베르누이 미분 방정식(Bernoulli Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베르누이 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 선형 상미분 방정식

1계(階) 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation, the first order ODE) 중에서 해법이 알려진 드문 경우가 베르누이 미분 방정식(Bernoulli differential equation)이다. 미적분학 초기 개척자인 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)가 1695년베르누이 40세, 조선 숙종 시절에 발견한 베르누이 미분 방정식은 내부에 $y^n$이란 비선형성이 있더라도 정확하게 풀린다.

                          (1)

여기서 $n \ne 0$ 및 $n \ne 1$이다. 만약 $n$ = $0$이나 $1$이 되면, 표준 해법이 있는 통상적인 1계 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)에 속해서 굳이 베르누이 미분 방정식 범주에 넣지 않는다. 식 (1)에 정의한 베르누이 미분 방정식을 기준으로 다양한 변형을 가해서 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)이나 로지스틱 혹은 산법 미분 방정식(logistic differential equation) 등에 이를 수 있다.

식 (1)을 풀기 위해 먼저 $u$ = $y^{1-n}$으로 변수 치환하고 미분을 $du$ = $(1-n)y^{-n}dy$, $dy$ = $y^n \mathbin{/}(1-u) \cdot du$로 바꾼다. 그러면 식 (1)은 $u$에 대한 1계 선형 상미분 방정식으로 변형되어서 답을 정확히 구할 수 있다.

                  (2)

식 (2)를 다시 $y$로 기술하면, $y(x)$ = $u^{1 /(1-n)}$ = $1 \mathbin{/} \sqrt[n-1]{u(x)}$를 얻는다.

   1. 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)   

리카티Jacopo Riccati(1676–1754)가 1724년리카티 48세, 조선 영조 시절에 제안한 리카티 미분 방정식은 $n$ = $2$인 베르누이 미분 방정식에 비동차 항 $q_0(x)$[$q_0(x) \ne 0$]을 추가한 형태이다. 리카티는 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)로도 유명하다.

                          (1.1)

비동차 항 $q_0 (x)$의 추가는 미미해보여 $u$ = $1/y$로 치환해서 식 (2)처럼 해결할 수 있을 것 같다. 하지만 $q_0 (x)$로 인해 식 (2)로 변형할 수 없어서, 리카티의 제안대로 $u$ = $q_2 y$, $u$ = $- v' / v$로 변수를 교체해야 한다.

                          (1.2a)

여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분, $du/dx$ = $u'$ = $q_2' y + q_2 y'$이다. 변수 치환 $u$ = $- v' / v$로 인해 $du/dx$는 복잡하게 나오지만 새로운 $u^2$ 항이 출현해 미분 방정식이 자연스럽게 풀린다.

                          (1.2b)

식 (1.2b)는 2계 선형 상미분 방정식이라서 해 $v(x)$는 존재하며 유일하다. 이후에 $y(x)$ = $- v' \mathbin{/} (q_2 v)$로 해를 확정한다.

   2. 로지스틱 미분 방정식(logistic differential equation)   

로지스틱 혹은 산법(算法) 미분 방정식은 $n$ = $2$이며 상수 계수를 가진 베르누이 미분 방정식이다.

                          (2.1)

여기서 $r$은 성장 비율(growth ratio), $k$는 운반 용량(carrying capacity)이다. 운반 용량 $k$가 매우 큰 경우, $r > 0$이면 $y$는 증가, $r < 0$ 조건에서는 $y$가 감소한다. 운반 용량 $k$가 크지 않으면, $r, k$ 및 초기값에 따라 결과는 수렴, 발산, 진동할 수 있다. 로지스틱은 풍부한 함의를 가진 고대 그리스어인 로고스(λόγος, 말씀, 사유, 비례)가 어원이다. 로고스에서 파생된 말인 논리(logic)와 비슷하게 로지스틱은 계산법 혹은 사유법을 의미해서 보통 산법으로 번역한다. 다만 병참(logistics)은 로지스틱과 단어가 거의 같지만 어원은 로고스가 아니고 예전 프랑스어인 로게(loge, 막사)에서 유래한다. 식 (2.1)의 미분 방정식에 붙인 로지스틱 혹은 산법은 지수가 나오는 로그 함수(logarithm)와 다르게 결과가 산술적으로 증가한다는 뜻이다. 즉, 로그 함수가 만드는 지수 함수는 지수적으로 매우 빠르게 커지지만 로지스틱 함수(logistic function)는 산술적으로 천천히 늘어난다. 이때 로지스틱 함수는 식 (2.1)의 해를 나타낸다. 로지스틱 함수란 용어는 페르휠스트Pierre François Verhulst(1804–1849)에 의해 1838년페르휠스트 34세, 조선 헌종 시절에 처음 제안되었다.

