[경고] 아래 글을 읽지 않고 "코사인 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 지수 적분2. 사인 적분
[그림 1] 코사인 적분(출처: wikipedia.org)
식 (1)에 있는 사인 적분(sine integral)의 정의를 이용해 식 (2)의 코사인 적분 $\text{ci}(\cdot)$(cosine integral)을 새롭게 만들어 보자.
(1)
(2)
식 (1)의 사인 적분은 다음과 같은 미분 방정식(differential equation)을 만족했다. 코사인 적분도 동일한 미분 방정식을 만족할까?
(3)
사인 적분에 대한 미분 방정식 증명과 마찬가지로 코사인 적분도 여러 번 미분을 해서 관계식을 만들어보자.
(4)
식 (4)에 의해 코사인 적분도 사인 적분과 동일하게 아래 미분 방정식을 만족한다.
(5)
식 (1), (2)와 같은 정의는 적분의 점근식(asymptote)을 유도할 때 유용하다. 따라서, 코사인 적분의 경우에도 사인 적분 유도 때와 동일한 방법으로 점근식을 만들어보자.
(6)
그러면 최종 점근식은 다음처럼 표현된다.
(7)
식 (2)처럼 코사인 적분 구간을 $x$에서 무한대로 정의할 수도 있지만, 0에서 $x$까지로도 정의할 수 있다. 하지만 $x$가 0 가까이로 가면 발산하는 문제가 있다. 이 특성은 다음처럼 증명할 수 있다.
(8)
그래서 0에서 $x$까지 가는 적분으로 코사인 적분을 정의하려면 특별한 조치가 필요하다. 이 과정을 위해 먼저 아래 지수 적분(exponential integral)을 생각하자.
(9)
(10)
(11)
[그림 2] 로그 함수를 위한 가지 자름
그러면 복소 평면에서 지수 적분은 다음으로 표현할 수도 있다.
(12)
신기하게도 복소 영역에서 지수 적분은 사인 적분(sine integral)과 코사인 적분의 합으로 표현된다. 식 (12)의 정의식을 식 (10)에 대입해 정리해보자.
(13)여기서 $x > 0$이다. 만약 $x < 0$인 경우는 식 (13)과 비슷하게 증명해서 $E_1(ix)$ = $-\operatorname{ci}(x) - i \operatorname{si}(x)$를 얻을 수 있다.
그러면 코사인 적분은 다음처럼 새롭게 정의될 수도 있다.
(14)
식 (14)처럼 코사인 적분이 0에서 $x$로 정의된 경우는 소문자가 아닌 대문자를 이용해 $\text{Ci}(\cdot)$로 표현한다. 특히 식 (14)에 있는 적분을 강조하여 코사인 적분 $\text{Cin}(\cdot)$(Cosine integral)을 다음처럼 표현하기도 한다.
(15)
(16)
코사인 적분을 표현하는 이름이 $\text{ci}(x), \text{Ci}(x), \text{Cin}(x)$와 같이 다양함도 꼭 기억하자.
1. 기본(basics)
[대칭성(symmetry)]
(1.1)
(1.2)여기서 $x > 0$이다.
[증명]
식 (16)과 [그림 2]에 있는 로그 함수의 가지 자름을 고려해서 다음처럼 유도한다.
(1.3)______________________________
[참고문헌]
[1] C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer, 1999.
[2] J. D. Mahony, "On alternative evaluation of the integrals $\text{Cin}(z)$ and $\text{Si}(z)$," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 56, no. 2, pp. 156–160, April 2014.
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