다이폴 안테나(Dipole Antenna)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "다이폴 안테나"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 가장 쉬운 안테나 이론
2. 안테나의 복사 저항
3. 헤르츠 다이폴

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다이폴 안테나(dipole antenna)는 실제로 사용할 수 있는 안테나(antenna) 중에서 기하학적으로 가장 단순하며 가장 부피가 작은 안테나이다. 이론적으로 가장 단순하며 작은 안테나는 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)이지만 안테나 공진(resonance)이 거의 일어나지 않아 실제로는 사용할 수 없다.

[그림 1] 반파장 다이폴 안테나의 구조(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 반파장 다이폴 안테나의 실제 모습(출처: wikipedia.org)

다이폴 안테나는 존재하는 안테나 중에서 기하학적으로 가장 단순하지만 안테나 복사 문제가 쉽게 풀린다는 뜻은 아니다. 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894) 이후 많은 연구자들이 다이폴 안테나 문제를 풀었지만 아직은 정확한 답을 알지 못한다[1]–[3].

[그림 3] 헤르츠 다이폴 안테나

그래서, 식 (1)과 (2)에 있는 헤르츠 다이폴의 전자기장을 이용하여 다이폴 안테나의 전자기장을 근사적으로 계산한다.

                          (1)

                          (2)

즉, [그림 4]처럼 다이폴 안테나를 가장 작은 안테나인 헤르츠 다이폴을 이용해 표현한다.

[그림 4] 헤르츠 다이폴을 이용한 다이폴 안테나의 근사

그러면 굳이 다시 맥스웰 방정식을 풀 필요없이 식 (1)과 (2)에 제시한 안테나 식으로 다이폴 안테나의 전자기장을 모두 표현할 수 있다.

                          (3)

                          (4)

식 (4)에 있는 벡터 $\bar R$은 [그림 4]에 제시되어 있다. 각 헤르츠 다이폴이 만드는 전자기장을 표현하는 벡터 $\bar R$은 다음 공식으로 정의한다.

                          (5)

쉽게 생각하면 벡터 $\bar R$은 원점이 $(0, 0, z')$에 있는 구 좌표계(spherical coordinate system)의 위치 벡터(position vector)이다. 벡터 $\bar R$의 복잡성으로 인해 식 (3)과 (4)를 적분하기는 매우 어렵다. 더군다나 $z'$ 지점의 전류값 $I(z')$도 모르는 상태이다. 그래서 식 (3)과 (4)에 원역장 조건(far-field condition)을 다음처럼 적용한다.

                       (6)

원역장 조건은 기하학적으로 다음처럼 간단하게 생각할 수 있다.

[그림 5] 원역장 조건의 기하학적 의미

중앙의 검정색 화살표 길이를 기준으로 보자. 그러면 주황색 화살표 길이는 검정색보다 $d \cos \theta$만큼 짧아진다. 바다색 화살표는 검정색보다 $d \cos \theta$만큼 길어진다. 이를 수식적으로 표현하면 식 (6)이 된다. 우리 경우에는 식 (7)처럼 간단하게 원역장 조건을 기술할 수 있다.

                       (7)

                       (8)

그러면 원역장에서 $\Theta$ = $\theta$, $\Phi$ = $\phi$가 성립하여 벡터 $\bar R$의 단위 벡터는 벡터 $\bar r$의 단위 벡터와 동일하다. 그러면 식 (3), (4)는 원역장에서 다음처럼 간단하게 표현된다.

                       (9a)

                       (9b)

여기서 $I_m$은 안테나에 흐르는 최대 전류이다. 식 (9)에서 재미있는 함수는 안테나 복사 패턴(antenna radiation pattern) $P(\theta)$이다.

                       (10)

식 (10)은 전류 분포(current distribution)의 푸리에 변환(Fourier transform)이 복사 패턴이 됨을 뜻한다. 예를 들어, 전류 분포가 공간상에 광범위하게 분포되어 있으면, 복사 패턴은 매우 날카로워진다. 혹은 전류 분포가 헤르츠 다이폴처럼 매우 작은 경우는 복사 패턴이 각도에 대해 거의 일정해진다. 식 (10)을 정확히 계산하려면 다이폴 안테나의 전류 분포 $I(z')$를 알아야 한다. 하지만 정확한 전류 분포는 알 수가 없어 다이폴 안테나의 경계 조건(boundary condition)을 이용한다.  즉, $z'$ = $l/2$에서 전류가 0임은 확실하다. 그래서 전류 분포를 다음처럼 가정한다.

                       (11)

식 (11)로부터 $z'$ = $0$[안테나 입력부]에서 전류가 최대가 되기 위해서는 [그림 4]의 다이폴 길이 $l$이 반파장(half wavelength)이 되어야 한다. 그래서 보통 다이폴 안테나라고 하면 반파장 길이를 의미한다. 식 (11)을 식 (10)에 대입하여 다이폴 안테나의 복사 패턴 $P(\theta)$을 구해보자.

