조금은 느리게 살자

2010년 7월 22일 목요일

발산(發散, Divergence)의 의미

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "발산의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분법의 의미
2. 좌표계 기반 벡터
3. 적분법의 의미

4. 벡터 미적분학

구배(勾配, gradient) 연산자는 미분 개념만 익히고 있으면 쉽게 이해가 되나 발산 연산자는 다소 난해하다. 처음에는 이해가 잘 안되더라도 겸손한 마음으로 아래 내용을 읽어본다.

讀書百遍義自見 (독서백편의자현: 정사 삼국지에서 나온 말로, 잘 모르는 책도 100번을 읽으면 자연히 뜻을 알게 된다는 뜻이다.)

식 (1)에 제시한 발산(divergence) 연산자는 폭탄이 터지거나 샘물이 솟거나 하는 현상을 정량적으로 표현하기 위해 도입한 벡터 연산자이다.

(1)

여기서 벡터 $\bar A$ = $(A_x, A_y, A_z)$로 정의한다.

[그림 1] 폭탄의 폭발 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1]은 폭탄의 폭발 모습을 보여준다. 갑자기 없던 폭발이 생긴 경우 이를 수학적으로 기술하려면 식 (1)의 발산 연산자를 사용하면 된다. 식 (1)은 미분 연산이므로 저게 폭탄 폭발과 무슨 관계가 있을까 처음에는 잘 이해가 되지 않는다. [그림 1]을 설명하는 좀 더 쉬운 [그림 2]를 본다.

[그림 2] 폭발을 발산 연산자로 설명

[그림 1]의 상황을 편의상 2차원[$xy$평면]으로 가정하여 이를 발산 연산자로 설명하면 [그림 2]가 된다. $x$축 방향을 따라 $A_x$ 성분의 변화를 조사하면 식 (2) 관점에서는 $x$축 방향 발산을 측정함과 같다. [그림 2]의 $x$축 변화를 벡터적으로 보면 $x$ = $a$보다 작을 때는 $-\Delta A_x$, $x$ = $a$보다 크면 $+\Delta A_x$가 된다.[녹색 화살표 하나를 $\Delta A_x$로 간주] 그러면 $x$축에 대한 $A_x$의 변화는 $\Delta A_x - (-\Delta A_x)$ = $2 \Delta A_x$가 된다. 이 값을 x축의 변화인 $\Delta x$로 나누면 식 (1)과 비슷하게 $2\Delta A_x / \Delta x$가 된다. 마찬가지로 $y$축 방향 $A_y$의 변화율도 계산한다. [그림 2]에서 $y$ = $b$보다 작으면 값이 없고 $y$ = $b$보다 크면 $3 \Delta A_y$가 된다.[빨간색 화살표를 $\Delta A_y$로 취급] 이때 $A_y$의 변화는 $3 \Delta A_y - 0$ = $3 \Delta A_y$이다. 이 값을 $\Delta y$로 나누면 $3 \Delta A_y/ \Delta y$가 된다. $x, y$축에 대한 변화율을 모두 합치면 $(x, y)$ = $(a, b)$에서의 총발산은 $2 \Delta A_x/ \Delta x + 3 \Delta A_y/ \Delta y$이 된다. 총발산값이 $0$보다 크기 때문에 발산이 있다. 이런 이유로 발산 연산자는 원천 검출기(source detector)로 생각할 수 있다. 여기서 원천은 [그림 1]의 폭발처럼 무언가가 없던 것이 방사선 형태로 출현함이다. 음의 원천도 생각할 수 있다. 음의 원천은 양의 원천의 반대이므로 무언가 있던 것이 방사선 형태로 사라짐이다. 예를 들면 흐르던 물이 하수구로 빠지던가 씽크대에 담겨있던 물이 배수구로 빠지는 현상을 음의 원천으로 설명할 수 있다.

