5. 프레넬 방정식
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[그림 1] 전원과 부하가 있는 전송선을 가진 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)
[그림 2] 파동의 반사와 투과(출처: wikipedia.org)
특성 임피던스(characteristic impedance)의 의미는 [그림 1]과 같은
전송선(transmission line) 회로를 고려할 때 중요해진다. 왜냐하면 입사파 기준으로 부하에서 되돌아오는 반사파의 비율인
반사 계수(reflection coefficient)를 설명하는 주요 개념이 특성 임피던스이기 때문이다. 다시 말해 초고주파 회로에서 빈번하게 출현하는 반사파가 어떤 경우에 생기는지 숫자 하나로 알려주는 지표가 특성 임피던스이다. 특성 임피던스는 전송선의 매질과 물리적 구조에 의해 결정되므로, 측정이 어려운 반사파를 다룰 수 있는 새로운 방법을 알려준다.
[$\because$ 전송선 구조를 알면 특성 임피던스를 알고, 특성 임피던스를 알면 반사파를 안다. 그래서 측정하지 않아도 특성 임피던스로 반사파를 계산할 수 있다.] [그림 1]의 전압원
(voltage source) $V_S$에서 가해준 전압이 전송선에 걸려서 부하로 전달되고 있다고 가정한다. 그러면 부하
(load)에서는
옴의 법칙(Ohm's law)에 의해 아래 식이 성립해야 한다.
(1a)
(1b)
여기서 $V_L$과 $I_L$은 각각 부하에 걸리는 회로 이론 관점의 전압과 전류, $V_0^+, I_0^+$는 입사파, $V_0^-, I_0^-$는 반사파
[입사파와 반대로 가는 파동]이다. 식 (1)을 깔끔하게 풀기 위해 도입하는 비례 상수가
반사 계수 혹은
반사도(reflection coefficient) $\Gamma$이다. 반사 계수는 입사
전압파(incident voltage wave)와 반사 전압파
(reflected voltage wave)의 단순 비율이다. 그러면 식 (1)로부터 임피던스 기준의 반사 계수를 새롭게 정의할 수 있다.
(2a)
식 (2a)에 나온 임피던스의 역수인
어드미턴스(admittance)를 써서 반사 계수 $\Gamma_L$를 다르게 기술할 수 있다.
(2b)
여기서 $Y_0$ = $1/Z_0$은
특성 어드미턴스(characteristic admittance), $Y_L$ = $1/Z_L$은 부하 어드미턴스
(load admittance)이다. 식 (2)는 단순하지만 매우 강력하며 거칠게 말해 전송선 이론의 거의 전부라 할 수 있다. 식 (2)에 의하면 부하 임피던스
(load impedance)에 따른 반사 계수의 변화를 정량적으로 평가할 수 있다. 만약 $Z_L$ = $Z_0$이면 식 (2)의 분자가 0이 되어 반사가 절대 생기지 않는다. 부하 임피던스가 개방
(open)이면 무한대
[$Z_L$ = $\infty$]이므로 반사 계수는 $1$이 된다. 부하 임피던스가 단락
(short)이면 영
[$Z_L$ = $0$]이므로 반사 계수는 $-1$이 된다. 반사 계수를 이용해서 부하에 걸리는 전압을 정의하면 아래와 같다. 이 부하 전압
(load voltage)은
회로 이론(circuit theory)의 전압이다.
(3)
반사가 없도록 $Z_L$ = $Z_0$을 맞추면 식 (3)에 의해 $V_L$ = $V_0^+$가 되어 회로 이론에서 정의한 전압과 입사 전압파는 동일하게 된다. 즉, 전송선 이론과 회로 이론은 같은 결과를 주게 된다. $Z_L$ = $\infty$이면 $V_L$ = $2V_0^+$, $Z_L$ = $0$이면 $V_L$ = $0$이 된다.
