1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
3. 전압해와 전류해의 유일성
4. 특성 임피던스의 이해
5. 전압파의 반사 계수
6. 전송선의 입력 임피던스
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[그림 1] 회로망 분석기(출처: wikipedia.org)
요즘처럼 [그림 1]과 같은 회로망 분석기(Network Analyzer)가 광범위하게 사용되는 상황에서 보면 전압 정재파비(VSWR: Voltage Standing Wave Ratio)는 옛날 용어이다. 하지만 가끔씩 안테나(antenna) 반사 기준을 정의할 때 사용하므로 VSWR의 사용법 정도는 알아야 한다.
[그림 2] 전압 정재파비 관점의 전압 변화(출처: wikipedia.org)
[그림 3] 전원과 부하가 있는 전송선 회로
(1)
여기서 $\beta$ = $2 \pi / \lambda_g$, $ \lambda_g$는 관내 파장(guided wavelength)이다. 식 (1)처럼 입사파와 반사파가 동시에 존재하게 되면 [그림 4]와 같은 정재파(定在波, standing wave)가 나타난다. 정재파는 파동이 공간상으로 움직이지 않고 시간에 대해서만 변한다는 의미이다. 정재파가 있더라도 전송선 내부에서는 입사파와 반사파가 매우 빠르게 움직이고 있다. 그래서 내부적으로는 파동이 움직이더라도 외부적으로 관찰되는 모양이 [그림 4]처럼 보이기 때문에, 정지한 파동인 정재파라고 부른다.
[그림 4] 정재파의 운동 모습(출처: wikipedia.org)
식 (1) 측정 전압의 절대값이 가장 커지는 경우를 $V_{\rm max}$, 가장 작아지는 경우를 $V_{\rm min}$이라 한다. 전압이 최대가 되려면 입사파(incident wave)와 반사파(reflected wave)가 동일 위상으로 합쳐져야 하고 최소가 되려면 입사파와 반사파가 반대 위상이 되어 서로 빼져야 한다. 또한 측정 전압의 최대점과 최소점에서는 입사파와 반사파의 상대 위상이 각각 $0^\circ$이거나 $180^\circ$이므로, 복소수 기반 페이저를 쓰지 않고 실수 기반으로 입사파와 반사파를 더하거나 뺄 수 있다. 이를 이용해 VSWR을 측정 전압의 최대/최소 비율로 정의할 수 있다.
(2)반사도의 크기는 $0 \le |\Gamma_L| \le 1$이 항상 성립해서, VSWR은 양수이며 $\text{VSWR} \ge 1$을 만족한다. 식 (2)를 반사 계수(reflection coefficient) 관점으로 쓰면 아래와 같다.
(3)
식 (3)은 매우 재미있는 공식이다. VSWR을 측정하면 반사 계수의 크기를 쉽게 알 수 있다. 이는 [그림 1]의 회로망 분석기가 없을 때 사용하던 고전적인 반사 계수 측정법이다. 즉, VSWR은 옛날에 쓰던 구닥다리 방식이라 위상의 고려없이[위상을 재고 불가능했음] 정재파의 최대값과 최소값만 구해서 반사 계수의 크기를 결정하는 방법이다. [그림 2]의 특성을 좀더 세밀하게 이해하기 위해 측정 관점으로 접근한다. [그림 3]과 같은 전송선에 측정 탐침(measurement probe)을 넣고 전압의 크기를 잰다고 가정한다. 그러면 전압의 크기는 식 (4)에 따라 변한다.
(4)
식 (4)에서 명확하듯이 VSWR로는 반사 계수의 위상 $\phi_L$을 측정할 수 없다.[∵ 위상 기준 $\phi_L$이 어떤 값을 가지든지 최대값과 최소값이 얻어지기 때문에] 식 (4)를 도표로 바꾸어서 시각적인 [그림 2]를 얻을 수도 있다. 여기서 반사 계수의 절대값은 때때로 [그림 2]처럼 $\rho$로 표시하기도 한다. 식 (4)를 쉽게 이해하기 위해 $\phi_L$ = $0$이라 두고 측정 전압의 최소값과 최대값을 구한다. 식 (4)의 제곱근 함수값이 최소일 때는 $\cos \phi$ = $-1$인 경우이다. 이때 $z$값은 $2 \beta z$ = $\pi + 2m\pi$[$m$ = $0, \pm 1, \cdots$]이 되어야 하므로, $z$ = $\lambda_g/4$, $\lambda_g/4 \pm \lambda_g/2$, $\cdots$이다. 제곱근이 최대가 되려면 $\cos \phi$ = $1$, $2 \beta z$ = $0 + 2m\pi$이어야 하므로 $z$값은 $z$ = $0$, $\pm \lambda_g/2$, $\cdots$이다. 따라서 측정 전압이 최대로 측정되는 간격은 $\lambda_g/2$가 된다. 최소값도 동일하게 $\lambda_g/2$ 간격으로 측정된다. 이 간격은 반사도의 주기와 동일한 값이다.[∵ 식 (4)에서 측정 전압을 도출할 때 반사도를 쓰므로, 측정 전압의 주기도 반사도와 같게 된다.] 측정 전압의 최대값 다음에 최소값이 나타나는 간격은 $\lambda_g/4$가 된다. 이 부분을 이해하면 [그림 2]도 쉽게 볼 수 있다. 전파하는 사람들은 $\lambda_g$를 많이 쓰지만, 식 (5)의 전기적 길이(electrical length) $l_e$를 도입해서 $\lambda_g$ $\equiv$ $2\pi$ = $360^\circ$를 만족하는 비례적 길이도 빈번하게 사용된다. 즉, 전기적 길이는 물리적 길이 $z$와 관내 파장의 비율을 이용해 길이 $z$를 위상 $\phi$로 바꾸는 새로운 길이 정의법이다.