[그림 3] 양전하(+)와 음전하(-)(출처: wikipedia.org)

[그림 3]처럼 전하(電荷, electric charge) 입장에서 보면 양의 원천과 음의 원천은 분명하다. 양전하의 전기력선은 폭발이나 샘물이 터지는 것처럼 원점에서 방사선 형태로 뻗어나온다. 음전하의 전기력선은 물이 하수구로 빠지는 것처럼 방사선이 원점으로 사라지는 모양을 가진다. 이런 벡터들의 생성과 소멸을 방사선 형태로 분석하는 도구가 발산 연산자이다. 벡터 함수에 발산 연산자를 적용하면 원천 검출기로 동작하여 [그림 3]과 같은 방사선 형태의 생성[양의 원천]과 소멸[음의 원천]을 계산할 수 있다.

[그림 4] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

발산 연산자를 체적 적분(體積積分, volume integral)에 적용하면 발산 정리(divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss' theorem)를 얻을 수 있다. 가우스 정리는 이름 그대로 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)가 1813년가우스 36세, 조선 순조 시절에 재발견했다[1]. 재발견이라 하면 최초 발견자가 있다는 뜻인데, 누구일까? 원래 가우스 정리는 라그랑주Joseph-Louis Lagrange(1736–1813)가 1762년라그랑주 26세, 조선 영조 시절에 발견했고, 이후에 많은 수학자들이 재발견했다. 재발견자 중에서 독보적인 수학자 및 물리학자가 가우스이어서 가우스 정리라 부른다. 가우스는 발산 정리를 이용해 중력을 설명할 수 있는 포텐셜 이론[1]을 세련되게 제안했다.

[발산 정리]

(2)

여기서 $dv$[= $dxdydz$]는 체적 미분소(differential volume), 벡터 $d \bar a$는 면적 미분소(differential surface)이다. 벡터 $d \bar a$의 방향은 [그림 4]와 같이 체적을 뚫고 나가는 방향으로 잡는다. 식 (2)에서 적분 기호에 동그라미가 있는 표기는 [그림 7] 왼쪽의 닫힌 표면적[체적을 모두 포함하는 표면적]을 의미한다.

[증명]

식 (2)를 증명하기 위해 [그림 5]와 같은 체적 차분 $\Delta V$[= $\Delta x \Delta y \Delta z$]를 고려한다. 당연히 차분 $\Delta V$의 극한은 미분소 $dv$가 된다.

[그림 5] 데카르트 좌표계상의 체적 차분

먼저 식 (2)의 우변을 차분 관점으로 $\Delta y \Delta z$ 평면에 대해 기술하면 식 (3)과 같다.

(3)

여기서 $\Delta y \Delta z$ 면적만 고려하기 때문에 벡터 성분은 $A_x$만 대입한다. 식 (3)의 극한을 취하면 식 (4)와 같은 미분소를 정의할 수 있다.

(4)

식 (3)은 면적 적분(surface integral) 관점으로 봐야 한다. 면적 적분에서 벡터가 향하는 방향은 항상 바깥쪽이다.[벡터 방향은 $x$축 왼쪽에서는 $-x$방향, $x$축 오른쪽에서는 $+x$방향으로 정한다.] 왜 이렇게 정하냐고? 수학자들이 한 약속이다. 그래서 면적 미분소 $d \bar a$의 방향은 항상 중심에서 바깥을 향하도록 정한다.

(5)

또한 면적 미분소는 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 방향이므로, 당연히 면적 미분소의 크기는 $yz$평면의 크기인 $\Delta y \Delta z$가 된다. 이 다음에 미분의 정의를 아래와 같이 도입한다.

(6)

(7)

또한 아래처럼 $A_x$를 테일러 급수(Taylor series)로 전개해서 식 (4)를 유도할 수도 있다. 하지만 식 (3)의 차분으로 충분한 증명이 되므로, 굳이 직관성이 떨어지는 테일러 급수 개념까지 쓸 필요는 없다.

(8)

차분 면적인 $\Delta z \Delta x$, $\Delta x \Delta y$에 대해서도 동일하게 적용하면 식 (9)를 얻을 수 있다.

