1. 스튀름–리우빌 이론
2. 전자기파에 대한 유일성 정리
3. 구 좌표계의 전자장 표현식
4. 1차원 자유 공간 그린 함수
5. 3차원 자유 공간 그린 함수
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전자파(electromagnetic wave)가 복사(radiation)나 산란(scattering)될 때 필수적으로 사용되는 경계 조건은 복사 조건(radiation condition)이다. 복사 조건을 말로 표현하면 복사나 산란된 전자파는 항상 원천에서 멀어진다일 수 있다. 이 개념을 수학 공식으로 깔끔하게 쓰면 다음과 같다.
(1)
여기서 $k$는 파수(wavenumber)이며 원천(source)에서 멀어진 영역에서 $g(r)$은 다음 스칼라 헬름홀츠 방정식(scalar Helmholtz equation)을 만족한다.
(2)
예를 들어, 점 원천(point source)에 의해 복사되는 전자파 특성은 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)이다. 다음처럼 이 함수를 식 (1)에 대입해보면 복사 조건의 개념을 제대로 느낄 수 있다.
(3)
식 (1)에 제시한 복사 조건은 좀머펠트Arnold Sommerfeld(1868–1951)가 1921년좀머펠트 53세, 일제 식민지 시절에 제시했다. 그래서 좀머펠트의 복사 조건(Sommerfeld's radiation condition)이라고도 한다[1].
식 (1)이 점 원천에 대해 성립함을 식 (3)에서 증명했지만, 식 (1)이 모든 전자파에 대한 복사 조건이 될 수 있을까? 구 좌표계의 전자장 표현식을 바탕으로 이를 증명해보자. 복사되거나 산란되는 모든 전자파는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.
(4)
스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)에 의해 정칙 경계 조건(regular boundary condition)은 함수값과 그 미분값의 선형 관계로 정의한다.
(5)
[그림 1]처럼 전자파가 산란될 때, 경계 조건의 위치[그림 1에서 파란색 타원, 식 (4)에서 $b$]를 관찰하자. 전자파의 산란에 사용하는 문제 영역은 유한하지 않고 계속 커져야 한다. 이는 [그림 1]의 파란색 타원의 크기가 계속 커짐을 의미한다. 그래서 식 (5)에 있는 미분은 $r$방향에 대한 미분이어야 한다. 따라서 식 (4)에 있는 좌표 성분 중에서 우리가 관심을 가져야 하는 항목은 $r$이다. 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)의 미분 관계에 의해 식 (5)의 미분값은 다음과 같다.
(6)
우리가 고려하는 산란 영역의 반지름 $r$을 무한대로 보내면 식 (6)은 점근적으로 다음과 같아진다.
(7)
만약 식 (7)에 있는 리카티–베셀 함수가 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)와 연결된다면 식 (7)은 다음과 같이 간략화된다.
(8)
혹은 제1종 한켈 함수의 점근식(漸近式, asymptote)을 고려하면 $r$이 커짐에 따라 제1종 한켈 함수는 $\exp(ikr)$처럼 변하기 때문에[∵ $1/\sqrt{kr}$ 항은 0으로 천천히 수렴하기 때문에 빠르게 변하는 우세 항은 $\exp(ikr)$이 된다.] $r$에 대한 미분은 $ik$와 점근적으로 같다. 이런 정성적인 예상을 정확하게 증명한 부분이 식 (8)이다. 식 (8)의 결과를 식 (4)의 둘째식처럼 쓰면 다음과 같아진다.
(9)
식 (8)은 리카티–베셀 함수의 차수 $n$에 관계없이 성립하므로 식 (9)는 전자파의 복사나 산란에 대한 일반적인 복사 경계 조건이 된다. 다만 식 (9)는 벡터 헬름홀츠 방정식에 대한 결과이므로, 식 (2)처럼 $g(r)$로 표현하려면 벡터가 아닌 스칼라 헬름홀츠 방정식으로 바꾸어야 한다. 이 과정은 어렵지 않다. 단지 리카티–베셀 함수를 아래처럼 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)로 바꾸면 된다.
