조금은 느리게 살자

2020년 12월 13일 일요일

등시 곡선(等時曲線, Tautochrone Curve)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "등시 곡선"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 등시 곡선의 개념(출처: wikipedia.org)

등시 곡선(等時曲線, tautochrone curve)은 낙하 높이가 다르더라도 밑바닥까지 떨어지는 시간이 항상 같은 경사면의 모양이다[1]. 등시 곡선의 개념은 예전부터 있었지만, 1823년아벨 21세, 조선 순조 시절에 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)은 등시 곡선을 일반화시키고 관련된 적분 방정식(integral equation)의 해법을 제시했다. 등시 곡선의 영어 표현은 고대 그리스어 타우토크로노스(ταὐτόχρόνος)가 어원이다. 타우토(ταὐτό)는 같은(the same), 크로노스(χρόνος)는 시간(time)이란 뜻이라서, 타우토크로노스는 같은 시간 혹은 등시를 권위 있게 표현한다.

[그림 2] 등시 곡선의 좌표계

[그림 2]에 있는 등시 곡선[빨간색 선]을 유도하기 위한 미분 방정식은 역학적 에너지의 보존(conservation of mechanical energy)으로 쉽게 도출한다.

(1)

여기서 $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다. 식 (1)에서 속력 $v$는 곡선의 길이 $s$의 시간 변화율[= $ds/dt$]이라서, 등시 곡선의 미분 방정식은 다음처럼 표현된다.

(2)

여기서 $s(y)$는 원점에서 현재 지점까지 잰 곡선의 길이, 시간 $t$가 증가할 때 $s(y)$는 줄어들어서 $ds/dt$의 부호는 (-)를 택한다. 그 다음에 식 (2)를 적분해서 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)을 만든다.

(3)

여기서 $T(y_0)$는 높이 $y_0$에서 떨어뜨린 물체가 등시 곡선을 따라 원점에 도착하기까지 걸린 시간이다. 아벨이 제안한 방법으로 $y$에 대한 곡선 길이 $s(y)$의 변화율을 얻는다.

(4)

여기서 등시 조건에 의해 항상 $T(y_0)$ = $T_0$이다. 따라서 곡선을 구성하는 좌표점 $(x, y)$는 다음 관계가 성립한다.

(5)

여기서 $y_{\max}$ = $2 g T_0^2 / \pi^2$, [그림 2]에 있는 곡선의 궤적에 따라 $dx/dy$의 부호는 (+)이다. 식 (5)의 마지막 결과는 사이클로이드 미분 방정식(cycloid differential equation)이다. 그래서 매개변수 $t$를 이용해서 좌표점 $(x, y)$의 궤적을 다음처럼 공식화한다.

(6)

식 (6)이 표현하는 사이클로이드(cycloid)의 궤적은 [그림 1]처럼 그려진다.

[참고문헌]

[1] B. V. Khvedelidze, "Abel problem," Encyclopedia of Mathematics, 2011.

2020년 12월 12일 토요일

리만–스틸체스 적분(Riemann–Stieltjes Integral)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "리만–스틸체스 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 적분법의 의미

[그림 1] 리만 적분으로 정의하는 정적분(출처: wikipedia.org)

통상적인 정적분(定積分, definite integral)은 [그림 1]처럼 $x$축을 따라가면서 함수값 $f(x)$가 만드는 면적을 계산한다.

(1)

식 (1)을 더 확장하려면 어떤 방법을 택해야 할까? 고급 개념인 벡터(vector)를 적용해서 식 (1)을 선 적분(line integral)으로 만들 수 있다.

(2)

혹은 식 (2)에 도입한 벡터 개념을 버린 후, $x$를 대신하는 임의의 곡선 $g(x)$를 적분 변수로 두고 $f(x)$를 단순하게 정적분한다.

(3)

여기서 $dg(x)$는 $g(x)$의 미분소(differential), $g(x)$의 움직임을 결정하는 $x$는 단조 증가하거나 감소한다. 식 (3)과 같이 리만 적분(Riemann integral)을 일반화한 정적분은 리만–스틸체스 적분(Riemann–Stieltjes Integral)이라 한다. 리만–스틸체스 적분은 스틸체스Thomas Joannes Stieltjes(1856–1894)가 1894년스틸체스 38세, 조선 고종 시절에 제안했다. 리만 적분의 정의를 이용해서 리만–스틸체스 적분을 더 고상하게 표현할 수도 있다.

(4)

여기서 $x_n$은 정적분을 위해 구간 $[a, b]$를 나눈 점, $t_n$은 닫힌 세부 구간 $[x_{n}, x_{n+1}]$ 사이에 있는 임의점이다. 점 $x_n$이 단조 증가인 경우는 다음과 같은 순서 조건을 만족한다.

(5)

만약 $g(x)$ = $x$인 직선이라면, 리만–스틸체스 적분은 단순한 리만 적분이 된다. 식 (3)에는 $g(x)$의 미분소가 있으므로, 다음과 같이 $x$에 대한 적분으로 변형하기도 한다.

