전자레인지에 사용하는 마그네트론(Magnetron for Microwave Oven)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "마그네트론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 최초의 입자가속기 사이클로트론
2. 고출력 증폭기인 TWT

[그림 1] 마그네트론의 구조(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 마그네트론의 실제 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1]은 전형적인 빈 공간형 마그네트론(cavity magnetron)의 구조를 보여준다. [그림 1]에 보이는 출력 결합 코일(output coupling coil)은 전자의 가속으로 빈 공간(cavity)에 생긴 전자파를 도파관(waveguide)이나 동축선(coaxial line)과 같은 출력 전송선으로 결합시킨다. 즉 가열기(heater)에서 튀어나온 전자(electron)가 양극(anode)으로 가속 받아 휘어지면서 생긴 전자파를 외부로 빼내는 역할이 출력 결합 고리이다. 단면 구조인 [그림 1]에 대응하는 3차원 구조물은 [그림 2]에 있다. 마그네(magne)는 자석(magnet)을 의미하며 트론(tron)은 전자(電子, electron)의 축약이다. 마그네트론의 출력 주파수(output frequency)는 600 MHz~47 GHz 정도이다.

[그림 3] 마그네트론의 전자파 발생 원리(출처: [1])

마그네트론의 동작 원리는 단순하다. 음극(cathode: 그림 1의 중앙부)을 가열하면 열 전자 방출(thermionic emission)이 시작되어 전자가 튀어나온다. 양극(anode: 그림 1의 갈색)에 가해진 DC 전압에 의해 전자(electron)는 고속으로 양극으로[$\rho$방향으로] 움직인다. 보통 음극에 -2~-4 kV 정도를 걸고 양극은 접지시킨다. 또한 [그림 3]의 빈 구멍[공동] 부분은 뾰족하기 때문에 전기장이 강해질 수 있다. 전기장의 원천은 전하(electric charge)이기 때문에, 전자의 흐름이 전하를 공급해서 공동 입구 부분에 전기장이 생기도록 한다. 또한 전자파를 효과적으로 발생시키기 위해서는 전자를 강하게 가속시켜야 한다. 그래서 $-z$축[그림 1을 뚫고 들어가는 방향]으로 자기장(magnetic field)을 강하게 걸어준다.[∵ 로렌츠 힘(Lorentz force)에 의해 자기장이 강하게 걸리면 구심력(centripetal force)이 커지므로, $\rho$방향으로 움직이던 전자는 $-\phi$방향으로 휘어지게 된다.] 실험을 해보면 자기장 크기를 키울수록 양극으로 흐르는 전자의 흐름[전류의 반대 방향]이 약해진다.[∵ 전자가 $-\phi$방향으로 휘어지고 있으므로] 자기장을 임계치 이상[$B > B_{\rm th}$]으로 키우면 양극으로 더이상 전자의 흐름[전류의 반대 방향]이 생기지 않는다. 식 (1)에 있는 사이클로트론(cyclotron) 원리를 이용해 임계 자기장($B_{\rm th}$)을 근사적으로 구해 보자. 먼저 자기장에 의해 전자가 안정적으로 원 운동하는 조건[혹은 전자 운동에 의한 원심력 = 로렌츠 힘인 자기장의 구심력]을 이용하면 다음을 얻는다.

                     (1)

여기서 $m_e$는 전자의 질량(mass), $e$는 전자의 전하량(electric charge), $v$는 음극에서 방출되는 전자의 속도(velocity), $r$은 마그네트론의 반지름(radius)이다. 식 (1)을 연립하면 임계 자기장 $B_{\rm th}$을 다음처럼 얻는다.

                     (2)

$B > B_{\rm th}$이면 자기장의 구심력이 커져 전자는 반지름이 $r$ 범위내에 존재하므로 양극에 이를 수 없다. $B < B_{\rm th}$인 경우는 자기장의 구심력이 약해지므로 전자는 반지름 $r$을 벗어나 양극에 갈 수 있다. 다음으로 에너지 보존 법칙(conservation of energy)에 의해 전자의 운동 에너지(kinetic energy)가 전압의 위치 에너지(potential energy)와 같다고 두면 음극 방출시 전자 속도 $v$를 근사적으로 얻을 수 있다.