(9)

식 (9)를 모든 체적에 대해 모두 모으면 적분이 되므로 식 (2)가 증명된다. 수학적으로 엄밀히 정의하려면 식 (3)에 대해 리만 적분을 적용해서 식 (4)를 거치지 않고 식 (10)과 같은 적분을 만들어야 한다.

(10)

식 (3)의 우변을 체적 적분하면 식 (10)이 얻어지므로 식 (2)의 좌변은 쉽게 증명된다. 하지만, [그림 4]와 같은 주어진 체적에 대한 표면 적분은 한 번 더 생각해야 한다. 이를 이해하기 위해 [그림 6]을 본다. 두 개의 체적 미분소를 합치면 그림에서처럼 체적이 두배가 된다. 하지만, 표면적은 원래 체적 미분소 표면적의 두 배가 되면 안되고[식 (2)의 우변은 체적 $v$를 둘러싼 전체 표면적 $s$에 대한 표면 적분이다.] 체적 미분소를 합친 [그림 6]의 우측에 그린 큰 직육면체의 표면적이 되어야 한다. 예를 들어 [그림 6]의 좌측 직육면체가 정육면체이고 한 면의 면적을 $1$이라 하면 좌측의 두 정육면체의 표면적은 $2 \times 6$ = $12$가 된다. 하지만, 우측의 직육면체의 표면적은 $10$이 되어야 한다. 즉, 단순히 표면적을 합치기만 해서는 이 문제를 해결할 수 없다. 그러면, 어떻게 해야 이런 표면적을 정의할 수 있을까?

[그림 6] 면적 적분의 영역 합성

이 고민을 해결하려 도입한 개념이 [그림 4]와 같이 표면적을 뚫고 나가는 면적 벡터이다. [그림 6]의 좌측에 있는 두 개의 체적 미분소는 화살표로 표시한 부분에서 서로 만나고 있다. 이 부분이 서로 상쇄가 되면 식 (2)의 우변이 증명된다. 위의 예시처럼 좌측 표면적 $12$가 우측 표면적 $10$[= $12 - 2$]이 되기 위해서는 서로 만나는 표면적 크기인 2가 없어지면 된다. 체적 미분소가 만나는 지점에서는 벡터 A의 크기와 방향이 같지만, 면적 벡터[녹색 화살표와 빨간색 화살표] 정의에 의해 그 벡터의 크기는 같고 방향은 서로 반대가 된다.[$\because$ 임의의 물체를 반으로 쪼개면 양쪽 단면적은 서로 같아야 한다.] 이 두 표면적을 서로 더하면 벡터적으로 상쇄가 되어 표면적에 기여하지 않으므로 식 (2)의 우변이 증명된다.

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발산 연산자(divergence operator) $\bar \nabla \cdot \bar A$는 기본적으로 미분 연산이라서, 벡터 함수 $\bar A$가 상수인 경우는 발산이 당연히 $0$이 된다. 하지만 상수 벡터의 발산이 $0$이라는 명제가 모든 좌표계에서 성립하지는 않는다. 왜냐하면 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서는 위치에 따라 단위 벡터 $\hat x, \hat y, \hat z$의 방향이 고정되지만, 다른 좌표계의 단위 벡터는 크기가 항상 $1$이지만 방향이 바뀌기 때문이다. 예를 들어, 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)의 $\hat \rho$를 이용해 $\bar A$ = $\hat \rho$ = $(1, 0, 0)$라고 둔다. 그러면 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $1/\rho \cdot \partial (\rho \cdot 1) / \partial \rho$ = $1/\rho$가 되어서 $0$이 되지 않는다. 이 개념은 발산의 기하학적 의미인 [그림 2]를 보면 당연하다. 단위 벡터 $\hat \rho$는 중심 $(0, 0, z)$에서 바깥으로 퍼져나가는 단위 벡터이므로, 내부에 존재하는 원천으로 인해 발산이 꼭 있어야 한다. 구 좌표계(spherical coordinate system)에도 같은 현상이 생긴다. 벡터 함수 $\bar A$ = $\hat r$ = $(1, 0, 0)$인 경우에 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $1/r^2 \cdot \partial (r^2 \cdot 1) / \partial r$ = $2/r$로 계산된다. 극고도각(polar angle)의 단위 벡터 $\hat \theta$를 $\bar A$ = $\hat \theta$ = $(0, 1, 0)$로 가정해도 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $1/(r \sin \theta) \cdot \partial (\sin \theta \cdot 1) / \partial \theta$ = $1/(r \tan \theta)$가 나온다. 즉, 단위 벡터의 방향에 따라서 상수 벡터의 발산이 $0$이 아닌 경우가 필연적으로 생긴다.