로지스틱 함수는 주로 시간에 대해 정의되므로, $x$ 대신 시간 변수 $t$로 바꾸고, 함수도 인구수(population)인 $y$ = $p(t)$를 선택한다. 이 조건으로 식 (2)에 넣어서 시간에 대한 인구수 $p(t)$ 변화를 얻는다.

                          (2.2a)

여기서 $r$ = $ak$, $C$는 적분 상수이다. 시간 $t$ = $0$에서 $p(0)$ = $p_0$으로 두고 $C$를 결정해 $p(t)$를 획득한다.

                          (2.2b)

시간이 계속 흐르면 인구수 $p(t)$가 점근하는 수렴값은 $k$이며, 이때 $k$는 현재 환경이 수용할 수 있는 최대 인구수가 된다.

[그림 2.1] 표준 로지스틱 함수의 변화 특성(출처: wikipedia.org)

식 (2.2b)를 바탕으로 로지스틱 함수의 일반형(general form of logistic function)을 정의한다.

                          (2.3a)

여기서 $M, m$은 각각 로지스틱 함수의 최대값 및 최소값, $k/4$는 최대 기울기 혹은 $t$ = $t_0$에서 기울기이다. 표준 로지스틱 함수(standard logistic function)는 $m$ = $0$, $M$ = $1$, $k$ = $1$, $t_0$ = $0$인 경우이다.

                          (2.3b)

로지스틱 함수는 S자 모양으로 변하는 함수의 총칭인 시그모이드(sigmoid)의 대표적 예이다. 시그모이드의 본래 뜻은 시그마(σ, sigma)를 닮은(-oid) 곡선이다.

식 (2.1)의 계수 $r, k$가 $t$에 대한 상수가 아니고 시변(time-varying)인 $r(t), k(t)$일 때는 이산화해서 푸는 방법을 주로 선택한다. 이를 위해 미분을 전방 차분(forward difference)으로 근사화해 정리한다.

                          (2.4)

여기서 $p_n$ = $p(n \Delta t)$, $r_n$ = $r(n \Delta t)$, $k_n$ = $k(n \Delta t)$, $R_n$ = $1 + r_n \Delta t$, $K_n$ = $k_n [1 + 1 \mathbin{/} (r_n \Delta t)]$이다. 우리가 설정하는 $r_n, k_n$ 및 초기값 $p_0$에 따라 $p_n$은 수렴 혹은 발산, 때로는 진동한다. 로지스틱 미분 방정식의 이산형인 식 (2.4)는 사회 과학 분야에서 경제 성장, 주가 변동, 혹은 부동산 시장을 분석할 때 많이 사용된다[1].

[참고문헌]

[1] 김승욱, "로지스틱 방정식을 이용한 부동산경기변동과 부동산정책의 분석," 부동산학보, 제24호, pp. 33–59, 2005년 1월. (방문일 2024-02-03)

라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)

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1. 테일러 급수

2. 복소 함수론의 쉬운 이해

[그림 1] 2차 함수의 역함수 예시(출처: wikipedia.org)

역함수(inverse function)를 구할 때는 [그림 1]처럼 $x, y$를 서로 교환해서 $y$에 대해 정리하면 된다. 하지만 $y$ = $f(x)$처럼 $f(x)$를 위한 함수 표현식이 없을 때는 손으로 풀어서 역함수를 구할 수 없고, 역함수를 구하는 표준 방법론을 써야 한다. 함수가 복소 영역에서 해석적인 경우는 라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)가 역함수 유도의 특효약이다. 라그랑주 반전 정리는 역함수를 테일러 급수(Taylor series)로 공식화하는 획기적 기법이다. 라그랑주 반전 정리가 존재하기 전에는 역함수를 구할 때에 멱급수의 반전(inversion of power series)[1]이나 테일러 급수를 많이 사용했다. 멱급수 반전은 고등 수학 지식이 필요없다. 인내심만 있으면 누구나 쉽게 유도할 수 있다. 공식을 만들기 위해 함수 $y$ = $f(x)$를 표현하는 멱급수를 정의한다.

