조금은 느리게 살자

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "현수선 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 벡터 미적분학
2. 쌍곡선 함수

[그림 1] 사슬에 생긴 현수선의 모양(출처: wikipedia.org)

현수선(懸垂線, catenary)은 [그림 1]처럼 줄의 양 끝을 고정하고 밑으로 자연스럽게 늘어뜨렸을 때 생기는 선의 모양이다. 현수선이 따르는 곡선의 궤적은 포물선(parabola)과 비슷하게 생겼다. 줄을 늘어뜨린 현수선이 정말 $y$ = $ax^2 + b$로 표현되는 포물선 모양을 따르는지 증명한다.

[그림 2] 현수선에서 힘의 분포

현수선의 양 끝이 고정되면 중력에 의해 선이 아래로 늘어뜨려진다. 이때 생기는 힘의 분포는 [그림 2]와 같다. 중력이 아래로 당기기 때문에 힘은 ↘↙ 형태로 가해진다. 그러면 줄에는 원래 모양을 유지하려는 장력(張力, tension)이 ↖↗ 형태로 생긴다. [그림 2]를 보면 중력은 주황색, 장력은 바다색이다. 현수선이 따르는 곡선의 모양을 쉽게 표현하기 위해, 벡터 미적분학(vector calculus)에서 도입한 호의 길이(arc length) $s$를 사용한다. 그러면 현수선을 매개변수 $s$의 함수로 표현할 수 있다. 또한 현수선에 작용하는 장력 $\bar T$는 현수선의 단위 접선 벡터(unit tangent vector) $\hat T$를 이용해 다음처럼 쓸 수 있다.

(1)

장력의 크기 $T$를 $x, y$축에 대해 분해하면 다음과 같다.

(2)

여기서 $x$ = $0$에서 $s$ = $0$으로 선택, $T_0$는 $s$ = $0$에서 장력, $\rho_l$은 단위 길이당 선의 질량, $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다. 원점인 $s$ = $0$에서는 아래로 향하는 장력이 없고 서로 잡아당기는 장력인 $T_0$만 있다. 호의 길이 $s$가 커지더라도 $x$축으로는 장력 외에 어떠한 힘도 없기 때문에 식 (2)의 첫째식처럼 항상 $T_0$로 같다. 중력은 아래로 작용하기 때문에 $y$축 장력[= $T \sin \phi$]은 중력의 함수이다. 원점인 $s$ = $0$에서는 아래로 가해지는 힘이 없고, $s$가 커지면 중력이 아래로 생겨 이를 상쇄하려 세로 방향 장력이 위로 동일하게 작용한다.[∵ 현수선이 공중에 매달려 정지하고 있기 때문에 합력은 모든 방향에서 $0$이 된다.] 이때 현수선에 가해지는 장력은 현수선을 매단 끝 부분에서 최대가 된다. 식 (2)를 서로 나누어서 현수선 기울기에 대한 미분 방정식을 얻는다.

(3)

여기서 $a$ = $T_0 / (\rho_l g)$이다. 현수선의 궤적을 표현하는 식 (3)이 우리가 찾는 현수선 방정식(catenary equation)이다. 현수선 호의 길이 $s$에 대한 미분소 $ds$를 이용해서 $x$와 $s$의 관계를 다음처럼 얻는다.

(4)

비슷한 방식으로 $y$와 $s$의 관계식도 유도할 수 있다.

(5)

여기서 $C$는 적분 상수이다. 식 (4)를 식 (5)에 대입해 다음처럼 정리한다.

(6)

여기서 $x$ = $0$에서 $y$ = $a$라 가정해 $C$ = $0$으로 설정한다. 우리의 예상과는 다르게 [그림 1]에 나타난 곡선은 포물선이 아닌 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 함수 모양을 가진다. 쌍곡 코사인 함수로 표현한 식 (6)을 현수 곡선(catenary curve)이라 부른다. 식 (3)을 한 번 더 미분하고 호의 길이 $s$를 $x, y$의 관계로 바꾸어서 현수선 방정식을 조금 다르게 쓸 수도 있다.

