[경고] 아래 글을 읽지 않고 "중첩 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 두 파동의 다양한 중첩(출처: wikipedia.org)
덧셈과 상수배로 정의하는 선형성(linearity)을 가진 함수를 선형 함수(linear function)라 이름 붙인다.
(1)여기서 $f(x)$는 선형성을 만족해서 선형 함수이다. 식 (1)에 보인 선형성을 시스템 응답(system response) 관점에서 설명하는 개념이 중첩 원리(superposition principle)이다. 이 원리에 따르면 선형 함수 $f(x)$를 입력 혹은 여기(excitation) $x$에 대한 선형 시스템의 출력 혹은 응답 $f(x)$로 이해한다. 그러면 선형 결합(linear combination)으로 들어오는 전체 입력 $ax+ay$의 응답은 선형성에 따라 각각의 입력 $x,y$의 응답을 덧셈으로 중첩한 값과 일치한다. 이런 함수 선형성을 시스템 출력의 중첩성으로 강조한 시각이 바로 중첩 원리이다.
(2)전자기장 파동 방정식(electromagnetic wave equation)은 선형 미분 방정식의 일종이라서, 특정 영역의 매질이 상수라면 중첩 원리를 적용해서 해를 구할 수 있다. 그래서 식 (2)에 제시한 중첩 원리는 다양한 전자파 문제를 효과적으로 해결하는 좋은 도구가 된다.
[그림 2] 다중 도체 전송선(multiconductor transmission line)의 예시(출처: wikipedia.org)
[그림 3] 중첩 원리를 이용한 3중 도체 전송선의 전압 분해
예를 들어, [그림 2]와 같은 3중 도체 전송선(triple-conductor transmission line)의 전압 분포를 구해본다. 3곳의 도체에 걸리는 전압은 $V_1, V_2, V_3$로 다를 수 있어서, [그림 3]과 같이 한 곳의 전압만 설정하고 나머지는 접지로 둔 후, 각각의 경우를 계산한다. 이 결과는 식 (2)처럼 중첩 원리를 따르므로, 세 가지 전압 분포를 선형 결합으로 중첩해서 원하는 답을 얻는다.
[그림 4] 공진기 방법에 따라 도파관 T접합을 분해(출처: wikipedia.org)
중첩 원리는 전자파의 도파(waveguiding)와 산란(scattering)에도 다양하게 사용된다. 대표적으로 도파관(waveguide) 문제를 풀 때 중첩 원리는 큰 힘이 된다. 예시로 전자파 전력을 분배하는 [그림 4]의 도파관 T접합(T-junction)을 고려한다. 한쪽이 막힌 초록색 도파관과 양쪽이 열린 파란색 도파관의 전자파 중첩으로 T접합의 전자파 분포를 합성한다. 도파관의 외벽은 PEC(perfect electric conductor)라서 접선 전기장의 경계 조건은 0이 된다. 그러면 중첩 원리에 따라 중첩된 T접합의 접선 전기장은 항상 경계 조건을 만족한다. 하지만 접선 자기장은 PEC에서 불연속이 되므로, [그림 4]에 나온 초록선과 파란선에서 접선 자기장이 연속이라는 조건으로 초록색과 파란색 도파관에 존재하는 자기장의 계수를 맞춘다. 이런 방식으로 경계 조건을 쉽게 결정하는 기법을 공진기 방법(resonator method)이라 부른다[1]. 왜냐하면 [그림 4]의 마지막 도식처럼 두 도파관의 중첩 영역은 모두 PEC로 막혀서 일종의 공진기를 구성하기 때문이다.
[참고문헌]
[1] E. Kühn, "A mode-matching method for solving field problems in waveguide and resonator circuits," Archiv für Elektronik und Übertragungstechnik (International Journal of Electronics and Communications), vol. 27, pp. 511–518, 1973.
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