스트래튼–추 공식(Stratton–Chu Formula)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "스트래튼–추 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면 등가의 원리
4. 프란츠 공식

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전자파 산란(electromagnetic scattering)에 많이 쓰이는 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu formula)은 전자파 분야에 많은 기여를 한 스트래튼 교수Julius Adams Stratton(1901–1994)와 추 교수朱蘭成, Lan Jen Chu(1913–1973)가 개발한 산란 공식이다[1]. 유명한 추 교수는 소형 안테나(small antenna)의 기반 이론인 추 한계(Chu limit)를 제안한 장본인이다. 스트래튼–추 공식은 엄밀하게는 프란츠 공식(Franz formula)[2]과 동일하지만 제안자가 워낙 유명하고 최종식에 복잡한 미분 연산이 적어 프란츠 공식보다는 많이 쓰인다. 하지만 연대순으로 보면 스트래튼–추 공식이 먼저 나오고 프란츠 공식이 나중에 나왔다.[대가가 그냥 되지는 않는다. 먼저 시작한 업적이 많아야 대가다.] 스트래튼–추 공식의 쉬운 유도는 아래의 프란츠 공식부터 출발한다[3].

                        (1)

                        (2)

여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu ϵ}$, $F,A$는 각각 전기 및 자기 벡터 포텐셜(electric and magnetic vector potential), $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$는 [그림 1]처럼 $s^{\prime }$ 내부 전자장을 $0$으로 만드는 등가적인 전류와 자류 밀도가 만드는 전기장과 자기장이다. 또한 $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$를 만든 실제 원천은 $s^{\prime }$ 내부에 있기 때문에, $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$가 정의된 영역인 $s^{\prime }$의 외부에서는 원천이 없다. 예를 들어, $s^{\prime }$ 안에 있는 안테나가 복사해서 만드는 전자기장이 등가 전류 및 자류 밀도를 $s^{\prime }$상에 만드는 상황이다. 표면 $s^{\prime }$은 실제 원천을 포함하는 한 얼마든지 커지거나 작아질 수 있다.

[그림 1] 영(零)의 전자기장을 이용한 표면 등가의 원리

우리가 생각하는 산란 영역이 자유 공간이면, $G_A(\cdot )$와 $G_F(\cdot )$는 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function) $g(\overline{r},{\overline{r}}^{\prime };k)$와 같다.

                         (3)

먼저 식 (1)을 간략화하기 위해 벡터 항등식(vector identity)을 이용해 다음을 얻는다.

             (4)

여기서 간략화를 위해 $g(\overline{r},{\overline{r}}^{\prime })$ = $g(\overline{r},{\overline{r}}^{\prime };k)$로 둔다. 식 (4)의 마지막식을 더 간단히 정리한다.

        (5)

여기서 $\overline{r}\ne {\overline{r}}^{\prime }$ 조건으로 인해 전류 밀도는 없어서 ${\overline{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\times \overline{H}({\overline{r}}^{\prime })$ = $-i\omega ϵ\overline{E}({\overline{r}}^{\prime })$이다. 식 (1)처럼 식 (5)를 면적 적분하고 식 (5)의 마지막식에 발산 정리(divergence theorem)를 쓴다.

                        (6)

식 (6)이 성립하려면 식 (1)의 면적 적분이 닫힌 적분이어야 한다. 그러면 최종적으로 전기장(electric field)에 대한 표현식을 얻는다.

                (7)

마찬가지로 자기장(magnetic field)에 대한 표현식도 다음처럼 얻을 수 있다.

              (8)

지금까지 유도한 식 (7)과 (8)이 전자파 산란의 핵심인 스트래튼–추 공식이다. 하지만 여기까지는 스트래튼–추 공식의 맛보기이고, 이 공식이 표현하는 세계는 더 깊고 넓다. 조금 더 깊게 가본다. 식 (7)과 (8)의 좌변에 있는 $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$은 임의가 아니다. 식 (7)과 (8)에 사용한 그린 함수 $g(\overline{r},{\overline{r}}^{\prime })$가 복사 조건(radiation condition)을 만족하기 때문에, 자연스럽게 $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$는 $s^{\prime }$의 내부에서 외부로 복사하는 전자기장이 된다. 최종 결과인 $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$가 복사 조건을 만족한다는 사실은 부수적이지만, 실제 문제에 적용할 때는 놓치면 안되는 매우 중요한 개념이다. 이를 이해하기 위해 [그림 2]와 같은 PEC(완전 전기 도체, Perfect Electric Conductor) 산란체를 고려한다.