(10)
식 (10)에 제시한 결과는 정확히 식 (1)과 일치하기 때문에 좀머펠트 복사 조건이 증명된다. 하지만 이 모든 과정은 우리가 리카티–베셀 함수 $\hat Z_n (\cdot)$를 제1종 갓 한켈 함수로 선택했기 때문이다. 만약 제2종 갓 한켈 함수를 택했다면 식 (1)의 복사 조건은 다음처럼 바뀐다.
(11)
식 (1)과 (11)은 수학적으로 타당한 경계 조건이지만 물리적으로는 전혀 의미가 다르다. 식 (1)은 원천에서 바깥 영역으로 복사되는 복사 조건이지만, 식 (11)은 바깥 영역에서 원천으로 들어오는 흡수 조건(absorption condition)이다. 그래서 우리 경험에 비추어 좀머펠트 복사 조건은 식 (1)로 택한다.
복사 조건은 유일성 정리(uniqueness theorem)와도 밀접히 연결된다. 유일성 정리를 증명하려면 두 종류 해의 경계 조건이 동일해야 한다. 경계면이 유한할 때는 식 (5)와 같은 정칙 경계 조건을 이용해 유일성 정리를 쉽게 증명할 수 있다. 하지만 복사나 산란처럼 경계면이 무한대로 가면 무한대에서 전자파가 움직이는 경계 조건을 해에 관계없이 하나로 정해야 한다. 이때의 경계 조건을 복사 조건이라고 한다.
원역장(far-field)에서 전자파는 균일 평면파(uniform plane wave) 특성을 가지므로 식 (1)에 제시한 복사 조건을 벡터 전자장 형태로 표현할 수도 있다. 전기장에 대한 관계식은 다음과 같다.
(12)
식 (12)를 정리하고 원역장에서 전기장이 0이 되지 않도록 $r$을 곱하면[$\because$식 (3)에 의해 $r$을 곱해야 한다.] 전기장 벡터에 대한 복사 조건이 얻어진다[1].
(13)
자기장에 대해서도 식 (13)과 동일한 복사 조건을 얻을 수 있다. 식 (13)에 있는 전기장의 회전을 자기장으로 바꾸면 다음을 얻을 수도 있다[1].
(14)
이 결과는 $\bar E$ $\sim$ $\eta \bar H \times \hat r$이 되기 때문에, 우리가 잘 알고 있는 전기장과 자기장의 균일 평면파 관계가 된다.
(1)여기서 $k$는 파수(wavenumber)이며 원천(source)에서 멀어진 영역에서 $g(r)$은 다음 스칼라 헬름홀츠 방정식(scalar Helmholtz equation)을 만족한다.
(2)예를 들어, 점 원천(point source)에 의해 복사되는 전자파 특성은 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)이다. 다음처럼 이 함수를 식 (1)에 대입해보면 복사 조건의 개념을 제대로 느낄 수 있다.
(3)식 (1)에 제시한 복사 조건은 좀머펠트Arnold Sommerfeld(1868–1951)가 1921년좀머펠트 53세, 일제 식민지 시절에 제시했다. 그래서 좀머펠트의 복사 조건(Sommerfeld's radiation condition)이라고도 한다[1].
식 (1)이 점 원천에 대해 성립함을 식 (3)에서 증명했지만, 식 (1)이 모든 전자파에 대한 복사 조건이 될 수 있을까? 구 좌표계의 전자장 표현식을 바탕으로 이를 증명해보자. 복사되거나 산란되는 모든 전자파는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.
(4)스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)에 의해 정칙 경계 조건(regular boundary condition)은 함수값과 그 미분값의 선형 관계로 정의한다.
(5)
[그림 1] 전자파의 산란
[그림 1]처럼 전자파가 산란될 때, 경계 조건의 위치[그림 1에서 파란색 타원, 식 (4)에서 $b$]를 관찰하자. 전자파의 산란에 사용하는 문제 영역은 유한하지 않고 계속 커져야 한다. 이는 [그림 1]의 파란색 타원의 크기가 계속 커짐을 의미한다. 그래서 식 (5)에 있는 미분은 $r$방향에 대한 미분이어야 한다. 따라서 식 (4)에 있는 좌표 성분 중에서 우리가 관심을 가져야 하는 항목은 $r$이다. 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)의 미분 관계에 의해 식 (5)의 미분값은 다음과 같다.