[표 1] 부하 임피던스에 대한 반사도와 투과도 변화
| 부하 임피던스 $Z_L$ | 반사도 $\Gamma_L$ | 투과도 $T_L$ = $1+\Gamma_L$ | 물질 |
|---|
| $Z_0$ | $0$ | $1$ | 정합 부하(matched load) |
| $0$(단락, short) | $-1$ = $1 \angle 180^\circ$ | $0$ | 완전 전기 도체(perfect electric conductor, PEC) |
| $\infty$(개방, open) | $1$ = $1 \angle 0^\circ$ | $2$ | 완전 자기 도체(perfect magnetic conductor, PMC) |
이상의 논의를 통해 [표 1]에 제시한 내용은 쉽게 이해할 수 있다. 예를 들어, 반사도가 $1$인 경우와 $-1$인 경우를 생각한다. 반사도가 $1$이면, 식 (2)에 의해 입사 전압파와 동일한 위상으로 반사 전압파
[위상이 0˚이므로 같은 모양]가 생긴다. 혹은 반사도가 $-1$인 경우, 입사 전압파와는 180˚ 다른 반사 전압파
[위상이 180˚이므로 뒤집어진 모양]가 나온다. 하지만 $Z_L$ = $\infty$인 경우의 투과도는 특이하다. 부하가 개방되면, 투과되는 비율이 2배나 된다. 부하 $Z_L$ = $\infty$인 경우는 투과 전압이 입력 전압에 비해 2배로 증폭된다는 뜻인가? 그렇게 될 수는 없다. 이를 이해하기 위하여 [그림 1]의 회로를 전압원 $V_S$부터 출발해서 분석한다. [그림 1]에서 $z$축의 원점에 부하
($Z_L$)가 있음을 눈여겨본다. 전송선 이론에서는
입력 임피던스(input impedance) 개념 때문에 보통 부하부터 시작해 계산한다. 그래서 $z$축 원점을 대부분 부하에 둔다. 또한, 파동은 전원에서 부하쪽으로 오기 때문에 이 방향이 $z$축의 (+)방향이 된다. 따라서, 전원과 부하 사이의 거리가 $l$이면 [그림 1]처럼 전원은 $z$ = $-l$에 있다. 점 $z$ = $-l$ 지점에서 바라본 전송선의 입력 임피던스 $Z_{\rm in}$을 계산한다. 신호원을 전송선에 가하면 처음에는 반사파가 생기지 않는다. 왜냐하면 파동이 부하에 닿지 않았으므로 입사파만 있고 당연히 반사파는 없다. 즉, 신호 발생 시점에서는 $V_0^-$ = $0$이다. 반사가 없으면 $Z_{\rm in}$은 특성 임피던스 $Z_0$와 같다.
(4)
(5)
여기서 선로의 손실이 없는 경우에
전파 상수(propagation constant)는 $\gamma$ = $j \beta$이다. 식 (5)에 의해 반사파가 없는 $Z_{\rm in}$은 회로 이론에서 사용하는 저항 $Z_0$으로 간주할 수 있으므로, [그림 1] 회로의 전원쪽
[$z$ = $-l$] 전압은
KVL(키르히호프 전압 법칙, Kirchhoff Voltage Law) 혹은 전압 분배기
(voltage divider) 개념을 써서 해석할 수 있다.
(6)
식 (6)을 식 (3)에 대입하면 부하 전압을 전압원 관점에서 쓸 수 있다.
(7)
반사파가 전압원에서 반사되지 않도록 식 (6)과 (7)에서 $Z_S$ = $Z_0$라 둔다. 왜냐하면 식 (7)은 전압원으로 인가한 전압파가 부하에 만드는 전압이며 다중 반사(multiple reflection)는 고려하지 않기 때문이다.[만약 $Z_S$ $\ne$ $Z_0$이면, 부하에 의한 반사파가 전압원에서 재반사되므로 전원 반사도 $\Gamma_S$(= $(Z_S - Z_0)/(Z_S + Z_0)$)를 도입해 문제를 다시 풀어야 한다.] 그러면 전원쪽 전압은 $V_S/2$가 되고 부하쪽 전압은 다음처럼 간략화된다.
(8)
식 (8)을 보면 $Z_L$이 아무리 커지더라도 실제 부하에 걸리는 전압은 입력 전압 $V_S$를 넘어설 수 없음을 볼 수 있다. 예를 들어, $Z_S$ = $Z_0$, $Z_L$ = $\infty$인 경우, 입력 전압을 전송선에 걸어주면 식 (5)에 의해 전송선에 걸리는 전압은 $V_S/2$가 된다. 이 전압이 개방된 부하에 부딪혀 2배로 커지더라도 $V_L$ = $V_S/2 \times 2$ = $V_S$가 되기 때문에 입력 전압이 부하 전압에 그대로 나타나게 된다.