(7)

현수선 방정식의 역사는 꽤 오래 되었다[1]. 빛의 파동성을 주장한 과학자 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)는 이미 1646년하위헌스 17세, 조선 인조 시절에 기하학을 이용해 현수선은 포물선이 아님을 증명했다. 그후 하위헌스가 죽기 4년전인 1691년하위헌스 62세, 조선 숙종 시절에, 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)가 낸 현수선 질문에 답을 하면서 하위헌스는 제대로 된 결과물을 발표했다[1].[식 (6)과 같은 공식을 명시적으로 제시하지 않았지만, 답을 모르면 생각할 수 없는 현수선의 다양한 성질을 공개했다.] 여기서 야곱 베르누이의 질문에 논문으로 답한 학자들은 라이프니츠Gottfried Wilhelm Leibniz(1646–1716), 하위헌스, 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)이다.

[그림 3] 금문교(Golden Gate Bridge)에 있는 현수선의 모습(출처: wikipedia.org)

하지만 [그림 3]처럼 현수교에 사용하는 현수선은 질량이 매우 커서 $\rho_l$도 커진다. 그러면 식 (4)에 사용한 $a \approx 0$이다. 따라서 $x \approx s$가 성립한다. 이 관계를 식 (3)에 대입하여 적분하면 다음과 같다.

(8)

따라서 매우 무거운 현수선은 근사적으로 포물선 모양을 가진다.

[참고문헌]

[1] J. Bukowski, "Christiaan Huygens and the problem of the hanging chain," Coll. Math. J., vol. 39, no. 1, pp. 2–11, Jan. 2008.

[2] 아마추어맨, "현수선(catenary) 시현", digital explorer, 2024년 5월. (파이썬 기반 설명, 방문일 2024-05-17)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "벡터 미적분학"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터

2. 미분법의 의미

3. 적분법의 의미

3차원 공간에서 움직이는 물체의 자취를 추적하는 가장 효과적인 방법은 좌표계 기반 벡터(vector in coordinate system)이다. [그림 1]과 같은 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서, 물체가 움직여 정지해 있는 현재 위치는 원점에서 $x, y, z$축을 따라 점 $P$까지 가기 위한 변화량으로 정한다.

[그림 1] 데카르트 좌표계의 위치 벡터(출처: wikipedia.org)

이 경우 물체의 위치는 간단히 $P$ = $(x, y, z)$라 표현한다. 하지만 [그림 1]처럼 좌표점을 표현하면 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에 나오는 점일 뿐이다. 그래서 점 $P$에 변화되는 특성을 실제로 부여하려면 벡터(vector) 개념을 도입해야 한다. 벡터는 시작점과 끝점이 필요하므로, 시작점을 원점 $(0, 0, 0)$로 고정한다. 이렇게 현재 위치를 원점 대비해 변화한 양으로 표현하면, 점 $P$는 위치 벡터(position vector) $\bar P$ = $(x, y, z) - (0, 0, 0)$ = $(x, y, z)$가 된다. 점 $P$와 위치 벡터 $\bar P$는 동일한 값을 가지지만 내재적 의미는 큰 차이가 있다. 점은 단순한 숫자의 나열일 뿐이지만, 위치 벡터는 직교하는 좌표축으로 변화한 양을 명확히 의미한다.

[그림 2] 매개변수 $t$에 대한 위치 벡터 $\bar r(t)$의 변화(출처: wikipedia.org)

원래 문제로 돌아가서 3차원 공간에서 움직이는 물체를 위치 벡터로 표현한다. 보통 시간에 따라 변화되는 특성을 추적하므로 매개변수는 $t$로 정한다. 그러면 매개변수 $t$의 변화에 대한 임의의 위치 벡터 $\bar r(t)$는 다음처럼 표현할 수 있다.

(1)

매개변수 $t$에 대한 $\bar r(t)$의 미분(differentiation)을 구한다.

(2)

식 (2)의 의미를 이해하기 위해 [그림 2, 3]을 본다.

[그림 3] 단위 접선과 법선 벡터(출처: wikipedia.org)

[그림 2]에서 $\bar r(t)$는 $t$에 따라 변하는 곡선(curve)을 표현한다. 식 (2)의 우변처럼 벡터의 차를 정하면, $d \bar t(t)$는 $\bar r(t)$에서 시작해 $\bar r(t + \Delta t)$로 향하는 벡터가 된다. 차분 $\Delta t$가 $0$으로 가면, 이 벡터는 [그림 3]처럼 곡선에 접하는 접선 벡터(tangent vector)이다. 따라서 단위 접선 벡터(unit tangent vector) $\hat T$를 다음처럼 공식화할 수 있다.

(3)

여기서 $|\bar A|$ = $\sqrt{\bar A \cdot \bar A}$, $\bar A \cdot \bar A$는 벡터의 내적(inner product), $\hat T$의 크기인 $|\hat T|$는 $t$에 관계없이 항상 $1$이다. 식 (3)에 의해 $\hat T$의 크기를 미분하면 다음처럼 항상 $0$이 나온다.