                  (1)

여기서 $f(0)$ = $0$이며, 0이 아닐 때는 $y$ 대신 $y-y_0$으로 교체한다. 식 (1)을 참고해서 역함수 $f^{-1}(y)$의 멱급수를 $x$ = $b_1 y + b_2 y^2 + b_3 y^3 + \cdots$로 둔다. 이 역함수를 다시 식 (1)에 넣어서 $y$의 거듭제곱에 대해 정리하고 항별로 비교해 $b_n$을 차례로 구한다.

                  (2a)

                          (2b)

뉴턴Isaac Newton(1643–1727)은 자신이 찾은 로그 함수에 대한 급수 전개를 이용해서 로그의 역함수인 지수 함수(exponential function)를 탐구한 적이 있었다.

                        (3a: 뉴턴–메르카토르 급수)

여기서 무한 급수의 수렴 구간은 $|x| < 1$이다. 식 (3a)의 좌변을 $y$, 우변을 멱급수로 생각해서 식 (2b)를 적용한다.

                  (3b)

식 (3b)의 둘째식은 분명히 지수 함수 $e^y$가 된다. 그래서 로그 함수의 역함수로서 지수 함수를 유도할 수 있다. 다만 로그 함수와 지수 함수의 정확한 개념은 후세 수학자인 오일러Leonhard Euler(1707–1783)에 와서야 확립된다. 멱함수의 반전 공식은 테일러 급수를 써도 증명된다. 식 (1)의 역함수를 $x$ = $f^{-1}(y)$라 두고 테일러 급수의 계수 $b_n$을 $f(x)$의 미분으로부터 얻는다.

                  (4)

여기서 미분 계수는 모두 $x$ = $0$에서 계산한다. 견디는 힘만 있으면 이 과정을 계속 반복해서 원하는 차수까지 $b_n$을 계산할 수 있다. 그러나 너무 귀찮고 반복적이다. 이런 번거로움을 확실해 해결해주는 고급 개념은 유명한 라그랑주 반전 정리이다. 하지만 라그랑주 반전 정리는 테일러 급수를 실수 넘어 복소 영역까지 확장해서 사용한다.

[라그랑주 반전 정리]

복소 함수 $w$ = $f(z)$의 역함수 $g(w)$ = $f^{-1}(w)$는 $z$ = $a$ 근방에서 아래 무한 급수로 표현된다.

                          (5a)

                          (5b)

여기서 $\text{Res}[\cdot]$는 유수(residue), $f(z)$는 $z$ = $a$ 근방에서 해석적(analytic)이다.

[증명]

복소수 $w$가 만드는 복소 평면에 대해 코쉬의 적분 공식(Cauchy's integral formula)을 적용한다.

                  (6a)

여기서 $c$는 $z$의 복소 평면에 정의한 닫힌 경로이다. 식 (6a)에 나온 역함수를 제거하기 위해 복소 함수 관계인 $w$ = $f(z)$, $\eta$ = $f(\zeta)$, $d\eta$ = $f'(\zeta) \, d\zeta$를 대입한다.

                  (6b)

피적분 함수에 위치한 유리 함수를 $z$ = $a$에서 테일러 급수로 전개한다.

                  (6c)

식 (6c)를 식 (6b)에 넣고 무한 급수 기준으로 정리한다.

                  (7a)

식 (7a)에 있는 복소 적분을 부분 적분으로 해결한다.

                  (7b)

여기서 닫힌 경로 $c$로 인해 시작점 $\zeta_1$과 끝점 $\zeta_0$은 동일, $\text{Res}[\cdot]$는 유수(residue)이다. 식 (7b)에서 얻은 유수는 다중극(multiple pole)을 가져서 미분을 통해 계산한다.

                  (7c)

식 (7b)와 (7c)를 식 (7a)에 바꾸어 넣어서 식 (5)의 계수 $g_n$을 결정한다. 식 (7a)에서 $n$ = $0$ 항은 식 (7c)를 쓸 수 없고, 식 (7b)의 적분을 그대로 남겨두고[적분 변수 $\xi$ = $f(\zeta)$에 대한 피적분 함수는 $f^{-1}(\xi) \mathbin{/} [\xi - f(a)]$] 식 (6a)에 도입한 코쉬의 적분 공식을 쓴다. 그러면 최종 결과는 식 (5)처럼 $a$가 된다.