식 (2)의 반사도 혹은 반사 계수는 임의의 지점으로 일반화할 수 있다. 식 (4)에 의해 $z$ = $-l$ 지점에서 계산한 반사도 $\Gamma_{\rm in}$은 아래와 같다.
(9)
부하에서 전원 방향으로 이동하면
(or [그림 1]에서 -z축 방향으로 이동하면) 반사도의 크기는 변하지 않고 위상이 $\phi$ = $2 \beta l$만큼 시계 방향으로 회전한다. 이를 통해 반사도의 반복 주기는 $\lambda_g/2$가 됨을 알 수 있다. 여기서 $\lambda_g$는 전송선에 존재하는
관내 파장(guided wavelength)이다. 반사도의 위상 특성은 일반적인 파동의 위상 특성과 다소 차이가 있다. 파장
(波長, wavelength)이라는 말 자체가 파동의 공간적인 주기를 나타내기 때문에 한 파장
($\lambda$) 진행하면 위상은 360˚가 바뀐다. 하지만 반사도는 입사한 파동이 부하에서 반사되는 특성이기 때문에 반드시 왕복 거리
[= $2l$]를 고려해야 한다. [그림 1]처럼 전원에서 나온 파동이 부하까지 $l$만큼 진행한 후, 부하에서 반사되어 다시 전원으로 $l$만큼 진행한다. 식 (9)를 봐도 $2l$이 왕복 거리가 된다. 그래서, 반사도는 반파장
($\lambda/2$)을 진행해도 360˚가 바뀐다.
[∵ 왕복이므로 $\lambda/2 \times 2$ = $\lambda$가 되어 360˚가 된다.] 
(10)
전압파 반사 계수 $\Gamma_V$와 전류파 반사 계수 $\Gamma_I$는 서로 다른 부호를 가진다.
반사 계수는 보통 데시벨(dB:
decibel)로 표시한다. 특히
반사 손실 혹은
반환 손실(Return Loss, RL)이 실무에서 많이 쓰인다.
(11)
식 (11)처럼 반사 손실은 일반적인
데시벨 정의[전력 비율에 상용로그를 취한 양]에 (-)를 붙여 정의한다.
반사 전력(reflected power)은 반사 계수 절대값의 제곱이므로 식 (11)로 표현한다. 반사 손실은 전반사
[$\Gamma_L$ = $1$]가 일어나면 $0$ dB, $10$ %가 반사
[$\Gamma_L = 0.1$]되면 $20$ dB 이런 식으로 생각하면 된다. 즉, 반사 손실은 전반사가 되어 돌아오기를 기대하나, 반사량이 줄어서 반사파 관점으로 손실이 생긴다는 개념으로 정의한다. 반사 계수를 쉽게 이해하려면
계수가 적으면 반사가 적고, 계수가 크면 반사가 크다고 생각하면 된다. 반사가 적다는 경험적인 기준은 반사 전력 기준으로 약 $10$ %
[= $-10$ dB]이다. 이는 반사 계수 관점에서 약 $0.32$
[= $32$ %]가 된다. 일반적인
안테나(antenna)는 반사 계수가 $-10$ dB 이하이면 반사가 거의 없다고 생각한다. 보통 증폭기
(amplifier) 입출력은 $-15$ dB 이하, 필터
(filter)는 $-20$ dB 이하를 반사가 없는 기준으로 삼는다. 반사 계수만큼 많이 쓰이지는 않지만 알아두면 편한 개념이
투과 계수(transmission coefficient)이다.
투과 계수는 부하로 투과되는 전압파를 이용해 다음처럼 정의한다.
(12)
부하가 실수인 경우 반사 계수의 크기는 $-1 \le \Gamma \le 1$이므로 투과 계수의 크기는 자동적으로 $0 \le T \le 2$이 된다. 위 설명처럼 $T$ = $2$라고 해서 부하 전압이 $2$배로 증폭되지는 않는다. 전송선에 전압을 걸어줄 때 이미 전압이 $1/2$로 줄기 때문에 부하에 실제로 걸리는 전압은 입력으로 걸어준 전압과 같다. 투과 계수와 약간 비슷한 개념이 삽입 손실(insertion loss)이다. 삽입 손실은 말 그대로 전송선 사이에 어떤 소자를 삽입할 때 생기는 손실이다.
