2010년 8월 28일 토요일

패러데이의 전자기 유도 법칙(Faraday's Law of Electromagnetic Induction)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "패러데이의 전자기 유도 법칙"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압
3. 자기장
4. 로렌츠 힘
5. 완전 미분


[수치 해석: 패러데이 법칙(phet.colorado.edu)]

1820년외르스테드 43세, 조선 순조 시절 외르스테드Hans Christian Ørsted(1777–1851)가 배터리에서 나오는 전류를 개폐(開閉)하면 근처의 나침반이 움직임을 학계에 소개하였다. 신비한 현상으로 여겨졌던 자기장이 전기[정확히는 배터리에서 나오는 전류]로부터 생성됨이 분명해졌다. 즉, 전기로부터 자기가 생길 수 있다. 이런 현상을 거꾸로 심각하게 고민한 사람이 패러데이Michael Faraday(1791–1867)이다.

[EBS 지식채널e - 못 배운 과학자: 마이클 패러데이]

전기로부터 자기가 생길 수 있으면 거꾸로 자기로부터 전기가 생길 수 있지 않을까? 만약 자기로부터 전기를 만들 수 있다면 배터리 없이 전기를 만들 수 있는 새로운 방법이 생기지 않을까? 이와 같이 자기로부터 전기를 만드는 방식을 오늘날에는 발전(發電, electricity generation)이라 한다. 패러데이의 고민은 1820년패러데이 29세, 조선 순조 시절 이후로도 지속되었다. 패러데이는 발전 실험에 성공할 때까지 12년 동안 거의 매일 고민하며 실험했다고 알려진다[7].


[전자기 유도(electromagnetic induction)]

(a) 전자기 유도 실험의 구성(출처: wikipedia.org)

(b) 인류 최초의 변압기(출처: [7])
[그림 1] 패러데이의 실험 장치

패러데이는 1831년패러데이 40세, 조선 순조 시절 8월 29일에 역사적인 실험에 성공하게 된다[1]. 최초로 배터리 없이 전기를 만들어 낸 사건이다. 이때의 실험 장치가 [그림 1]에 소개되어 있다. 이 실험을 더욱 발전시켜 1831년 10월 17일에 패러데이는 자기로부터 전기가 만들어지는 원리인 전자기 유도 법칙을 명확하게 이해하게 된다[1]. 패러데이는 전자기 유도 현상을 설명하기 위해 놀라운 개념인 유도력선(誘導力線, line of inductive force)을 도입했다. 1845년패러데이 54세, 조선 헌종 시절 이 유도력선 개념을 발전시켜 패러데이는 자기력은 자기장이 전달되어 생긴다는 놀라운 주장을 하게 된다. 1852년패러데이 61세, 조선 철종 시절에 더욱 자신감을 가진 패러데이는 전기장과 자기장은 전기력과 자기력을 전달할 수 있는 범위이며 전자기장은 실재한다고 주장하게 된다[1]. 지금은 당연한 전자기장 개념이지만[∵ 무선통신을 하고 있지 않은가!] 1850년대의 평범한 과학자들은 패러데이의 전자기장 개념을 철저히 무시했다; 맥스웰이란 젊은 천재를 제외하고는! 수학적 근거는 없지만 패러데이의 천재적인 감에 의해, 순식간에 반응하는 원격 작용력으로 전기력과 자기력을 설명하기는 매우 부실하다고 패러데이는 생각했다. 하지만 같은 시절 대다수의 물리학자는 원격 작용으로 순식간에 전기력과 자기력이 전달된다고 생각했다. 패러데이 관점에서 보면 원격 작용이 그냥 자연적으로 생김은 이상하므로, 힘이 전달되는 범위인 마당(field)이 전파되어 전기력과 자기력이 생김은 자연스럽다. 누가 뭐래도 이 개념은 패러데이에게 분명 했다. 수학을 잘 모르면서 실험만 했던 물리학자 패러데이가 만든 수학적으로 표현되지 않은 전자기장 개념을 당대의 유명한 물리학자들까지 깔보았지만, 젊은 물리학자인 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)은 다르게 생각했다. 맥스웰은 고민하고 있던 전기와 자기 현상의 통합 문제를 패러데이의 전자장 개념이 해결할 수 있다고 믿었다. 패러데이와 맥스웰은 참 특이한 동료였다. 실험 천재와 수학 천재, 늙은이와 젊은이[패러데이가 맥스웰보다 40살 정도 나이가 많음], 대가(大家)와 신참[패러데이에 비해], 기타 등등. 어울릴 것 같지 않던 패러데이와 맥스웰이지만 두 사람은 서로의 부족한 부분을 채워주는 학문적 친구가 된다. 놀라운 기록 문화를 자랑하는 영국답게 패러데이가 나눈 편지는 모두 정리되어 여러 권의 책으로 출판되었다[6]. 패러데이의 역선(力線, line of force)을 인정하고 이 개념을 수학화한 젊은 맥스웰에게 보낸 늙은 패러데이의 극진한 감사 편지도 남아있다[6, Faraday3260, p. 207]. 결국 패러데이의 상상을 기반으로 1861년맥스웰 30세, 조선 철종 시절 맥스웰은 전자기 유도 현상을 깔끔한 수학 공식으로 표현할 수 있었다[2]. 식 (1)은 우리의 영웅 맥스웰이 제안한 전자기 유도 법칙의 수학적 표현식이다.[여기서 더 나가면 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 기반 전자기장 파동 방정식을 만날 수 있다.]

                                   (1)

여기서 $v_{emf}$는 기전력(起電力, electromotive force)을 나타내는 일종의 전압이며 $\Phi$는 자속 밀도(magnetic flux density)를 표면 적분한 자속(磁束, magnetic flux)이다. 식 (1)에서 사용한 ($-$) 부호는 렌츠의 법칙(Lentz's law)이라 한다. 렌츠Emil Lenz(1804–1865)가 발견한 이 법칙은 부호 혹은 방향이 중요하다. 즉, 기전력은 항상 자속을 감소시키는 방향으로 생기는 현상을 렌츠의 법칙이라 한다. 렌츠의 법칙이 없다면 에너지가 무한대로 발산해서 이 세상은 오래 전에 폭발했을 것이다. 기전력이 자속을 증가시키는 방향으로 생긴다고 상상한다. 자속이 조금이라도 증가하면 기전력이 이 자속을 다시 증가시키는 되먹임(feedback)이 이루어진다는 의미이므로 기전력은 끝도 없이 증가해야 한다. 즉, 에너지가 무한정 나와야 한다는 의미이다. 이는 에너지 보존 법칙(conservation of energy)을 위배한다. 따라서, 렌츠의 법칙이 반드시 성립해야 한다. 다시 보면 식 (1)은 자속의 시간적 변화를 감소시키는 방향으로 전압이 발생한다는 뜻이다. 즉, 기전력[전기를 만드는 원천 혹은 도선에 전류를 흘릴 수 있는 원천]은 자속의 이전 특성을 그대로 유지하려는 방향으로 발생한다. 자속이 줄어들려 하면 자속을 늘리는 방향으로 기전력이 생기고 자속이 늘어나려 하면 자속을 줄이는 방향으로 기전력이 생긴다. 기전력과 자속은 아래로 정의한다.

                                    (2)

                                   (3)

여기서 식 (3)에 있는 면적 적분은 닫힌 적분이 아니고 전자기 유도가 일어나는 한쪽 단면의 면적을 뜻한다. 식 (3)의 적분 정의로 인해 식 (1)의 전자기 유도 법칙을 적용할 때는 상당한 주의를 기울여야 한다.[∵ 면적벡터 $d\bar a$의 방향에 따라 자속 $\Phi$는 ($+$)가 될 수도 있고 ($-$)가 될 수도 있다.] 쉬운 방법은 자속이 이전 상태를 유지할 수 있도록 기전력의 방향을 정하면 된다. 예를 들어 도선에 전류가 흐르고 있으면 이 전류 방향과 동일하게 선 적분 방향을 정하고 오른손 규칙에 의해 선 적분이 표현하는 면적 적분 방향을 정하면 된다. 도선에 전류가 흐르지 않는다면 현재 들어온 자기장을 만드는 전류를 생각해 선 적분과 면적 적분 방향을 정하면 된다.
식 (2)는 식 (4)에 소개한 전압 정의와 비슷하면서도 다르다.

                           (4)

식 (2)와 (4)에는 부호가 차이난다. 식 (4)는 저항에서 전기를 소모할 때 나타나는 식이며 식 (2)는 전자기 유도로 전기가 생겨날 때 사용하는 식이다.

