동차 함수(同次函數, Homogeneous Function)

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1. 완전 미분

다음과 같은 재미있는 성질을 가진 함수는 제$n$차 동차 함수(同次函數, the nth order homogeneous function)라 한다.

                  (1a)

   

                       (1b)

즉, 동차 함수는 매개변수 벡터(vector) $\bar v$에 $\alpha$를 곱하면 함수 전체에 곱한 결과와 같아지는 성질을 가진다. 혹은 각 독립 변수가 같은 비례로 바뀌는 함수를 동차 함수라 이름 붙인다. 식 (1)에 있는 벡터에서 스칼라(scalar)로 가는 함수는 선형 범함수(線型 範函數, linear functional)라고 정의한다. 따라서 동차 함수는 선형 범함수 중에서 식 (1)과 같은 성질을 가진 함수로 생각할 수 있다. 동차 함수의 대표적인 예는 벡터의 내적(inner product)이다. 예를 들어, 식 (1)의 $f$를 아래처럼 정의한다.

                       (2)

식 (2)에 있는 선형 범함수는 식 (1)의 정의를 이용하면 1차 동차 함수가 된다. 동차 함수는 완전 미분 방정식(exact differential equation)과 같은 꼴을 가진 동차 1계 상미분 방정식(homogeneous first-order ODE)을 풀 수 있는 중요 개념이다.

                       (3)

여기서 $A(x, y), B(x, y)$는 $n$차 동차 함수이다. 식 (3)에서 $u$ = $y/x$라 놓고 $A(x, y), B(x, y)$에서 $x$를 뽑아낸다.

                       (4)

여기서 $dy$ = $xdu + udx$이다. 식 (6)의 좌변과 우변은 $u, x$에 대해 완벽하게 변수 분리가 되므로, 양변을 적분해서 미분 방정식을 간단하게 풀 수 있다.

동차 함수가 가진 특이한 성질은 완전 미분(exact differential)을 이용해서 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 처음으로 증명했다. 동차란 명칭은 오일러의 스승인 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)의 1726년베르누이 59세, 조선 영조 시절 작품이다.

                        (5a)

             (5b: 완전 미분)

식 (5)는 오일러의 동차 함수 정리(Euler's homogeneous function theorem)라 부른다. 예를 들어, 식 (2)를 식 (5)에 대입하면 다음을 증명할 수 있다.

                       (6)

여기서 $f(\bar v)$는 식 (1)에 의해 제1차 동차 함수이다.

[다음 읽을거리]

1. 선형 상미분 방정식

멱급수 기반 상미분 방정식 해법(Solution of ODE Based on Power Series)

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1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식

상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE) 해의 존재성과 유일성을 증명할 때 사용한 피카르의 반복법(Picard's iteration method)은 항상 답을 무한 급수(infinite series) 형태로 내놓는다. 이를 다르게 표현하면 상미분 방정식의 해를 다음과 같은 멱급수(冪級數, power series)로 표현할 수 있다는 뜻이다.

                      (1)

테일러 급수(Taylor series)도 표현식이 식 (1)과 동일하므로 멱급수의 일종으로 생각할 수 있다. 멱급수로 표현하면 좋은 점은 미분과 적분이 매우 쉽고 미분 방정식을 푸는 방법이 멱급수의 계수를 결정하는 문제로 바뀌는 부분이다. 즉, 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ODE)이 식 (1)과 같은 멱급수를 가정해서도 풀린다는 얘기다.