[그림 7] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

식 (2)의 발산 연산자의 적분을 정의할 때는 [그림 7] 왼쪽의 닫힌 표면적(closed surface)을 사용하고 회전 연산자의 적분을 정의할 때는 [그림 7] 오른쪽의 열린 표면적(open surface)을 사용한다.

발산 연산자가 $0$이 되는 벡터 함수 $\bar A$은 어떤 형태를 가질까? 아래에 이 의문에 대한 명쾌한 답이 있다. 아래 내용은 회전 연산자를 이해하지 못하면 따라갈 수 없으므로 회전의 의미를 먼저 읽어보아야 한다.

[발산 연산자의 영인자(零因子, nullity) ≡ 회전 연산자]

발산이 $0$인 벡터 함수는 반드시 회전 연산자로만 표현된다.

(11)

[증명]

발산 연산자의 영인자 특성에 의해 벡터 함수 $\bar A$가 어떤 벡터 함수 $\bar B$의 회전으로만 표현되면 당연히 $\bar A$의 발산은 $0$이 된다. 예를 들면 다음 식은 항상 참이다.

(12)

거꾸로 발산이 $0$이라면 이 벡터 함수는 회전 연산자로만 표현될까? 이 질문에 답하기 위해 먼저 문제를 단순화한다.

(13)

여기서 $\bar A$ = $(A_x, A_y, A_z)$, $\bar C$ = $(C_x, 0, 0)$, $\bar D$ = $(D_x, D_y, 0)$이다.

발산 연산자의 특성으로 인해 임의의 3차원 벡터 함수 $\bar A$는 2차원 벡터 함수 $\bar D$로 언제나 변경 가능하다. 그래서, 증명의 초점을 2차원 벡터 함수 $\bar D$로 한정한다.

(14)

여기서 $h(z, x)$는 편미분에 대한 적분 상수이다. 식 (14)에서 $D_x$ = $\partial g / \partial y$라 가정한다.

(15)

여기서 $g$ = $g(x, y, z)$이며 식 (14)의 적분 상수 $h(z, x)$는 고려하지 않는다. 다음으로 고려하지 않은 적분 상수 $h(z, x)$를 생각한다. $h(z, x)$는 어떤 벡터 함수 $\bar E$의 회전으로 표현할 수 있는가? 먼저 회전 연산자 정의인 식 (16)을 도입한다.

(16)

식 (16)에서 $\bar E$ = $(f, 0, 0)$이며 $f(z, x)$는 $z, x$의 함수라고 가정하면 $h(z, x)$ = $\partial f(z, x)/ \partial z$를 얻을 수 있다. 그러므로 식 (17)이 성립해서 발산이 $0$인 임의의 벡터 함수는 회전 연산자로만 표현할 수 있다.

(17)

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벡터 함수의 발산이 항상 0인 함수는 솔레노이드 벡터 함수(solenoidal vector function)라고 한다.

1. 기본(basics)

[발산 정리의 변형: 회전 연산자]

(1.1)

[증명]

임의 벡터 $\bar A$와 상수 벡터 $\bar C$에 대해 다음 발산 정리가 성립한다.

(1.2)

식 (1.1)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용한다.

(1.3)

(1.4)

그러면 아래 식이 항상 성립한다.

