조금은 느리게 살자

2020년 12월 18일 금요일

해석적 연속(解析的連續, Analytic Continuation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "해석적 연속"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 복소 평면에서 중첩된 정의역

유용한 복소 함수(complex function)의 정의역(domain)을 합리적으로 확장하는 방법은 해석적 연속(解析的連續, analytic continuation)이다. 해석적 연속은 서로 겹치는 일부 정의역에서 함수값을 같게 만들어서 복소 함수의 정의역을 확장하는 표준적인 방법이다. 예를 들어, [그림 1]처럼 복소 평면에서 정의된 복소 함수 $f_1(z)$와 $f_2(z)$를 고려한다. 복소 함수 $f_1(z)$와 $f_2(z)$는 각각 정의역 $D_1$과 $D_2$에서 정의된다. 여기서 $D_1$과 $D_2$가 중첩된 영역은 $D_3$이라 한다. 그러면 더 커진 정의역 $D_1 \cup D_2$에서 새롭게 $f(z)$를 정의할 수 있다. 즉, $z$가 $D_1$에 속하면, $f(z)$ = $f_1(z)$로 선택한다. 마찬가지로 $D_2$에 있는 $z$의 함수값은 $f(z)$ = $f_2(z)$가 된다. 이 경우에 $D_1 \cup D_2$에 정의된 $f(z)$는 $f_1(z)$ 혹은 $f_2(z)$의 해석적 연속이다. 왜냐하면 $f(z)$는 $f_1(z)$ 혹은 $f_2(z)$를 해석적으로 확장(extension)하기 때문이다. 해석적 연속을 이해하기 위해 다음과 같은 해석 함수(analytic function)를 생각한다.

(1)

식 (1)은 기본적으로 무한 등비 급수(infinite geometric series)이므로, $f_1(z)$의 정의역은 $D_1$ = $\{z\,|\,|z| < 1\}$이다. 무한 등비 급수의 합을 이용해 식 (1)을 닫힌 형태로도 표현한다.

(2)

복소 함수 $f_2(z)$는 $|z| < 1$인 영역에서 $f_1(z)$와 완전히 같으면서도 $f_1(z)$와는 다르게 $|z| > 1$에서도 성립한다. 따라서 $f_2(z)$를 $f_1(z)$의 해석적 연속 혹은 확장이 된다[1]. 이와 비슷한 관계는 제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind) $K_\nu (z)$에서도 발견할 수 있다. 즉, 복소수 $z$의 편각(偏角, argument) $\operatorname{arg}(z)$에 따라 $K_\nu (z)$를 다음처럼 다르게 정의한다.

(3)

식 (3)에 제시한 편각 영역은 [그림 1]처럼 중첩되는 부분과 각자 정의되는 부분이 있다. 이 두 영역을 합치면 모든 편각에서 $K_\nu (z)$를 정확히 정의할 수 있다. 또한 중첩되는 영역에서는 식 (1)의 첫째식과 둘째식은 동일하다. 따라서 로랑 급수(Laurent series)의 유일성에 의해 중첩 영역에서 무한 급수로 전개한 결과는 항상 동일하다. 추가적으로 해석 함수는 미분과 적분에 대한 완전한 특성을 가지기 때문에, 중첩 영역상에 정의된 곡선에서만 함수값이 같아도 모든 중첩 영역에서 함수값이 동일해져서 해석적 연속을 만족한다.

[해석적 연속과 곡선] [1]

중첩 영역에 정의된 곡선 $c$에서 복소 함수 $f_1(z)$와 $f_2(z)$의 함수값이 같으면, 모든 중첩 영역에서 함수값이 같다.

[증명]