[그림 2] PEC 산란체를 등가 전류 밀도로 치환

영역 (II)의 전자기장 ${\overline{E}}_2(\overline{r})$와 ${\overline{H}}_2(\overline{r})$를 다음과 같은 입사파(incident field)와 산란파(scattered field)의 합인 전체장(total field)으로 표시한다.

                        (9)

복사 조건을 만족하는 식 (7)과 (8)의 좌변 전자기장이 바로 산란장인 ${\overline{E}}_s(\overline{r})$과 ${\overline{H}}_s(\overline{r})$이다. 또한 식 (7)과 (8)의 표면 적분 내부에 있는 전자기장은 표면 전류 및 자류 밀도를 표현하기 위한 성분이므로, 경계 조건에 부합하기 위해 산란장이 아닌 전체장으로 표현해야 한다. 산란체 표면은 PEC이므로 경계 조건에 의해 $\hat{n}\times {\overline{H}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}$ = ${\overline{J}}_s$, ${\overline{E}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}\times \hat{n}$ = $0$이 성립한다. 이 결과를 식 (7)에 대입하면 산란 전기장은 다음과 같다.

                        (10)

식 (10) 유도에서 다음에 제시한 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)을 사용한다.

                        (11)

PEC 표면에서 전체 전기장이 $0$이란 조건을 쓰면 표면 전류 밀도에 대한 적분 방정식(integral equation)을 얻을 수 있다.

          (12)

여기서 $\overline{r}$은 임의의 PEC 표면을 가르키므로 피적분 함수에 특이점이 항상 존재한다. 실제로 식 (12)를 적분할 때는 특이점을 피하는 적분과 특이점만을 포함하는 미소 적분으로 나누어서 계산한다. 식 (12)는 전기장에 대한 경계 조건을 사용한 적분 방정식이므로 EFIE(전기장 적분 방정식, Electric Field Integral Equation)라고 한다. 마찬가지 방법으로 산란 자기장은 다음처럼 표현된다.

                        (13)

자기장 경계 조건을 활용해 식 (12)와는 다른 MFIE(자기장 적분 방정식, Magnetic Field Integral Equation)를 도출할 수 있다.

                        (14)

여기서 $\overline{r}$은 임의의 PEC 표면을 가르킨다. 식 (12)와 (14)에 제시한 EFIE와 MFIE는 근사가 없는 정확한 적분 방정식이다. 하지만 임의 적분 방정식을 항상 풀 수는 없기 때문에 EFIE와 MFIE에 근사 조건을 적용해서 풀어야 한다. 통상적으로는 전류 밀도를 이산화하여 EFIE와 MFIE를 선형화한 MoM(모멘트 방법, Method of Moments)이 PEC 산란체 해석에 많이 사용된다.
여기서 드는 의문점 하나. 식 (7)과 (8)의 좌변과 우변은 모두 동일한 전자기장을 사용해 공식화하지만, 식 (10)과 (13)의 좌변과 우변에 사용한 전자기장은 서로 다르다. 즉, 식 (10)과 (13)의 좌변은 산란장이지만, 우변은 전체장 기준이다. 어디서 이런 차이가 생겼을까? 맥스웰 방정식부터 시작해 스트래튼–추 공식을 더 깊게 이해한다. 산란체가 없는 경우의 맥스웰 방정식은 다음과 같다.

                        (15)

여기서 ${\overline{E}}_i,{\overline{H}}_i$는 장애물이 없는 자유 공간에 있다. 산란체가 있다면 [그림 2]처럼 산란체 표면에 전류 밀도 ${\overline{J}}_s$와 자류 밀도 ${\overline{M}}_s$가 생긴다. 그러면 영역 (II)에서는 전체장이 다음 맥스웰 방정식을 만족한다.