(6)우리가 고려하는 산란 영역의 반지름 $r$을 무한대로 보내면 식 (6)은 점근적으로 다음과 같아진다.
(7)만약 식 (7)에 있는 리카티–베셀 함수가 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)와 연결된다면 식 (7)은 다음과 같이 간략화된다.
(8)혹은 제1종 한켈 함수의 점근식(漸近式, asymptote)을 고려하면 $r$이 커짐에 따라 제1종 한켈 함수는 $\exp(ikr)$처럼 변하기 때문에[∵ $1/\sqrt{kr}$ 항은 0으로 천천히 수렴하기 때문에 빠르게 변하는 우세 항은 $\exp(ikr)$이 된다.] $r$에 대한 미분은 $ik$와 점근적으로 같다. 이런 정성적인 예상을 정확하게 증명한 부분이 식 (8)이다. 식 (8)의 결과를 식 (4)의 둘째식처럼 쓰면 다음과 같아진다.
(9)식 (8)은 리카티–베셀 함수의 차수 $n$에 관계없이 성립하므로 식 (9)는 전자파의 복사나 산란에 대한 일반적인 복사 경계 조건이 된다. 다만 식 (9)는 벡터 헬름홀츠 방정식에 대한 결과이므로, 식 (2)처럼 $g(r)$로 표현하려면 벡터가 아닌 스칼라 헬름홀츠 방정식으로 바꾸어야 한다. 이 과정은 어렵지 않다. 단지 리카티–베셀 함수를 아래처럼 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)로 바꾸면 된다.
(10)식 (10)에 제시한 결과는 정확히 식 (1)과 일치하기 때문에 좀머펠트 복사 조건이 증명된다. 하지만 이 모든 과정은 우리가 리카티–베셀 함수 $\hat Z_n (\cdot)$를 제1종 갓 한켈 함수로 선택했기 때문이다. 만약 제2종 갓 한켈 함수를 택했다면 식 (1)의 복사 조건은 다음처럼 바뀐다.
(11)식 (1)과 (11)은 수학적으로 타당한 경계 조건이지만 물리적으로는 전혀 의미가 다르다. 식 (1)은 원천에서 바깥 영역으로 복사되는 복사 조건이지만, 식 (11)은 바깥 영역에서 원천으로 들어오는 흡수 조건(absorption condition)이다. 그래서 우리 경험에 비추어 좀머펠트 복사 조건은 식 (1)로 택한다.
복사 조건은 유일성 정리(uniqueness theorem)와도 밀접히 연결된다. 유일성 정리를 증명하려면 두 종류 해의 경계 조건이 동일해야 한다. 경계면이 유한할 때는 식 (5)와 같은 정칙 경계 조건을 이용해 유일성 정리를 쉽게 증명할 수 있다. 하지만 복사나 산란처럼 경계면이 무한대로 가면 무한대에서 전자파가 움직이는 경계 조건을 해에 관계없이 하나로 정해야 한다. 이때의 경계 조건을 복사 조건이라고 한다.
원역장(far-field)에서 전자파는 균일 평면파(uniform plane wave) 특성을 가지므로 식 (1)에 제시한 복사 조건을 벡터 전자장 형태로 표현할 수도 있다. 전기장에 대한 관계식은 다음과 같다.
(12)식 (12)를 정리하고 원역장에서 전기장이 0이 되지 않도록 $r$을 곱하면[$\because$식 (3)에 의해 $r$을 곱해야 한다.] 전기장 벡터에 대한 복사 조건이 얻어진다[1].
(13)자기장에 대해서도 식 (13)과 동일한 복사 조건을 얻을 수 있다. 식 (13)에 있는 전기장의 회전을 자기장으로 바꾸면 다음을 얻을 수도 있다[1].
(14)이 결과는 $\bar E$ $\sim$ $\eta \bar H \times \hat r$이 되기 때문에, 우리가 잘 알고 있는 전기장과 자기장의 균일 평면파 관계가 된다.
[참고문헌]
[1] S. H. Schot, "Eighty years of Sommerfeld's radiation condition," Historia Mathematica, vol. 19, no. 4, pp. 385–401, Nov. 1992.
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