현수선 방정식(懸垂線方程式, Catenary Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "현수선 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 벡터 미적분학
2. 쌍곡선 함수

[그림 1] 사슬에 생긴 현수선의 모양(출처: wikipedia.org)

현수선(懸垂線, catenary)은 [그림 1]처럼 줄의 양 끝을 고정하고 밑으로 자연스럽게 늘어뜨렸을 때 생기는 선의 모양이다. 현수선이 따르는 곡선의 궤적은 포물선(parabola)과 비슷하게 생겼다. 줄을 늘어뜨린 현수선이 정말 $y$ = $ax^2 + b$로 표현되는 포물선 모양을 따르는지 증명한다.

[그림 2] 현수선에서 힘의 분포

현수선의 양 끝이 고정되면 중력에 의해 선이 아래로 늘어뜨려진다. 이때 생기는 힘의 분포는 [그림 2]와 같다. 중력이 아래로 당기기 때문에 힘은 ↘↙ 형태로 가해진다. 그러면 줄에는 원래 모양을 유지하려는 장력(張力, tension)이 ↖↗ 형태로 생긴다. [그림 2]를 보면 중력은 주황색, 장력은 바다색이다. 현수선이 따르는 곡선의 모양을 쉽게 표현하기 위해, 벡터 미적분학(vector calculus)에서 도입한 호의 길이(arc length) $s$를 사용한다. 그러면 현수선을 매개변수 $s$의 함수로 표현할 수 있다. 또한 현수선에 작용하는 장력 $\bar T$는 현수선의 단위 접선 벡터(unit tangent vector) $\hat T$를 이용해 다음처럼 쓸 수 있다.

                  (1)

장력의 크기 $T$를 $x, y$축에 대해 분해하면 다음과 같다.

                  (2)

여기서 $x$ = $0$에서 $s$ = $0$으로 선택, $T_0$는 $s$ = $0$에서 장력, $\rho_l$은 단위 길이당 선의 질량, $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다. 원점인 $s$ = $0$에서는 아래로 향하는 장력이 없고 서로 잡아당기는 장력인 $T_0$만 있다. 호의 길이 $s$가 커지더라도 $x$축으로는 장력 외에 어떠한 힘도 없기 때문에 식 (2)의 첫째식처럼 항상 $T_0$로 같다. 중력은 아래로 작용하기 때문에 $y$축 장력[= $T \sin \phi$]은 중력의 함수이다. 원점인 $s$ = $0$에서는 아래로 가해지는 힘이 없고, $s$가 커지면 중력이 아래로 생겨 이를 상쇄하려 세로 방향 장력이 위로 동일하게 작용한다.[∵ 현수선이 공중에 매달려 정지하고 있기 때문에 합력은 모든 방향에서 $0$이 된다.] 이때 현수선에 가해지는 장력은 현수선을 매단 끝 부분에서 최대가 된다. 식 (2)를 서로 나누어서 현수선 기울기에 대한 미분 방정식을 얻는다.

                   (3)

여기서 $a$ = $T_0 / (\rho_l g)$이다. 현수선의 궤적을 표현하는 식 (3)이 우리가 찾는 현수선 방정식(catenary equation)이다. 현수선 호의 길이 $s$에 대한 미분소 $ds$를 이용해서 $x$와 $s$의 관계를 다음처럼 얻는다.

                  (4)

비슷한 방식으로 $y$와 $s$의 관계식도 유도할 수 있다.

                  (5)

여기서 $C$는 적분 상수이다. 식 (4)를 식 (5)에 대입해 다음처럼 정리한다.

                   (6)

여기서 $x$ = $0$에서 $y$ = $a$라 가정해 $C$ = $0$으로 설정한다. 우리의 예상과는 다르게 [그림 1]에 나타난 곡선은 포물선이 아닌 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 함수 모양을 가진다. 쌍곡 코사인 함수로 표현한 식 (6)을 현수 곡선(catenary curve)이라 부른다. 식 (3)을 한 번 더 미분하고 호의 길이 $s$를 $x, y$의 관계로 바꾸어서 현수선 방정식을 조금 다르게 쓸 수도 있다.

                  (7)

현수선 방정식의 역사는 꽤 오래 되었다[1]. 빛의 파동성을 주장한 과학자 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)는 이미 1646년하위헌스 17세, 조선 인조 시절에 기하학을 이용해 현수선은 포물선이 아님을 증명했다. 그후 하위헌스가 죽기 4년전인 1691년하위헌스 62세, 조선 숙종 시절에, 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)가 낸 현수선 질문에 답을 하면서 하위헌스는 제대로 된 결과물을 발표했다[1].[식 (6)과 같은 공식을 명시적으로 제시하지 않았지만, 답을 모르면 생각할 수 없는 현수선의 다양한 성질을 공개했다.] 여기서 야곱 베르누이의 질문에 논문으로 답한 학자들은 라이프니츠Gottfried Wilhelm Leibniz(1646–1716), 하위헌스, 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)이다.

[그림 3] 금문교(Golden Gate Bridge)에 있는 현수선의 모습(출처: wikipedia.org)

하지만 [그림 3]처럼 현수교(suspension bridge)는 다리 질량[= $\mu_l x$]이 현수선 질량[= $\rho_l s$]보다 매우 크기 때문에[∵ $\mu_l x \gg \rho_l s$], 식 (2)에서 $T_0 \sin \phi$ = $g(\rho_l s + \mu_l x)$ $\approx$ $\mu_l g x$인 근사가 성립한다. 여기서 $\mu_l$은 단위 길이당 다리 질량이며 다리는 $x$축에 평행하게 놓인다. 그러면 식 (3)에 나온 미분 방정식은 다음처럼 변형된다.

                  (8a)

                  (8b)

여기서 $u$ = $dy/dx$, $b$ = $T_0 / (\mu_l g)$, $a \gg b$이다. 식 (8a)를 적분하고 초기 조건 $(x, y)$ = $(0, 0)$을 부여해서 최종 곡선식을 만든다.

                  (8c)

따라서 매우 무거운 현수교의 현수선은 근사적으로 포물선 모양을 가진다. 정확한 식 (8b)는 식 (4)처럼 적분해 답을 구할 수 있다.

                  (9a)

                  (9b)

                  (9c)

여기서 $c$ = $\sqrt{a^2-b^2}$, $\sin t$ = $u/\sqrt{u^2+1}$; $C$는 적절한 적분 상수이며 $F(u)$의 적분 상수까지 포함한다. 다음 단계로 역함수(inverse function) $F^{-1}(\cdot)$를 구한 후, $u$ = $dy/dx$의 치환을 식 (9a)에 적용한다. 하지만 식 (9b)를 가지고 $F^{-1}(\cdot)$를 닫힌 형식(closed form)으로 만들기는 어렵다. 그래서 현수교에 대해 식 (6)과 같은 명시적인 현수선 방정식을 얻기는 아주 난해하다.

[참고문헌]

[1] J. Bukowski, "Christiaan Huygens and the problem of the hanging chain," Coll. Math. J., vol. 39, no. 1, pp. 2–11, Jan. 2008.

[2] 아마추어맨, "현수선(catenary) 시현", digital explorer, 2024년 5월. (파이썬 기반 설명, 방문일 2024-05-17)