______________________________

람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)가 1758년람베르트 30세, 조선 영조 시절에 풀었던 고차 방정식의 해를 라그랑주 반전 정리로 쉽게 유도할 수 있다. 람베르트가 고민한 방정식은 $x^m - x + q$ = $0$이다. 여기서 $m$은 2이상인 자연수, $q$는 상수이다. 역함수 관점에서 보면, $q$ = $f(x)$ = $x - x^m$의 해는 $q$의 역함수인 $x$ = $g(q)$ = $f^{-1}(q)$이다. 이 관계식을 식 (5a)에 적용해서 계산하면 답이 그대로 나온다.

                  (8a)

여기서 $f(0)$ = $0$이다. 변수 $x$의 범위를 $|x| < 1$로 제한한 후 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 이용해 무한 급수를 만든다.

                  (8b)

여기서 $(-n)_k$는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)이다. 다시 식 (8b)를 $n-1$번 미분한다.

                  (8c)

식 (8c)에서 $x$는 0으로 접근하기 때문에, 식 (8c)에서 유일하게 살아남는 항은 $k$ = $(n-1) \mathbin{/}(m-1)$이다. 이 결과를 식 (8a)의 둘째식에 대입한다.

                  (8d)

여기서 $n$은 $(m-1)k + 1$만 유지된다. 그러면 차수가 1보다 큰 고차 방정식의 해는 무한 급수로 정확히 공식화된다.

                          (9)

여기서 $|x| < 1$, $m \ge 2$이다.

람베르트 W 함수(Lambert W function)를 만드는 대칭 방정식 $f(x)$의 역함수를 구할 때는 라그랑주 반전 정리보다 멱급수의 반전이 더 쉽다.

                  (10)

먼저 식 (10)에 정의한 $f(x)$를 $x$ = $1$에서 테일러 급수로 전개한다.

                  (11a)

여기서 $\beta^{(n)}$은 상승 계승(rising factorial)이다. 계수 $a_n$의 분자와 분모를 약분해서 정리한다.

                     (11b)

계수 $a_n$을 식 (2b)에 대입해서 역함수의 계수 $b_n$을 차례로 계산한다.

                     (11c)

이상을 종합해서 식 (10)을 만족하는 $x$를 역함수 $g(c)$ = $f^{-1}(c)$로 구한다.

                          (12)

대부분 상황에 해당하듯이 수학 문제를 풀 때는 도구가 아니라 문제에 집중해야 한다. 그래서 다루는 문제에 따라 라그랑주 반전 정리나 멱급수의 반전을 적절하게 선택한다.

[참고문헌]

[1] H. Chernoff, "A note on the inversion of power series," Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 2, no. 20, pp. 331–335, Oct. 1947.

[다음 읽을거리]

1. 람베르트 W 함수

람베르트 W 함수(Lambert W Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "람베르트 W 함수"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 아름다운 숫자, 오일러의 수

2. 라그랑주 반전 정리

[그림 1] 람베르트 W 함수의 변화 특성(출처: wikipedia.org)

우리가 쓰는 대부분의 함수는 이미 오래전에 정립되어 대부분의 성질이 잘 규명되어 있다. 반면 람베르트 W 함수(Lambert W function)는 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)가 1758년람베르트 30세, 조선 영조 시절에 시작했지만 1996년김영삼 정부 시절에 와서야 수학 함수로 명확히 인정받았다[1]. 람베르트 W 함수 $W(x)$는 지수 함수 $e^y$를 이용해서 정의한다.

                          (1)

여기서 $y$ = $W(x)$이다. 람베르트 함수에 알파벳 W를 쓴 이유는 기호 계산(symbolic computation) 프로그램인 메이플(Maple)에서 W를 쓰기 때문이다.[메이플에서 W를 쓴 이유는 불분명하다. 아마도 W는 잘 쓰지 않는 알파벳인 이유가 클 것이다. 혹은 이 함수에 기여한 라이트(Edward Maitland Wright) 교수[2]의 첫자를 따서 W라는 설도 있다.]

[그림 2] 가지 자름(branch cut)으로 표현한 람베르트 W 함수의 다가성(출처: wikipedia.org)

람베르트 W 함수는 주어진 $x$에 대해 답이 여러 개인 다가 함수(multi-valued function)이다. 이 개념을 이해하기 위해 식 (1)에 자연 로그 함수 $\log(x)$를 취한다.