[그림 2] 기전력과 전압의 상호 비교: A와 B는 각각 전기장의 시작점과 끝점

좀더 쉽게 식 (2)와 (4)를 이해하려면, 적분 혹은 기울기의 특성을 고려하면 된다. 먼저 식 (4)와 [그림 2]의 오른쪽 회로[저항 기호]에서 A에서 B로 가는 선 적분 방향을 따라 적분하면[A → B: 전기장도 A → B 방향으로 생긴다고 가정], 쌓인 전압 차이인 전위차는 $V_A - V_B$로 형성된다. 이는 선 적분의 진행 방향[A → B]으로 전압이 줄어든다는 뜻이다. 다시 말해 A에서 전압이 높고 B는 전압이 낮다는 뜻이므로, 전압 자체의 기울기는 ($-$)이 되고 전기장은 A → B로 가는 방향으로 당연히 형성된다. 도선이 있는 경우, 옴 법칙의 미분형에 의해 전기장($\bar E$) 방향과 동일한 방향으로 전류 밀도($\bar J$)가 생긴다. 이런 특성은 저항과 동일해서 식 (4)는 전기를 소모할 때 나타나는 식이 된다. 기전력이 나오는 식 (2)와 [그림 2]의 왼쪽 회로[전압원 기호]도 비슷한 방법으로 이해할 수 있다. 식 (2)는 선 적분 앞에 ($-$) 부호가 없기 때문에 A에서 B로 가는 선 적분을 하면[A → B: 전기장도 A → B 방향으로 생긴다고 가정] 쌓인 기전력 $v_{emf}$는 $V_B - V_A$가 된다. 기전력 $v_{emf}$와 일반 전압 $V$와는 ($-$) 부호 만큼 차이가 난다. 선 적분 방향[전기장 방향 혹은 전류 밀도 방향]으로 움직이면 오히려 기전력이 높아지기 때문에 옴의 법칙이 표현하는 전압과 전류 방향[식 (4): 전압이 높은 곳에서 낮은 곳으로 전기장이 생긴다. 혹은 그 방향으로 전류가 흐른다.]과는 반대 방향[식 (2): 기전력이 낮은 곳에서 높은 곳으로 전기장이 생긴다. 혹은 그 방향으로 전류가 흐른다.]이 된다. 그래서 식 (2)는 전기가 발생할 때 사용하는 식으로 설명한다. 하지만 이런 설명은 그렇고 그런 평범한 설명이다. 그냥 선 적분만 제대로 이해해도 기전력과 전압의 차이는 바로 보인다.
기전력의 특성을 수학적으로 새롭게 고찰할 수도 있다. 전자기 유도가 일어나는 영역의 전기장은 아래로 표현할 수 있다.

                           (5)

여기서 $\bar E_t$는 전체 전기장, $\bar E_c$는 보존적인 전기장(conservative electric field: KVL이 성립하는 일반적인 전기장), $\bar E_f$는 전자기 유도에 의해 발생한 전기장이다. 식 (5)를 선 적분한 후에 옴 법칙의 미분형을 적용하면 식 (6)이 된다.

                           (6)

여기서 보존적인 전기장 $\bar E_c$는 시작점과 끝점이 같은 선 적분을 하면 항상 0이 되며 식 (6)의 우변에 표현한 저항 $R$은 전류(電流, electric current) 개념에서 유래한다. 식 (6)에서 $v_{emf}$ 기전력을 만드는 입력 전압이 되고 이 전압은 $I\cdot R$이 표현하는 저항에 걸리는 전압과 같게 된다. 즉, 회로가 병렬이면 양쪽에 걸린 전압은 반드시 같다는 KVL을 식 (6)이 표현하고 있다.

[패러데이 법칙의 미분형: 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                           (7)

[증명]
식 (1)에 식 (2)와 (3)을 대입하여 스토크스 정리를 쓰면 식 (7)이 쉽게 증명된다.
______________________________

패러데이 법칙의 놀라운 성질은 운동체(moving body)와 관찰자(observer)의 관계를 고려할 때 생긴다. 지금 당신은 특수 상대성이론[3] 직전에 와 있다. 조금만 더 참고 새로운 세상의 맛을 본다. 먼저 로렌츠 힘을 고려한다. 전자기 유도가 일어나는 도선이 속도 $\bar v$로 움직이고 있으면 도선의 전류를 구성하는 전하 $q$가 힘을 받게 된다. 이와 같이 형성된 식 (8)과 같은 힘을 로렌츠 힘이라 부른다.

                          (8)

여기서 전기장 $\bar E$는 식 (7)과 같이 자속 밀도 $\bar B$가 시간적으로 변하기 때문에 생기며 $\bar v \times \bar B$는 도선이 움직이기 때문에 생기는 운동 기전력(運動起電力, motional emf)과 관계있다. 관찰자 관점의[혹은 관찰자가 느끼는] 정지계에 생기는 전기장 $\bar E'$와 패러데이 법칙의 연관성을 찾기 위해 식 (7)을 변형한다. 먼저 로렌츠 힘 개념으로 $\bar E' = \bar E + \bar v \times \bar B$를 증명한다. 이 개념이 헷갈리면 로렌츠 힘 부분을 읽고 복습해야 한다. $\bar E = \bar E' - \bar v \times \bar B$를 식 (7)의 패러데이 법칙 미분형에 대입하면 식 (9)와 같은 결과를 얻는다.

                          (9)

여기서 전기장 $\bar E'$는 관찰자가 운동체와 동일한 속도로 움직이는 좌표계[관찰자 관점의 정지계 혹은 관찰자가 느끼는 정지계]에서 측정한 전체 전기장[쉽게 말해 운동 없는 정지 상태로 환산해서 잰 전기장]을 나타낸다.

[그림 3] 관찰자 관점의 운동계 $(\cdot)$와 정지계 $(\cdot)'$(출처: wikipedia.org)

식 (9)는 등속 운동(等速運動, uniform motion)을 위한 갈릴레이 변환(Galilean transform)을 이용해서 증명할 수도 있다. 식 (10)이 [그림 3]과 같은 갈릴레이 변환의 관계식이다.

                          (10)

여기서 좌표계 $\bar r = (x, y, z)$는 관찰자 관점의 운동계(moving frame)이며 좌표계 $\bar r' = (x', y', z')$는 관찰자 관점의 정지계(stationary frame)이다. 관찰자 관점의[혹은 관찰자가 느끼는] 운동계는 관찰자가 운동체를 보면 관찰자는 정지해 있기 때문에 운동체가 움직인다고 생각함을 의미한다. 마찬가지로 관찰자 관점의[혹은 관찰자가 느끼는] 정지계는 관찰자가 운동체와 동일한 속도로 움직이기 때문에 관찰자 관점에서는 운동체가 정지하고 있다고 생각한다. 물론 또 다른 제2의 관찰자가 보면 관찰자와 운동체가 동시에 동일한 속도로 움직이고 있다고 볼 것이다. 식 (7)은 시간과 공간에 대한 편미분이므로 완전 미분을 이용해서 좌표계 $(\cdot)$과 $(\cdot)'$을 위한 편미분 공식을 만든다.

                          (11)

                          (12)

                          (13)

다음에 관찰자 관점의 정지계에서는 식 (7)과 같은 패러데이 법칙이 다음과 같이 성립해야 한다.[∵ 식 (7)은 관찰자가 보기에 전자기 유도가 일어나는 도선이 정지해 있다고 생각하고 유도한 법칙이다.]

                          (14)

식 (14)에 식 (11)에서 (13)의 갈릴레이 변환식을 적용하면 식 (15)를 얻을 수 있다.

                          (15)

운동체가 일정한 속도를 가지면 식 (14)와 (15)는 약간 다른 식이 된다. 식 (15)의 우변에 아래와 같은 벡터 항등식을 적용한다.

                         (16)

여기서 $\bar A_0$는 상수벡터이다. 그러면,

                         (17)

식 (17)을 식 (15)에 대입하고 $\bar B = \bar B'$이라 정의하면 식 (9)를 얻을 수 있다. 로렌츠 힘에서 논의한 대로 자기장은 전기장과 갈릴레이 변환에 의해 엮여있다. 관찰자의 속도에 따라 전기장이 자기장으로 보이기도 한다. 맥스웰 방정식과 갈릴레이 변환식을 동시에 고려하면 맥스웰 방정식이 가진 허점을 볼 수 있다. 맥스웰 방정식을 유도한 관찰자의 속도에 따라 식 (9)와 유사하게 서로 다른 모양을 가진 맥스웰 방정식이 나타나게 된다. 관찰자의 속도는 어떤 양이든 될 수 있으므로 우리는 무한개의 맥스웰 방정식을 가지게 된다. 어디에 문제가 있을까? 이 문제를 선구적으로 고민한 사람이 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955)이다. 아인슈타인은 상대성(相對性, relativity)이라는 개념을 이용해 이 문제를 명쾌하게 해결하였다.