                     (3)

여기서 $V_0$는 DC 전압의 크기이다.

마그네트론이 정상적으로 동작하기 위해서는 자기장의 크기를 조정해 임계 자기장보다는 약간 작게($B < B_{\rm th}$) 해야한다. 이렇게 하면 전자가 휘어지면서도 양극에 거의 닿아 전류가 양극을 통해 흐르게 된다.[∵ 마그네트론의 증폭이 일어나는 위치는 음극이 아니라 양극이다.] 혹은 식 (2)와 (3)을 이용해 DC 전압을 조정하면 자기장을 변화시키는 방식과 동일한 효과를 얻을 수 있다. [그림 3]과 같이 전자 흐름[빨간색]이 움직이면서 RF(Radio Frequency) 출력을 만들기 위해서는 양극[그림 3에 보이는 12개의 구멍]에 발생하는 AC 전압[그림 3의 파란색이 전기장]이 교번적으로 바뀌어야 한다. 전자 흐름에 의해 유기되는 AC 전압은 다양하게 생길 수 있기 때문에, 양극에는 [그림 4]와 같이 결선(strapping)을 하여 인접한 긴 구멍(slot)에 걸리는 전압이 바뀌도록 한다. [그림 4]에서 $\pi$ 모드는 인접한 구멍의 위상이 180˚ 차이나기 때문에 붙여졌다.

[그림 4] 마그네트론 양극(+)의 결선(출처: [1])  

그러면 [그림 3]에서 보는 것과 같이 각각의 양극 구멍에 전기장이 서로 다른 방향으로 걸린다. 전자는 동일한 방향으로 회전하고 있기 때문에 서로 다른 전기장에 의해 특정 위치에서는 전자가 가속되고 특정 위치에서는 전자가 감속된다. 즉, 전자의 뭉침(bunching)이 일어나게 된다. [그림 3]에 있는 빨간색은 전자 뭉침이 일어난 형태를 표현하고 있다. 이러한 개념은 TWT(Traveling-Wave Tube)의 원리와도 비슷하다. [그림 3]의 빨간색이 마치 바퀴처럼 움직이고 있어 공간 전하의 바퀴(space-charge wheel)라고 부른다. 전자 뭉침을 이해하기 위해 자기력(magnetic force)을 생각해보자.

              (4)

전기장에 의해 가속을 받는 전자는 속도가 빨라지기 때문에 식 (4)에 의해 자기력[혹은 구심력]이 강해져서 양극으로 가지 못하고 다시 음극방향으로 움직이게 된다. 감속을 받는 전자는 속도가 느려졌으므로, 식 (4)에 의해 자기력[혹은 구심력]이 약간 약해져 일정시간을 더 회전한 후 양극에 들어가게 된다. 즉, [그림 3]처럼 감속한 전자만이 양극에 갈 수 있다. 감속을 하면 전자의 운동 에너지가 줄어들므로, 이 만큼 RF 에너지로 변환된다. 공간 전하 바퀴가 돌아가는 주파수($f_{\rm wheel}$)는 AC 전압의 주파수($f_{\rm AC}$)와 다음 관계를 가진다.

                     (5)

여기서 $N$은 양극에 있는 공진기[혹은 빈 구멍]의 수이다. 식 (5)를 증명하려면 [그림 3]을 보면 된다. 식 (5)에서 2가 나타난 이유는 [그림 4]의 $\pi$ 모드 결선 때문이다. 공간 전하의 바퀴가 특정 공진기를 지나는데 걸린 시간은 걸어준 AC 전압 주기($T_\text{AC}$)의 반이다. 공간 전하의 바퀴가 360˚ 회전하려면 모든 공진기를 다 지나야 한다. 따라서 공간 전하의 바퀴 주기($T_\text{wheel}$)는 $N T_\text{AC} / 2$가 되어서 식 (5)가 증명된다.

