한켈 변환(Hankel Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "한켈 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 
1. 푸리에 급수의 시작
2. 형보다 나은 아우: 푸리에 변환

모든 적분 변환(integral transform)의 어머니에 해당하는 푸리에 변환(Fourier transform)은 다양한 자식들이 있다. 그 중에서 유명해서 자주 쓰이는 자식은 한켈 변환(Hankel transform)과 라돈 변환(Radon transform)이다.

[그림 1] 라파엘로의 시스티나 성모(출처: wikipedia.org)

한켈 변환은 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)를 위한 푸리에 변환이다. 당연한 얘기지만 한켈 변환의 제안자는 한켈Hermann Hankel(1839–1873)이다. 한켈 변환은 푸리에 변환에서 시작하여 베셀 함수(Bessel function)를 포함한 적분 변환이라서 푸리에–베셀 변환(Fourier–Bessel transform)으로도 불린다. 그래서 한켈 변환의 최종식은 매우 복잡해 보이지만, 푸리에 변환부터 증명해 들어가면 전체 성질을 쉽게 이해할 수 있다.

[그림 2] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

2차원 푸리에 변환부터 출발해 한켈 변환 관계식을 증명한다.

                       (1)

식 (1)은 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 정의된 푸리에 변환이므로 다음 원통 좌표계 관계식을 고려한다.

                       (2)

여기서 $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $\kappa$ = $\sqrt{\xi^2 + \eta^2}$이다. 식 (2)를 식 (1)에 대입해 정리한다.

                       (3)

함수 $g(\rho, \phi)$는 360˚마다 반복되므로 $\phi$에 대해 주기 함수(periodic function)이다. 따라서, 다음과 같은 푸리에 급수(Fourier series)로 표현할 수 있다.

                      (4)

또한 다음 베셀의 적분(Bessel's integral)을 고려한다.

                      (5)

그러면 식 (3)은 다음으로 변형된다.

                      (6)

식 (6)의 좌변 항도 주기 함수이므로 다음 푸리에 급수로 고쳐 쓸 수 있다.

                      (7)

식 (7)을 식 (6)에 대입하고 다음 변수 치환을 하면 한켈 변환식 (9)를 얻는다.

                      (8)

                      (9)

언뜻 보면 한켈 변환인 식 (9)가 푸리에 변환에서 나왔음을 알기가 어렵지만 위 과정을 따라가면 가슴으로부터 한켈 변환의 의미를 느낄 수 있다. 한켈 변환의 의미는 식 (6)을 살펴봐야 한다. 식 (1)의 푸리에 변환으로 접근했다면 무한대로 가는 이중 적분(double integral)을 고려해야 했지만 식 (6)에서는 단순한 정적분만을 고려하면 된다. 이 점이 한켈 변환의 유용성이다.

푸리에 변환쌍(Fourier transform pair)을 이용해서 한켈 역변환(inverse Hankel transform)을 구한다. 출발점은 다음의 푸리에 역변환이다.

                      (10)

한켈 변환과 동일한 방법으로 유도하면 다음 결과를 얻는다.

                      (11)

식 (4)를 식 (11)에 대입해 항별로 정리하면 다음 한켈 역변환을 얻을 수 있다.

                      (12)

그러면 한켈 변환쌍은 다음처럼 정의될 수 있다.

                       (13)

여기서 $n$은 $\phi$ 혹은 $\Phi$방향 변화를 의미한다. 식 (13)에 있는 한켈 변환쌍의 둘째식에 첫째식을 대입하면 다음 관계를 얻는다.

                      (14)

모든 $\rho$에 대해 식 (14)가 성립해야 하므로 첫번째 적분 내에 있는 특성은 반드시 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 되어야 한다.

                       (15)

식 (15)는 베셀 함수 곱의 적분과 점근식을 이용해서 유도할 수도 있다.

                      (16)

                      (17)

여기서 $(\cdot)'$는 입력 변수(argument)에 대한 미분이다. 식 (16)과 (17)을 식 (15)의 우변에 적용한다.