                        (16)

식 (16)에서 식 (15)를 빼면 산란장에 대한 맥스웰 방정식을 얻는다.

                        (17)

여기서 ${\overline{E}}_s,{\overline{H}}_s$는 장애물과 함께 존재하며, 장애물은 ${\overline{E}}_i,{\overline{H}}_i$의 영향까지 포함해 ${\overline{J}}_s,{\overline{M}}_s$로 표현된다. 따라서 산란장을 만드는 전류 및 자류는 분명 산란체에 의한 ${\overline{J}}_s$와 ${\overline{M}}_s$이다. 또한 [그림 2]와 같은 PEC 산란체의 경계 조건으로 인해 표면에서는 ${\overline{M}}_s$ = $0$이며 ${\overline{J}}_s$만 존재한다. 이 과정을 식 (7)과 (8)의 조건과 비교한다. 식 (7)과 (8)의 유도에서 등가가 아닌 원래 원천은 표면 $s^{\prime }$ 내부에 있다고 가정하므로, $s^{\prime }$의 외부 전자장 ${\overline{E}}_{\text{tot}},{\overline{H}}_{\text{tot}}$은 항상 복사 조건을 만족한다. 그래서 식 (7)과 (8)의 좌변과 우변은 동일한 전자기장을 사용할 수 있다. 하지만 식 (10)과 (13) 유도에서는 [그림 2]와 같이 원래 원천 ${\overline{J}}_i,{\overline{M}}_i$는 $s^{\prime }$의 외부에 존재해서 산란에 의해 ${\overline{J}}_s,{\overline{M}}_s$를 표면 $s^{\prime }$에 만든다. 이 경우에 원천 ${\overline{J}}_s,{\overline{M}}_s$가 마치 $s^{\prime }$ 내부에 있는 것처럼 내부에서 외부로 향하는 전자파 ${\overline{E}}_s,{\overline{H}}_s$를 생성한다. 그래서 식 (10)과 (13)처럼 좌변은 산란장 ${\overline{E}}_s,{\overline{H}}_s$가 되고, 전자파를 만든 ${\overline{J}}_s,{\overline{M}}_s$는 전체장 ${\overline{E}}_{\text{tot}},{\overline{H}}_{\text{tot}}$로 표현한다.

추가적으로 스트래튼–추 공식이 성립하기 위해서는 [그림 1]처럼 $s^{\prime }$ 내부의 전자기장이 $0$이 되어야 한다.[그림 1에서 영역 (I)이다.] 이 조건이 성립하는가? 당연히 성립한다. 영역 (I) 내부에 원천이 없고 영역 (I)을 둘러싸는 표면적에서 전기장이 항상 $0$이기 때문이다. 이 특성을 증명하기 위해 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 적용하여 영역 (I)에 있는 내부 전자기장 관계식을 다음처럼 만들어본다.

                      (18)

식 (18)에 의해 영역 (I)을 구성하는 유전율과 투자율의 허수부[손실부]가 약간이라도 있다면 내부 전기장과 자기장은 모든 체적에서 $0$이 된다. 추가적으로 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 활용하면, PMC(완전 자기 도체, Perfect Magnetic Conductor) 산란체를 위한 EFIE와 MFIE를 다음처럼 유도할 수 있다.

                        (19a)

                        (19b)

                        (20a)

        (20b)

표면 전류 밀도 ${\overline{J}}_s(\overline{r})$가 만드는 EFIE와 MFIE를 더 쉽게 유도하려면 자기 벡터 포텐셜 ${\overline{A}}_s(\overline{r})$부터 출발해서 식 (13)과 같은 ${\overline{H}}_s(\overline{r})$을 구한다.

                        (21)

                        (22)

여기서 $g(\overline{r},{\overline{r}}^{\prime })$ = $G_A(\overline{r},{\overline{r}}^{\prime };k)$이다. 식 (22)에 회전 연산자를 적용해서 벡터 항등식으로 정리한다.

             (23)

여기서 $\overline{J}(\overline{r})$은 표면 전류 밀도, ${\overline{J}}_s(\overline{r})$을 표현하는 체적 전류 밀도이다. 식 (23)의 마지막식에 나온 표면 적분을 더욱 간략화한다.

