조금은 느리게 살자: 자기 회로(Magnetic Circuit)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기 회로"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 자성체로 구성한 자기 회로의 예시(출처: wikipedia.org)

B: 자성체 내부, C: 자성체 외부, G: 공극(air gap), $B_L$: 누설 자속 밀도(leakage flux density), $B_F$: 가장자리 자속 밀도(fringing flux density)

금속 도선에 전압을 가해 전류를 만들어서 제어하는 전기 회로(electrical circuit)와 유사하게 자속(magnetic flux)을 자성체(magnetic material) 속에서 통제하는 회로를 자기 회로(magnetic circuit)로 부른다. 전기 회로의 전류를 전압원이 만드는 것처럼, 자기 회로에서 [그림 1]에 보인 초록색 자속은 빨간색 전류 다발을 생성한다. 전류 다발의 공식 명칭은 암페어-횟수(ampere-turn)[단위: A⋅t]이다. 암페어-횟수의 단위는 A⋅t이지만, CGS 단위인 길버트(gilbert, Gb)도 가끔씩 쓰인다. 길버트는 자기장과 길이의 CGS 단위인 외르스테드(oersted, Oe)와 cm로 정의한다.

(1)

여기서 마지막에 등장한 t는 길버트가 감은 횟수(number of turns)를 포함함을 강조한다.

전기 회로의 KCL(키르히호프 전류 법칙, Kirchhoff Current Law)과 KVL(키르히호프 전압 법칙, Kirchhoff Voltage Law)처럼 자기 회로의 핵심 구성 요소인 자속 $\Phi$과 암페어-횟수 $NI$에 대한 법칙이 존재한다. 먼저 자기 회로의 자속 법칙(flux law)은 비오–사바르의 법칙(Biot–Savart's law)으로 유도한다.

(2)

여기서 $s$ = $\sum_{n=1}^N s_n$; $s_n$은 $s$를 상보적으로 형성하는 $n$번째 조각 표면적이다. 자기 회로의 암페어-횟수 법칙(ampere-turn law)은 암페어의 법칙(Ampere's law)에서 출발한다.

(3)

여기서 $c$ = $\sum_{n=1}^N c_n$; $U$는 전기 회로의 전압에 해당하는 자압(磁壓, magnetic pressure) 혹은 자위(磁位, magnetic potential)이다.

이번에는 전기 회로의 옴 법칙(Ohm's law)에 대응하는 자기 회로에 대한 롤런드의 법칙(Rowland's law)을 유도한다. 롤런드Henry Augustus Rowland(1848–1901)는 이 법칙을 1873년롤런드 25세, 조선 고종 시절에 제안했다[1]. 식 (3)에 나온 자기장 $\bar H$를 변형해서 자속 $\Phi$로 만든다.

(4a)

여기서 $\Phi$ = $B \cdot A$; $A$는 자속이 지나는 단면적, $\bar B$의 방향을 $d \bar l$과 일치되게 맞추며, 식 (2)의 자속 법칙에 따라 $\Phi$는 회로상에서 일정하다. 식 (4a)의 마지막식에 나온 항을 저항(resistance)처럼 생각해서 자기 저항 혹은 릴럭턴스(reluctance, magnetic resistance) $\mathcal{R}$[단위: t/H]로 정의한다.

(4b)

여기서 $l$은 자기 회로의 길이, $\mathcal{F}$는 전기 회로의 기전력(electromotive force, emf)에 대응하는 자기 회로의 자기장을 일으키고 유지하는 기자력(起磁力, magnetomotive force, mmf)이다.

[그림 2] 롤런드의 법칙에 대한 자압 $U$의 극성과 자속 $\Phi$의 방향 정의

다시금 저항에서 유추해서 자기 저항에 대한 자압 극성과 자속 방향을 정의한다. 전압이 높은 곳에서 낮은 곳으로 전류가 흐른다는 선택처럼 자압이 높은 지점에서 낮은 지점으로 자속이 형성되고 [그림 2]처럼 흐름을 만든다고 가정한다. 다만 저항과 자기 저항의 물리적 성질은 분명히 다르다. 저항은 열 손실을 만들기 때문에 저항이 있는 전기 회로는 전력을 항상 소비한다. 그러나 자기 저항은 자성체 내부에 자속 밀도를 특정 방향으로 만들 뿐이지 전력 손실을 만들지 않는다. 외부에서 공급한 기자력이 없어지면, 자화가 사라지며 용수철(spring)처럼 자기가 받은 에너지를 외부로 다시 돌려준다.

자기 저항의 역수는 자기 컨덕턴스 혹은 퍼미언스(permeance or magnetic conductance) $\mathcal{P}$[단위: H/t]로 정의한다.

(5)

자기 저항 $\mathcal{R}$은 저항 $R$과 너무 닮아있기 때문에 저항 공식처럼 자속 $\Phi$에 대해 직렬과 병렬로 된 자기 저항 공식이 존재한다.