                      (18)

여기서 $\beta \to \infty$, $\phi_n$ = $\beta \rho - (n+1/2)\pi/2$, $\phi_n'$ = $\beta \rho' - (n+1/2)\pi/2$이다. 식 (18)의 마지막식에 단위 계단 함수의 푸리에 변환에서 구한 삼각 함수의 극한값 식 (20)을 적용하면, 식 (15)가 쉽게 얻어진다.

                  (19)

                  (20)

여기서 $\delta(\cdot)$는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이며, $\rho$와 $\rho'$는 $0$부터 시작하므로 $\delta(\rho + \rho')$는 무시한다. 식 (15)와 비슷하게 제1종과 제2종 베셀 함수의 적분도 구할 수 있다.

                  (21)

식 (18)처럼 베셀 함수 곱의 적분으로 시작한다.

                  (22)

여기서 $\alpha \to 0$, $\beta \to \infty$이다. 단위 계단 함수의 푸리에 변환을 바탕으로 $\kappa$ = $\beta$를 대입한 결과를 얻는다.

                  (23)

여기서 삼각 함수 곱의 극한값은 식 (19)를 이용해 다음처럼 계산한다.

                  (24)

파수 $\kappa$ = $\alpha$의 결과를 구할 때는 베셀 함수의 극한값이 필요하다.

                      (25)

                      (26)

따라서 $\kappa$ = $\alpha$를 대입한 결과가 쉽게 유도된다.

                      (27)

최종적으로 식 (23)과 (27)을 서로 빼주어서 식 (21)을 유도한다. 제2종 베셀 함수 곱의 적분은 $\kappa$ = $0$에 특이점이 있어서 식 (15)와는 약간 다른 결과가 얻어진다.

                      (28)

여기서 $\delta_{nm}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 식 (28)의 증명 방법은 식 (22)와 유사하다.

                      (29)

여기서 $\alpha \to 0$, $\beta \to \infty$이다. 파수 $\kappa$ = $\beta$와 $\alpha$를 식 (29)에 대입해서 서로 빼주면 식 (28)이 증명된다.

                      (30)

                      (31)

여기서 삼각 함수 곱의 극한값은 식 (20)과 비슷하게 디랙 델타 함수가 된다.

                      (32)

식 (15), (21), (28)을 조합해서 다양한 한켈 함수(Hankel function) 곱의 적분을 정의할 수 있다.

                      (33)

                      (34)

식 (15)를 2차원으로 확장하여 디랙 델타 함수로 쓰면 다음과 같다.

                      (35)

식 (35)를 2차원에 대해 적분하면, $x,y$와 $\rho,\phi$에 대한 디랙 델타 함수의 등가성을 증명할 수 있다.

                      (36)

식 (35)의 우변에 방위각의 디랙 델타 함수와 식 (15)를 대입해 2차원 디랙 델타 함수를 한켈 변환처럼 나타낼 수 있다.

                      (37)

                      (38)

그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)를 식 (38)의 마지막식에 적용해서 간략화한다.

                      (39)

                      (40)

여기서 $|\bar \rho - \bar \rho'|$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$이다.

[그림 3] 제1종 한켈 함수의 가지 자름

식 (20)에 나온 베셀 함수를 한켈 함수로 바꾸어서 피적분 함수를 다르게 표현한다.

                      (41)

                      (42)

여기서 $R$ = $|\bar \rho - \bar \rho'|$이다. 제1종 한켈 함수 $H_n^{(1)}(\cdot)$의 가지 자름(branch cut)은 보통 [그림 3]처럼 정의한다. 왜냐하면 한켈 함수에 포함된 로그 함수의 가지 자름이 음의 실수축에 있기 때문이다. [그림 3]과 한켈 함수의 해석적 연속(analytic continuation)인 식 (43)을 적용해서 제2종 한켈 함수 $H_n^{(2)}(\cdot)$에 대한 적분을 다음처럼 바꾼다. 