[그림 4] 시간에 따라 면적과 자속 밀도가 변화는 구조

로렌츠 힘과 초보적인 상대성 이론으로 만든 식 (9)를 식 (1)에 시변 자속 밀도 $\bar B(\bar r, t)$를 대입해서 다시 유도할 수 있다.

                         (18)

식 (18)과는 별개로 자속 밀도에 대한 비오–사바르 법칙으로 자속 조건을 새롭게 만든다.

                         (19a)

                         (19b)

식 (19)를 식 (18)에 대입하고 스토크스의 정리(Stokes' theorem)를 적용한다.

                         (20)

시간 변화 $\Delta t$는 0으로 접근해서 $s_a$나 $s_b$를 구별할 필요는 없으므로, 식 (20)에 따라 식 (9)가 깔끔하게 증명된다. 결국 로렌츠 힘에 등장하는 $\bar v \times \bar B$는 자속을 정의한 면적이 속도 $\bar v$로 움직이면서 새롭게 생성하는 면적소에 기인하는 성분이다.
패러데이가 상상하고 맥스웰이 공식화한 전자기 유도 법칙을 표현하는 식 (1)이 항상 성립하지는 않는다. 전자기 유도 법칙의 일반식은 식 (1)이 아니라 식 (9)가 되어야 하기 때문이다. 이런 문제점을 이해하기 위해 [그림 5]의 구조를 살펴본다.

[그림 5] 자속의 시간 변화는 없으나 기전력은 발생하는 실험(출처: wikipedia.org)

[그림 5]는 식 (1)의 문제점을 알리기 위해 파인만Richard Feynman(1918–1988)이 제안한 구조이다[4]. [그림 5]의 노란색 화살표는 전류의 방향을 나타내고 움직이는 부분인 파란색 그물(▦)은 광전도체(光傳導體, photoconducting material)이다. 움직이는 파란색 그물(▦)에 고정된 위치에서 강한 빛을 비추면 전도체가 형성되어 전류가 파란색 띠(■) 부분으로 흐르게 된다. 이 경우 전류가 흐르는 부분은 [그림 5]처럼 면적 변화가 전혀 없기 때문에 식 (1)이 표현하는 자속의 시간적 변화는 없다. 그러면 기전력이 전혀 생기지 않을까? 아니다. 식 (9)에 의해 운동 기전력이 생기게 된다. 파란색 띠(■)를 보면 전류를 구성하는 전하가 속도 $\bar v$로 움직이고 있으므로 식 (9)에 의해 운동 기전력이 $\bar v \times \bar B$ 방향으로 반드시 생겨야 한다.

[그림 6] 자속의 시간 변화는 있으나 기전력은 발생하지 않는 실험

참고문헌 [5]에서 제안한 또 다른 재미있는 실험인 [그림 6]을 생각한다. 자속 밀도($\bar B$)는 [그림 6]의 평면을 뚫고 나오는 방향으로 생기고 스위치 A, B는 서로 배타적으로 개폐된다고 가정한다. 예를 들어 A가 닫히면 B는 열린다. 이렇게 하면 식 (1)에 의해 자속은 시간적으로 변화하기 때문에 [그림 6]의 전압계(voltmeter)는 움직여야 한다. 진짜 그럴까? 아니다. 자속이 시간적으로 변화는 되지만 [그림 6]의 회로에 전류가 없었다. 즉, $\bar v = 0$이 되므로 식 (9)에 의해 어떠한 운동 기전력도 발생하지 않는다. 따라서 전압계는 전혀 움직이지 않는다. [그림 5]와 [그림 6]에서 대비해서 보인 식 (1)의 위험성은 에너지 보존 법칙으로도 설명할 수 있다. [그림 5]를 보면 전류가 흐르기 때문에 비오–사바르 법칙(Biot–Savart's law)에 의해 자기력이 생기게 된다. 이 자기력의 방향은 속도 $\bar v$와는 반대방향이기 때문에 파란색 그물(▦)이 움직일 때 저항을 받게 된다. 즉, 이 저항에 해당하는 만큼 시스템에 에너지가 공급되고 있다. 만약, 운동 기전력이 발생하지 않는다면 들어간 에너지는 있는데 사용한 에너지는 없게 되어 에너지 보존 법칙에 문제가 생긴다. 그래서 공급한 에너지는 필연적으로 운동 기전력을 만들어야 한다. [그림 6]에서는 스위치를 열고 닫기만을 하기 때문에 시스템에 아무런 에너지도 공급하지 않는다. 공급이 없는데 운동 기전력이 생기면 에너지 보존 법칙에 위배된다. 그래서 운동 기전력은 생길 수 없다. [그림 6] 구조가 운동 기전력을 발생[즉 발전!]시키면, 새로운 형태의 신재생 에너지(new renewable energy) 시스템을 만들 수 있다. 지구 자기장을 고려해 적도 주변으로 긴 도선을 배치하고 특정 위치에서 스위치만 개폐하면 무궁무진한 전기 에너지를 생산할 수도 있을 것이다. 하지만 아쉽게도 이런 일은 생기지 않는다.

[참고문헌]
[1] 임경순, 물리학의 선구자, POSTECH. (방문일 2010-08-28)
[2] J. C. Maxwell, "On physical lines of force," Philosophical Magazine and Journal of Science, 1861.
[3] A. Einstein, "On the electrodynamics of moving bodies", Annalen der Physik (Annals of Physics), 1905.
[4] R. Feynman, R. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 2, 1964, 1966.
[5] D. E. Tilley, "Exceptions to the flux rule for electromagnetic induction," Am. J. Phys., vol. 36, no. 5, pp. 458–458, 1968.
[6] M. Faraday, The Correspondence of Michael Faraday: 1855–1860, IET, vol. 5, 1991.
[7] J. Al-Khalili, "The birth of the electric machines: a commentary on Faraday (1832) ‘Experimental researches in electricity’," Phil. Trans. Royal Soc. A, vol. 373, no. 2039, Apr. 2015, art. no. 20140208.
[8] T. S. Bird, "Michael Faraday and the inductionists," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 66, no. 2, pp. 71–74, Apr. 2024.

댓글 83개 :

  1. 안녕하세요. 전자기학을 공부하는 학생입니다.
    패러데이의 법칙과 관련하여 여쭤보고 싶은 게 있는데,

    1. 만약 유한한 시그마 값을 가지는 고리에 막대자석을 넣었다 뺐다 한다면 고리 내부의 기전력 분포는 어떻게 될까요?

    쇄교하는 자속의 변화가 있으므로 자속의 변화에 저항하는 방향으로 자속이 발생하도록 내부에 전류가 흐르게 될 텐데, 전류가 흐르게 되면 고리의 저항으로 인하여 전압 강하가 발생하게 될 것입니다. 회로의 관점에서 본다면 고리 내에서 전압이 제일 높은 지점과 제일 낮은 지점이 생기게 될 텐데, 고리가 완전한 원형이고 균일한 매질로 이루어져 있다고 한다면 두 지점은 어떻게 결정되나요? 폐루프에서 전위의 불연속이 존재한다는 것은 모순이 아닌가요?

    2. 만약 무한한 시그마 값을 가지는 고리라고 한다면 어떻게 될까요?
    고리 내부의 E값이 0이므로 적분(E*dl)=-d/dt(적분(B*ds))에서 좌변은 0이 될 것입니다. 그렇다면 우변도 0이 되어야 할 텐데 그러면 이 고리는 시변 자속을 차단하는 "방패"가 되는 건가요?

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    1. $\sigma$는 전도도를 뜻하지요?

      패러데이의 전자기 유도 법칙 이해는 굉장히 난해합니다. 저도 자주 헷갈립니다.
      중요한 것은 패러데이의 전자기 유도 법칙을 그대로만 이해하면 안되고 전자파 관점으로 봐야합니다. 자속의 시간적 변화가 전기장을 만들고(-> 패러데이 법칙) 끝나는 것이 아니고 이 전기장이 다시 자기장을 만듭니다.(-> 맥스웰이 수정한 암페어 법칙)

      1. 금속 고리와 같은 폐회로에 자속을 바꾸면 패러데이 법칙에 의해 전기장이 생깁니다. 이 전기장(-> 적분하면 기전력 emf)은 금속 내부의 전자를 밀어 전류를 만듭니다. 금속에 저항이 있으면 시간이 지남에 따라 이 전류가 줄어들 것입니다.