(1.5)

식 (1.5)의 셋째줄에서 임의의 상수 벡터와 내적(inner product)한 값이 항상 $0$이 되는 벡터는 영 벡터이므로 식 (1.1)이 반드시 성립해야 한다.

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식 (2)에 제시한 벡터의 발산 정리는 다이애드(dyad)로 확장될 수 있다. 먼저 다이애드의 발산을 다음처럼 정의한다.

[다이애드 발산 연산자]

(1.6)

(1.7)

전자파 분야에서 사용하는 다이애드는 두 벡터를 나열해 쓰기보다 다음과 같은 단일 표기법으로 주로 정의한다.

(1.8)

식 (1.8)의 성분으로 식 (1.6)을 다시 정의하면 다음과 같다.

(1.9)

여기서 $\bar D^{(i)}$ = $\bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$이다. 식 (2)의 좌변을 다이애드로 바꾸어 식 (1.9)를 대입하면 다이애드에 대한 발산 정리를 새롭게 증명할 수 있다.

[다이애드 발산 정리]

(1.10)

[발산 정리의 변형: 구배 연산자]

(1.11)

여기서 $\hat n$은 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 단위 벡터이다.

[증명]

식 (1.1)과 유사하게 증명을 진행한다. 상수 벡터 $\bar C$와 스칼라 함수 $f$에 대해 발산 정리를 적용하면 다음과 같다.

(1.12)

식 (1.12)를 $\bar C$에 대해 정리한다.

(1.13)

임의의 상수 벡터와 내적한 값이 항상 $0$이 되는 벡터는 영 벡터이므로 식 (1.11)이 성립한다.

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[발산 정리의 변형: 다이애드 구배 연산자]

(1.14)

여기서 $\bar \nabla \bar \nabla$는 다이애드를 생성하는 다이애드 구배(dyadic gradient)이다.

[증명]

상수 벡터 $\bar C$를 대입해 $\bar{\bar{D{}}}$ = $\bar C \bar \nabla f$라 두면 식 (1.10)은 다음과 같이 변환된다.

(1.15)

식 (1.15)를 $\bar C$에 대해 정리한다.

(1.16)

임의의 상수 벡터와 내적한 값이 항상 $0$이 되는 다이애드는 영 다이애드이므로 식 (1.14)가 성립한다.
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식 (1.10), (1.14)에 나온 다이애드는 부차적인 표기법이라 생각할 수도 있지만, 벡터 미적분의 연산 공식을 간단하게 만들어주는 매우 고마운 개념이다.

[참고문헌]

[1] C. F. Gauss, Theoria Attractionis Corporum Sphaeroidicorum Ellipticorum Homogeneorum Methodo Nova Tractata (The Theory of Attraction of Homogeneous Spherical and Elliptical Bodies: A New Method Treated), 1813.

[다음 읽을거리]

좋은 논문 쓰는 법과 좋은 발표법

- 사이먼(Simon Peyton-Jones)이 제시한 좋은 논문쓰는 방법

- 사이먼이 제시한 좋은 발표 방법

- Advice on Research and Writing

위 링크를 보면 좋은 논문 쓰는 법과 좋은 발표법이 잘 소개되어 있다.

[좋은 논문 쓰는 법]

1. 내가 쓴 논문이 전자파 학계 발전에 조그마한 기여라도 할 수 있는가? 내 논문으로 인해 사소하지만 새로운 전자파 지식이 계속 쌓여가고 전자파의 응용 분야를 계속 넓혀갈 수 있는가?

2. 내가 쓴 논문이 읽는 사람들에게 조금이라도 좋은 영향을 줄 수 있는가?

3. 내가 가진 좋은 생각(idea)을 읽는 사람들에게 할 수 있는 한 정직하게 전달하고 있는가?

4. 논문을 작성할 때는 본문을 먼저 써야 한다.

본문을 읽고 또 읽어 사소한 실수 하나라도 없도록 완벽하게 만들어야 한다. 나의 사소한 실수로 인해 이 논문을 읽는 사람이 문제를 발견하기까지 한 달이상의 시간을 소비할 수도 있다.