(13)
여기서 $P_{\rm ref}$는 기준 전력으로서 소자를 삽입하기 전에 잰 투과 전력, $P_D$는 소자를 삽입한 후 잰 투과 전력이다. 삽입한 소자가 수동 소자이면 손실로 인해 항상 투과 전력이 줄어들기 때문에 ${\rm IL} > 0$이 된다. 물론 아주 이상적인 소자이면 손실이 없어서 $P_D$ = $P_{\rm ref}$가 같으므로 ${\rm IL}$ = $0$이다. 만약 삽입한 소자가 증폭기(amplifier)라면 $P_D > P_{\rm ref}$가 되어 ${\rm IL} > 0$이 된다. 하지만 이 경우 증폭도를 삽입 손실로 정의하기는 매우 어색하다. 즉 증폭기인 경우는 삽입 손실을 쓰면 안되고 이득(gain)으로 정의해야 한다. 우리가 삽입한 소자가 2단자 회로망(two-port network)이라면 산란 계수(scattering parameter)를 이용해 삽입 손실을 다음처럼 정의한다.
(14)
여기서 $S_{21}$은 1번 단자(端子, port)에서 2번 단자로의 산란 계수이다. 식 (13)을 이용하면 식 (14)를 다음처럼 유도할 수 있다.
(15)
여기서 $P_{\rm ref}$ 계산시 $S_{21}$을 $1$로 둔 이유는 삽입 손실의 정의 때문이다.[∵ 소자를 넣지 않은 경우는 전송선이 잘 연결되어 있으므로 $S_{21}$ = $1$이 되어야 한다.] 식 (4)에서 거리별 전압파 및 전류파는 입사[$V^+$] 및 반사[$V^-$] 전압파 계수로 정의한다. 부하에서 측정한 전압[$V_L$]과 전류[$I_L$]를 이용하면 거리별 전압파 및 전류파를 더 직관적으로 정의할 수 있다. 먼저 다음 관계를 생각한다.
(16)
식 (16)을 식 (4)에 넣어 정리하면, 부하 전압과 전류로 표현한 거리별 전압파 및 전류파 방정식을 얻을 수 있다.
(17)
비슷한 방식으로 전원과 부하에서 반사가 동시에 생기는 경우도 쉽게 산란 특성을 유도할 수 있다. 먼저 [그림 1]을 기준으로 전원에 대해
KVL(Kirchhoff Voltage Law)을 적용한다.
(18)
여기서 $I_S$ = $I(-l)$, $V_0^-$ = $\Gamma_L V_0^+$; $z$ = $-l$에 걸리는 전압 $V(-l)$과 전류 $I(-l)$은 식 (4)로 계산한다. 식 (18)을 간략화하기 위해, 전송선으로부터 입사한 파동이 전원 임피던스 $Z_S$에 의해 반사하는 비율인 전원 반사 계수 $\Gamma_S$를 도입한다.
(19)
식 (19)를 식 (18)에 대입해서 $V_0^+$의 방정식을 단순화한다.
(20)
식 (20)은 전원과 부하에서 생기는 다중 반사(multiple reflection) 현상을 수식적으로 잘 보여준다. 즉, 전압원 $V_S$가 전송선에 인가한 전압파 $Z_0 V_S /(Z_S + Z_0)$가 다음과 같이 전원과 부하에 의해 무한히 반사되면, 최종 산란 결과는 정확히 식 (20)이 된다.
(21)
여기서
무한 급수(infinite series)가 나타나려면 $|\Gamma_S \Gamma_L e^{-2\gamma l}|$ $<$ $1$이 되어야 한다. 식 (2)에 식 (20)을 넣으면,
$V_0^-$의 공식도 간단하게 만들 수 있다.
(22)
따라서 전원과 부하 임피던스가 자유롭게 변하는 전송선로에 존재하는 전압파와 전류파는 다음처럼 표현된다[1].