      기전력은 전압원 역할을 합니다. 그래서 회로에 전류가 흐르더라도 문제 없습니다.

      2. 금속에 전기 저항이 없다면(or 전도도가 무한대라면) 패러데이 법칙이 만든 전류는 계속 흘러야 합니다.

      기전력을 만든 근원은 전기장이며 이 전기장은 자속의 변화가 만든 것입니다. 이 경우 금속에 대한 전기장의 경계 조건을 사용하면 안됩니다.

      다른 측면으로 보면 금속 고리에 전류가 흐른 이유가 금속의 경계 조건 때문입니다. 자기장의 바꾸면 전자파가 발생해 전기장이 금속 고리에 전달됩니다. 이 전기장은 금속에서 0이 되어야 하므로 금속에 반드시 전류가 흘러서 이 전기장을 상쇄시켜야 합니다.

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  2. 많이 배웠습니다. 답변 감사합니다.^^

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  3. 와 OTL T.T
    대부분 이해를 했다고 생각했는데, 그림[4][5]를 전혀 이해를 못하는 거 보아서는 아닌가봐요.

    1. 로레츠 힘에서 관찰자 입장의 정지계에서는 F'에서 자기력의 기여도는 업고, 이유는
    "식 (7)에서 자기력의 기여도는 사라졌다. 왜냐하면 관찰자 입장에서는 하전입자가 움직이고 있지 않기 때문이다"
    즉, 입자와 같은 속도로 움직이기 때문에 관찰자 입장에서는 입자의 이동이 없어, 전류가 흐르지 않은 상태로 보기 때문에 자기장이 관찰이 되지 않은 거 잖아요. 맞나요?
    1-1. 그런데 식(14)에서에서 보면, 시간에 따른 자기장의 변화가 있는데요.
    이거 무엇이 다른건가요?
    1-2. 자기장은 존재 하지만, 관찰자 입장의 정지계에서는 관찰자가 느끼기에는 자기장이 없는 거 같이 보인다는 건가요?


    2. 식(9)는 이렇게 볼수 있는 건가요?
    전기장의 회전검출해 보면 자기장이지만, 지가장으로만으로는 전기장을 만들어 낼수 없다.
    2-1. 이게 그림[5]에 해당하는 건가요?

    3. 그림[4]와 그림[5]가 처음에 조건이 다른 것은 무엇인가요?
    3-1. 그림[4]는 전류를 처음에 전류가 먼저 흐르고 있는 조건인건가요?

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  4. 운동계와 정지계 부분은 패러데이 법칙과 직접 연관되는 내용은 아니므로 크게 신경쓰지 않아도 됩니다. 나중에 쓸 상대성 이론을 위해 만들어 놓은 것입니다. 혹시 이해를 원하면 아래 부분을 먼저 읽어 보세요.

    http://ghebook.blogspot.com/2010/08/lorentz-force.html

    1. 자기력이 생기려면 반드시 전류가 있어야 합니다. 정지계에서 보면 전하가 멈추어 있어 전류 = 0이므로 자기력이 안 생긴다는 의미입니다.

    1-1. 식 (14)는 정지계의 패러데이 법칙입니다. 정지해 있어도 패러데이 법칙은 성립합니다.

    1-2. 자기장의 본질은 관찰자의 이동 유무라는 관점을 소개하고 있습니다.

    2. 식 (9) 주변의 문장을 수정했습니다.

    2-1. [그림 5]는 전혀 다른 내용입니다. 맥스웰이 제안한 식 (1)은 단순해서 좋지만 안 맞는 경우도 생긴다는 것을 보여주는 예입니다.

    3. 기전력 생성은 식 (1)이 아니고 로렌츠 힘으로 분석해야 합니다. 이 관점으로 한 번 보세요.

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    1. 1. 말씀하신 링크에서
      ""자기력의 기여도는 사라졌다. 왜냐하면 관찰자 입장에서는 하전입자가 움직이고 있지 않기 때문이다""
      1-1. 식 (14)에서는 B가 들어간 term이 있습니다.
      위 두가지를 볼때, 1에서 언급한 자기력의 기여도가 없다고 해서 자기장이 없는 건 아니라는 말씀이신가요?

      2. 식 E ¯ ′ =E ¯ +v ¯ ×B 에서 양변에 회전 미분을 하고, 식(7)을 대입하면, 식(9)가 나오는걸로 이해를 했었습니다. 수정하신 방법도 결국은 같은 말씀이신거 같습니다.

      2. 3. 그림 [4][5]가 이해가 안되서 였는데, 식(9)의 관점은 결국 로렌츠 힘이 적용되면서 나오는 식이므로, 식(9)의 관점으로 보나, 로렌츠 힘의 관점으로 보나 같은 이야기가 되는 거지요?
      그러나 좀더 쉬운 로렌츠 힘의 관점으로 보라는 말씀이시지요?

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    2. 1와 1-1의 질문의 의도가 이게 아닌데, 죄송합니다.
      이부분에 대해서 질문을 다시 드리면,
      말씀하신대로 관찰자 입장의 정지계는 글에서 설명하셨듯이 입자와 같은 속도로 움직일 때, 입자가 정지되어 있는 상태로 보이므로, 전류가 흐르지 않은 상태로 보이므로, 자기장이 생성이 안된다고 이해를 하고 있습니다. 그런데, 위 식(14)또한 관찰자 입장의 정지계 인데, 여기에서는 왜 자기장(B)이 있는가 하는 것입니다.

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    3. 식 (9)에는 초보적인 상대성 이론이 들어갔기 때문에 헷갈릴 수 있습니다. 그래서, 단순한 로렌츠 힘을 참고하라고 말씀드린 것입니다.

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    4. 전류가 없어도 자기장은 생깁니다. 이게 전자파입니다.
      댓글에서 말씀드린 자기력 = 0이 된다는 것은 전류 = 0이기 때문에 0이 된 것입니다. 자기장은 존재할 수 있습니다.

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    5. 재가 무엇을 간과있는지 좀 알거 같습니다. 좀더 보고 생각하고 문의 드리겠습니다.
      감사드립니다.

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    6. 그림[3]의 우측 그림을 보면, 관찰지 입장의 정지계인데,
      여기에서는 자기장B'이 있지만, 자기력에 기여를 하지 않은 이유는 v가 0이기 때문으로 보입니다.

      그러나 자기장B'는 발생하고 있습니다. 이유는 관찰자 입자에서 정지계일 뿐, 실제는 등속 이동을 하고 있는 것이므로 전류가 흐르는 것으로 봐야 할거 같습니다. 그래야 자기장 B'가 발생을 하는 것이 설명이 될거 같습니다.

      맞나요?

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    7. 전자는 맞지만 후자는 아닙니다. 정지계에서는 전류가 흐르지 않습니다.

      정지계에 있는 자기장 $\bar B'$는 전기장의 회전이 만드는 자기장입니다.

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    8. 아~ 감사드립니다.

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  5. 질문 있습니다~!!

    분극전류와 변위전류는 다른 개념인가요????

    커패시터내부를 예를 들어서 혹시 설명해주실수 있나요~~

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    1. 아래에 관련 내용을 설명할게요, 익명님. ^^

      1. 서로 다른 개념입니다.

      2. 변위 전류(displacement current) - $\partial \bar D / \partial t$: 이 용어의 기원은 맥스웰의 초기 상상에서 비롯된 것입니다. 당시는 전자파를 매개하는 에테르(ether)가 있다고 상상했고 금속에 있는 전도 전류처럼 공간상에도 에테르의 특정 부분이 움직여서 전류를 만든다고 생각했습니다.
      잘 아시는 것처럼 아인슈타인에 의해 에테르 개념은 부정되어 초기 개념으로 변위 전류를 정의하지 않고(or 변위 전류의 물리적 의미는 폐기되어) 전도 전류의 연속성을 공간으로 확장할 때 필요한 개념으로만 생각합니다.
      커패시터를 예로 들면 커패시터를 연결하는 도선에는 전도 전류가 흐르고 있고, 이 전류가 커패시터 내부에서도 사라지지 않고 변위 전류로 연속적으로 연결된다는 개념입니다.

      3. 분극 전류(polarization current) - $\partial \bar P / \partial t$: 유전체 내부에 있는 분극체가 움직여 만드는 전류입니다. 분극도 자체가 클수록, 시간당 분극 변화가 클수록 분극 전류는 커집니다.
      변위 전류와 분극 전류의 관계는 전기장과 전속 밀도의 구성 관계식(constitutional relation)으로 만들 수 있습니다.