5. 본문이 완성되면 결론을 작성한다.

결론에서는 내가 본문에서 제시한 해결책의 요약과 내가 제시한 해결책으로 인해 얻어질 수 있는 중요하고 풍성한 부산물(결과물)을 할 수 있는 한 정직하게 소개한다. 물론 결론이 길면 안된다. 너같으면 그 장황한 결론을 읽어보겠는가?

6. 결론 작성후 서론을 작성한다.

내 문제가 중요하다는 것을 서론에 밝히기 위해 내가 이해한 연구 주제의 정확한 의미, 중요한 특성들, 시스템의 장단점, 적용 가능한 응용 범위, 관련된 이론적 기반 등을 짧지만 독자들이 이해할 수 있게 쓴다.

다음에 내가 신문편집장인 것처럼 중요한 선행 연구들만 추려서 짧지만 독자들이 이해할 수 있게 쓴다. 선구자들의 논문을 선별해서 할 수 있는 한 정직하게 참고 문헌에 집어넣어야 한다. 즉, 내 논문 주제를 선행 연구한 학자들을 찾아내어 정직하게 그들의 이름을 높이고 찬사를 보내야 한다. 이는 언젠가 그들이 내 이름을 높일 것이기 때문이다.

내 문제의 중요성을 밝혔으면 내가 본문에서 제시할 새로운 해결책을 짧지만 자세하게 써야 한다. 독자들은 서론까지 읽을 인내심밖에 없다. 독자들은 서론이 좋아야 본문까지 읽을 생각을 한다. 또한, 독자들은 나보다 이 주제를 모르기 때문에 독자들이 이해할 수 있도록 짧으면서도 쉽게 써야 한다. 해결책 전부를 서론에 제시하면 안된다. 내가 제시한 해결책이 매력적이라는 냄새만 서론에서 풍기고 진짜 하고 싶은 말은 본문에서 해야 한다.

7. 초록은 가장 마지막에 쓴다.

왜냐하면 초록은 논문 요소 중에서 가장 중요하기 때문이다. 연구자들은 바쁘다. 매우 바쁘다. 내게 필요한 논문인지 아닌지는 초록으로만 판단할 수밖에 없다. 초록은 최대한 짧으면서도 구체적으로 논문의 모든 내용을 포함해야 한다. 초록에 쓸 수 있는 것은 내가 고민한 문제가 무엇인지, 이 문제가 왜 재미있는 것인지, 내가 찾은 해결책이나 결과물은 무엇인지 등이다.

8. 논문은 포도주와 같아서 숙성 기간이 반드시 필요하다. 일주일 동안 열심히 논문 작성한 후 바로 학회에 보내는 것은 책임감 없는 행동이다. 읽고 또 읽어서 독자들이 보기에 부족한 부분을 논문에 채워넣어야 한다. 할 수 있다면 다른 연구자에게 보여주어 내 논문의 문제점을 지적받아야 한다.

9. 논문심사자들의 의견을 보석과 같이 소중하게 생각해야 한다. 내가 싫어서 내 논문에 딴지를 거는 것이 아니다. 심사자들도 귀한 시간을 내어 소중하고 긍정적인 의견을 제시한 것이다.

도대체 내가 왜 얼굴도 모르는 독자들을 위해 이 고생을 해야 하는가? 그 얼굴 없는 독자들이 나에게 다양한 의견을 제시해 결국에는 내 연구의 품질을 높이기 때문이다.

[좋은 발표법]

1. 학술대회 발표는 내가 가진 좋은 생각을 정직하고 신실하게 광고하기 위해서이다. 나의 열정적인 거품무는 발표를 보고 청중이 내 논문을 읽도록 만들어야 한다.

2. 발표는 처음 1분이 제일 중요하다. 먼저 내 연구주제의 중요성을 이 1분 동안 최대한 간결하지만 열정적으로 알려서 청중들을 깨어나게 해야한다. 그렇지 않으면 나머지 14분동안 청중들은 매우 편안하게 잘 것이다. 내 연구주제의 중요성(20% = 3분)을 제시한 후 나머지 시간동안 내가 가진 해결책(80% = 12분)을 구체적으로 제시해야 한다.