[그림 3] 직렬로 된 자기 저항: $\Phi$는 일정, $U$는 변화 가능(그림 출처: wikipedia.org)

[직렬로 된 자기 저항]

(6)

[증명]

자기 회로가 직렬로 연결되어서 자기 회로를 지나는 자속 $\Phi$는 어디서나 같다. 그러면 암페어-횟수 법칙과 롤런드의 법칙에 의해 $\mathcal{F}$ = $U_1 + U_2 + \cdots + U_n$ = $\Phi \mathcal{R}_1 + \Phi \mathcal{R}_2 + \cdots + \Phi \mathcal{R}_n$ = $U_\text{eq}$ = $\Phi \mathcal{R}_\text{eq}$가 성립한다. 이를 $\mathcal{R}_\text{eq}$에 대해 정리하면 식 (6)이 얻어진다.

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[그림 4] 병렬로 된 자기 저항: $U$는 일정, $\Phi$는 변화 가능(그림 출처: wikipedia.org)

[병렬로 된 자기 저항]

(7)

[증명]

자기 회로의 마디(node)에서는 자속이 분배되므로, 자속 법칙을 이용하면 $\Phi_\text{eq}$ = $\Phi_1 + \Phi_2 + \cdots + \Phi_n$을 얻는다. 또한 병렬 자기 회로를 구성하는 폐로(loop)에는 기자력이 없어서 $\oint_c \bar H \cdot d \bar l$ = $0$이 성립하므로 자압이 어느 곳에서든 $U$로 같다. 이 결과에 롤런드의 법칙인 $\Phi_i$ = $U / \mathcal{R}_i$, $\Phi_\text{eq}$ = $U / \mathcal{R}_\text{eq}$를 대입해서 식 (7)을 유도한다.

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자기 회로 개념은 자성체 특성을 분석하기 편하게 도와준다. 예시로서 공극(air gap)이 존재하는 [그림 5]의 간단한 자기 회로를 고려한다.

[그림 5] 미세한 공극을 가진 자성체: 파란색은 자성체, 초록색은 공극(출처: wikipedia.org)

[그림 5]의 자기 회로는 회로상에서 자속이 유출되지 않고 곡선상에서 계속 연결되므로, 자속 $\Phi$ 기준으로 직렬이다. 넣어준 기자력을 $\mathcal{F}$ = $NI$로 두면 자성체를 돌고있는 자속은 식 (6)을 활용해 결정된다.

(8)

여기서 $\mathcal{R}_1$ = $l_1 \mathbin{/} (\mu A)$, $\mathcal{R}_2$ = $l_2 \mathbin{/} (\mu_0 A)$; 자성체와 공극의 단면적은 $A$로 동일하게 가정한다. 투자율이 $\mu \gg 1$인 강자성체(ferromagnet)인 경우, 자성체에 존재하는 자속 밀도와 자속은 기자력과 공극에 의해 거의 $B$ $\approx$ $\mu_0 NI \mathbin{/} l_2$, $\Phi$ $\approx$ $BA$처럼 정해진다.

[표 1] 자기 회로와 전기 회로의 비교

자기 항목	자기 회로	전기 항목	전기 회로
자압 (magnetic pressure)	$U_{BA}$ = $U_B - U_A$ = $-\int_A^B \bar H \cdot d \bar l$	전압 (voltage)	$V_{BA}$ = $V_B - V_A$ = $-\int_A^B \bar E \cdot d \bar l$
자속 (magnetic flux)	$\Phi$ = $\int_s \bar B \cdot d \bar a$	전류 (electric current)	$I$ = $\int_s \bar J \cdot d \bar a$
자기 저항 (reluctance)	$\mathcal{R}$ = $\frac{l}{\mu A}$ - 자기 컨덕턴스(permeance): $\mathcal{P}$ = $\frac{1}{\mathcal{R}}$	저항 (resistance)	$R$ = $\frac{l}{\sigma A}$ - 컨덕턴스(conductance): $G$ = $\frac{1}{R}$
롤런드의 법칙 (Rowland's law)	$\Delta U$ = $\Phi \mathcal{R}$	옴의 법칙 (Ohm's law)	$\Delta V$ = $IR$
기자력 (magnetomotive force, mmf)	$\mathcal{F}$ = $NI$	기전력 (electromotive force, emf)	$v_\text{emf}$ = $- \frac{d \Phi}{dt}$
자속 법칙 (flux law)	$\sum_{n=1}^N \Phi_n$ = $0$	KCL (Kirchhoff Current Law)	$\sum_{n=1}^N I_n$ = $0$
암페어-횟수 법칙 (ampere-turn law)	$\sum_{n=1}^N U_n -\mathcal{F}$ = $0$	KVL (Kirchhoff Voltage Law)	$\sum_{n=1}^N V_n -v_\text{emf}$ = $0$