                       (12a)

                       (12b)

여기서 $\operatorname{Sa}(x)$는 표본화 함수(sampling function)이다. 식 (12a)에서 $\theta$ = $0, \pi$일 때는 특이점(singular point)이 될 것 같지만, 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule)을 이용해 계산해 보면 $\theta$ = $0, \pi$의 복사 패턴은 유한하게 잘 정해진다. 다른 관점으로 식 (12b)를 봐도 표본화 함수의 성질에 의해 $\theta$에 대한 특이점은 전혀 없다.

                       (13)

식 (13)은 매우 중요한 의미를 가진다. 즉, 다이폴 안테나는 주파수나 안테나 길이에 관계없이 어떤 경우에도 안테나가 놓인 방향으로 전자파를 복사하지 않는다. 반파장 다이폴 안테나(half-wave dipole antenna)는 복사 패턴이 다음처럼 굉장히 간단해진다.

                       (14)

다이폴 안테나의 복사 패턴 최대값을 찾기 위해 식 (12)를 $\theta$에 대해 미분한다.

                       (15)

식 (15)를 $0$으로 만드는 각도 중의 하나는 $\theta$ = $\pi/2$이다. 이 각도에서 $P(\theta)$는 최대값 혹은 최소값을 가질 수 있다.

                       (16)

각도 $\theta$ = $\pi/2$의 근방에 대해 식 (12)를 변화시켜보면, $l \le 3 \lambda /2$에 대해 $P(\theta)$의 최대값은 항상 $\theta$ = $\pi/2$이다. 안테나 길이 $l$이 $3 \lambda /2$보다 커지면 $\theta$ = $\pi/2$의 복사 패턴은 작아지기 시작한다. 왜냐하면 $\cos(kl/2) \ge 0$에 의해 $P(\pi/2)$는 $4$보다 작아져서 $\theta$ = $\pi/2$와는 다른 각도에서 최대값이 생기기 때문이다. 극단적으로 $l$ = $2 \lambda$인 경우는 $P(\pi/2)$ = $0$이 되어서 $\theta$ = $\pi/2$ 방향으로는 전자파 복사가 생기지 않는다. 다만 $l$ = $2 \lambda$가 되면, 식 (11)에 의해 $z'$ = $0$의 전류는 $0$이 되어서 급전을 할 수 없다. 즉, $l$ = $2 \lambda$인 다이폴 안테나는 급전에 문제가 있어서 현실에서 쓰기는 어렵다.

다이폴 안테나의 복사 패턴이 복잡하기 때문에, 방향도(方向度, directivity) 혹은 안테나 이득(antenna gain)을 정확히 유도하기는 어렵다. 다이폴을 구성하는 금속 도선에 손실이 없어서 복사 효율이 100%라면, 방향도 $D(\theta, \phi)$와 안테나 이득 $G(\theta, \phi)$는 서로 같아져서 방향도만 구해도 충분하다. 방향도 계산은 다이폴 안테나의 복사 세기(radiant intensity) $U(\theta, \phi)$로부터 시작한다. 이를 위해 식 (9)를 $U(\theta, \phi)$의 정의에 넣어서 정리한다.

                       (17)

방향도에 쓰이는 전체 복사 전력(total radiated power, TRP) $P_r$은 다음과 같다.

                       (18)

식 (17)과 (18)을 합쳐서 다소 복잡한 다이폴 안테나의 방향도 $D(\theta, \phi)$를 얻는다.

                       (19)

피적분 함수가 삼각 함수의 합성 함수라서 더 이상 적분을 진행하기 어렵다. 그래서 특별한 조건으로 반파장 다이폴 안테나를 선택한다. 이 때문에 $P(\theta)$는 식 (14)처럼 바뀌어서 반파장 다이폴 안테나의 방향도를 단순화할 수 있다.

                   (20)

                   (21)

여기서 $\operatorname{Cin}(x)$는 코사인 적분(cosine integral)이다. 반파장 다이폴 안테나의 복사 패턴은 $\theta$ = $90^\circ$에서 최대가 되고 크기는 $P(\theta)$ = $2$가 된다. 이 결과를 식 (21)에 대입해서 최대 방향도 $D_\text{dp}$를 결정한다.

                   (22)

데시벨(decibel)로 바꾼 $D_\text{dp}$는 대략 2.15 dBi이다. 방향도 $D_\text{dp}$는 반파장 다이폴 안테나를 기준으로 정의하는 dBd[디비디로 읽음]에도 쓰인다. 예를 들어, 반파장 다이폴 안테나의 방향도는 2.15 dBi이면서 0 dBd도 된다.

[참고문헌]

[1] C. Butler, "Evaluation of potential integral at singularity of exact kernel in thin-wire calculations," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 23, no. 2, pp. 293–295, March 1975.

[2] L. Pearson, "A separation of the logarithmic singularity in the exact kernel of the cylindrical antenna integral equation," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 23, no. 2, pp. 256–258, March 1975.

[3] D. H. Werner, J. A. Huffman, and P. L. Werner, "Techniques for evaluating the uniform current vector potential at the isolated singularity of the cylindrical wire kernel," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 42, no. 11, pp. 1549–1553, Nov 1994.

[다음 읽을거리]
1. 다이폴 안테나의 복사 저항