(23a)
전원과 부하에서 다중 반사가 생기더라도, $z$에 따라 변하는 전압파와 전류파의 성질은 $\Gamma_S$ = $0$인 경우와 동일하다. 왜냐하면 식 (23a)처럼 $\Gamma_S$는 $V_0^+$와 $V_0^-$의 공통 인수에만 등장해서 $z$에 대한 $V(z)$와 $I(z)$의 변화는 $\Gamma_L$과 $e^{\pm \gamma z}$에만 영향을 받기 때문이다. 따라서 전원과 부하에서 무한번 발생하는 다중 반사까지 고려한 등가 전압원(equivalent voltage source) $V_\text{eq}$을 정의함으로써 식 (23a)를 전방파(forward wave)와 후방파(backward wave)의 합으로 간략화할 수 있다.
(23b)
여기서 전방파와 후방파는 각각 $\pm z$방향으로 진행하는 파동을 뜻한다. 식 (23a)를 반사도 $\Gamma_S, \Gamma_L$로만 쓰면 다음과 같다.
(24)
여기서 $1 - \Gamma_S$ = $2 Z_0 \mathbin{/} (Z_S + Z_0)$이다. 식 (23)을 활용하면 [그림 1]의 구조에서 길이 $l \to 0$일 때의 전송선 이론 전압은 회로 이론과 같음을 유도할 수 있다.
[전송선을 가진 테브넹 등가 회로의 극한(limit of Thévenin equivalent circuit with transmission line)]
전송선을 가진 테브넹 등가 회로에서 선로 길이 $l$이 0으로 접근하면, $Z_0$에 관계없이 전송선 이론과 회로 이론의 결과는 일치한다.
[증명: 전압파]
식 (2)와 (19)를 식 (23a)의 분모에 대입해서 반사도에 대한 항등식을 만든다.
(25a)
그러면 $l \to 0$의 극한은 전압 분배기
(voltage divider)와 같은 전압을 도출한다.
(25b)
[증명: 회로 이론]
선로 길이 $l$이 0으로 가면 시스템의 크기 $D$가 0으로 축소되어 $z$에 대한 위상 변화가 없어진다. 따라서 전송선 이론으로 유도할 필요없이 회로 이론으로 계산해서 식 (25b)를 얻을 수 있다.
[증명: 특성 임피던스]
선로 길이가 없어지기 때문에 전송선 이론의 $Z_0$은 아무값이나 선택할 수 있다. 편하게 $Z_0$ = $Z_S$를 뽑은 경우 $\Gamma_S$ = $0$이다. 이로 인해 식 (23a)가 간략화된다.
(26a)
여기서 $V_S/2$는 길이 0인 전송선에 걸리는 입사파의 전압이다. 특성 임피던스 $Z_0$을 $Z_L$에 맞추어도 동일한 산출값을 획득한다.
(26b)
여기서 $\Gamma_L$ = $0$이다. 식 (26b)의 최종값은 길이 0인 전송선에 걸리는 입사파의 전압이다.
______________________________
식 (26a)와 비슷한 논리를 활용해서 얻은 선로 길이가 0인
테브넹 등가 회로의 반사도 $\Gamma_\text{ckt}$은 식 (25a)의 둘째식과 동일하게 나온다.
(27a)
여기서 $Z_0$ = $Z_S$라 가정한다.
[그림 3] ADS의 실행 모습(출처: keysight.com)
식 (27a)는 재미난 공식이지만, 반사를 없애려고 $Z_L$ = $Z_S$에 맞추더라도 부하로 전력의 최대값을 보내는
최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theorem)를 만족하지 못한다. 이런 이유로 ADS
(advanced design system)와 같은 상용 SW는 식 (27a)에 켤레 복소수를 적용한 새로운 반사도 정의 $\hat \Gamma_\text{ckt}$를 도입해서 사용한다.
(27b)
만약 $Z_L$ = $Z_S^*$라면, ADS 계산에서 반사도는 0으로 가면서 동시에 최대 전력이 전원에서 부하로 넘어간다. 즉, 식 (27b)는 계산상의 무반사와 최대 전력 이송 조건을 동시에 만족시킨다.[실제로는 식 (27a)가 0이 되지 않아서 선로상에 반사는 존재한다.]