3. 발표에서 청중들은 한가지 밖에 기억 못한다. 그 한가지가 무엇이 되어야 하는지 나는 반드시 고민해야 한다. 내가 가진 지식을 장황하게 자랑하는 것은 청중에게 도움이 되지 못한다. 연구주제의 중요성을 알리기 위해 넓게 이야기할 수는 있으나 해결책을 제시할 때는 좁지만 깊게 들어가서 이야기해야 한다.

4. 발표에서 선행연구는 언급할 필요가 없다. 청중은 이런 재미없는 이야기를 들을 만큼 한가하지도 힘이 넘치지도 않는다. 청중은 내가 직접 한 따끈따끈한 연구 이야기를 듣고 싶어한다.

5. 발표 중간 중간에 청중에게 질문을 하라. 답을 듣지는 못하더라도 잠자는 청중들을 깨울 수 있고 내 연구주제의 중요사항을 질문을 통해 청중에게 전달할 수 있다.

6. 발표 초반에 발표 순서를 제시하지 말라. 처음 1분이 중요하다고 누누이 강조했다. 이 귀중한 1분을 왜 의미도 없는 발표순서 제시에 써야 하는가? 발표순서를 소개하는 것은 내 발표를 더 재미없게 만들 뿐이다.

2010년 7월 21일 수요일

구배(勾配, Gradient)의 의미

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구배의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 완전 미분
3. 좌표계 기반 벡터
4. 적분법의 의미
5. 벡터 미적분학

이름도 좀 생소한 구배(勾配, gradient)는 스칼라 함수의 기울기를 3차원에서 얻기 위한 연산자이다. 수학에서 연산자라 하면 미분, 적분 등이 생각나기 때문에 매우 어려울 것 같지만 기울기의 개념만 제대로 알고 있으면 구배 개념도 어렵지 않다. 구배를 수학적으로 정의하면 식 (1)이 된다.

(1a)

(1b)

여기서 삼각형이 뒤집어진 표시 $\nabla$는 델(del: 델타 Δ와 비슷) 혹은 나블라(νάβλα, nabla: 하프와 비슷하게 생긴 고대 이스라엘과 그리스의 현악기 모양)라고 읽는다.

[그림 1] 나블라의 연주 모습(출처: wikipedia.org)

3차원에서 정의된 스칼라 함수[입력이 3차원의 점이고 출력이 스칼라인 함수]를 $x, y, z$에 대해 편미분하고 이 값을 벡터로 만들면 구배 연산자이다. 미분법에서 소개한 대로 미분의 의미 중 하나가 기울기 구하기이다. 혹은 꼭대기를 찾아가는 방향을 알려주는 연산이 미분이다. 이 개념을 이해하고 있으면 식 (1)은 쉽게 이해된다. 더욱 명시적으로 보기 위해 [그림 2]을 고려한다. 위쪽에 색깔로 표현한 그림이 독립 변수가 2차원인 스칼라 함수 $f(x, y)$이다. 이 함수에 식 (1)의 구배 연산자를 적용하면 [그림 3]와 같은 기울기 특성을 구해낼 수 있다.

[그림 2] 3차원 공간에 적용한 구배 연산자

[그림 3] 2차원 공간에 투영한 기울기 특성

[그림 3]처럼 구배 연산자가 만들어낸 벡터를 따라가면 함수 $f(x, y)$의 최고점에 감을 볼 수 있다. 이 점은 [그림 2]와 [그림 3]을 동시에 보면 쉽게 알 수 있다. 이런 관찰을 통해 구배 연산자의 의미를 정상[꼭대기] 검출기(頂上檢出器, peak detector)로 정할 수 있다. 즉, 임의의 스칼라 함수에 정상 검출기[혹은 구배 연산자]를 갖다 대면 이 함수의 꼭대기를 찾는 방향을 알려준다. 이 개념이 어려우면 [그림 3]의 그림을 다시 본다. 어떤 위치에서든지 화살표를 따라가면 정상에 갈 수 있다.