(5)
식 (5)처럼 전기적 길이를 쓰면 전송선 특성을 주파수나 길이에 관계없이 위상으로 기술할 수 있다. 여기서 [그림 2]의 $x$축이 전기적 길이이다. 최대값과 최소값의 간격은 정확히 $\pi$, 최대값과 최소값의 간격은 $\pi/2$가 된다. 이 결과를 전기적 길이가 아닌 물리적 길이로 표현하면 각각 $\pi \to 2 \pi / 2$ = $\lambda_g/2$, $\pi/2 \to 2 \pi / 4$ = $\lambda_g/4$가 된다. VSWR 개념을 이용한 결과를 거꾸로 보면 현재 전송선에 입사하는 파동의 주파수를 알 수 있다. 예를 들어 측정 전압의 최대값 간격을 구하면 $\lambda_g/2$가 되어야 하므로, 관내 파장 $\lambda_g$를 이용해 파동 주파수를 구할 수 있다. TEM(횡전자기, Transverse ElectroMagnetic: 진행 방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음) 파동인 경우 $\lambda_g$ = $\lambda$가 된다. 이 개념은 별것 아니지만 오늘날의 전자파 분야를 만든 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 사용했던 유명한 실험 방법이다. 헤르츠는 금속으로 된 방에 전자파를 발생시켜 정재파를 측정하였다. 이 정재파의 최소값 혹은 최대값 간격은 정확히 반파장($\lambda/2$)이 되어 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)의 전자파가 실존함을 실험적으로 증명하였다.
부하가 개방(open) 혹은 단락(short)이면 특정 위치의 전압 공식은 식 (1)에 의해 매우 간단해진다. 개방 부하(open load)로 인한 선로 전압은 다음과 같다.
(6a)여기서 $\Gamma_L$ = $1$; $V_0^+$는 입사 전압파의 진폭 계수이다. 단락 부하(short load)에서는 거리별 선로 전압의 위상 특성만 바뀐다.
(6b)여기서 $\Gamma_L$ = $-1$이다. 전류의 경우에는 식 (6)의 변화 공식이 살짝 변화하여, 개방 부하의 전류는 $I(z)$ = $-j2 I_0^+ \sin(\beta z)$, 단락 부하의 전류는 $I(z)$ = $2 I_0^+ \cos(\beta z)$로 바뀐다. 여기서 $I_0^+$는 입사 전류파의 진폭 계수이다. 그러면 개방 부하의 거리별 입력 임피던스(input impedance)는 $Z_\text{in}$ = $V(z) / I(z)$ = $j Z_0 \cot (\beta z)$로 나온다. 여기서 $Z_0$ = $V_0^+ / I_0^+$이다. 마찬가지로 단락 부하의 입력 임피던스는 $Z_\text{in}$ = $V(z) / I(z)$ = $-j Z_0 \tan (\beta z)$로 수식화된다.
간혹 가다 안테나(antenna)에서 반사가 없음[혹은 공진함]을 보이기 위해 반사 기준을 VSWR 2:1로 설정하기도 한다. 이 경우 VSWR = $2$이므로 식 (3)에 대입하면 $\Gamma_L$ = $1/3$이 된다. 이를 데시벨(dB: decibel)로 표현하면 $\Gamma_L$ = $-9.5$ dB가 된다. 안테나의 반사 기준이 보통 $-10$ dB임을 감안하면, VSWR 2:1로 설계한 안테나는 $0.5$ dB 만큼 반사가 더 생긴다. 그래서 논문을 보다가 VSWR 2:1인 안테나를 보면 설계자가 무지 고생하다가 반사 기준을 $-10$에서 $-9.5$ dB로 바꾸었다고 생각하면 된다. 이런 변경을 너무 욕하지마라. 쉬운 주파수 대역을 약간만 벗어나도 안테나 설계가 쉽지 않다.
1. VSWR 표현식(representation)
[그림 1.1] 임피던스 평면에서 푸엥카레 계량으로 측정한 호의 길이 $s$: 짙은 검정색 선이 $s$(출처: [1])
[푸엥카레 계량(Poincaré metric)] [1]
(1.1)여기서 $Z$ = $R + j X$; 푸엥카레 계량의 척도 인자(scale factor)는 $h$ = $1/R$[0보다 큰 조건이 필요해서 임피던스에서 저항부 $R$을 선택]이다.
[증명]
(1.2a)여기서 $R$ = $Z_0 \cos \theta$, $X$ = $Z_0 \sin \theta$, $dZ$ = $dR + j dX$, $0 \le \theta \le \pi/2$이다. [그림 1.1]에 보인 원과 삼각형의 관계[원의 반지름이 위쪽 삼각형의 변이라서 이 삼각형의 각은 $\phi, \phi, \pi/2-\theta$로 유추된다.]에서 $\theta + \pi/2$ = $2 \phi$를 얻는다. 이 각도 관계를 식 (1.2a)를 바꾼다.
(1.2b)
(1.2c)______________________________
미분 기하학(differential geometry)과 전송선 이론(transmission line theory)은 큰 관련이 없어 보이지만, 푸엥카레 계량을 통해 호의 길이 $s$를 재면 VSWR이 나타난다. 지금까지는 스미쓰 도표(Smith chart)에만 관심을 기울였지만, 공간을 재는 측도인 계량(metric)을 이해한 사람은 [그림 1.1]이 나타내는 임피던스 평면(impedance plane) 그 자체로 반사 특성을 유추할 수 있다.
[참고문헌]
[1] T. Ohira, "[Enigmas, etc.] Solution to last month's quiz," IEEE Microw. Mag., vol. 25, no. 10, pp, 102–103, Oct. 2024.
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