마그네트론이 출력하는 전자파의 주파수는 식 (1)로 주어지는 사이클로트론 주파수와 매우 비슷하다.[하지만 마그네트론에 있는 전자의 움직임이 사이클로트론과 완전히 같지는 않으므로 근사이다.] 외부에서 걸어주는 자기장이 마그네트론의 출력 주파수를 결정한다. 하지만, 마그네트론은 전자가 매우 복잡하게 움직여 다양한 주파수를 복사하기 때문에 주파수 안정성이 떨어진다. 그래서 [그림 1]과 [그림 3]에 있는 것처럼 양극에 구멍을 뚫어 공진기(resonant cavity)를 만들어야 한다. 마그네트론이 만든 전자파는 공진기를 거치면서 주파수 선택도가 다소 높아져 출력 주파수를 어느 정도 고정할 수 있다.

[전자레인지의 아버지는 레이다(radar)]

[전자레인지의 동작 원리]

마그네트론이 가장 많이 쓰이는 응용은 전자레인지(microwave oven)이다. 전자레인지의 구동 주파수는 2.45 GHz이며 출력은 650~1200 W 정도이다. RF 전력을 만드는 효율(efficiency)은 약 65~75 % 정도이다. 전자레인지의 원리는 잘아는 대로 물 분자를 전자파로 회전시키기이다. 그러면 마찰 손실로 인해 강력한 열이 발생한다. 전자파에 의해 물 분자가 열을 가장 많이 발생시키는 주파수를 물의 공진 주파수(resonant frequency)라고 한다. 실험에 의하면 22.235, 183, 323 GHz에서 물이 공진한다. 그런데, 2.45 GHz는 공진 주파수가 아니다. 주파수가 높아질수록 부품 가격이 올라가기 때문에 주파수가 다소 낮은 2.45 GHz를 구동 주파수로 쓸 수도 있지만, 근본적인 이유는 침투 깊이(skin depth)에 있다. 공진 주파수로 전자레인지를 돌리면 전자파가 식품 속으로 침투하지 못하고 표면에만 영향을 준다.[∵ 공진 주파수에서는 등가적인 전도도가 크기 때문에 침투 깊이가 매우 작아진다.] 그래서 일부러 전자파 구동 주파수를 공진 주파수의 1/10 정도로 낮춘다. 또한 2.45 GHz는 ISM(Industrial, Scientific, Medical) 대역인 2.4~2.4835 GHz에 속해 있어 전력만 잘 제한하면 자유롭게 사용할 수 있다. 전자레인지가 식품을 덥히기 위해서는 강력한 전자파를 발생시켜야 한다. 전자레인지의 원천으로 사용하는 부품이 [그림 1]의 마그네트론이다. 마그네트론은 출력 주파수가 변동되는 약점을 가지고 있지만, 효율이 높고 구조가 단순하기 때문에 전자레인지 용도로는 최적이다. 전자레인지의 전면부 유리도 재미있는 성질을 가지고 있다. 전자파에 의해 식품이 데워지는 모습을 볼 수 있도록 전면부 유리 뒷편에는 구멍이 뚫린 금속 판이 있다. 혹시 전자파가 새어나와서 내 몸에 이상을 일으키지는 않을까? 걱정할 필요가 없다. 파장(wavelength)보다 1/50 정도 작은 구멍은 완전히 막힌 판과 거의 동일한 특성을 가진다. 2.45 GHz의 파장은 12.2 cm이므로, 12.2/50 cm = 2.4 mm보다 작은 크기로 구멍을 뚫으면 전자레인지의 전자파가 바깥으로 새어나오지 않는다.[물론 아주 미세한 양이 나오기는 한다. 하지만 집에 있는 WLAN의 전자파가 이보다 더 크다.] 전자레인지를 구동하면 윙윙하는 소리가 들린다. 이 소리는 어디서 나는 소리일까? 마그네트론은 어머어마한 RF 전력을 만드는 만큼 많은 열을 만든다. 그래서 반드시 공기를 이용해 마그네트론을 식혀야 한다. 이런 공냉으로 인해 듣기 싫은 잡음이 생긴다. 또한, 전자레인지 내부를 보면 대부분 금속으로 둘러싸여 있기 때문에, 전자레인지는 일종의 공진기(cavity resonator)가 된다. 공진기의 경계 조건으로 인해 전자파가 강한 곳도 있고 약한 곳도 있다. 그래서 복사하는 전자파를 섞어주든지 아니면 내부에 있는 접시를 돌려 식품에 전자파가 골고루 흡수되도록 해야 한다. 이때도 모터(motor)를 사용하기 때문에 소음이 난다.