                        (24)

여기서 $\overline{J}({\overline{r}}^{\prime })$은 표면으로만 흐르기 때문에 $d{\overline{a}}^{\prime }$에 항상 수직, $\overline{J}({\overline{r}}^{\prime })$의 발산은 식 (11)에 따라 ${\overline{J}}_s({\overline{r}}^{\prime })$의 발산으로 바뀐다. 최종적으로 식 (24)를 식 (23)에 대입해서 ${\overline{E}}_s(\overline{r})$에 대해 깔끔하게 정리하면, 식 (10)이 그대로 얻어진다. 프란츠 공식을 쓰는 식 (1), (2)보다는 자기 벡터 포텐셜의 정의인 식 (21)부터 시작하는 방식이 조금 더 직관적이고 수월하다. 맥스웰 방정식에 의지하지 않고 자기 벡터 포텐셜의 공식인 식 (25)를 기반으로 식 (10)을 쉽게 유도할 수도 있다. 식 (25)에 식 (21)을 대입한 후 식 (24)를 다시 대입해서 식  (26)을 얻는다.

                          (25)

                        (26)

식 (26)의 마지막식에 $\overline{\mathrm{\nabla }}g(\cdot )$ = $-{\overline{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }g(\cdot )$를 사용해서 식 (10)을 깔끔하게 유도한다. 이상을 모두 종합하면, EFIE와 MFIE는 다양한 방식으로 만들어낼 수 있다. 프란츠 공식으로부터 스트래튼–추 공식를 만들어서 증명이 가능하고, 맥스웰 방정식과 그린 함수 혹은 벡터 포텐셜의 공식을 교묘하게 써서 공식화할 수도 있다. 가장 간단한 방법은 식 (25)와 벡터 항등식을 이용하는 기법이다. 이 방법이 쉬워진 이유는 식 (25)가 그 자체로 맥스웰 방정식을 담고 있기 때문이다.

스트래튼–추 공식은 PEC뿐만 아니라 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)을 가진 매질에도 응용 가능하다[5]. 등가 전류 및 자류 밀도 ${\overline{J}}_s(\overline{r}),{\overline{M}}_s(\overline{r})$를 모두 포함하도록 식 (12)에 제시된 EFIE를 다음과 같이 변경한다.

                         (27a)

                         (27b)

식 (27b)에 임피던스 경계 조건인 식 (28)을 대입해서 ${\overline{J}}_s(\overline{r})$에 대한 최종적인 EFIE를 유도한다.

                         (28)

                         (29)

여기서 $Z_s$는 경계 임피던스(boundary impedance)이다. 식 (29)와 비슷한 방식으로 임피던스 경계 조건에 대한 MFIE도 공식화된다.

                         (30a)

                         (30b)

                         (31)

식 (31)에는 미지수인 ${\overline{M}}_s({\overline{r}}^{\prime })$ 혹은 ${\overline{J}}_s({\overline{r}}^{\prime })\times {\hat{n}}^{\prime }$의 발산이 있으므로, 수치 계산할 때 많이 불편하다. 이에 식 (24)와 동일한 방식으로 발산 정리(divergence theorem)를 사용해서 ${\overline{M}}_s({\overline{r}}^{\prime })$의 발산을 없앤다.

                  (32)

여기서 $v^{\prime }$는 표면적이 $s^{\prime }$인 체적, $\overline{M}({\overline{r}}^{\prime })$은 ${\overline{M}}_s({\overline{r}}^{\prime })$을 체적으로 확장한 체적 전류 밀도, ${\hat{n}}^{\prime }$ = $\hat{R}$, ${\overline{r}}^{\prime }$과 $\overline{r}$은 각각 $v^{\prime }$의 내부와 외부에 있다. 식 (32)를 식 (31)에 적용해서 계산이 훨씬 편한 MFIE를 얻는다.

                  (33)

새롭게 만든 식 (29), (31), (33)에서 PEC 조건인 $Z_s$ = $0$을 넣으면, 식 (29), (31), (33)은 정확히 식 (12), (14)로 간략화된다.