                      (2)

그러면, 식 (1)과 같은 멱급수 방식은 어떠한 2계 선형 상미분 방정식도 풀 수 있는가? 아니다. 피카르의 반복법(Picard's iteration method) 증명에 따라 $p(x)$와 $q(x)$가 유한한 경우에만 식 (1)을 이용할 수 있다. 다른 말로 하면 $p(x), q(x)$가 특정한 점 $x_0$에서 발산한다면, $y_0$ = $y(x_0)$를 가진 초기 조건에 대해서는 피카르의 반복법을 사용할 수 없다. 이를 이해하기 위해 다음과 같은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)을 생각한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (2)처럼 만들려면 식 (3) 전체를 $x^2$으로 나누어야한다. 그러면 $x$ = $0$에서 $p(x), q(x)$는 발산한다. 즉, 식 (1)과 같은 단순한 멱급수 전개로는 $x$ = $0$에서 베셀 미분 방정식의 해를 구할 수 없다.

이때 혜성과 같이 등장하는 방식이 프로베니우스 방법(Frobenius method)이다. 당연히 제안자는 수학자 프로베니우스Ferdinand Georg Frobenius(1849–1917)이다. 미분 방정식에는 수학자 이름이 붙은 풀이법이 꽤 많이 등장한다. 이 해법을 다 외우려는 시도는 멍청한 짓이다. 책을 펼치면 알 수 있는 해법을 굳이 외울 필요는 없다. 핵심적인 관점은 수학자가 왜 이 방법을 제안했는가이다. 프로베니우스도 우리와 동일한 고민을 했을 것이다. 멱급수 전개법은 단순하면서도 매우 유용한데, 식 (3)과 같은 방정식에는 사용할 수가 없다. 무언가 좋은 방법이 없을까? 앞으로 프로베니우스의 고민과 해결책을 상세히 설명한다. 먼저 프로베니우스 방법을 위한 미분 방정식을 살펴본다.

                      (4)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. 베셀 미분 방정식인 식 (3)은 식 (4)와 같은 미분 방정식에 포함된다. 피카르 반복법을 이용하여 $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)의 미분 방정식 해를 구하기는 불가능하므로[∵ 식 (4)를 $x^2$으로 나누면 $dy/dx, y$의 항이 발산할 수 있다.] 머리를 좀 써본다. $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)는 다음과 같은 미분 방정식이 된다.

                      (5)

여기서 $a$ = $p(0)$, $b$ = $q(0)$이다. 식 (5)와 같은 형태는 코쉬–오일러 방정식(Cauchy–Euler equation)이라 부른다. 점 $x$ = $0$ 이외에서는 해의 존재성과 유일성이 성립하기 때문에 다음과 같이 해를 구한다.

                      (6)

식 (6)을 보면 미분 방정식이 대수 방정식으로 바뀌기 때문에, $r$을 쉽게 결정할 수 있다. 즉, 식 (6)은 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 2개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다. 식 (6)의 결과를 식 (5)에 대입하면, 항상 식 (6)이 해임을 보일 수 있다. 그래서 $x$ = $0$을 제외한 모든 영역에서 식 (6)은 식 (5)의 해이다.[혹은 어떤 $r$값에서는 $y(0)$가 수렴할 수도 있으므로 이때는 $x = 0$를 포함할 수 있다.] 그러면 식 (4)의 해도 $x$ = $0$ 근방에서는 다음처럼 식 (6)과 같은 형태를 가진다[1].

                      (7)

점 $x$ = $0$ 근방에서 식 (4)의 해를 찾은 결과가 식 (7)이므로, 계수 $c_0$는 발산하지 않는다.[∵ $x = 0$ 근방에서 $y = x^r$은 식 (5)의 정상적인 해이므로 계수 $c_0$는 일반적인 상수이다.] 따라서, $x$ = $0$ 근방에서 $y/x^r$의 특성은 식 (1)과 같은 단순 멱급수 $c(x)$로 표현할 수 있다. 즉, $x^r$만 곱한 멱급수는 식 (4)를 풀 수 있는 새롭고 강력한 방법론이다. 식 (8)과 같은 급수 전개를 이용해 $p(x), q(x)$가 발산하는 미분 방정식을 푸는 직관적인 기법을 프로베니우스 방법이라 부른다.