[참고문헌]

[1] C. Wolff, Magnetron, RadarTutorial.

[다음 읽을거리]
1. 고출력 밀리미터파 생성 위한 자이로트론

고출력 증폭기인 TWT(Traveling-Wave Tube)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "TWT"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 최초의 입자 가속기 사이클로트론

[그림 1] 나선형 TWT의 구조(출처: wikipedia.org)

1: 전자총(electron gun)
2: RF 입력부(RF input)
3: 자석(magnet)
4: 감쇠기(attenuator)
5: 나선형 코일(helical coils)
6: RF 출력부(RF output)
7: 진공관(vacuum tube)
8: 빔 수집기(beam collector)

[그림 1]에 있는 나선형 TWT(helix traveling-wave tube)는 RF(Radio Frequency) 입력을 고출력으로 크게 증폭하기 위해 사용한다. TWT는 진행파관(進行波管)으로 번역하기도 하나, 요즘은 주로 영어 그대로인 TWT를 많이 쓴다. TWT의 구동주파수는 300 MHz~50 GHz이며 분수 대역폭(fractional bandwidth: $f_H/f_L$)은 2 정도이다. 분수 대역폭은 대역폭에서 가장 높은 주파수($f_H$)를 가장 낮은 주파수($f_L$)로 나눈 값이다. TWT의 가능한 이득(gain)은 약 70 dB이다.

TWT의 동작 원리는 단순하다. 전자총[그림 1의 1]이 뜨거워져 열 전자 방출(thermionic emission)이 시작되면 양극(anode: 그림 1의 1)에 가해진 전압에 의해 전자(electron)는 고속으로 움직인다. 전자가 움직이는 방향을 $z$축이라 가정하자. 운동 전자가 중앙으로 잘 집속이 되도록 자석[그림 1의 3]의 자기장(magnetic field)을 $z$축으로 걸어준다.[∵ 사이클로트론(cyclotron) 원리에 의해 자기장이 강하게 걸리면 구심력(centripetal force)이 커지므로 움직일 수 있는 반지름이 줄어든다.] 진공관[그림 1의 7)을 통과한 전자는 빔 수집기[그림 1의 8]에 수집된다. 이를 위해 빔수집기에는 약 1 kV의 전압을 건다. RF 입력부에 특정 주파수의 전자파를 집어넣으면 이 전자파는 전자총에서 나온 전자와 상호 작용한다. 상호 작용은 별개 아니고 전자가 전자파의 전기장(electric field)과 전기력(electric force)을 주고 받는다는 뜻이다. 여기서 나선형 코일[그림 1의 5]은 전자파를 이송하는 전송선(transmission line) 역할을 한다. 전자와 전자파가 정상적인 상호 작용을 하기 위해서는 동기(synchronism)가 맞아야 한다[1]. 상호 작용 관계식을 유도하기 위해 전자파의 위상을 고려하자.

                            (1)

여기서 $k_z$는 전송선의 $z$방향 위상 상수(phase constant), $v_z$는 전자의 $z$방향 속도, $f$는 RF의 주파수이다. 식 (1)은 전자파의 이동 속도[= $v_p$ = $\omega/k_z$]와 전자의 이동 속도[= $v_z$]가 동기가 됨을 의미한다. 또한 전자가 가진 에너지가 전자파로 옮겨지기 위해서는 위상이 시간적으로 변해서는 안된다.