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    2. 친절한 답변 너무 감사합니다!!!
      한가지 더 궁금한게 있습니다!

      커패시터의 내부도 유전체로 구성되어 있는데, 그러하면
      커패시터 내부의 흐르는 전류를 정의하라고 하면 변위전류가 흐른다(?) 라고 해야 하나요?
      아니면 분극 전류가 흐른다(?) 라고 해야 하나요?

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    3. 전류의 연속성을 생각해야 하므로 변위 전류가 더 적절합니다.

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  6. 아~!!!감사합니다.
    한가지 더 궁금한게 있습니다!

    그럼 분극전류를 이용하여 실생활에서 사용하는 것은 어떤것이 있는지 궁금합니다!!!

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    1. 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)를 이용하는 전자레인지 같은 것이 예가 될 수 있겠네요.

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  7. 항상 친절한 답변 감사합니다!!!

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  8. 질문있습니다!

    1. 원형의 코일 속에 자석을 움직이면 기전력에 의해 전류가 흐른다고 하는데,
    이 기전력이 생기는 이유가 무엇인가요? 로렌츠 법칙에서 E=-VxB 로 인해 생기는 전기장을 기전력이 생겼다 라고 하는건가요? 아니면 그냥 중력이 왜 생기는지 모르는 것처럼 실험을 통해 볼 수 있는 현상인건가요?

    2. 만약 코일속에 자유전자가 하나도 없다면, 아무리 자석을 움직여도 전류는 흐르지 않는거죠?

    3. 발전기가 이 방법을 써서 에너지를 얻는것으로 알고있는데,
    만약 어느 닫힌 공간에서, 자유전자가 100개가 있는 도선에 자석을 왔다갔다 하는것을 무한 반복하면,이 안에 있는 전자는 게속 돌면서 에너지는 무한으로 생성되는 건가요? 그렇다면, 에너지보존법칙이랑은 상관이 없는건가요?

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    1. 1. 이 질문에 대한 간접적인 답을 찾은 것이 특수 상대성 이론입니다. 쿨롱 법칙과 로렌츠 변환만 있으면 다른 전자기 방정식이 유도될 수 있습니다. (이미 맥스웰 방정식이 있고, 이걸 거꾸로 끼워맞춘 것이기는 하지만요.)

      2. 네

      3. 아닙니다. 내가 준 에너지만큼만 생깁니다. 에너지 보존 법칙은 자연계의 근본 원리입니다.

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  9. E = -V X B 에서,
    E를 로렌츠 힘에 의한 전하분리에 따른 전기장으로 해석할 순 없나요?

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    1. 안 됩니다. 동일 계라면 현상이 발생한 원인은 자기장입니다.

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  10. 안녕하세요 전자기학을 공부하고 있는 일반인입니다. 코일에 전압을 가하면 왜 전류가 전압보다 90도 뒤지는지 직관적으로 이해가 가지 않읍니다 염치없지만 답변 부탁 드립니다

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    1. 이건 원래 직관적으로 잘 이해되지 않는 부분입니다. 왜냐하면 자하(magnetic charge)가 없기 때문입니다.
      그래서 실험적으로 이해해야 합니다. 즉 전류가 시간 변화하면 발전이 되기 때문에 전압이 생깁니다(동어 반복입니다.).
      이로 인해 전압과 전류는 90도 위상 차이를 가집니다. 전류가 앞서는지 뒤서는지는 시간 약속을 어떻게 하는가에 따라 달라질 수 있어요.
      아래 링크도 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/inductor.html

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    2. 답을 알고 있는 상황에서 좀 더 직관적으로 상상하면, 전류는 관성 때문에 값이 급격히 바뀔 수는 없습니다. 흐르는 전류를 바꾸려면 힘이 반대 방향으로 작용해야 하며 이건 에너지가 들어간 것이므로 전압이 먼저 변화된 후 전류가 바뀌어야 합니다.

      물론 이런 설명은 답을 알고 있는 상황에서 결과를 끼워맞추는 것입니다, 박연재님. ^^

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    3. 답변 감사합니다^^ 이부분을 이해할려고 하는 접근 자체가 어려운걸로 이해가 되는군요. 하지만 분명 이부분과 관련된 책이 있을것 같고 (필요하다면 원서까지) 저한테는 도움이 될것 같은데~

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  11. 식(6)에서 전기장을 폐경로 적분할 때 보존장은 적분 값이 0인 것은 알겠습니다. 그런데 비보존장을 적분할 때 경로가 시계방향이든 반시계방향이든 관계없이 결과가 모두 Vemf가 되나요?? 한 방향의 적분 결과가 Vemf가 나온다면 반대 방향의 결과는 -Vemf가 나와야 할 것 같은데... 제가 뭘 잘못 생각하고 있는건지 좀 헷갈립니다... 도움 부탁드립니다!

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    1. 방향은 오른손 법칙으로 정합니다. 식 (3) 밑에 있는 본문을 참고하세요. ^^

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  12. 아직 헷갈리는 부분이 좀 있지만 좀 더 생각해서 정리해봐야겠습니다. 감사합니다!

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  13. 전자기학을 배운 물리학과 학생입니다.
    실례지만 간단한 질문 여쭙겠습니다.
    렌츠의 법칙에서 왜 자속을 방해하는 방향으로 기전력이 유도되는 가요? 단지 에너지보존법칙을 만족하기 위해서 방향이 결정된다는 것이 이유인지요?? 다른 전자기학적 이유는 없는지 궁금합니다.

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    1. 전자기학 법칙은 실험 결과를 수학적으로 서술한 결과입니다. 그래서 전자기 유도는 식 (1)과 같은 형태를 가집니다.
      식 (1)을 이해하기 위해 항들을 뜯어 보면, (-) 부호가 있어야 에너지 보존 법칙을 만족합니다. 에너지 보존 법칙을 만족하지 않으면 뭔가 틀린 것이죠.
      예를 들어 자속을 증가시키는 방향으로 기전력이 작용하면 이 기전력에 의해 자속이 증가하고, 증가한 자속은 기전력을 또 증가시키고... 이 과정이 반복됩니다. 하지만 이 과정을 가능하게 하는 에너지는 그냥 생길 수 없습니다. 틀린 것이죠.

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    2. 좀 더 근본적인 물리학적 이유가 있을까 싶었는데 그냥 자연의 법칙이 그런가 보네요.
      친절한 답변 감사합니다.

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  14. 안녕하세요 이 글을 잘 이해하기는 힘들지만 패러데이의 법칙을 찾다가 보니 그에 대한 단점이 있다고 해서 이 사이트를 참고하게 된 고등학생입니다. 그림5에서 스위치가 배타적으로 개폐되기 위해서는 에너지가 공급되어야 하고 이는 결국 에너지를 공급해주고 이에 대한 기전력을 생산하는 것으로 볼 수 있지 않나요? 그러니깐 실제로 스위치장치를 저런식으로 그림5처럼 해 놓고 스위치를 배타적으로 개폐해 준다면 저의 에너지가 들어가서 기전력이 생길 것 같다는 귀여운 태클인 셈이죠. 아직 고등학생 밖에 되지 않아서 사고의 폭이 좁아요. 이해해 주시고 제가 이해할수 있는 수준으로 답변해 주실 수 있을까요???
    아니면 배타적으로 개폐되는 그 상황 자체를 하나의 계로 이해해서 그게 하나의 시스템으로 자동적으로 이뤄지고 있다고 봐야하는 건가요? 그렇다면 이 역시 애초에 에너지 보존 법칙에 위배되는 거 아닌가요? 에너지가 공급되지도 않는데 스위치는 절로 움직이고 있으니 말이죠.

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    1. [그림 4]와 [그림 5]가 나온 이유는 식 (1)의 부족함 때문입니다. 식 (1)은 자연 현상을 쉽게 표현했지만, 전자기 유도가 되는 모든 경우를 설명하지 못합니다.
      그래서 정확히 적용하려면 식 (7)이나 (8)을 사용해야 합니다. 위 설명에도 있듯이, 내가 넣어준 에너지만큼만 발전할 수 있습니다.