                        (8)

여기서 계수 $a_m$은 식 (8)을 식 (4)에 대입해 항등식 조건[$x^{r+m}$의 계수가 0]을 이용해서 구한다. 이렇게 하면 $a_m$은 재귀 관계(再歸關係, recurrence relation)로 얻어지므로 $a_0 \ne 0$이다.[∵ $a_0$ = $0$이 되면 모든 $a_m$이 $0$이 되어서 의미가 없어진다.] 식 (8)에서 먼저 결정해야 하는 값은 $r$이다. 식 (6)을 참고해서 지수에 들어가는 $r$을 결정하는 지표 방정식(indicial equation) 혹은 특성 방정식(characteristic equation)을 공식화한다.

                      (9)

식 (9)에 도입한 지표 방정식은 $x$ = $0$ 부근에서 함수 $y$의 행동을 결정하는 지수 $r$에 대한 중요 방정식이다. 프로베니우스 방법을 사용할 수 있는 미분 방정식을 분류하기 위해 식 (4)를 다음처럼 변형한다.

                      (10)

어떤 값 $x$에서 $f(x)$가 수렴하면 $x$는 정상점(ordinary point)이며 $f(x)$가 발산하면 특이점(singular point)이 된다. 식 (10)에서 $x$ = $0$은 $P(x), Q(x)$의 특이점이다. 특이점이 있더라도 식 (10)의 셋째줄처럼 $x, x^2$를 곱하면 정상점이 되는 경우는 정칙 특이점(regular singular point)이 된다. 따라서, 프로베니우스 방법이 적용되려면 정의역에는 정상점이나 정칙 특이점만 있어야 한다.

[참고문헌]

[1] K. B. Howell, Modified Power Series Solutions and the Basic Method of Frobenius, Ordinary Differential Equations: an Introduction to the Fundamentals, 2011.

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용

선형 상미분 방정식(線形常微分方程式, Linear Ordinary Differential Equation)

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1. 미분 방정식의 의미

식 (1)과 같은 1계 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation)은 해의 존재성과 유일성이 수학적으로 증명되므로 안심하고 사용할 수 있다.

                       (1)

하지만 식 (1)은 필요 이상으로 복잡해서 좀더 단순화된 상미분 방정식을 고려할 필요가 있다. 그래서, 실제로는 식 (1)의 함수 $f(x, y)$가 선형성을 가진다고 가정해 식 (2)와 같은 선형 상미분 방정식(線形 常微分方程式, linear ordinary differential equation, linear ODE)을 다룬다.

                        (2)

직선을 표현하는 선형 함수 $f$ = $py+q$를 고려하면 식 (2)가 가진 선형성은 이해가 된다. 만약 $q(x)$ = $0$이라면, 식 (2)는 더욱 재미있는 성질을 가진다. 함수 $y_1, y_2$가 식 (2)를 만족하는 해일 때, 선형 결합 $y_3$도 당연히 해가 된다. 이 성질은 다음과 같은 고계(高階) 선형 상미분 방정식에도 성립한다.

                 (3)

즉, 식 (3)은 미분 방정식이 생긴 모양만 선형이 아니라 미분 방정식의 해도 선형성을 가진다. 그래서 식 (3)에 대한 미분 방정식의 해를 일반해(general solution) $y_g$라고 한다. 왜냐하면 초기 조건이 없는 경우 해를 무한히 많이 만들 수 있기 때문이다. $q(x)$ = $0$인 경우는 다른 말로 동차(同次) 선형 상미분 방정식(homogeneous linear ODE)이라 부른다. 왜냐하면 미분 연산자가 동차 함수(homogeneous function) 관계를 만족하기 때문이다.[∵ 해 $y$에 $\alpha$를 곱하면 미분 연산자 바깥으로 $\alpha$가 나와서 1차 동차 함수가 된다.] 식 (4)에서 $q(x) \ne 0$을 고려한 경우는 특수해(particular solution) $y_p$라고 한다. 또한, 동차의 반대말로 $q(x) \ne 0$인 경우는 비동차(非同次, nonhomogeneous)라고 부른다. 일반해 $y_g$와 특수해 $y_p$를 모두 합치면 $n$계 선형 상미분 방정식인 식 (4)를 만족하는 해 $y$가 된다.