[그림 2] 전자의 뭉침 현상(출처: [1])

식 (1)의 조건이 만족되면 [그림 2]와 같이 $z$축 방향으로 전자의 뭉침 현상(electron bunching)이 나타난다. 전자는 한 방향으로만 움직이고 있지만 전자파는 관내 파장(guided wavelength) 특성으로 인해 전기장의 세기가 [그림 2]처럼 바뀐다. 전기장이 가해진 방향을 $z$축이라 하면[예를 들면 $\bar E = E_0 \hat z$] 전기장이 (-)인 위치에서는 전자가 가속되고 전기장이 (+)인 위치에서는 전자가 감속된다. 이로 인해 전자는 특정 위치에 뭉쳐지게 된다. 식 (1)을 만족하려면 전자파와 전자의 이동 속도가 같아야 한다. 하지만 전자는 속도($v_z$)를 아무리 높여도 광속($c$)을 넘어설 수 없기 때문에, 전자파의 속도($v_p$)를 줄여 식 (1)을 만족시켜야 한다. 그래서 [그림 1]의 5가 표현하는 TWT의 전송선을 설계할 때는 저속 파동(slow-wave) 조건을 고려한다.

                            (2)

하지만 통상적인 전송선으로 식 (2)를 만족시킬 수 없다. 도파관(waveguide)은 고속 파동(fast-wave: $v_p > c$)이기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 나선형 코일과 같은 주기 구조를 가진 전송선(periodic transmission line)을 사용한다. 전송선이 $z$방향으로 주기성을 가지면 플로케 정리(Floquet theorem)에 의해 $k_z$는 아래식을 만족한다.

                            (3)

여기서 $L$은 주기 구조의 주기이다. 따라서 전송선을 따라 전자가 이동하면 전자 뭉침이 더욱 강해진다. 강해진 전자 뭉침은 강해진 RF 혹은 증폭된 RF를 뜻한다. 이때 생긴 전자 뭉침의 주기는 RF 출력부에 나오는 RF 출력 주파수와 같다. [그림 2]를 다시 보자. 전자파와 전자의 이동 속도가 같으면 전자의 뭉침은 일어나지만 전기장이 0인 지점에 뭉쳐지므로 전자의 에너지가 전자파의 에너지로 변환되지 않는다.[∵ 에너지(energy)가 생기려면 힘(force)이 필요하다. 하지만 전기장이 0이면 전기력도 0이 된다.] 그래서, 실제 TWT를 만들 때는 전자의 속도가 전자파의 속도보다 약간 빠르게 만든다. 그러면 전자 뭉침의 중심(center of bunch)은 [그림 2]처럼 전기장이 (+)가 되는 지점[혹은 전자가 감속되는 지점]에 생겨 에너지 전달이 일어나게 된다. 이를 이해하려면 힘과 에너지 관계를 보면 된다. 전하량이 (-)인 전자에 전기장이 (-)로 걸리면 전자는 $+z$로 향하는 전기력을 받는다. 즉, 전자가 에너지를 얻는다. 반대로 전기장이 (+)로 걸리면 전자는 감속을 받아 운동 에너지(kinetic energy)가 작아지고 이때 생긴 여분의 에너지는 다른 에너지로 변환되어야 한다. 전자가 감속되면 전자파 복사(electromagnetic radiation)가 일어나야 하므로, 전자의 운동 에너지는 RF 에너지로 바뀌게 된다. 다른 관점으로 한 번 보자. 전자가 전자파보다 약간 빠른 속도를 가지면 그 속도차 만큼이 RF 에너지가 된다. 왜냐하면 전자 뭉침의 중심이 감속 구간에 있어 전자가 느려지기 때문이다. 전자가 느려지다가 전자파와 같은 속도가 되면 더이상의 에너지 변환은 일어나지 않는다. 하지만, 전자총([그림 1]의 1)에서 계속 고속 전자를 방출하기 때문에 운동 에너지가 계속 공급되어 지속적으로 RF 에너지로 변환된다.