                  (2a)

                  (2b)

여기서 $x$ = $x_0 e^{2 n \pi i}$, $x_0$의 편각(偏角, argument)은 $-\pi < \operatorname{arg}(x_0) \le \pi$, $n$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots$, $n$은 가지를 구별하는 가지 번호(branch number)이다. 변수 $x$가 같더라도 편각은 $2 \pi$의 정수배만큼 달라질 수 있어서 $y$는 하나가 아니고 무한 개의 답이 나온다. 변수 $x$처럼 $y$도 $\log y$ = $\log y_0 + 2m\pi i$로 만들면, 식 (2b)에 따라 $n$ = $m$이다. 여기서 $\log y_0 + y_0 - \log x_0$ = $0$이다. 그래서 람베르트 W 함수의 정확한 표기는 [그림 1]에 나온 $W_n(x)$이다. 여기서 $n$은 [그림 2]와 같은 가지 자름(branch cut)을 가리키는 정수이다. 또한 식 (2)처럼 람베르트 W 함수는 $y$ 기준으로 $\log x$와 관계되고 곱 연산도 있어서 곱 로그(product logarithm)로 부를 수 있다.

[그림 3] 람베르트 W 함수의 등각 사상(출처: wikipedia.org)

등각 사상(conformal mapping) 관점에서 [그림 3]에 보인 람베르트 W 함수와 가지 자름의 특성을 고찰한다. 실수 영역에서 정의한 식 (1)을 복소수 영역으로 확장한다.

                  (3a)

여기서 $w$ = $u+ iv$, $z$ = $x +iy$이다. 람베르트 W 함수에는 식 (2)처럼 로그 특성이 있어서 $z$의 가지 자름은 음의 실수축으로 선택한다. 등각 사상에 따라 $z$에 대한 음의 실수축[$x < 0$, $y$ = $0$]은 $w$ 영역에서 다음과 같이 사상된다.

                  (3b)

식 (3b)에서 $v \ne k \pi$로 놓고 등식과 부등식을 푼다.

                  (3c)

여기서 $y$ = $0$, $k$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots$이다. 그러면 $z$평면에서 음의 실수축[$x < 0$, $y$ = $0$]에 정의한 가지 자름이 $w$평면으로 넘어가 형성한 곡선을 [그림 3]처럼 그릴 수 있다. 이 곡선은 $v$에 대해 우함수(even function)라서 $v$축에 대칭이다. 먼저 표본화 함수(sampling function) $\operatorname{Sa}(v)$가 0보다 큰 범위인 $2n \pi < v < (2n+1) \pi$를 시작으로 $u$의 범위를 결정한다. 여기서 가지 번호 $n$은 $n \ge 0$으로 제한한다.

• $2n \pi < v < (2n+0.5) \pi$: $\cos v > 0$이라서 $u$는 0보다 작음
• $(2n+0.5) \pi \le v < (2n+1) \pi$: $\cos v \le 0$으로 인해 $u$는 0과 같거나 큼

이 결과를 이해하면서 [그림 3]을 보면, 가지 번호 $n$에 대해 $v$ = $2 n \pi$ 및 $u$는 음의 무한대에서 출발해 $v$ = $(2n+0.5) \pi$에서 $u$ = $0$ 되며, $v$ = $(2n+1) \pi$ 및 $u$가 무한대로 점근하는 방식으로 곡선이 끝난다. 가지 번호 $n$ = $0$ 혹은 $v$ = $0$인 경우는 가지 자름을 특별하게 선정한다. 왜냐하면 $v \mathbin{/} \sin v$ = $1 \mathbin{/} \operatorname{Sa}(v)$는 $v$ = $0$에서 잘 정의되기 때문이다. 식 (3b)에 $v$ = $0$을 넣으면, $u < 0$인 모든 값이 가능하다. 다만 $u$ = $-1$ 혹은 $x$ = $-e^{-1}$에서 기울기가 무한대로 가서 함수의 다가성이 생긴다. 그래서 [그림 3]과 같이 $v$ = $0$ 및 $u$ = $-1$에서 가지 자름을 다시 만들게 되어, $(u, v)$ = $(-1, 0)$은 가지점(branch point)이 된다. 이를 이해하기 위해 $W(x)$의 미분을 구한다.