[참고문헌]

[1] J. A. Stratton and L. J. Chu, "Diffraction theory of electromagnetic waves," Phys. Rev., vol. 56, no. 1, pp. 99–107, July 1939.

[2] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500–506, 1948.

[3] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114-115, Jan. 1972.

[4] 이정석, 송태림, 두진경, 구태완, 육종관, "Stratton–Chu 공식을 이용한 측정된 근거리장에서 원거리장으로의 변환에 관한 연구", 한국전자파학회논문지, 제24권, 제3호, pp. 316–323, 2013년 3월.

[5] A. W. Glisson, "Electromagnetic scattering by arbitrarily shaped surfaces with impedance boundary conditions," Radio Sci., vol. 27, no. 06, pp. 935–943, Nov.–Dec. 1992.

[다음 읽을거리]
1. 표면 적분 방정식
2. 체적 등가의 원리

프란츠 공식(Franz Formula)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프란츠 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면 등가의 원리

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그린 함수(Green's function)와 전자기 경계 조건(electromagnetic boundary condition)을 절묘하게 결합한 프란츠 공식(Franz formula)은 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu Formula)을 유도하기 위한 지름길을 제시한다. 프란츠Walter Franz(1911–1992)는 유명한 물리학자 좀머펠트Arnold Sommerfeld(1868–1951)의 지도를 받아 23살에 박사 학위를 받았다. 프란츠 공식을 얻기 위해, 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 벡터 포텐셜(vector potential) 관점으로 결합해서 다음 결과를 얻는다.

                          (1)

                          (2)

벡터 포텐셜을 만드는 원천이 없는 경우 식 (1)과 (2)는 식 (3)의 라플라시안(Laplacian)을 이용해서 다음처럼 표현할 수도 있다.

                         (3)

                          (4)

                          (5)

식 (4)와 (5)에 있는 벡터 포텐셜을 그린 함수(Green's function)로 표현하면 다음과 같다.

                          (6)

여기서 $\overline{J}$는 전류 밀도(electric current density), $\overline{M}$은 자류 밀도(magnetic current density), $G_A$와 $G_F$는 벡터 포텐셜에 대한 그린 함수이다. 식 (6)에 있는 전류 밀도와 자류 밀도를 표현하기 위해 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 사용한다.

[그림 1] 산란체와 가상 표면

[그림 1]과 같은 산란 전자장이 있는 경우 임의의 표면[그림 1의 파란색 원]에 표면 전류 밀도와 표면 자류 밀도가 있다고 [그림 2]처럼 가정할 수 있다.

[그림 2] 영(零)의 전자기장 가정

이때 표면 전류 밀도 ${\overline{J}}_s$와 표면 자류 밀도 ${\overline{M}}_s$는 아래 식처럼 유도된다.

                        (7)

식 (7)을 식 (6)에 대입하고 식 (6)을 다시 식 (4)와 (5)에 대입하면 최종적인 프란츠 공식(Franz formula)을 얻는다[1], [2]. 참 쉽죠?

                        (8)

                        (9)

여기서 $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$는 $s^{\prime }$ 내부 전자장을 $0$으로 만드는 등가적인 전류와 자류 밀도가 만드는 전기장과 자기장이다. 또한 $\overline{E}(\overline{r})$와 $\overline{H}(\overline{r})$를 만든 원천은 $s^{\prime }$ 내부에 있다. 우리가 생각하는 영역이 [그림 2]의 영역 (II)와 같은 자유 공간이면 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 쓰면 된다. 물론 영역 (I)은 전자기장이 $0$이라는 조건을 부여해야 한다.

[그림 3] 그림을 그립시다(The Joy of Painting)의 밥 로스(Bob Ross)(출처: wikipedia.org)

이상의 설명을 보고 참 쉽죠?를 연발한 전설적인 화가 밥 로스를 떠올려본다. 무엇이든지 누군가에게는 참 쉽고 누군가에게는 너무 어렵다. 우리는 어느 쪽에 설 것인가? 우리가 쉬는 시간에 쓰는 노력이 우리의 다음 위치를 결정한다.

[참고문헌]
[1] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500–506, 1948.
[2] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114–115, Jan. 1972.

[다음 읽을거리]
1. 스트래튼-추 공식