[그림 1]에 있는 감쇠기[그림 1의 4]는 중요한 역할을 한다. [그림 1]과 같은 구조에서 RF 출력을 빼내면 RF 신호의 반사(reflection)가 생길 수 있다. 이때 생긴 반사 성분이 좌우로 무한히 반사하면서 원치않는 공진(resonance)을 만들 수 있기 때문에, 강제적으로 전자파 감쇠를 주어 공진이 생기지 않도록 한다. TWT는 증폭기(amplifier)이므로 주변에 커패시터(capacitor)와 인덕터(inductor)를 잘 붙이면 발진기(oscillator)로 쓸 수도 있다. 발진기는 RF 입력없이 특정한 주파수의 RF 출력을 안정적으로 만들 수 있는 회로 소자이다. 정확하게는 우리가 가한 RF 입력이 없을 뿐 잡음(noise)이 RF 입력 역할을 한다. 또한 GHz 이상에서는 좋은 커패시터와 인덕터는 없기 때문에, 전송선(transmission line)의 입력 임피던스(input impedance)를 이용해 등가적으로 커패시터와 인덕터를 만들어 초고주파 발진기를 설계할 수 있다.

[그림 3] 지대공 무기 체계 천마(출처: ko.wikipedia.org)

[그림 3]에 있는 우리나라에서 자체 개발한 지대공(地對空, Surface-to-Air) 무기 체계인 천마(天馬, Pegasus)의 추적 레이다(tracking radar)가 TWT를 전자파 원천(electromagnetic source)으로 사용한다. 레이다의 전자파 원천으로 TWT와 같은 고출력 발생기를 채택하면 레이다의 탐지 거리가 획기적으로 향상된다.

[참고문헌]

[1] K. R. Chu, "The electron cyclotron maser," Rev. Mod. Phys., vol. 76, no. 2, pp. April 2004.

[다음 읽을거리]
1. 주파수 안정성이 좋은 클라이스트론
2. 고출력 밀리미터파 생성 위한 자이로트론

가우스 빔(Gaussian Beam)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 빔"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
2. 균일 평면파

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[그림 1] 가우스 빔(출처: wikipedia.org)

레이저(laser)와 같은 실제 전자파 빔(electromagnetic beam)은 균일 평면파(uniform plane wave)나 점전원(point source)과는 전파 특성이 매우 다르다. 현실에 존재하는 전자파 빔과 유사하게 모형화 할 때 가장 많이 사용하는 기법이 가우스 빔 혹은 가우스식(式) 빔(Gaussian beam)이다[1]. 가우스 빔은 균일 평면파나 점 전원보다는 수학 공식이 다소 복잡하지만 현실에 나타나는 전파 특성을 매우 잘 설명한다.

[그림 2] 가우스 빔의 전파 특성(출처: wikipedia.org)

[그림 2]는 가우스 빔의 특성을 보여준다. 초점[$z$ = $0$]을 향해 진행하는 파동은 빔폭이 계속 줄어들어 초점(focus)에서는 빔폭이 최소가 된다.[가우스 광학(Gaussian optics)에서 초점에는 빛이 한 점에 모이기 때문에, 빔폭은 $0$이 되어야 한다.] 초점을 지난 파동은 빔폭이 거의 선형적으로 커진다. 가우스 빔에 기반한 이런 설명은 실제 실험 결과를 잘 예측한다. 가우스 빔 공식을 유도하기 위해 전자파(electromagnetic wave)는 $+z$방향으로 진행 중이라고 가정한다. 또한, 가우스 빔은 진행 방향인 $z$축에 수직인 $x, y$축 방향으로는 가우스 함수(Gaussian function)처럼 변한다고 생각한다. 그러면 아래처럼 어림한 식을 얻을 수 있다.