(6)

또한 부분 적분(integration by parts)을 이용해서 미분소 $dg(x)$를 $df(x)$로 바꿀 수도 있다.

(7)

여기서 $d[f(x)g(x)]$ = $g(x) df(x) + f(x) dg(x)$이다.

[다음 읽을거리]

1. 아벨의 적분 방정식

2. 오일러–매클로린 공식

2020년 12월 6일 일요일

아벨의 적분 방정식(Abel's Integral Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "아벨의 적분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분 방정식의 의미

2. 베타 함수

3. 적분 방정식의 의미

대부분의 적분 방정식(integral equation)은 정확한 해법이 존재하지 않기 때문에 피적분 함수를 적절한 기저 함수(basis function)로 분해해서 수치 해석적으로 적분 방정식의 해를 근사화한다. 예외적으로 적분 방정식이 깔끔하게 풀리는 경우도 어쩌다 한 번 정도는 있다. 그 대표적인 예가 다음과 같은 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)[1]이다.

(1)

여기서 $f(0)$ = $0$, $0 < \alpha < 1$이다. 아벨의 적분 방정식은 $t$ = $x$에서 피적분 함수가 발산하는 매우 특이한 성질을 가진 특이 적분 방정식(singular integral equation)이다. 식 (1)의 풀이법은 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)이 1823년아벨 21세, 조선 순조 시절에 제안했다. 베타 함수(beta function)를 적용하면 식 (1)을 쉽게 증명할 수 있다. 먼저 식 (1)의 왼쪽 식을 $(x-t)^{1- \alpha}$로 나눈 후 $t$에 대해 적분한다.

(2)

식 (2)에 나타난 무리 함수의 적분은 베타 함수로 표현되므로, 적분 결과는 $\tau$에 대해서 항상 상수가 된다.

(3)

따라서 식 (3)을 식 (2)에 대입한 후 $x$에 대해 미분하면 식 (1)이 증명된다.

(4)

식 (1)의 오른쪽 식에 나타난 적분에 미분 연산 $d/dx$를 적용하기 위해 부분 적분(integration by parts)을 기반으로 피적분 함수의 특이성을 제거한다.

(5)

여기서 $f'(t)$ = $df(t)/dt$이다. 식 (5) 우변의 첫째 항을 $x$에 대해 미분하면 다음 결과를 얻는다.

(6)

다음 단계로 둘째 항도 미분을 해야 하지만, 피적분 함수와 적분 구간에 $x$가 모두 있어서 미분이 어렵다. 이런 어려움을 피하기 위해 $(x-a)^\alpha$를 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)로 전개해서 적분하고 미분한다.

(7)

(8)

여기서 $(\alpha)_k$는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol) 혹은 하강 계승(falling factorial)이다. 식 (8)을 더 쉽게 유도하려면 정적분의 미분 관계를 이용해야 한다. 식 (6)과 (8)을 합쳐서 $\phi(x)$를 더 간단하게 표현한다.

(9)

식 (1)의 적분 구간을 다음처럼 $0$에서 무한대로 바꾸어서 조금 다른 공식을 만들 수도 있다.

(10)

여기서 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ = $0$이다. 식 (10)의 유도는 식 (2)와 비슷한 과정을 거친다.

(11)

식 (5)처럼 피적분 함수의 특이성을 없애기 위해 식 (10)의 오른쪽 식을 부분 적분한다.

(12)

다음 단계로 식 (12)의 우변을 $x$에 대해 미분하여 정리한다.

(13)

(14)

식 (13)과 (14)를 합친 후, 식 (10)의 오른쪽 식에 대입해서 최종 결과를 얻는다.

(15)

아벨의 적분 방정식에 나오는 $\phi(x)$는 어떤 함수든지 가능하므로, 식 (1)의 적분 방정식을 적분 변환(integral transform) 형태로 정의하기도 한다. 즉 아벨 변환(Abel transform)과 아벨 역변환(inverse Abel transform)이란 이름을 붙여서 식 (1)을 다음처럼 표기할 수 있다.

(16)

여기서 $df(\chi)$ = $f'(\chi) d\chi$이다. 식 (16)의 마지막식처럼 표현한 적분은 리만–스틸체스 적분(Riemann–Stieltjes integral)이라 부른다.

아벨의 적분 방정식은 분수 미적분학(fractional calculus)으로 개념화하기도 한다. 아벨 사후 3년 뒤인 1832년리우빌 23세, 조선 순조 시절에 리우빌Joseph Liouville(1809–1882)이 분수 미분과 적분(fractional differentiation and integration)을 제안했고, 1847년리만 21세, 조선 헌종 시절에는 리만Bernhard Riemann(1826–1866)이 분수 미적분학을 복소 영역(complex domain)으로 확장했다. 한참 시간이 흐른 1893년헤비사이드 43세, 조선 고종 시절에 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)가 연산 미적분학(operational calculus)을 새롭게 제안하면서 분수 미적분학을 다시 강조했다. 그래서 식 (1)에 나오는 적분을 다음과 같은 리만–리우빌 적분(Riemann–Liouville integral)이라고 부른다.

(17)