                  (4)

식 (4)에서 분모가 0이 되는 경우는 $w$ = $-1$이 유일하다. 함수 $W(x)$의 다가성을 해석적으로 만들려고 검정색 곡선은 $n$ = $0$에 넣고, 파란색 곡선은 $n$을 하나 더 낮추어 $n$ = $-1$로 배정한다. [그림 1]의 제시처럼 $x$ = $-e^{-1}$을 기준으로 해 $W_0 (x)$와 $W_{-1}(x)$를 각각 정의한다. 이로 인해 $n < 0$인 경우에 대한 가지 자름을 만드는 기준은 $n \ge 0$ 조건과 약간 달라진다.

• $(2n+1.5) \pi < v < (2n+2) \pi$: $\cos v > 0$이라서 $u$는 0보다 작음
• $(2n+1) \pi < v \le (2n+1.5) \pi$: $\cos v \le 0$으로 인해 $u$는 0과 같거나 큼

가지 번호가 $n$ = $0$인 $W_0(x)$는 실수 범위의 정의역이 넓어서, $n$ = $0$은 주요 가지(principal branch)가 된다. 이상에 나온 논의를 바탕으로 [그림 3]에 나온 굵은 선 모양의 가지 자름은 $v$를 변화시키면서 $(u, v)$ = $(-v \cos v / \sin v, v)$인 궤적으로 그린다.

람베르트 W 함수는 고차 방정식의 해법을 찾는 과정에서 우연히 발견되었다[1]. 람베르트는 1758년에 $x^m - x + q$ = $0$의 답을 멱급수의 반전(inversion of power series)으로 찾았다. 여기서 $m$은 자연수, $q$는 상수이다. 요즘은 라그랑주 반전 정리(Lagrange inversion theorem)로 편하게 이 방정식을 풀 수 있다. 그 후 1783년오일러 76세, 조선 정조 시절에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)는 변수 치환을 통해 더 쉽게 답을 얻는 방법을 제시했다. 오일러의 생각을 따라가려고 원래 고차 방정식에서 $m$ = $\alpha / \beta$, $q$ = $(\alpha - \beta) c$로 놓고 $x$ = $u^{-\beta}$로 치환한다.

                  (5a)

식 (5a)에 대해 $\beta \to \alpha$로 가는 극한을 적용해서 정리한다.

                  (5b)

람베르트 W 함수 형태로 만들기 위해 $\alpha$ = $1$로 두고 간략화한다.

                  (5c)

만약 $\alpha \ne 1$이 아니면 식 (5b)의 양변에 $\alpha$를 곱해서 $\alpha \log u$ = $\log u^\alpha$ = $\alpha c u^\alpha$로 만든다. 그러면 $t$ = $u^\alpha$인 치환을 통해 다시 식 (5b)와 같은 형태가 될 수 있다. 이 모두를 종합한 결과식을 보면 신기하게도 고차 방정식 $x^m - x + q$ = $0$은 람베르트 W 함수 $W(x)$를 내재하고 있다.

람베르트 W 함수가 도입됨으로 인해 지수와 일차 함수, 로그와 일차 함수, 밑수와 지수가 함께 변하는 방정식 등을 손쉽게 해결할 수 있다. 예를 들어, $e^{-ax}$ = $bx + c$를 식 (5c)와 같은 방식으로 풀어본다.

                  (6a)

지수 관계인 $2^4$ = $4^2$처럼 밑수와 지수가 서로 바뀌는 방정식의 결과도 람베르트 W 함수로 공식화된다.

                  (6b)

마찬가지로 밑수와 지수가 같은 지수 함수의 역함수도 람베르트 W 함수에 속한다.

                  (6c)

람베르트 W 함수의 급수해는 라그랑주 반전 정리(Lagrange inversion theorem)로 손쉽게 획득한다. 식 (1)에 따라 $x$ = $f(y)$ = $ye^y$로 놓고 역함수를 써서 $y$ = $g(x)$ = $f^{-1}(x)$를 계산한다.

                          (7a)

                  (7b)

식 (7b)에 나온 무한 급수의 수렴 구간은 비율 판정(ratio test)으로 결정한다.

                  (7c)

따라서 $|x| < e^{-1}$라면 식 (7b)는 절대 수렴한다.

[참고문헌]

[1] R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, and D. E. Knuth, "On the Lambert W function," Adv. Comput. Math., vol. 5, pp. 329–359, Dec. 1996.

[2] E. M. Wright, "Solution of the equation $ze^z$ = $a$", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, vol. 65, no. 2, pp. 193–203, 1959.