                      (1)

여기서 $k$는 파수(wavenumber)이다. 프레넬 회절 적분(Fresnel diffraction integral)에서 출발해 실험 결과에 맞게 식 (1)과 같이 근사할 수도 있다. 이로 인해 $z \gg 1$인 조건에서 식 (1)은 프레넬 회절 적분에 온전하게 수렴한다. 가우스 빔 관점에서 $+z$방향으로 진행하면 빔폭(beamwidth)도 넓어지고[혹은 빔도 퍼지고] 위상도 변하므로, 식 (1)에 있는 $q(z)$를 복소수(complex number)로 고려한다. 치환 자체는 별것 아니라 생각할 수 있지만, 실제 전자파 빔의 많은 특성을 설명할 수 있는 창의적인 개념이다.

                       (2)

식 (2)에서 결정되지 않은 요소는 $z_R$이다. 길이 $z_R$을 정하기 위해 [그림 2]와 같은 구조를 선택한다.

                       (3)

[그림 2]를 참고하면 $w_0$는 빔폭이 가장 작은 부분[$z$ = $0$]이므로 측정 가능하다. 즉, $w_0$는 빔폭의 반이다. 그러면 식 (3)에 의해 $z_R$도 정해지게 된다. 여기서 $z_R$은 레일리 길이(Rayleigh length or Rayleigh range)라고 부른다. 식 (3)을 참고하면 $z$ = $z_R$에서 $w(z)$는 $\sqrt{2}$배 만큼 커진다. 즉, 빔 면적이 2배가 되는 $z$ = $z_R$ 위치가 레일리 길이가 된다. 마지막으로 진폭을 의미하는 $A(z)$를 결정해야 한다. 가우스 빔은 $+z$방향으로 진행하더라도 전체 전력은 변하지 않는다. 이 점을 이용해 $A(z)$를 결정한다.

                      (4)

식 (3)과 (4)를 식 (1)에 대입해 가우스 빔 공식을 다시 만든다.

                      (5)

여기서 $E_0$ = $A(0)$이다. 레일리 길이 $z_R$이 무한대로 가면 식 (5)는 평면파로 수렴한다. 식 (1)에 제시한 가정은 점 전원의 위상 특성을 이용해서 구할 수도 있다.

                      (6)

식 (6)이 성립하려면 $z$가 $\rho$보다 훨씬 커야 한다. 즉, $z$축과 가까운 곳에서만 식 (6)의 근사가 잘 성립한다는 뜻이다. 그래서 식 (6)과 같은 조건을 근축 근사(近軸近似, paraxial approximation)라고 한다. 예를 들어서 전기장을 $E(\bar r)$ = $\Psi(\bar r) e^{i k z}$로 두고, $\Psi(\bar r)$에 대한 파동 방정식을 만든다.

                      (7a)

                          (7b)

여기서 $\nabla^2_{xy}$ = $d^2 / dx^2 + d^2 / dy^2$, $\Psi(\bar r)$는 $z$를 따라서 매우 느리게 변하는 포락선(包絡線, envelope)으로 생각한다. 근축 근사를 써서 $\Psi(\bar r)$는 진행 방향으로 위상이 느리게 변하므로 $d\Psi(\bar r)\mathbin{/}dz$ $\approx$ $0$으로 둘 수 있다. 그러면 식 (7b)는 전형적인 근축 파동 방정식(paraxial wave equation)이 된다.

                          (8)

주파수가 아주 높다는 고주파 근사(high-frequency approximation)를 쓴 경우도 $k \gg 1$이 되어서 식 (7)이 식 (8)로 근사된다. 이와 같은 근축 파동 방정식은 장거리 전자파 전파 모형화(long-range electromagnetic propagation modeling)에 빈번하게 사용된다.

[참고문헌]

[1] H. J. Eom, Electromagnetic Wave Theory for Boundary-Value Problems: an Advanced Course on Analytical Methods, Springer, 2004.

[다음 읽을거리]

1. 가우스 광학

2. 장거리 전자파 전파 모형화