(4)

벡터 $\hat T$와 $d\hat T/dt$는 서로 수직이므로, [그림 3]처럼 단위 접선 벡터 $\hat T$에 수직한 단위 법선 벡터(unit normal vector) $\hat N$도 정의한다.

(5)

법선 벡터는 접선 벡터의 미분이며 위치 벡터의 2계 미분(the second order differentiation)이기도 하다. 그래서 매개변수가 시간을 의미한다면, 접선 벡터는 속도(velocity), 법선 벡터는 가속도(acceleration)를 뜻한다. 벡터의 외적(outer product)을 이용하면 단위 접선과 법선 벡터에 각각 수직인 단위 종법선 벡터(單位縱法線, unit binormal vector)도 다음처럼 얻을 수 있다.

(6)

[그림 4] 3차원에 위치한 단위 접선, 법선, 종법선 벡터(출처: wikipedia.org)

단위 벡터(unit vector) TNB를 3차원 공간의 기저(basis)로 사용하면, 위치 벡터의 궤적인 곡선 $\bar r(t)$에 국소 좌표계(局所座標系, local coordinate system)를 설정할 수 있다. 물론 우리는 3차원 공간의 위치를 표현하기 위해 전역 좌표계(global coordinate system)의 기저인 $\hat x, \hat y, \hat z$를 사용할 수도 있다. 하지만 주어진 문제에 따라 국소 좌표계의 표현식이 해를 더 간략화할 수도 있다. 예를 들면, 식 (29)와 (32)에 정의한 선 적분(line integral)이나 표면 적분(surface integral)을 정의할 때, 국소 좌표계를 도입하면 전체 적분식을 더 명시적이고 간단하게 기술할 수 있다.
현재까지 유도한 결과에서 매개변수를 $t$에서 호의 길이(arc length)인 $s$로 바꾸어본다.

(7)

여기서 $t = 0$일 때 $s = 0$이라 가정한다.

[그림 5] 매개변수 $\theta$에 따라 변하는 호의 길이 $s$(출처: wikipedia.org)

매개변수를 $t$에서 $s$로 바꾼 이유는 식 (2)를 $s$에 대한 미분으로 바꾸면 쉽게 알 수 있다.

(8)

여기서 $ds/dt$ = $\sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2}$ = $|d \bar r(t)/dt|$이다. 즉 위치 벡터 $\bar r(t)$의 $s$에 대한 미분은 바로 단위 접선 벡터 $\hat T$가 된다. 추가적으로 단위 벡터 NB를 $s$에 대해 미분하면, 식 (8)과 같은 재미있는 결과가 나오는지 차례대로 확인해본다. 먼저 식 (5)를 변형해서 다음처럼 써본다.

(9)

식 (9)에서 새롭게 정의한 $\kappa$의 의미를 찾기 위해 위치 벡터를 2차원으로 축소해서 $\bar r(t)$ = $(x(t), y(t))$라 한다. 그러면 다음 관계가 성립한다.

(10)

(11)

여기서 $d^2 \bar r(t)/ds^2$ = $d/ds [d \bar r(t)/ds]$ = $d/ds [d \bar r(t)/dt \cdot dt/ds]$ = $d^2 \bar r(t)/(dsdt) \cdot dt/ds + d \bar r(t)/dt \cdot d^2 t/ds^2$, $ds$ = $\sqrt{dx^2 + dy^2}$, $ds/dt$ = $\sqrt{x^{\prime 2} + y^{\prime 2}}$, $d^2t/ds^2$ = $dt/ds \cdot d/dt (dt/ds)$ = $1/\sqrt{x^{\prime 2} + y^{\prime 2}} \cdot d/dt(1/\sqrt{x^{\prime 2} + y^{\prime 2}})$, 벡터 $(x', y')$는 2차원 좌표점 $r(t)$의 1계 미분인 $dr(t)/dt$ = $(dx(t)/dt, dy(t)/dt)$, $(x', y')$의 크기는 $\sqrt{x'^2 + y'^2}$, $(x'', y'')$ = $d^2 r(t) /dt^2$ = $(d^2x(t)/dt^2, d^2y(t)/dt^2)$이다. 식 (11)을 식 (10)에 대입해 정리하면 $\kappa$를 $\bar r(t)$의 성분으로 표현할 수 있다.

