[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 곡률"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 주곡률(principal curvature)을 정의하는 방법(출처: wikipedia.org)
[그림 2] 3차원 곡선의 곡률을 정의하는 방법(출처: wikipedia.org)
[그림 2]처럼 3차원 곡선(curve)의 곡률(curvature)을 정의하는 방법을 잘 이해하고 있다면, 3차원 표면(surface)을 표현하는 곡률을 [그림 1]과 같이 새롭게 만들 수 있다. 곡선의 곡률은 특정 위치 $\bar r(t)$에서 접선(tangent) $\bar T$를 긋고, 단위 접선 벡터(unit tangent vector) $\hat T$가 $\bar r(t)$ 근방에서 변하는 비율로 곡률 $\kappa$를 계산한다. 이 개념을 3차원 표면으로 확대하는 방식은 [그림 1]에서 볼 수 있다[1], [2]. 접선을 표면으로 확장한, 표면에 접하는 접평면(tangent plane)을 우선 생각한다. 이 접평면을 나타내는 단위 법선 벡터(unit normal vector)도 필요하다. 우선 2차원인 표면을 가리키는 위치 벡터 $\bar r(u, v)$를 생각한다. 여기서 $u,v$는 서로 독립인 매개변수이다. 이 위치 벡터의 미분 $d \bar r(u,v)$로 2가지 접선 벡터 $\bar T_u$와 $\bar T_v$가 생기며, 단위 법선 벡터 $\hat N$도 만들어진다.
(1)식 (1)을 써서 곡선의 법곡률 관계식에 따라 법곡률 $\kappa_n$이 접선 및 법선 벡터로 공식화된다.
(2)여기서 표면에 있는 어떤 곡선[그림 1에서 빨간색 파선]의 매개변수는 $t$, $s$는 $t$ = $0$부터 잰 호의 길이(arc length), $\hat T$ = $d \bar r \mathbin{/} ds$는 $t$를 따라가는 단위 접선 벡터이다. 그러면 식 (2)에 따라 $\kappa_n$이 간략화된다.
(3)여기서 $\hat T \cdot \hat N$ = $0$이다. 식 (3)에서 유도한 분모와 분자를 각각 제1 기본 형식(the first fundamental form) $\mathrm{I}(u, v)$와 제2 기본 형식(the second fundamental form) $\mathrm{I\!I}(u, v)$으로 이름 붙임으로써 법곡률 $\kappa_n$을 단순화시킨다.
(4)[참고문헌]
[1] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, 2nd ed., London, UK: Springer-Verlag, 2001.
[2] M. M. Lipschutz, Schaum's Outline of Theory and Problems of Differential Geometry, New York, NY, USA: McGraw-Hill, 1969.
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