[그림 1]과 같은 중첩 영역 $D_3$에서 두 복소 함수의 차를 $\phi(z)$ = $f_1(z) - f_2 (z)$로 정의한다. 여기서 곡선 $c$상에서는 당연히 $\phi(z)$ = $0$이다. 중첩 영역 $D_3$에서 $\phi(z)$ $\ne$ $0$인 점중의 하나는 $z$ = $z_0$라 정한다. 이 경우에 [그림 1]처럼 곡선 $c$에서 $z$ = $z_0$으로 연결되는 부드러운 곡선 $d$를 그릴 수 있다. 또한 곡선 $c$부터 $d$까지 따라가면서 $\phi(z)$ = $0$을 만족하는 마지막 점을 $z$ = $\zeta$라 할 때, $z$ = $\zeta$을 지난 점에서는 $\phi(z)$ $\ne$ $0$이며 $\zeta$ $\ne$ $z_0$이다. 이러한 조건을 이용해 $z$ = $\zeta$에서 $\phi(z)$의 테일러 급수(Taylor series)를 전개한다. 그러면 $d$를 따라가는 $z$ = $\zeta$ 근방에서는 위치에 관계없이 $\phi(z)$가 항상 $0$이므로, $\phi'(z)$ = $\phi''(z)$ = $\phi'''(z)$ = $\cdots$ = $0$이 된다. 따라서 $z$ = $\zeta$를 중심으로 한 테일러 급수는 항상 $0$이므로, $d$상의 모든 점에서 $\phi(z)$ = $0$이다. 이 결과는 이미 설정한 가정에 위배되므로, $\phi(z_0)$ $\ne$ $0$을 만족하는 $z$ = $z_0$은 존재하지 않는다.

______________________________

위 정리에 따라 중첩 영역의 함수값을 모든 지점에서 계산할 필요는 없고, 계산하기 편한 해석적인 곡선의 일부에서만 두 함수값을 서로 비교해도 해석적 연속을 판정하기에 충분하다.

[참고문헌]

[1] 줄리언 해빌, 오일러 상수 감마, 승산, 2008.

[다음 읽을거리]

1. 리만 제타 함수

2020년 12월 13일 일요일

그라프의 덧셈 정리(Graf's Addition Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "그라프의 덧셈 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 무한 급수

2. 베셀 함수

[그림 1] 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[그림 1]의 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) $(x, y)$는 좌우나 전후가 서로 대칭이라서 좌표계의 원점을 어느 곳에 설정하더라도 문제가 없다. 하지만 [그림 2]에 소개한 원통 좌표계 $(\rho, \phi)$의 원점은 유일하다. 즉, 반지름 $\rho$가 $0$이 되는 단 하나의 위치만 원점이 될 수 있다.

[그림 2] 원통 좌표계(출처: wikipedia.org)

데카르트 좌표계와 원통 좌표계가 가진 이러한 차이로 인해, 각 좌표계에 대한 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)의 해인 삼각 함수(trigonometric function)와 베셀 함수(Bessel function)의 평행 이동 특성은 하늘과 땅만큼 차이가 난다. 예를 들어, 삼각 함수를 $x_0$만큼 평행 이동할 때는 간단히 입력 변수를 $x$에서 $x - x_0$로 치환한다. 그러나 이러한 기초적인 치환 방식은 베셀 함수에서 통하지 않는다. 왜냐하면 [그림 2]에 의해 좌표계의 원점을 임의로 설정할 수 없기 때문이다. 그러면 어떻게 할까? 원통 좌표계의 성분 자체를 완전히 바꾸어서 베셀 함수의 평행 이동을 무한 급수(infinite series)로 표현하면 된다. 쉽지 않은 베셀 함수의 원점 이동을 보장하는 수학 정리가 그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)이다. 이 정리는 쉴레플리Ludwig Schläfli(1814–1895)의 제자인 수학자 그라프Johann Heinrich Graf(1852–1918)가 1893년그라프 41세, 조선 고종 시절에 증명했다.

[그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)] [1]

(1)

여기서 $-\pi \le \psi < \pi$, $J_\nu(\cdot)$는 제$\nu$차 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind), $(\rho, \phi)$와 $(r, \psi)$는 서로 다른 원통 좌표계를 구성, $\nu$가 정수가 아니면 $\rho < r$인 조건이 필요, $R$과 $\Phi$는 다음처럼 정의한다.

(2)

[증명]

식 (2)의 두 식을 서로 곱해서 원통 좌표계 $(R, \Phi)$, $(\rho, \phi)$, $(r, \psi)$의 관계를 구한다.

(3)

식 (2)의 둘째식에 $e^{-i \psi}$를 곱해서 새로운 각도 관계인 $\Phi'$과 $\phi'$도 얻는다.

(4a)

(4b)

여기서 $\Phi'$ = $\Phi-\psi$, $\phi'$ = $\phi-\psi$이다. 다음 단계로 식 (1)의 우변을 $\phi'$에 대해 쓰고 한켈 경로(Hankel contour) $\mathcal{H}$의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$를 이용해 제1종 베셀 함수를 복소 적분으로 표현한다.

(5)

(6)

식 (6)에 나온 무한 급수를 다시 베셀 함수의 생성 함수(generating function)로 바꾸어서 식 (3)을 대입한다.