(12)

여기서 $(\cdot)'$과 $(\cdot)''$은 각각 $t$에 대한 1계 및 2계 미분이다. 복잡해 보이는 식 (12)에 반지름이 $R$인 원의 매개변수 방정식 $r(t)$ = $(R\cos t, R\sin t)$를 대입해본다.

(13)

식 (13)에 의해 $\kappa$는 곡선 $r(t)$에 접하는 원의 반지름에 대한 역수(multiplicative inverse or reciprocal), 즉 곡률(曲率, curvature)임을 알 수 있다. 곡선 $r(t)$와 곡률 $\kappa$의 기하학적 관계는 [그림 6]을 보면 더 쉽게 이해할 수 있다. 여기서 곡률 기준으로 환산한 반지름은 곡률 반경(radius of curvature)이라 한다.

[그림 6] 곡선과 곡률의 기하학적 관계(출처: wikipedia.org)

식 (9), (13)과 [그림 6]을 보면, 곡선 $r(t)$를 호의 길이 $s$에 대해 두 번 미분한 벡터의 방향은 단위 법선 벡터 $\hat N$과 같고 벡터의 크기는 곡률 $\kappa$ = $1/R$이 된다. 계속해서 단위 벡터 $\hat N$을 $s$에 대해 미분해보면 다음 결과를 얻을 수 있다.

(14)

여기서 $a, b$는 적당한 스칼라(scalar)이다. 스칼라 $a$를 구하기 위해 다음 내적 관계식을 미분한다.

(15)

식 (6)을 $s$에 대해 미분한 후 식 (14)를 대입하면, $d \hat B/ ds$를 구할 수 있다.

(16)

식 (16)의 결과를 분석해 스칼라 $b$를 비틀림률(torsion) $\tau$로 정한다.

(17)

[그림 4]를 보면, 단위 벡터 $\hat B$는 $\hat T$와 $\hat N$이 만드는 평면을 표현한다. 그러면 식 (17)에 의해 비틀림률은 곡선 $\bar r(t)$가 $\hat T$와 $\hat N$이 만드는 평면을 빠져나가는 정도를 뜻한다. 예를 들어 곡선이 특정 평면에만 머물러 있으면, $\hat T$와 $\hat N$이 만드는 표면의 법선 벡터인 $\hat B$는 모든 평면에서 일정해서 비틀어지지 않고 변화도 없다. 그래서 $s$에 대한 $\hat B$의 변화량인 $d\hat B/ds$는 $0$이 되어서 비틀림률 $\tau$ = $0$이 된다. 반대로 [그림 7]처럼 표면이 휘어져 있으면, 곡선을 따라감에 따라 $\hat B$는 방향이 계속 바뀐다. 즉 $d\hat B/ds$ 혹은 $\tau$에 비례한 만큼 표면이 비틀어져 있다.

[그림 7] 비틀림 막대(출처: wikipedia.org)

이상의 결과를 모두 합치면 유명한 프레네–세레 공식(Frenet–Serret formula)을 다음처럼 공식화할 수 있다.

(18)

식 (18)은 행렬(matrix) 형태로 표기할 수도 있다.

(19)

단위 벡터 TNB에 대한 행렬 관계식인 식 (19)를 쓰면 $s$에 대한 고계 미분(higher-order differentiation)을 다음처럼 표현할 수도 있다.

(20)

여기서 $\kappa, \tau$는 $s$에 대해 상수라고 가정한다. 식 (17)에 있는 비틀림률의 정의는 너무 복잡하므로 식 (12)와 같은 간략화된 표현식으로 바꾸어본다. 이 경우는 프레네–세레 공식을 쓰면 확실히 편하다. 먼저 식 (17)에 의해 비틀림률은 $t$에 대한 3계 미분과 분명히 관계있다. 그래서 다음과 같은 1계부터 3계까지 위치 벡터의 미분을 계산한다.

(21)

식 (21)의 첫째식과 둘째식에 외적을 적용하면 단위 벡터 $\hat B$를 만들 수 있다.

(22)

여기서 $s' = |\bar r'(t)|$이다. 식 (22)에 절대값을 취하면, 어렵게 얻은 식 (12)를 더욱 쉽게 유도할 수 있다. 또한 식 (22)와 식 (21)의 셋째식에 대해 내적을 연산하면, 비틀림률 $\tau$와 곡률 $\kappa$의 관계식을 유도할 수 있다.

(23)

식 (12)를 식 (23)에 대입해 정리해서 위치 벡터의 미분으로 표현한 비틀림률 $\tau$에 대한 공식을 만든다.