                   (43)

                   (44)

식 (44)를 식 (42)에 넣어서 적분 구간을 다음처럼 변형한다.

                   (45)

여기서 한켈 함수의 해석적 연속을 사용하기 때문에 적분 구간은 [그림 3]의 $c_3$처럼 음의 실수축 위를 지나야 한다.

식 (13)에 제시한 표준 한켈 변환쌍을 살짝 바꾸어서 대안 한켈 변환(alternative Hankel transform) $\mathfrak{H}_a[\cdot]$를 정의할 수도 있다. 식 (13)에 나온 $\rho, \kappa$의 제곱근이 나타나도록 한켈 변환의 피적분 함수를 변형한다.

                   (46)

식 (46)을 다시 정리해서 대안 한켈 변환쌍을 새롭게 도입한다.

                   (47)

표준 한켈 변환쌍에 비해 대안 한켈 변환쌍의 피적분 함수는 $\kappa \rho$의 제곱근을 가지기 때문에, $\rho$와 $\kappa$가 커질 때에 적분 변환의 수렴성이 더 좋아진다.

[참고문헌]

[1] R. Piessens, 9. The Hankel Transform, The Transforms and Applications Handbook, 2nd ed., CRC Press, 2000.

[다음 읽을거리]

1. 베버 변환

2. 라돈 변환

3. 구면 한켈 변환

지수 적분(Exponential Integral)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "지수 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수

2. 불완전 감마 함수

[그림 1] 지수 적분 $E_1(x)$와 $\operatorname{Ei}(x)$(출처: wikipedia.org)

감마 함수(gamma function)의 성공으로 새롭게 정의된 적분이 다음의 제$n$차 지수 적분(exponential integral of the $n$th order)이다. 지수 적분은 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)를 차별화되게 표현한 특수 함수이다.

                       (1)

식 (1)은 변수 치환을 통해 상단 불완전 감마 함수(upper incomplete gamma function)로 변형할 수 있다.

                       (2)

                       (3)

지수 적분 중에서 다음에 제시한 제1차 지수 적분이 가장 많이 쓰인다. 그래서 보통 지수 적분(exponential integral)이라고 하면 제1차 지수 적분을 가리킨다.

                      (4)

여기서 $x > 0$을 만족해야 한다. 식 (4)에 $x$ = $0$을 대입하면 $E_1 (0)$은 무한대로 발산한다.[식 (10)을 봐도 $E_1(x)$는 로그 함수 특성을 가진다.] 식 (4)를 부분 적분(部分積分, integration by parts)하여 지수 적분의 점근식(asymptote)을 구할 수 있다.

                      (5)

그러면 지수 적분의 최종 점근식은 다음과 같다.

                      (6)

식 (4)는 $x$에서 무한대로 가는 적분으로 지수 적분을 정의하고 있다. 동일한 적분을 0에서 $x$로 가는 적분으로 바꿀 수는 없을까? 예를 들면 불완전 감마 함수는 감마 함수[적분 구간은 0에서 무한대]에서 상단 적분[적분 구간은 $x$에서 무한대]을 빼서 하단 적분[적분 구간은 0에서 $x$]을 쉽게 만들어낸다. 지수 적분의 적분 구간을 변경하는 방법은 매우 간단하다. 지수 적분을 미분하면 식 (4)의 피적분 함수이므로 다음이 성립한다.

                      (7)

여기서 $C$는 적분 상수이다. $x \ne 0$일 때 식 (4)의 지수 적분은 수렴하므로 적분 상수 $C$는 유한하다. $x \to 0$일 때의 극한을 이용해 적분 상수 $C$를 결정해보자. 먼저 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)의 적분 표현식에서 출발하자.

                         (8)

식 (8)을 이용하면 적분 상수 $C$는 다음처럼 표현된다.

                         (9)

그러면 지수 적분의 새로운 표현식은 다음과 같다.

                         (10)

식 (10)에 있는 멱급수(power series)를 다음과 같이 뜯어보자.