(7)

(8)

최종적으로 식 (8)의 마지막 복소 적분에서 적분 변수를 $s$ = $t e^{i \Phi'}$으로 바꾸어서 식 (1)을 증명한다.

(8)

여기서 $\mathcal{C}$와 거의 비슷한 $\mathcal{C}'$은 $s$에 대한 적분 경로이다. 차수 $\nu$가 정수는 아니라면, $k$가 커질 때 무한 급수의 항이 다음처럼 발산할 수 있다.

(9)

그래서 $\rho < r$이 성립해야 식 (1)의 무한 급수가 수렴한다.

______________________________

제2종 베셀 함수 $N_\nu(x)$에 대해서도 그라프의 덧셈 정리는 성립한다. 먼저 $N_\nu(x)$를 $J_\nu(x)$를 이용해서 정의한다.

(10)

식 (10)처럼 $J_\nu(x)$와 $J_{-\nu}(x)$를 조합해서 $N_\nu(x)$를 만들면, 식 (1)을 $N_\nu(x)$에 대한 관계로 확장할 수 있다.

(11)

여기서 항상 $\rho < r$을 만족한다. 식 (11)을 증명하기 위해 식 (10)을 약간 변형한다.

(12)

여기서 $k$는 정수이다. 식 (12)에 바탕을 두고 $J_{-\nu + k}(x)$에 대한 무한 급수의 합을 구한다.

(13)

여기서 $\mathcal{C}''$은 $s$에 대한 적분 경로이다. 식 (8)과 (13)을 식 (12)처럼 합쳐서 정리하면 식 (11)을 증명할 수 있다. 식 (11)을 더 일반화해서 임의의 베셀 함수 $Z_\nu(x)$[$Z$ = $J, N, H, I, K$]에 대한 덧셈 정리로 확장한다.

(14)

여기서 수렴 조건은 $\rho < r$이며, 정수 차수를 가진 $J_n(R)$은 이 조건이 필요없다. 매우 일반적인 식 (14)는 다소 복잡하므로, 식 (4b)를 이용해서 다음처럼 간략화한다.

(15)

여기서 식 (14)에 나오는 $\psi$는 각도 조건인 식 (4b)에 따라 0으로 바꾼다. 식 (15)의 두 식을 더하거나 빼서 복소 지수 함수 대신 삼각 함수의 관계로 바꿀 수도 있다.

(16)

식 (4)를 이용해 식 (15)와 (16)에 사용한 원통 좌표계 $(R, \Phi)$와 $(\rho, \phi)$의 연결 관계를 구한다.

(17)

여기서 $\phi + \alpha$ = $\pi$이다. 식 (17)은 각각 삼각형에 대한 코사인 제2 및 제1법칙(the second and first laws of cosines)을 의미한다. 따라서 원통 좌표계 $(R, \Phi)$ 및 $(\rho, \alpha)$ 혹은 $(\rho, \phi)$를 [그림 3]처럼 삼각형의 조건으로 구성한다.

[그림 3] 그라프의 덧셈 정리를 위한 삼각형 좌표계

예를 들어, 2차원 공간의 임의점 $(x, y)$에 대한 베셀 함수는 [그림 3]에 따라 원점이 $(x_0, y_0)$에 위치한 원통 좌표계 $(R, \Phi)$로 기술할 수 있다. 혹은 원점을 $(x_0', y_0')$로 바꿔서 $(\rho, \alpha)$ 혹은 $(\rho, \phi)$를 기준으로 한 베셀 함수를 만들 수도 있다. 그래서 식 (15), (16)을 원통 좌표계 $(\rho, \alpha)$ 관점으로 간단히 표현하기도 한다.

(18)

(19)

여기서 무한 급수가 수렴하려면 $\rho < r$이 성립해야 한다. 예외적으로 $R$ = $0$에서 함수값이 정의되는 $Z_\nu (R)$ = $J_n(R)$인 경우, 모든 $\rho$에서 식 (18)과 (19)가 성립한다. [그림 3]의 삼각형 높이가 $0$이 되거나 점 $(x_0, y_0)$과 $(x_0', y_0')$이 만드는 직선 상에 $(x, y)$가 있으면, 식 (18) 좌변의 입력 변수는 $r, \rho$의 합이나 차가 된다.