(24)

비틀림률 정의를 위해 식 (17)을 사용했지만, 분명히 식 (24)에서 얻은 $\tau$의 정의가 더 간결하고 분명하다. 식 (24)에 의해 $\tau$는 양과 음이 모두 가능하다. 반면에 $\kappa$는 항상 0이거나 양이다.
벡터 미분학에서 매우 중요한 벡터의 미분 연산자는 전역 좌표계 $(x, y, z)$에서 다음처럼 정의할 수 있다.

(25: 구배 연산자)

(26: 발산 연산자)

(27: 회전 연산자)

서로 직교하는 TBN 기저를 사용하면, 전역 좌표계 $(x, y, z)$에 대비되는 국소 좌표계 $(t, n, b)$를 다음처럼 표현할 수 있다.

(28)

여기서 식 (7) 기준으로 보면 $t = s$이다. 단위 접선 벡터 $\hat T$는 곡선 $\bar r(t)$의 접선이므로, $t$는 $\bar r(t)$를 따라가는 매개변수이다. 매개변수 $n$은 단위 법선 벡터 $\hat N$ 방향으로 변한다. 곡선 $\bar r(t)$가 정해지면 $t$에 대해 $\hat N$은 딱 하나만 생긴다. 그러면 고정된 혹은 일정한 $t$에 대해, $\hat N$ 방향으로 $n$을 독립적으로 정할 수 있어서 $n$은 새로운 좌표 성분이 된다. 마찬가지로 정해진 $t$와 $n$에 대해 $\hat B$ 방향으로 새로운 좌표 성분 $b$를 설정할 수 있다. 식 (28)을 이용하면 매개변수 $t$를 따라가는 선 적분(line integral)을 다음처럼 정의할 수 있다.

(29)

식 (29)를 참고해서 국소 좌표계의 구배 연산자를 만들어본다. 먼저 완전 미분(exact differential)을 도입해서 함수 $f$의 변화율을 쓰면 다음과 같다.

(30)

따라서 국소 좌표계의 구배 연산자를 다음처럼 표현한다.

(31)

선 적분인 식 (29)를 2차원으로 확장하면 면적 적분(surface integral)을 구성할 수 있다. 단위 벡터 TNB로 만들 수 있는 평면의 기저 쌍은 $(t, n)$, $(n, b)$, $(b, t)$이다. 그래서 각 기저의 쌍이 만드는 미소 평면을 이용해서 임의의 면적 적분을 다음처럼 기술할 수 있다.

(32)

면적 적분을 더 확장하면 국소 좌표계에 대한 체적 적분(volume integral)도 쉽게 정의할 수 있다.

(33)

식 (33)처럼 체적 적분은 면적 적분에서 사용한 면적 미분소에 독립적인 방향으로 미분소를 곱한 적분이다. 발산 및 회전 연산자를 국소 좌표계로 확장하기 위해 국소 좌표계의 성분 $(t, n, b)$를 다음처럼 고쳐쓴다.

(34)

여기서 $h_i$는 척도 인자(尺度因子, scale factor), $u_i$는 오직 $i$에만 종속인 매개변수, $i$ = $t, n, b$이다. 국소 좌표계 $(t, n, b)$는 직교 좌표계(orthogonal coordinate system)이기 때문에, 주변 좌표 성분에 관계없이[혹은 독립적으로] 특정 방향 성분을 조정할 수 있다. 이를 다른 말로 표현하면, 각 좌표계의 기저는 [그림 4]처럼 서로 직교한다는 말이다. 예를 들면 $(\bar A + \Delta t \hat T)\cdot \hat T$ = $t + \Delta t$, $(\bar A + \Delta t \hat T)\cdot \hat N$ = $n$, $(\bar A + \Delta t \hat T)\cdot \hat B$ = $b$가 성립한다. 여기서 $\bar A$ = $(t, n, b)$이다. 이러한 직교성으로 인해 좌표 성분은 식 (34)와 같이 서로 독립인 매개변수 $u_i$와 척도 인자 $h_i$의 곱으로 구성된다. 척도 인자는 서로 독립인 매개변수와 좌표 성분을 연결해주는 비례 상수이다. 척도 인자가 커질수록, 일정한 $u_i$의 변화에 대해 좌표 성분이 더 크게 변한다. 식 (34)의 관계를 이미 알고 있는 발산 정리(divergence theorem)의 우변에 대입한다.

(35)

그러면 다음처럼 닫힌 면적 적분을 체적 적분으로 바꿀 수 있다.