             (4)

식 (4)에 있는 상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$은 초기 조건으로 정해야한다. 그런데, $n$계 선형 상미분 방정식인 경우 일반해와 상수의 개수는 왜 $n$개일까? 이를 이해하려면 식 (5)에 있는 $n$계 상미분 방정식 해의 유일성을 고려해야한다.

                   (5)

일반해는 식 (4)처럼 $y_1, y_2, \cdots, y_n$의 선형 결합으로 구성할 수 있다. 만약 일반해가 $n-1$개만 있다면 식 (5)의 초기 조건 $n$개 중에서 $n-1$개만 만족시킬 수 있다. 이 부분은 문제이다. 만약 일반해가 $n+1$개라면 식 (5)의 초기 조건 $n$개를 대입하더라도 나머지 1개의 상수값을 결정할 수 없다. 이러면 상미분 방정식 해의 유일성에 위배된다. 그래서 당연히 일반해와 상수의 개수는 $n$개여야 한다.

해의 유일성으로 인해 생겨나는 또 다른 재미있는 성질은 식 (6)에 도입한 함수 행렬(functional matrix) $\bf W$이다.

                                                                                                        (6)

해의 유일성이 있기 때문에 식 (6)에 있는 함수 행렬 $\bf W$는 반드시 역행렬(inverse matrix)을 가져야한다. 역행렬 존재성을 손쉽게 표현하는 방법은 행렬식(determinant)이므로 새롭게 아래와 같은 함수 행렬식(Wronskian or functional determinant)을 정의한다.

               (7)

상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$은 유일하게 정해져야 하므로 함수 행렬식은 항상 $0$이 아니다. 식 (7)에 정의한 함수 행렬식은 이를 도입한 수학자 브룅스키(활동한 프랑스 기준)Józef Maria Hoene-Wroński(1776–1853) 혹은 브로인스키(태어난 폴란드 기준) 이름을 따서 브룅스키안[프랑스어] 혹은 론스키안[영어]으로도 부른다. 함수 행렬식 개념이 좋기 때문에 초기 조건 뿐만 아니라 어떤 임의 함수의 상호 독립성을 따질 때도 사용한다. 예를 들어 함수 $f, g$의 함수 행렬식은 $W(f, g)$ = $fg' - f'g$가 된다. 함수 $f, g$가 종속이 아니라면 당연히 함수 행렬식이 $0$이 아니므로, 함수 행렬식을 계산함으로써 함수의 종속성 혹은 독립성을 판별할 수 있다. 혹은 선형 대수학(linear algebra)적으로 생각해서 함수 행렬식이 $0$이면, 함수 행렬식을 구성한 함수들은 선형 종속(linear dependence)이다. 반면에 $0$이 아닌 함수 행렬식으로 식 (6)을 계산하면, 식 (6)에 있는 $c_1, c_2, \cdots, c_n$은 $0$이 나오므로 함수들은 서로 선형 독립(linear independence)이 된다. 즉, 함수 행렬식 $W(\cdot)$를 이용해서 함수들의 선형 독립 혹은 종속을 쉽게 판정할 수 있다.

식 (4)에서 $q(x)$ = $0$이고 $p(x)$가 상수인 경우는 상수 계수 선형 상미분 방정식(linear ODE with constant coefficients)이 된다.

                        (8)

식 (8)처럼 상수 계수인 경우는 상미분 방정식의 해가 매우 단순하게 표현된다. 예를 들어, 식 (8)의 해를 지수 함수(exponential function)라고 가정해 지표 방정식(indicial equation) 혹은 특성 방정식(characteristic equation)을 만든다.