(20)

여기서 $\Phi$ = $0$, $\alpha$ = $\pi$ 혹은 $0$이다. 만약 $Z_\nu (\cdot)$가 제1종 베셀 함수가 아니라면, $\rho < r$인 수렴 조건이 필요하다. 매우 간략화된 식 (20)은 노이만의 덧셈 정리(Neumann's addition theorem)라고 한다.

[그림 4] 그라프의 덧셈 정리를 위한 원통 좌표계

[그림 3]을 원통 좌표계 $(\rho, \phi)$에 가깝게 그리면 [그림 4]처럼 된다. 식 (3)과 유사하게 [그림 4]를 위한 원통 좌표계 $(R, \Phi)$, $(\rho, \phi)$, $(\rho', \phi')$의 관계는 다음과 같다.

(21)

여기서 $r$ = $\rho'$ = $\sqrt{x^{\prime 2} + y^{\prime 2}}$, $\psi$ = $\phi' - \pi$, $\phi'$ = $\tan^{-1} (y'/x')$, $0 \le \phi' < 2 \pi$가 된다. 식 (21)에서 얻은 원통 좌표계 관계를 식 (14)에 대입한다.

(22a)

(22b)

(22c)

여기서 $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$, $\Phi$ = $\tan^{-1} \left[(y-y')/(x-x')\right]$이다. 식 (14)처럼 식 (22)의 수렴 조건도 $\rho < \rho'$이다. 다만 $Z_\nu(R)$ = $J_n(R)$이면 이 조건이 필요없고 언제나 수렴한다. 만약 $\phi'$ = $\pi$라면, [그림 4]는 [그림 3]과 동일해진다. 이로 인해 식 (22a)는 식 (18)의 첫째식과 같아진다.

그라프의 덧셈 정리에 나오는 무한 급수의 수렴과 발산은 $Z_{\nu+k}(\rho')$의 점근적 특성이 결정한다. 차수 $k$가 매우 커서 $Z_{\nu+k}(\rho')$가 발산하는 경우에 무한 급수의 항은 다음과 같이 변한다.

(23)

여기서 $\Gamma(\cdot)$는 감마 함수(gamma function)이다. 따라서 $\rho < \rho'$인 경우에만 무한 급수가 수렴하고 나머지 범위에서는 발산한다. 또한 수렴 조건만 잘 지키면 수학 관점에서 그라프의 덧셈 정리는 언제나 잘 수렴한다. 하지만 무한 급수의 항을 더해서 수치 계산을 하는 과정은 또다른 문제를 만들 수 있다. 예를 들어, 식 (23)에 의해 $\rho \approx \rho'$ 근방에서는 무한 급수의 수렴이 매우 느리기 때문에, 무한 급수의 계산에 많은 항을 사용해야 참값에 근접하는 결과를 얻을 수 있다.

[참고문헌]

[1] J. Dereziński, "Bessel equation," University of Warsaw, Poland, 2020. (방문일 2020-12-14)

사이클로이드 미분 방정식(Cycloid Differential Equation)

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1. 원의 방정식

2. 미분 방정식의 의미

[그림 1] 진자선 혹은 사이클로이드의 생성(출처: wikipedia.org)

바퀴가 굴러갈 때 생기는 바퀴 위의 한 점의 궤적은 [그림 1]처럼 사이클로이드(cycloid) 혹은 진자선(振子線)을 형성한다. 진자의 또 다른 한자인 파(擺)를 써서 진자선은 파선(擺線)이라고도 한다. 어떤 미분 방정식의 해가 사이클로이드로 표현되면, 그 방정식은 사이클로이드 미분 방정식(cycloid differential equation)이라 부른다. 사이클로이드 미분 방정식은 다음과 같은 두 종류가 있다.

(1)

(2)

여기서 $r$은 바퀴의 반지름, $0 < y \le 2r$이다. 식 (1)의 미분 방정식을 풀기 위해 $y$ = $2r \sin^2 \phi$로 치환하여 적분한다.

(3)

여기서 $\phi$는 매개변수, $0 < \phi \le \pi / 2$, $dy/dx$는 ($+$)라고 가정, $C$는 적분 상수(constant of integration)이다. 만약 $\pi / 2 < \phi \le \pi$라면, $dy/dx$의 부호를 ($-$)로 택한다. 매개변수 $t$ = $2 \phi$로 다시 치환하고 $t$ = $0$에서 $x$ = $0$이라 두면, 사이클로이드 방정식(equation of a cycloid)은 다음처럼 표현된다.