(36)

식 (35)의 좌변과 식 (36)을 비교해서 국소 좌표계의 발산 연산자를 다음처럼 공식화할 수 있다.

(37)

비슷한 방법으로 국소 좌표계에 대한 회전 연산자를 유도할 수 있다. 증명의 간략화를 위해 벡터가 존재하는 영역을 [그림 8]처럼 단위 벡터 TN이 만드는 평면으로 한정한다.

[그림 8] 단위 벡터 TN이 만드는 평면에 있는 벡터의 회전

스토크스의 정리(Stokes' theorem)에 의해 면적 적분과 닫힌 선 적분은 다음 관계를 가진다.

(38)

식 (38)의 좌변에 식 (34)를 대입해서 벡터 성분별로 정리한다.

(39)

식 (39)에 나타나는 미분의 부호 특성을 쉽게 이해하려면 [그림 8]이 필수적이다. [그림 8]에서 $t$가 커질 때, 벡터 $\hat n$의 방향으로 인해 $A_n dn$은 (-)에서 (+)로 바뀐다. 그래서 $A_n dn$의 변화량은 미분의 정의[미분은 함수값이 커지는 방향, 즉 기울기가 (+)인 경우가 기준이다.]를 잘 따라가므로 (+)가 된다. 벡터 $\hat t$의 방향으로 인해 [그림 8]에서 변수 $n$이 커지는 경우는 $A_t dt$의 부호가 (+)에서 (-)로 변한다. 따라서 $A_t dt$의 변화량은 음의 기울기라서 식 (39)처럼 (-)를 붙여야 한다. 식 (38)에서 얻은 결과를 TNB가 만들 수 있는 모든 평면으로 확장하면, 국소 좌표계의 회전 연산자는 다음과 같다.

(40)

직교하는 국소 좌표계 $(t, n, b)$에 대한 미분 연산자는 텐서(tensor) 이론으로 얻은 직교 좌표계의 미분 연산자와 완전히 동일하다.

국소 좌표계를 위한 기저로 [그림 4]에 있는 TNB 벡터를 사용했지만, 더 간단한 방법으로 국소 좌표계의 기저를 구성할 수도 있다. 평행하지 않은 두 벡터 $\bar u, \bar v$를 고려한다. 그러면 식 (6)과 유사한 벡터의 외적을 이용해 간단한 TNB 기저를 다음처럼 구성할 수 있다.

(41)

여기서 $\hat T$는 곡선 $\bar r(t)$가 아닌 주어진 벡터인 $\bar u$로 구성하고, $\hat N$은 $\bar v$ 중에서 $\hat T$에 평행한 성분을 제거해서 만들며, $\hat B$는 $\bar u, \bar v$가 만드는 평면의 법선 벡터(normal vector)로 정의한다. 식 (41)을 이용해서 $\bar v$를 다시 쓰면, $\bar v$ = $(\bar v \cdot \hat T) \hat T + (\bar v \cdot \hat N) \hat N$이다.

특정한 곡선 $\bar r(t)$를 입력 변수로 하는 함수 $f[\bar r(t)]$의 미분은 완전 미분(exact differential)에 의해 다음처럼 공식화된다.

(42)

여기서 $\bar r(t)$ = $(x(t), y(t), z(t))$이다. 식 (42)에 의해 함수의 미분 $df/dt$는 구배(gradient)와 곡선의 미분 $d \bar r (t)/dt$ 사이의 내적과 같다. 혹은 $df/dt$는 우리가 계산하고 싶은 방향인 접선 벡터 $\hat T$으로 정사영한 구배에 비례한다. 식 (42)에서 미분을 정의한 곡선을 단순화해서 $\bar r(t)$ = $\bar r_0 + \bar v t$라 한다. 여기서 $\bar r_0$과 $\bar v$는 상수 벡터, 매개변수 $t$에 대해서만 변하는 곡선의 궤적은 3차원 공간의 직선이다. 그러면 식 (42)는 방향 $\bar v$를 따라가는 미분인 방향 도함수(directional derivative)가 된다.

(43)

여기서 $\bar v$ = $d \bar r(t) / dt$이다. 방향 도함수 정의에 벡터가 쓰이기는 하지만, 내적 연산에 의해 방향 도함수 자체는 스칼라이며 통상적인 미분과 거의 같다. 다만 방향 도함수는 기존 미분과 다르게 미분 방향을 $\bar v$로 자유롭게 설정할 수 있다.

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