              (11)

지수 적분의 적분 구간을 바꾸면서 출현한 식 (11)의 적분도 지수 적분의 일종이다. 이 적분의 이름도 지수 적분이지만, 식 (4)와 구별하기 위해 다음과 같이 $\text{Ein}(\cdot)$(Exponential integral)으로 표기한다.

                         (12)

식 (12)를 이용하면 식 (10)은 다음처럼 간단해질 수 있다.

                         (13)

여기서 $x > 0$이다. 식 (12)와 또 다른 형태의 지수 적분 $\operatorname{Ei}(x)$도 존재한다.

                         (14)

여기서 $x < 0$이다.

[그림 2] 로그 함수를 위한 가지 자름

식 (4) 혹은 (14)에서 $x$가 원점을 지나게 되면 복소 함수론(complex analysis)을 이용한 특별한 조치가 필요하다. 바로 로그 함수에 가지 자름(branch cut)을 [그림 2]처럼 정의해서 해석 함수(analytic function)로 만든다.

                         (15)

그러면 모든 $x$에 대해 식 (13)을 확장할 수 있다.

                         (16)

여기서 $u(x)$는 단위 계단 함수(unit step function)이다. 지수 적분 $\operatorname{Ei}(x)$는 $E_1(x)$와 다르게 모든 $x$에서 함수값이 실수가 되도록 한다. 모든 $x$에 대해 성립하도록 식 (14)를 참고해서 정의한 $\operatorname{Ei}(x)$는 다음과 같다.

                         (17)

식 (16)과 식 (17)을 합쳐서 지수 적분 $E_1(x)$와 $\operatorname{Ei}(x)$의 관계를 구한다.

                         (18)

따라서 지수 적분 $E_1(x)$와 $\operatorname{Ei}(x)$는 거의 비슷하지만, $E_1(x)$는 음의 $x$에서 허수부가 있고 $\operatorname{Ei}(x)$는 $x$에 관계없이 항상 실수값만 가진다. 혹은 $E_1(x)$의 실수부는 항상 $-\operatorname{Ei}(-x)$가 되도록 식 (17)처럼 $\operatorname{Ei}(x)$를 정의한다.

   1. 기본(basics)   

[미분(differentiation)]

                         (1.1)

[함수적 관계(functional relation)]

                         (1.2)

여기서 $\operatorname{sgn}(x)$는 부호 함수(sign function)이다.

[증명]

값 $x > 0$인 경우, 코사인 적분(cosine integral)과 사인 적분(sine integral)의 정의를 이용하여 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (1.3)

만약 $x < 0$라고 해도 식 (1.3)과 유사한 방식으로 증명할 수 있다. 

______________________________

값 $x$의 부호에 따라 식 (1.2)와 같이 허수부의 부호가 바뀌는 이유는 로그 함수의 가지 자름(branch cut) 때문이다.

   2. 함수 표현식(function representation)   

[복소 함수론(complex analysis)]

[그림 2.1] 지수 적분 $E_1(x)$를 위한 닫힌 경로

                         (2.1)

여기서 $x > 0$이다.

[증명]

[그림 2.1]에 있는 닫힌 경로에 대해 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)를 적용한다.

                         (2.2)

여기서 $R \to \infty$이면 $c_2$ 상의 적분은 $0$으로 수렴한다. 식 (2.2)를 정리해서 식 (2.1)을 얻을 수 있다.

______________________________

[푸리에 변환(Fourier transform)]

                         (2.3)

[증명]

식 (2.3)에서 $u$ = $\sqrt{x^2 + a^2} + x$로 변수 치환하여 적분한다[2].

                         (2.4)

______________________________

[참고문헌]

[1] C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer, 1999.

[2] H. Haase, Full-wave Field Interactions of Non-uniform Transmission Lines, Ph.D. Thesis, Otto von Guericke University, Germany, 2005.

[다음 읽을거리]

1. 사인 적분

2. 코사인 적분