 같은 쉘쿠노프 등가 원리를 써서 개구면을 PEC로 채우고 등가 자류만 고려한다. 여기서 식 (2.1)이 표현하는 영상법으로 인해 등가 전류 밀도 $\bar J_s$는 모두 사라지고 등가 자류 밀도 $\bar M_s$만 살아남는다. 또한 영상법을 활용해 $g_\text{PEC}(\cdot)$ = $2g(\cdot)$를 얻을 수 있다. 여기서 $g(\cdot)$는 잘 알려진
자유 공간 그린 함수(free-space Green's function)이다. 그래서 등가 자류 밀도와 그린 함수의 곱은 $\bar M_s \cdot g_\text{PEC}(\cdot)$ = $2\bar M_s \cdot g(\cdot)$로 나타낸다. 영상법으로 등가 자류가 2배 되는 효과를 도입한 경우는 $g(\cdot)$를 써야 한다.
쉬운 보기로서 산란체를 둘러싸는 표면을 [그림 2.3]의 마지막처럼 무한 PEC 평면으로 가정하고 PEC 그린 함수 $g_\text{PEC}(\bar r, \bar r'; k)$ 혹은 자유 공간 그린 함수 $g(\bar r, \bar r'; k)$를 채택해서 산란체에서 멀어지는 원역장 표현식을 도출할 수 있다.
(2.2a: 임의 위치)
(2.2b: 원역장)
여기서 $\bar M_s$ = $\bar E_a \times \hat z$, $\hat n$ = $\hat z$, $R$ = $|\bar r - \bar r'|$, $\bar M_s \times \hat r$ = $(\bar E_a \cdot \hat r)\hat z - (\hat r \cdot \hat z)\bar E_a$; $\bar F(\bar r)$은
전기 벡터 포텐셜(electric vector potential), $R_+$과 $R_-$는 각각 원천
(source)과 영상
(image)에서 관측점까지 거리, $\bar E_a$는 PEC를 적용하기 전에 존재하던 내부에서 외부로 나오는 무한 평면상의 접선 전기장
[예컨대 개구면(aperture) 전기장], 산란 전기장
(scattered electric field) $\bar E_s (\bar r)$은 $+z$방향으로 진행한다. 식 (2.2b)에
원역장 조건(far-field condtion)까지 적용한다.
(2.3: 원역장)
여기서 $R \approx r$, $e^{ikR}$ $\approx$ $e^{i(kr-\xi x' - \eta y')}$, $\xi$ = $k \sin \theta \cos \phi$, $\eta$ = $k \sin \theta \sin \phi$, $\hat r \cdot \hat z$ = $\cos \theta$; $\bar E_a$는 $z$ = $0$에서 잰 개구면 전기장 $\bar E_a(x', y', 0)$이다. 다시 식 (2.3)에
푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)을 도입하고 접선 전기장과 같은 성분만 모은다.
(2.4a: 접선 전기장의 푸리에 변환)
(2.4b: 원역장)
이 결과는 근역장의 푸리에 변환이 원역장이 된다는
근역장-원역장 변환(near-field-to-far-field transformation, NF-FFT, NFFFT) 개념을 명확히 보여준다.
3. 완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC) 가정
[그림 3.1] 완전 자기 도체 가정
[그림 2.1]와 비슷하게 [그림 2]의
파란색 원을 [그림 3.1]처럼
완전 자기 도체로 바꿀 수 있다. 그러면 [그림 3.2]와 같은 영상법을 사용할 수 있다.
[그림 3.2] 완전 자기 도체에 대한 영상법
즉, 자류 밀도와 전류 밀도는 아래처럼 바뀌어야 한다.
(3.1)
[그림 3.3] PMC 소자에 대한 다양한 표면 등가의 원리 적용: $g(\cdot)$와 $g_\text{PMC}(\cdot)$는 각각 자유 공간 및 PMC의 그린 함수(Green's function)
PEC처럼 PMC에 대해서도 쉘쿠노프 등가 원리를 [그림 3.3]처럼 적용할 수 있다. 예를 들어, 강자성체
(ferromagnetic material)처럼 매우 높은 투자율
(permeability)을 가진 물질에 생긴 개구면
(aperture)이 생성하는 산란에 [그림 3.3]의 마지막 가정을 쓸 수 있다. 그러면
자유 공간 그린 함수(free-space Green's function) $g(\bar r, \bar r'; k)$나 PMC의 그린 함수 $g_\text{PMC}(\bar r, \bar r'; k)$로 등가 전류 밀도 $\bar J_s$가 만드는 산란장을 식 (2.2)와 비슷하게 유도할 수 있다. 여기서 무한 PMC 평면의 그린 함수는 $g_\text{PMC}(\cdot)$ = $2g(\cdot)$로 간략화된다.
이상의 논의를 통해 표면 등가의 원리를 살펴보면 [그림 2, 1.1, 2.1, 3.1]에 있는 영역 (I)의 전자기장이 다르더라도 영역 (II)의 전자기장은 서로 같다.
[참고문헌]
[다음 읽을거리]
1. 프란츠 공식
2. 스트래튼–추 공식
3. 체적 등가의 원리
4. 표면 적분 방정식
(1)
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(4)
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(6)
(8)
(9)
(1)
(3)