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  15. 안녕하세요. 모터를 전공하고 있는 대학원 학생입니다.
    속도기전력에 대해서 궁금한게 있어서 이렇게 질문을 올립니다.
    보통 책에서는 도선과 자기장의 상대속도로 발생하는거처럼 나와있는데.... 모터를 공부하다보니 헷갈리는 부분이 있어 이렇게 글을 올립니다...
    1. 로렌츠의 힘편에서 관찰자와 하전입자의 상대속도로 발생한다고 이해했습니다. 그러면 하전입자는 정지해있는데 자기장이 움직이는 경우에는 로렌츠의 힘이 발생하지 않는건가요...?
    2. 일정한 자기장내에서 도선이 움직이는 경우에 속도기전력이 발생한다고 알고 있습니다. 만약 도선이 가만히 있고 자기장이 움직인다면 속도기전력이 발생했다고 볼수 있는지.... 궁금합니다.
    3. 도선과 자기장이 같은 속도로 움직인다면 상대속도가 0이라 속도기전력이 없다고 생각했는데... 도선 입장에서는 일정한 자기장내에서 움직이는 것으로 생각할 수 있고 이로인해 속도기전력이 발생한다고 생각이 되었습니다.... 어떤게 맞는건지 모순에 빠졌습니다....
    (모터에서 좌표변환을 통해 얻은 전압방정식에서 속도기전력의 물리적 의미를 파헤치다보니 이러한 생각에 도달하게 되었습니다... 답변 부탁드리겠습니다ㅠㅠ)

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    1. 익명님, 고민하시는 부분을 이해하려면 특수 상대성 이론에 나오는 전자기장 변환식을 한 번 보세요.
      우리는 상대적인 속도만 관측할 수 있다는 사실은 주의하시고요. 누가 정지고 누가 운동인지는 상대적이며 어떻게 생각하더라도 답은 같아요.

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  16. 독학이라 이런 글이 반갑습니다

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  17. 안녕하세요 전파거북이님 궁금한점이 있어서 여쭤봅니다.

    도선 내부의 전기장을 보존 전기장 + 유도 기전력의 전기장이라고 하셨는데

    유도기전력에 의한 전기장은 이해가 되는데 보존전기장은 어떤 소스에 의해서 발생하는건가요??

    구글링도 많이 해봤는데 대부분 전원을 커패시터같이 생각해서 설명하는건지 (+)극에서 도선의 진행방향과 전지 내부방향 양쪽으로

    전기장이 발생하며 전원에서 공급되는 에너지를 이용해서 전지 내부 방향의 전기장과 반대방향으로 진행을 하여 에너지를 얻는다??

    그런식으로 설명하기도 하고

    그리피스 전자기학에는 전하의 순간적인 쌓임에 의해 발생하는 정전기장처럼 써놓은거 같은데 잘 납득이 되지 않아서 여쭤봅니다..

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    1. 보존적인 전기장은 어떤 경로든 한 바퀴 회전하도록 적분했을 때 0이 되는 전기장입니다. 통상적인 직류에 쓰는 KVL입니다. 그래서 전원은 어떤 직류 전압원이든 가능해요.

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  18. 안녕하세요 패러데이 전자기유도 식 자체에 관한 질문입니다. 할리데이 교재를 보면 렌츠의 법칙을 먼저 소개하면서 같이 "자기선속의 변화가 유도전류와 유도기전력을 생성한다"고 설명한 후에 바로 패러데이 법칙이 "자기선속의 변화값의 음을 취한 것이 곧 유도 기전력과 같다" 는 설명을 하고 있는데요, 이때 의문이 든 것이 왜 굳이 같아야 하는 것인지 잘 이해가 되지 않습니다. 자기선속의 변화 앞에 상수로 양의 상수가 곱해져 있어도 앞의 설명을 만족하는 형태일 텐데, 왜 굳이 좌-우변이 어떠한 상수곱 관계도 없이 서로 같은 것인가요?

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    1. 아 양의 상수라 함은 자기선속 변화에 음을 취한 이후에 추가적으로 붙는 것을 의미합니다.

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    2. 패러데이 법칙은 자연 현상이고 식 (1)은 수학적으로 표기한 결과입니다.

      1. 댓글에 쓰신 질문이 왜 패러데이 법칙이 식 (1)과 같은 형태인가라면 모릅니다. 우리가 관찰해보면 자연계가 식 (1)처럼 반응합니다.

      2. 질문이 기전력과 자속에 붙는 상수 관계라면, 우리가 단위계를 그렇게 정의했기 때문입니다. 전기와 자기에 대한 표준 단위를 찾아보시면 의문이 해결될 것입니다.

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    3. 2번에 해당되는 질문이었습니다. 두루뭉실한 질문에 답변해주셔서 감사합니다. 그런데 단위가 없는 단순상수의 경우에는 붙어도 그 단위계에 맞지 않나요?

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    4. Unknown님, 그런 뜻이 아니고요. 패러데이가 발견한 법칙은 "자석을 움직이면 도선에 전류가 흐른다"입니다. 이 관찰은 맥스웰이 식 (1)처럼 공식으로 표현했어요. 다만 자속이 변할 때 기전력이 얼마나 생길지는 자속과 기전력의 측정값에 달려있어요. 그래서 자석의 자속이나 도선의 전압을 어떤 잣대 혹은 단위계로 측정할지가 고민이었어요. 여기에 대한 해결책은 가우스가 잘 정의했어요. 가우스로 인해 단위계에 대한 국제 표준의 필요성이 대두되었기 때문에, CGS 단위계를 다른 말로 가우스 단위계라고도 해요. 지금은 MKS 단위계를 사용하고요.

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    5. 비례상수는 정하기 나름입니다.
      전자기학에서는 투자율과 유전율을 설정하여, 전자기유도식에 비례상수가 1이 되도록 한 것 입니다.
      물리학에서는 깊게 들어가면 간편한 계산을 위해 자체적으로 단위계를 지정하여 비례상수를 1로 만드는 것이 흔합니다.

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    6. 감사합니다 덕분에 물리학에 대해 더 알고 갑니다

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  19. 전파거북이님 안녕하세요! 전자기학 공부 중인 학생입니다. 문제를 풀다 헷갈리는 부분이 있어 질문 올립니다.

    변화하는 전류 i에 의해 내부 자기장도 변하는 솔레노이드가 있을 때 '외부에서 솔레노이드에 가해준 단위길이당 전압'을 구하는 것이 문제였습니다. 여기서 말하는 전압을 렌츠의 법칙에 의해 구한 '솔레노이드에 유도된 전압'으로 이해하는 것이 맞는지 아니면 거기에 (-) 부호를 붙여야 하는지가 헷갈립니다. ㅠㅠ

    답변 부탁드립니다!

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    1. 어떤 문제인지 정확한 상상은 안되지만, 유도 기전력을 구할 때는 렌츠의 법칙을 써야 합니다. 입력 전류와 외부 자기장이 별개라면, 중첩의 원리를 써서 각각 계산하면 됩니다.

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  20. 답변 감사드립니다...!! 혹시 괜찮으시다면 이메일 한 번만 확인해주실 수 있을까요? 오랫동안 고민한 내용인데 너무 답답해서요 ㅠㅠ 댓글로는 사진을 첨부할 수 없어 이메일을 보냈습니다 ..

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  21. 전파거북이님. AC회로에 대해 질문이 생겨서 여쭤봅니다. 식 (6) 패러데이의 법칙을 보면 emf를 비보존장 Ef의 폐루프 선적분으로 정의했는데요. 이 때 발생하는 emf는 전위차를 의미합니다.

    이제 AC전원을 가진 RC회로를 놓고 생각해보면 발전기에서 전력이 생산되기 때문에 닫힌 ac회로 내부에서 생기는 전기장은 비보존장입니다.. (자석의 회전에 의해 전자기유도로 전력을 생산하므로)

    하지만 https://ghebook.blogspot.com/2011/06/capacitor.html
    의 식 (5)에서 E값을 V에 대한 그래디언트로 잡습니다. 따라서 E는 보존장이구요.

    비슷하게 저항값 R 또한 V의 그래디언트인 보존장 Ec에 대해 정의했습니다.

    그렇다면 V=Q/C와 V=IR은 보존장에 대하여 쓰여진 식입니다. V 전위차가 보존장 E에 대한 식이니까요. 하지만 AC회로에서 생성되는 emf는 비보존장에 의해 생성된 전압이죠. 비보존장이면 스칼라함수의 델로 정의할 수가 없습니다. 이걸 어떻게 해석해야 할까요.

    그리고 E가 시변장이라서 비보존장 요소가 있다면 이 때 전하가 받는 힘을 어떻게 기술하나요? 쿨롱의 법칙 그대로 기술할 수는 없고 비보장적 요소에 의한 힘도 있는데 비보존장 위에서 전하가 받는 힘을 정량적으로 구할 수 있나요? e(Ec+Ef)=eE=F 꼴로 기술하고 F를 구해서 E를 역산하나요?