[그림 4] $f(x)$ = $-x^2$에 정상 검출기 적용

좀더 쉽게 생각하기 위해 정상 검출기의 개념을 1차원에 적용하면 [그림 4]와 같다. $x$가 $0$보다 작은 지점에서 미분하면 [그림 4]처럼 미분값은 항상 양수이다. 이 미분값에 $x$의 단위 벡터(unit vector)를 곱하면 당연히 구배가 향하는 방향은 $x$축 방향[녹색 화살표]이다. $x$가 $0$보다 크면 미분값은 항상 음수가 되어 구배 연산자는 $x$축의 반대 방향[빨간색 화살표]을 가리킨다. 따라서, [그림 4]을 종합적으로 보면 녹색 화살표와 빨간색 화살표가 가리키는 방향은 함수 $f(x)$의 꼭대기 쪽이 된다.

A line integral sums together elements along a...

[그림 5] 선 적분의 개념(출처: wikipedia.org)

구배 연산자가 완전 미분과 결합되면 매우 재미있는 결과가 얻어진다.

(2)

여기서 벡터 $d \bar l$은 선 미분소(線微分素, differential line)이다. 선 미분소는 방향을 가진 매우 작은 선분의 극한이다. 식 (2)처럼 완전 미분 $df$는 스칼라 함수 $f$의 구배와 선 미분소의 내적으로 표현할 수 있다. 식 (2)를 선 적분(線積分, line integral)하면 식 (3)을 얻을 수 있다.

(3)

선 적분은 [그림 5]처럼 주어진 선[그림 5에서 파란색 곡선]을 따라 적분 하기이다. 식 (3)는 적분 경로에 관계없이 공간 벡터 $\bar r_1, \bar r_2$가 결정되면 적분값이 같음을 의미한다. 이 조건이 성립하면 적분 경로는 우리가 편한대로 택하면 된다.

[그림 6] 벡터 함수의 개념(출처: wikipedia.org)

식 (3)처럼 피적분 함수가 벡터 함수[입력이 3차원의 점이고 출력이 벡터인 함수]이고 내적 개념으로 적분하는 방식은 선 적분 경로를 따라 나타나는 벡터 함수의 출력 중에서 선 적분 경로의 방향과 일치하는 성분[바로 내적 개념]만 모으는 적분이다. [그림 6]은 벡터 함수의 개념을 설명한다. 예를 들어 [그림 6]과 같이 구 표면상에 3차원 점이 정의되어 있고 각 점에 대해 빨간색 벡터가 출력으로 정의되어 있으면 벡터 함수라고 한다.

만약 공간 벡터 $\bar r_2$ = $\bar r_1$이면[시작점과 끝점이 같으면], 식 (4)가 성립한다.

(4)

여기서 적분 기호에 동그라미가 있는 기호는 적분의 시작점과 끝점이 같다는 의미이다. 식 (4)가 성립하면 적분 경로에 관계없이 $0$이 되므로 수학적으로 아름다운 결과가 된다.

구배 연산자는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 보여준다. 그러면 구배가 표현하는 방향에 수직인 방향은 스칼라 함수가 변하지 않는 방향[벡터 $\bar t$로 정의]이 되어야 한다.[혹은 미분 개념으로는 기울기가 $0$이 되는 지점이다. 이 점에서 함수값은 최대나 최소가 된다.] 내적 개념으로 접근하면 이런 특성은 식 (5)로 표현할 수 있다.

(5)

스칼라 함수 $f$가 변하지 않는 방향이 벡터 $\bar t$임을 표현한 식 (5)를 어떻게 증명할까? 어렵지 않다. 완전 미분을 적용하면 쉽게 식 (5)가 증명된다. 벡터 $\bar t$의 방향을 바꾸지 않으면서도 그 크기를 줄이기 위해 선 미분소 $dl$을 곱한다.