                        (9)

식 (9)의 첫째 줄과 같은 단순 치환에 의해 식 (8)의 미분 방정식이 식 (9)의 마지막 줄에 있는 대수 방정식(代數方程式, algebraic equation)으로 바뀐다. 이 대수 방정식은 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 $n$개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다. 식 (9)에 제시한 방법론은 깔끔하지만 식 (9)의 대수 방정식이 중근(重根, multiple root)을 가지면 문제가 된다. 중근인 경우 식 (6)에 있는 일반해 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 중에서 같은 함수가 반드시 있기 때문에 상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$을 조정해서 임의의 초기 조건을 만족시킬 수는 없다.[∵ 식 (6)에 있는 함수 행렬 $W$의 역행렬이 존재하지 않기 때문에 초기 조건을 만족하는 상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$이 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있다.] 이를 이해하기 위해 다음 미분 방정식을 고려한다.

                       (10)

식 (10)의 미분 방정식을 식 (9)의 방법대로 대수 방정식으로 바꾸면 다음과 같다.

                       (11)

식 (10)의 미분 방정식은 식 (11)과 같이 이중근을 가지므로 일반해 $y_1, y_2$는 서로 같다. 그래서, $c_1, c_2$를 아무리 조정해도 식 (10)의 초기 조건을 만족시킬 수 없다.[혹은 $y_0'$ = $1$이라면 $y$ = $\exp(x)$가 답이 된다.] 즉, 식 (11)의 마지막 줄에 제시한 $y_1, y_2$는 식 (10)의 해가 될 수 없다. 따라서, 식 (10)의 해를 구하려면 피카르의 반복법(Picard's iteration method)을 이용해야한다.

                       (12)

           (13)

식 (13)과 같이 2계 선형 상미분 방정식의 해를 좀더 체계적으로 구하는 방법은 계수(階數) 혹은 계층수(階層數) 축소법(reduction of order)이다. 그래서 하나의 해 $y_1$을 알 때 독립적인 해 $y_2$를 아래와 같이 가정한다.

                        (14)

여기서 $u$는 상수가 아닌 $x$의 함수이다. 식 (14)에서 $y_2$를 $y_1$의 단순 치환으로 표현하기 때문에, $a,b,c$가 상수 계수가 아니어도 식 (14)의 최종식은 항상 성립한다. 만약 $y_1$이 식 (11)과 같이 중근을 가진다면 $u$는 아래와 같이 표현된다.

                       (15)

식 (15) 관점에서 식 (13)의 최종 결과를 보면 우리 접근법이 성공적임을 알 수 있다. 일반해를 다음과 같이 가정해 식 (10)의 초기 조건을 대입하면 식 (13)의 최종 결과가 얻어진다.

                        (16)

미분 방정식 (8)을 대수 방정식 (9)로 바꾸는 방식은 단순해보이지만 미분 방정식의 역사에 한 획을 그은 위대한 접근법이다. 따분한 식이고 귀찮은 절차라고만 보면 발전이 없지만, 계산 절차인 연산(演算, operation)과 실질적으로 숫자인 대수(代數, algebra)를 동등하게 놓고 대응시키는 개념은 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)에 의해 페이저(phasor)와 연산 미적분학(operational calculus)을 탄생시켰다. 시간 미분 $d/dt$를 복소수 $j \omega$로 치환해서 계산하는 페이저 기법은 교류 회로 이론을 단순한 복소수 계산으로 변형한다. 연산 미적분학은 더 적극적으로 미분 연산 $d/dt$를 대수 $p$로 바꾸고 숫자처럼 무한 급수를 만들어서 미분 방정식의 해를 구한다. 연산 미적분학은 더 발전해서 요즘은 라플라스 변환(Laplace transform)으로 쓰인다. 

[다음 읽을거리]
1. 멱급수 기반 상미분 방정식
2. 1계 선형 상미분 방정식
3. 스튀름–리우빌 이론

4. 라플라스 변환

5. 적분 방정식의 의미

6. 베르누이 미분 방정식