[그림 4] 자동차 엔진에 사용되는 크랭크(출처: wikipedia.org)
(a) $1 + \Gamma_V$ = $V_L / V_0^+$
(b) $1 - \Gamma_V$ = $Z_0 I_L \mathbin{/} V_0^+$
(c) $\frac{1 + \Gamma_V}{1-\Gamma_V}$ = $\frac{V_L}{Z_0 I_L}$ = $\frac{Z_L}{Z_0}$
[그림 5] 부하 임피던스 $Z_L$을 상징하는 전압파 반사도 $\Gamma_V$의 복소 평면상 크랭크 도해(출처: [3])
스미쓰 도표(Smith chart)처럼 반사도와 부하 임피던스의 관계를 시각적으로 표현하는 도구로 [그림 5]와 같은
크랭크 도해 혹은
곡축 도해(曲軸圖解, crank diagram)를 사용하기도 한다[3]. [그림 4]의 크랭크
(曲軸, crank)는 회전 운동과 직선 운동을 서로 바꾸어주는 기계 부품이라서, [그림 5]에 소개한 크랭크 도해에서 복소 평면 위의
페이저(phasor)가 움직이는 모양은 크랭크를 닮아있다.
식 (1b)에 따라 부하 임피던스 $Z_L$은 $1+\Gamma_V$와 $1- \Gamma_V$의 비율에 비례한다. [그림 5(a), 5(b)]는 각각 $1+\Gamma_V$와 $1- \Gamma_V$의 위치를 복소 평면에서 보여준다. 이 위치를
페이저 나눗셈으로 처리하면 부하 임피던스 $Z_L$을 전압파 반사도 $\Gamma_V$로 간편하게 시각화할 수 있다. 만약에 반사도 $\Gamma_V$가 [그림 4]의 크랭크처럼 복소 평면에서 회전하면, 크랭크 도해는 $1+\Gamma_V$와 $1- \Gamma_V$를 변화시킴으로써 부하 임피던스의 크기와 위상이 변모하는 성질이 직관적으로 느껴진다.
1. 반사 계수 표현식(representation)
[반사도 삼각형(triangle of reflection coefficient)] [2]
여기서 $Z_0$ = $50$ Ω; $Z$는 부하 임피던스
(load impedance), $\Gamma$는 $Z$에 의한 반사도, $P_i, P_t$는
입사 및 투과 전력(incident and transmitted powers)이다.
[증명]
먼저 [그림 1.1]에 만든 반사도 삼각형을 활용해서 부하 임피던스 $Z$를 계산한다. 먼저 식 (1b)에 절대값을 취해서 $|Z|$ = $Z_0 a \mathbin{/}b$를 구한다. 여기서 $a, b$는 각각 복사 평면상의 점 $(-1, 0)$에서 $\pm \Gamma$까지 거리인 $|\Gamma+1|$, $|-\Gamma+1|$이다. 부하 임피던스의 위상은
편각(argument) 개념과 식 (1b)에 따라 $\angle Z$ = $\angle(\Gamma+1) - \angle(1-\Gamma)$이다. 이때 [그림 1.1]의 반사도 삼각형을 관찰하면, $\angle Z$는 이 삼각형의 끼인각 $\theta$와 같아서 식 (1.1b)가 증명된다.
다음 단계로 식 (1.1b)를 식 (2)에 넣고 반사도 절대값 $|\Gamma|$의 제곱을 얻는다.
(1.2a)
식 (1.2a)의 우변에
코사인 제2 법칙(the second law of cosines)을 적용하고 $c$ = $2 |\Gamma|$로 놓으면 식 (1.1c)가 나온다. 여기서 $c$는 반사도 삼각형의 나머지 한 변이다. 또한 반사도의 원점은 $c$의 중점이므로,
아폴로니오스의 정리(Apollonius's theorem)를 이용해서 $a^2 + b^2$ = $2(1^2 + |\Gamma|^2)$를 유도한다. 마지막으로 식 (1.1c)에 식 (1.1a)의 둘째식을 대입함으로써 식 (1.1a)의 첫째식을 도출한다.
______________________________
[참고문헌]
[3] B. Wilson,
6.5: Crank Diagram,
Introduction to Physical Electronics, The LibreTexts, CA, USA. (방문일 2026-02-03)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(1.1a)
(1.1b)
(1.1c)