조금은 느리게 살자

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헤르츠 다이폴"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 가장 쉬운 안테나 이론
2. 균일 평면파

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헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 만든 기념비적인 안테나 개념이 헤르츠 다이폴 혹은 헤르츠식(式) 다이폴(Hertzian dipole)이다. 간혹 아주 작다는 의미로 미소(微小) 다이폴로 부르기도 한다. 전자기파(electromagnetic wave)의 존재성을 실험적으로 처음 입증한 사람[1]이 헤르츠이므로, 최초의 안테나(antenna) 발명자도 당연히 헤르츠이다. 헤르츠는 [그림 1]에 있는 자신의 안테나 실험을 설명하기 위해 헤르츠 벡터 포텐셜(Hertzian vector potential)과 헤르츠 다이폴도 제안하였다.

뛰어난 실험 및 이론 물리학자인 헤르츠가 전자기파에 관심을 가진 이유는 무엇일까? 헤르츠는 전자기파의 존재를 증명하기 위해 실험을 시작했다기보다 당대에 경쟁하던 전기 이론의 정확성을 판정하려 했다[4]. 19세기 중반에 유행하던 전기 이론은 수학자 노이만Carl Neumann(1832–1925)이 제안하고 물리학자 베버Wilhelm Eduard Weber(1804–1891)가 발전시켰다. 노이만–베버의 전기 이론은 전기력이 순식간에 전달된다는 전통적인 원격 작용력이 중심이었다. 하지만 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)은 패러데이Michael Faraday(1791–1867)의 장(field) 개념을 이용해서 맥스웰 방정식을 제안했다. 노이만, 베버, 맥스웰이 제시한 3가지 전기 이론 중에서 어떤 이론이 물리 현상을 바르게 설명하고 있을까? 각 전기 이론의 정확성 판정은 1879년조선 고종 시절에 프로이센 과학학술원(Prussian Academy of Sciences)이 만든 현상금 문제가 되었다. 당시 베를린 대학에 있던 헬름홀츠Hermann von Helmholtz(1821–1894) 교수가 지도 학생인 헤르츠에게 이론 판정 문제를 추천했고, 헤르츠는 여러 해를 고민하고 1886~1889년 동안 열심히 실험해서 말끔하게 맥스웰 방정식의 타당성을 증명했다[5], [6], [9]. 헤르츠는 1886년헤르츠 29세, 조선 고종 시절에 거리가 떨어진 전기 발진기(electric oscillator) 사이에 전자기 유도(electromagnetic induction)로 공진(resonance)이 생기는 현상을 관찰하고 안정적인 재현도 했다. 1887년에는 두 안테나 사이에 불꽃(spark)을 성공적으로 발생시키고 다양한 매질에도 전파시켰다. 또한 빛의 입자설이 필요한 광전 효과(光電效果, photoelectric effect)까지 실험했다. 1888년에는 전자파의 속도가 유한하다는 사실을 발견했고[7], 강당에서 정재파(standing wave)가 생기는 결과를 처음으로 확인했다[8]. 1889년에는 진공관에 생기는 전자파의 반사와 투과 실험까지 맥스웰 방정식의 응용 범위를 확장했다.

[그림 1] 헤르츠의 1887년 안테나 실험 장치(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 헤르츠 다이폴은 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용해 전자파 복사 특성을 해석적으로 구할 수 있는 유일한 안테나이다. 이외 다른 안테나는 전류 분포(electric current distribution)를 알 수 없기 때문에, 전자파 복사 특성을 근사없이 구하기는 불가능하다. 이 의미를 정확히 이해하려면 헤르츠 다이폴의 전자장 유도를 처음부터 끝까지 따라가야 한다.

[그림 2] 헤르츠 다이폴 안테나

헤르츠 다이폴은 [그림 2]와 같이 특정 방향으로 전류가 흐르고 있는 전류소이다. 이 전류소의 길이는 파장(wavelength)보다 굉장히 작아야 한다.[∵ 전류소 길이가 파장에 비해 매우 작다는 조건이 있어야 식 (2)의 적분이 간단해진다.] [그림 2]의 구조가 다이폴(dipole)이라는 이름의 붙은 이유를 찾아본다. 길이 매우 작은데 전류가 한 방향으로 계속 흐르고 있어 $z$ = $+\Delta z/2$에는 ($+$) 전하가 계속 쌓이고 있고 반대로 $z$ = $-\Delta z/2$에는 ($-$) 전하가 쌓인다. 이 모양이 [그림 3]과 같은 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)와 유사해서 헤르츠 다이폴이라 불린다.