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    답글
    1. 다시 생각해보니까 제가 잘못 이해한 것 같네요.. 저항 R과 캐패시턴스 C는 "보존장 전압원이 있는" 보존장에 대해 정의되어 있지만, 패러데이의 법칙에 의해 발생하는 기전력은 "보존장 전압원이 없는" 회로에서 R과 C로 비보존장에 대한 정보를 알아낼 수 있어서 괜찮겠네요. 예를 들어서 보존장 전압원이 없는 폐회로에다가 자석을 훅 들이밀면 전류가 생성될테고 이걸 보존장 전압원에서 구한 R에 넣어보면 emf를 구할 수 있을테니까, R이 보존장에서 정의 됐다고 해도 비보존장의 기전력을 정의할 수 있겠네요. 제가 헷갈린 부분이 R과 C를 보존장에 대해 구했는데, 그걸 비보존장에 대한 물리량인 emf를 구하기 위해 써도 될까 이거였는데, 이렇게 이해해도 될까요?

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    2. 질문이 자꾸 바뀌어서 죄송합니다. 더 찾아보니까 DC 조건일 때 보존장에 대해 구한 R과 C는 각각 AC 회로인 emf에 대하서도 저주파일 때는 똑같이 적용 가능하다고 합니다.

      하지만 정확히는 emf에 대해서는 회로이론에서의 옴의 법칙이 성립하지 않고, J=sigma*E 꼴로 emf와 R과 I관계를 정립해야 한다는데요. 좀 더 일반적인 ac 비보존장에 대한 옴의 법칙 emf = Ri는 어떻게 구할 수 있을까요. 식 (6)에서 emf와 저항 R의 관계를 emf = iR의 관계로 표현했는데 DC 보존장에 대하여 구한 R을 나이브하게 비보존장에 바로 써도 되는지.. 그게 의문입니다...

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    3. 구한 거 같습니다. 일단 드루드 모형과 회로이론의 전제조건을 적용해보면, 도선에서의 도전율은 무한이므로, 식 (6)에서의 Ef는 이상적인 도선 위에서 무조건 0이 됩니다. 그러면 결국 저항 내부의 Ef만 남게 되는데, Ef는 보존장이 아니기 때문에 DC조건에서 처럼 dV를 바깥으로 뺄 수는 없습니다.

      다만 회로이론의 전제조건을 적용하면 전류는 저항 내부에서 모든 지점에서 균일하게 흘러야 하므로 Ef는 상수입니다. 그래서 선적분 바깥으로 뺀 다음에 그 부분을 integral sigma*E ds로 구해보면 emf에 대한 AC에서나 voltage에 대한 DC에서나 R값이 동치로 나오네요. 이렇게 구하는 게 맞을까요?

      다만 전제조건이 회로이론의 전제조건인 1. 전기효과는 순간적으로 발생, 2. 구성요소의 순 전하는 항상 0이다. 이게 성립해야 해서 당연히 주파수가 올라가면 transmission line theory가 적용 되어야 하겠네요.

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    4. 식 (6)과 함께 아래 링크에 있는 식 (10)도 보세요.
      전자기 유도에서는 전기장의 선 적분이 0이 되지 않기 때문에, 비보존적인 전기장이 존재할 수 있어요. 하지만 이 비보존적 전기장을 새로운 회로 요소(즉 인덕터)에 연결해서, 인덕터를 포함한 전압 강하가 0이 되게 할 수 있어요. 즉 인덕터를 도입하면 AC 회로 이론에서 언제나 KVL이 성립하게(혹은 경로 적분이 0이 되게) 할 수 있어요.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/06/inductor.html

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    5. 감사합니다. 회로이론 처음 배웠을 때 v랑 emf랑 구분을 잘 안 해서 썼는데, 물리학과 나온 사람한테 물어보니까 emf가 voltage가 아니라고 해서 (voltage는 보존장에서, emf는 비보존장에서 정의되므로) 순간 뇌정지 왔네요.. 항상 블로그 보면서 공부하고 있습니다. 감사드립니다 전파거북이님!

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  22. 항상 잘보고있습니다. 패러데이법칙 관련해서 궁금한점이 있어 메일보냈습니다. 메일 답장해주시면 정말 감사하겠습니다.

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    1. 이메일은 아주 가끔씩만 확인해서 회신이 매우 늦을 수 있어요.
      가능하면 댓글로 질문해주세요 😊

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  23. 시험기간에 왜 저런 공식이 나오는지 정확하게 안알려줘서 너무 답답한 와중에 들어왔는데 시험기간 끝나면 전부다 여기서 다시 공부해 봐야겠네요! 이렇게 개념부터 차근차근 다 설명해주신걸 올려주셔서 감사합니다!!

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    1. 방문 감사합니다, Unknown님. 함께 전자기학을 열공하시죠 👍

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  24. 전자기 관련 글을 읽다 보면 그리고 물리에서 배우는 법칙들에서도 나오던데
    1. 시간적으로 변화한다는 말과 2. 속도가 유한하다는 말의 의미를 잘 모르겠어요.
    전기장이 시간적으로 변화하지 않으면 자기장만 만들어져서 전자기파가 발생하지 않는다는 글을 봤고요,
    헤르츠의 실험에서 전기파의 속도가 유한하다는 말을 봤는데
    1과 2는 어떤 의미인가요?

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    1. 질문의 의도를 잘 모르겠는데요, E효율5등급님.
      물리학에서 변화와 유한의 뜻은 국어 사전과 같아요. 수학적으로 보면, 시간의 변화는 시간 미분이고요. 유한은 발산하지 않는다는 뜻입니다.

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  25. 안녕하세요 전파거북이님. 발전기를 배우다가 질문이 생겨서 여쭤봅니다.

    자기장 위에서 움직이는 도체 막대 '하나'에 유기되는 전압은 어떻게 설명해야 하나요? qv x V로 생각하면 도체 내의 전자는 자유롭게 움직일 수 있어서 당연하게 전압차가 생길 거 같긴 한데, 이걸 패러데이의 법칙으로 설명할 수 있나요? 패러데이의 법칙은 자속, B*S중 B나 넓이 S가 변해야 하는데 시불변 B 위에서 움직이는 도체 막대 하나는 B가 t에 대한 상수고 차원도 면이 아닙니다.

    근데 발전기에서 회전에 의해 유기되는 기전력을 구할 때는 루프의 각 도체당 유기되는 기전력을 evl sin(theta)로 구하는데, 이건 도체 하나가 시불변 자기장에서 움직일 때 유도되는 기전력입니다. 원통면을 펼쳐놓고 그 위에서 도체 하나가 움직인다고 가정해서 구한 것이죠.

    근데 이걸 또 자속이 변하는 관점에서 생각해보면 BS(t)에서 S가 회전함에 따라 변해서 기전력이 생긴다고 볼 수도 있습니다. 이걸 어떻게 설명할 수 있을까요? 전자도 맞는 것 같고, 후자도 맞는 것 같은데 전자는 자기유도 현상이고, 후자는 B와 S에 관계 없는 자기력에 의한 현상입니다. 둘 사이에 어떤 연관관계가 있을까요.

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    1. 1. 움직이는 도체에 유기되는 기전력은 패러데이 법칙 혹은 로렌츠 힘으로 유도할 수 있어요. 또한 이런 실험은 홀 효과(Hall effect)와 직접적으로 연결됩니다. 비오-사바르 법칙으로 로렌츠 힘을 유도하는 방법은 아래 링크에 있습니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/08/lorentz-force.html

      식 (1)과 같은 패러데이 법칙으로도 로렌츠 힘이 유도됩니다. 약간 복잡하기는 하지만, 자속 밀도가 아니고 단면적이 시간적으로 변한다고 가정하고 풀면 됩니다.

      2. 이렇게 보면 비오-사바르 법칙과 패러데이 법칙이 서로 연관되어 있을 것 같습니다. 이에 대한 초등적인 추론은 아래에 나와 있어요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/09/proof-of-faradays-law-using-biot-savart.html

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  26. 전파거북님 식(1)에 대한 유도과정은 없을까요?? 또는 미분 식(7)과 같은 식이 어떠한 근본적인 성질로 부터 나오는 것인지 궁금하네요 전하에의한 전기장이나 움직이는 전하에 의한 자기장과 같이 이러한 전자기현상중 하나를 수학적으로 표현한 것이 페러데이 법칙인가요??
    다른현상들은 어느정도 직관적으로 저렇게 예측할 수 있었겠구나 생각이드는데 전류가흐르는 폐곡선에 대한 면적을 지나는 선속과 관련이 있다는 것은 뭔가 독특하게 느껴지네요 근본적으로 어떤 현상으로 부터 페러데이법칙이 유도된걸 본적이 없는 걸로 봐서는 현재까지는 근본현상이 페러데이 법칙인 것 같네요 아니면 제가 모르는 양자역학적인 성질로 부터 유도과 될 수도 있을꺼같고요

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    1. 1. 식 (1)은 실험 법칙입니다. 패러데이가 발견하고 맥스웰이 공식화했어요. 그래서 유도는 불가능합니다.