[그림 3] 전기 쌍극자

[그림 2]의 전류 밀도(electric current density)는 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관점에서 다음처럼 표현할 수 있다.

(1)

식 (1)은 전류 $I$가 $(x, y)$ = $(0, 0)$인 위치에만 있음을 뜻한다. 헤르츠 다이폴의 전류 밀도가 식 (1)처럼 주어지므로, 다음처럼 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 이용해 헤르츠 다이폴의 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)을 구할 수 있다.

(2)

식 (2)의 근사가 성립하려면 아래 조건을 도입해야 한다.

(3)

식 (3)의 근사에서 가장 민감한 부분은 위상(phase)을 나타내는 $kR$이다. $z'$ 값 자체가 작더라도 복소 지수(complex exponential)의 위상 항이므로 파장보다 작지 않으면 $z'$에 따라 $\exp(-jkR)$ 값이 변할 수 있다. 따라서, $z'$가 파장보다 작다는 강력한 조건이 필요하다. 식 (2)와 같은 자기 벡터 포텐셜을 이용해 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 기계적으로 계산한다.

(4)

(5)

여기서 자류 밀도(magnetic current density) $\bar M$이 없으므로 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential) $\bar F$ = $0$으로 둔다. 안테나 특성은 원점에서 매우 멀 때[원역장 조건: far-field condition] 정의되므로, 구 좌표계(spherical coordinate system)로 처리해야 편하다. 그래서 식 (2)의 자기 벡터 포텐셜은 식 (6)을 이용해서 식 (7)처럼 구 좌표계로 표현한다.

(6)

(7)

식 (7)을 식 (5)에 대입해서 정리하면 다음처럼 자기장을 얻을 수 있다.

(8)

자기장이 완벽히 얻어지므로 암페어의 법칙(Ampere's law)에 대입하면 전기장을 얻을 수 있다.

(9)

이로써 헤르츠 다이폴의 전자기적 복사 특성을 식 (8)과 (9)를 통해 계산할 수 있다. 식 (9)에서 $\eta$ = $\sqrt{\mu/\epsilon}$는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 고유 임피던스는 매질의 본질적 특성을 나타낸다. TEM(횡전자기, Transverse ElectroMagnetic: 진행 방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음)파인 경우 전기장과 자기장의 비율[파동 임피던스: wave impedance]은 반드시 고유 임피던스가 된다.

관측점이 원점에서 매우 멀어지는 원역장 조건을 식 (8)과 (9)에 적용한다. 원역장에서 전기장과 자기장은 $1/r$ 항이 우세하다.

(10)

식 (10)에서 전기장과 자기장은 진행 방향[$r$ 방향] 성분이 없으므로 TEM파가 된다. 사실 원역장에서 모든 전자기파는 TEM파가 된다.[∵ 전기장과 자기장의 발산(divergence)이 0이므로] TEM파이기 때문에 전기장과 자기장의 비율[파동 임피던스]은 항상 고유 임피던스가 된다.

[그림 4] 헤르츠 다이폴에서 복사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

헤르츠 다이폴과 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$의 연결 고리를 찾기 위해 다음을 고려한다.

(11)

여기서 헤르츠 다이폴의 길이 $\Delta z$는 고정된다고 가정한다. 식 (11)을 통해 전류와 다이폴 길이의 곱은 전기 쌍극자 모멘트의 시간 변화임을 알 수 있다. 즉, 헤르츠 다이폴이 전자파를 복사하는 크기는 전기 쌍극자 모멘트의 시간 변화에 비례한다. 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$를 이용해 식 (10)을 다시 표현하면 다음과 같다.

(12)

식 (12)에 있는 벡터 관계식은 식 (6)을 이용해 다음처럼 증명 가능하다.

(13)

식 (12)에서 미분 연산자 델(del, $\nabla$)이 벡터 $\hat r$로 바뀌는 이유는 원역장 조건 때문이다. 예를 들어 $x$에 대한 미분은 다음처럼 간략화된다.