      2. 대신 맥스웰 방정식이 존재하는 있는 조건에서, 정전장에 대한 쿨롱의 법칙과 특수 상대성 이론의 전자기장 변환식을 쓰면 유도될 수도 있어요. 물론 동어반복이라 증명은 아닙니다.

      3. 비오-사바르 법칙으로 식 (1)을 증명한 사례는 있어요. 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/09/proof-of-faradays-law-using-biot-savart.html

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    2. 친절한 답변 감사드립니다.
      유도과정보다는 증명과정이 더 궁금하긴 했었는데 감사합니다.
      보통 유도과정은 식들로부터 그 식을 나타나게 하는 것을 말하는 것이죠?? 증명은 공리등을 이용해서 이게 참인지를 보는것이고요??

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    3. 전파거북님 궁금한 점이 생겨서 질문드리게 됬습니다.
      페러데이법칙에서 말하는 폐경로에 해당하는 면적을 지나는 선속이 시간에 대해 변할때 유도 기전력에 해당하는 전기장이 발생하는 것으로 이해했는데요 만약 위에 언급한 임의의 폐경로와 동일한 경로로 도선이 있을경우 도선은 전기장을 받고 전류가 흐르게 될텐데 이때 흐르는 또한 유도 전류를 만드나요??
      즉 초기에 폐경로의 면적에 해당하는 선속을 변화시키면서 폐경로를 이루는 도선에 흐르는 전류또한 자기장을 만들텐데 이 자기장의 선속 변화또한 유도기전력을 유발하는지 궁금합니다

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    4. 먼가 잘못 생각하는 것 같아서 수정하고 다시 적게 되었습니다.
      도선에 흐르는 전류에 따른 자속 밀도가 있을텐데 이 자속밀도까지 고려한 합성 자속이 폐곡선을 포함하는 면에대해 시간에따라 변화할때 생기는 기전력에 의한 전류를 알 수 있는 것이기 때문에 유도 전류에 의한 자속을 하나하나 고려할 필요 없이 총 선속의 변화를 고려하면 된다고 생각하게 되었습니다.

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    5. 1. 유도나 증명이란 단어를 구별해서 쓰지는 않았습니다.

      2. 전자기 유도는 언제나 성립하기 때문에 도선 자체에도 유도를 일으키고 유도 전류도 생깁니다. 사실 전자기 유도를 만드는 소자는 인덕터(inductor)이고 양은 인덕턴스(inductance)라고 부르는데요, 인덕턴스는 자기(self)와 상호(mutual) 인덕턴스, 두 가지 종류가 모두 존재해요.

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  27. 전파거북님 글을 읽다가 궁금한게있는데요 식(9)에 나와있는 우항은 비오사바르 법칙에 의한 자속밀도내에 전하가 운동하면서 작용하는 힘에 전하량을 나눈 값과 동등한건지 궁급합니다.
    한마디로 비오사바르 법칙에 의한 자속밀도내에 운동하는 전하에 작용하는힘과 우항인 델X(vXB)에 해당 위치의 전하량 q를 곱한 값과 동등한 힘인지 궁금합니다.

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    1. 네, 로렌츠 힘을 쓰기 때문에 비오–사바르 법칙에 의한 자기력에 해당합니다. 아래 링크도 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/09/proof-of-faradays-law-using-biot-savart.html

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  28. 패러데이의 법칙에 의해 코일에 발생하는 기전력을 이용하여 폐회로를 구성하고 저항을 연결하였을 때 -극에서 저항을 거쳐 +극으로 전하의 이동이 발생하는데 이때 +극의 전하는 다시 코일을 지나 -극으로 이동하는건가요? 전하는 -로 가려고 하지 않는데, 코일의 기전력으로 강제적으로 이동하는 건지 궁금합니다.

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    1. 기전력이란 이름 그대로 코일 전체에 전하를 이동시키는 힘이 발생합니다. 전지처럼 (+)와 (-)극이 명시적으로 있지 않고, 코일 전체에 걸쳐 전원의 직렬 연결처럼 기전력이 생깁니다.

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  29. 좋은글 감사드립니다.
    전파거북님 궁금한점이 있어 여쭤보겠습니다

    <1> 식(9)에서 발전기 유도 기전력에 해당하는 것은 식(9) 우항의 델X(vXB)인지 궁금합니다. 또한 교류에서 발전기에 부하가 접속된경우 에너지 소모에 영향을 미치는 즉 전체 공급전압으로 볼 수 있는지 궁금합니다.

    <2> 식(9) 우항에 -dB/dt은 코일의 기전력 -Ldi/dt으로 교류에서 에너지소모가 없는 요소가 맞나요??

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    1. <3> 정리하자면 코일은 고정 상태 외부에서 자기장의 변화를 줄경우 코일에 유도되는 기전력은 페러데이 법칙에 해당하는 요소는 식(9)의 우항의 -dB/dt에 해당하는 것이고 자기장은 일정하고 코일을 운동시켜 기전력을 얻는것은 식(9)우항의 델X(vXB)인 것이죠?

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    2. 1. 식 (9)부터 있는 내용은 상대성 이론의 입문이라서, 더 쉽게 보려면 원래 사용하던 식 (1)을 고려하면 됩니다. 자기장이 시간적으로 변하든지, 면적이 변동되든지, 두 경우 모두 식 (1)로 설명됩니다.
      - 자기장이 시간에 대해 상수이면서 자속이 변하는 경우는 $\bar v \times \bar B$로 기전력을 계산할 수 있습니다.
      - 본문에 소개한 근사적 상대성 이론을 쓰지 않아도 식 (1)에서 식 (9)를 만들 수 있어요.

      2. 인덕터는 에너지 소모가 없고 저장만 가능합니다.

      3. 식 (9)는 거의 상대성 이론이라서, 식 (1)의 자속으로 계산하는 게 더 이해가 쉬워요.
      - 질문하신 식 (9) 기준으로 볼 때는 양변을 선 적분부터 합니다. 이 결과의 좌변이 코일에 생긴 기전력이고(측정자가 볼 때 코일이 정지한 상태로 잰 전압), 이는 우변에 있는 자기장의 시변에 의한 기전력과 코일의 이동(코일 바깥에 있는 관찰자에게 보이는 운동)으로 인한 기전력의 합과 같습니다.

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    3. 답변을 지금봤네요 죄송합니다. 어렵네요 ㅜㅜ 고민을 더 해보겠습니다. 감사합니다

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    4. 전파거북님 고민을 해봤는데요
      관찰자가 정지한상태이고 자기장이 왼쪽에서 오른쪽으로 평행하게 시간에 대해 변하지않는 상수로 작용하고, 도체로 구성된 폐회로가 축을중심으로 일정한속도로 회전하고 있다고 해보겠습니다.

      식(9)를 면적 적분하면 스토크스의 정리에의해 전압v= -dp/dt+vBl 식이나오는데 여기서 식(1)에 해당하는 -dp/dt인 페러데이 법칙의 자속은 자속밀도와 면벡터의 내적이고 코일이 회전하므로 면벡터는 회전하므로 내적성분인 cos은 시간에대해 변하므로 -dp/dt값이 나올텐데 -dp/dt도 존재하고 코일이 회전하므로 vBl도 존재하므로 둘다 더한 값이 총 전압으로 받아들어집니다. 그런데 교과서 등을 참고하면 vBl만 존재하고 -dp/dt요소는 합하지 않는것 같습니다. 이에 대해 궁금합니다 왜 페러데이법칙은 포함안하고 vBl만의 전압만 작용하는걸까요!?

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    5. 1. 자속의 시간 변화를 알면 식 (1)로 계산하면 됩니다.

      2. 식 (1)을 풀어서 다시 쓴 결과가 식 (9)입니다. [그림 4] 밑에 관련 증명을 추가했어요.
      만약 자속 밀도 $\bar B$가 시간에 대해 변하지 않으면 $\partial \bar B / \partial t = 0$이 되므로, 식 (9)에 따라 $\bar v \times \bar B$ 항만 계산해야 합니다.

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    6. 저 때문에 이렇게 글까지 추가하시고 .. 정말 감사합니다 😊

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