(14)

헤르츠 다이폴이 복사하는 전력(radiated power) 혹은 전체 복사 전력(total radiated power, TRP)은 원역 전자장인 식 (10)을 구 표면에 대해 적분해 쉽게 구할 수 있다.

(15)

식 (15)에 있는 적분은 삼각 함수의 3배각 공식(triple-angle formula)을 이용해 다음처럼 구할 수 있다.

(16)

포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 식 (15)를 색다르게 증명할 수 있다.

(17)

자류 밀도(magnetic current density) $\bar M$은 0이므로 식 (15)는 다음으로 표현될 수 있다.

(18)

식 (18)에 전기장의 포텐셜 기반 정의를 대입하면 다음을 얻는다.

(19)

헤르츠 다이폴의 전류[혹은 자기 벡터 포텐셜] 성분이 만드는 전력 $P_A$는 다음과 같다.

(20)

헤르츠 다이폴의 전기 쌍극자[혹은 전압] 성분이 만드는 전력 $P_\phi$는 다음으로 계산된다.

(21)

식 (20)과 (21)을 이용하면 복사 전력은 식 (15)와 동일하게 얻어진다.

(22)

식 (22)의 의미는 다시 생각해볼 만 하다. 식 (20)에서 다이폴 안테나의 전류가 만드는 복사 전력은 식 (15)보다 크다. 헤르츠 다이폴의 복사 전력이 줄어드는 이유는 ($-$) 값을 가진 식 (21) 때문이다. 식 (21)은 전압의 공간적 차이 때문에 생긴 전력이므로 전기 쌍극자 모멘트가 만드는 전력이라 생각할 수 있다. 식 (21)의 전력은 복사되지 않기 때문에 헤르츠 다이폴에 축적되는 전력이다. 즉, 전하 ($+$)와 ($-$)가 서로 떨어져 생성되는 전력이므로 커패시터(capacitor)에 저장되는 전력이라 생각할 수 있다.

전자파 복사가 집중되는 정도를 나타내는 헤르츠 다이폴의 방향도(方向度, directivity) $D(\theta, \phi)$를 계산한다. 먼저 식 (10)를 이용해 복사 세기(radiant intensity) $U(\theta, \phi)$부터 계산한다.

(23)

식 (15)와 (23)을 조합해서 방향도 $D(\theta, \phi)$를 다음처럼 결정한다.

(24)

방향도는 $\theta$ = $90^\circ$에서 가장 크고 최대 크기는 $D$ = $1.5$가 된다. 데시벨(decibel)로 쓰면 $D$ $\approx$ $1.76$ dBi이다. 헤르츠 다이폴의 복사 효율(radiation efficiency)을 100%로 둔 경우는 $G$ = $D$이므로, 안테나 이득도 1.5 혹은 1.76 dBi를 얻는다.

[참고문헌]

[1] H. Hertz, "Ueber Strahlen electrischer Kraft (On radiation of electric power)," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), vol. 272, no. 4, pp. 769–783, 1889.

[2] S. A. Schelkunoff, "Theory of antennas of arbitrary size and shape," Proc. IRE, vol. 29, no. 9, pp. 493–521, Sep. 1941.

[3] S. A. Schelkunoff, "Forty years ago: Maxwell's theory invades engineering—and grows with it," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 18, no. 3, pp. 309–322, May 1970.

[4] D. O. Forfar, "An homage to Heinrich Hertz," IEEE Microw. Mag., vol. 23, no. 2, pp. 38–43, Feb. 2022.

[5] S. D'Agostino, "Hertz's researches on electromagnetic waves," Historical Studies in the Physical Sciences, vol. 6, pp. 261–323, 1975.

[6] Fraunhofer Heinrich Hertz Institute, "The most important experiments of Heinrich Hertz," History of HHI. (방문일 2022-07-17)

[7] H. Hertz, "On the finite velocity of propagation of electromagnetic actions," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), 1888.

[8] H. Hertz, "On electromagnetic waves in air and their reflection," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), 1888.

[9] C.-P. Yeang, S.-Y. Chen, Y.-Y. Chan, and J. Z. Buchwald, "Reinterpreting Hertz’s discovery of electric waves," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 66, no. 1, pp. 73–85, Feb. 2024.

[다음 읽을거리]
1. 안테나의 복사저항
2. 다이폴 안테나

3. 복사 패턴과 안테나 이득