[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸아송 과정과 감마 분포"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 형상 모수(shape parameter) $\alpha$[그림에서는 $k$로 씀]와 척도 모수(scale parameter) $\theta$ = $1/\lambda$에 대한 감마 분포의 변화(출처: wikipedia.org)
이산 확률 분포인 푸아송 분포(Poisson distribution) $X$ $\sim$ ${\rm Poi}(\lambda')$를 연속적으로 만든 확률 분포는 감마 분포(gamma distribution)라 부른다. 감마 분포는 주로 $X$ $\sim$ $\Gamma(\alpha, \lambda)$처럼 표기한다. 감마 분포의 확률 밀도 함수(probability density function, PDF) $f_X(x)$를 정의하기 위해, ${\rm Poi}(\lambda')$에서 주어진 시간 $T$ 동안 생기는 평균적 사건 회수 $\lambda'$를 단위 시간당 출현하는 평균 사건 회수인 변화율 모수(rate parameter) $\lambda$와 시간 $x$의 함수로 바꾼다.
(1)여기서 $\lambda$의 역수는 척도 모수(scale parameter) $\theta$가 된다. 식 (1)을 푸아송 분포에 대입해서 $f_X(x)$를 만든다.
(2a)여기서 $k$는 시간 $x$ 동안 생긴 사건 회수, 시간 $x < 0$에서는 사건이 없어서 확률은 0, $A$는 $f_X(x)$의 적분을 1로 만드는 상수이다. 상수 $A$를 구하기 위해 식 (2a)를 적분한다.
(2b)
(3)여기서 $\alpha$는 감마 분포의 형상 모수이며 $\alpha > 0$을 만족한다. 감마 분포의 누적 분포 함수(cumulative distribution function, CDF) $F_X(x)$는 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)로 표현된다.
(4)여기서 $\gamma(a, x)$는 하단 불완전 감마 함수(lower incomplete gamma function)이다.
감마 분포에서 $\alpha$ = $1$인 특별한 경우는 지수 분포(exponential distribution) ${\rm Exp}(\lambda)$로 칭한다.
(5)푸아송 분포를 참고하면 $\alpha$ = $1$인 조건은 사건이 발생하지 않는 $k$ = $0$인 경우와 동일하다. 예를 들어, 지수 분포는 드루데 모형(Drude model)을 유도할 때 효과적으로 쓰인다. 옴의 법칙(Ohm's law)을 유도하기 위해서는 전자가 양성자에 충돌하지 않는 확률을 계산해야 한다. 이때 도입되는 확률 분포가 지수 분포이다.
감마 함수의 성질을 활용해서 감마 분포의 평균과 분산을 계산한다.
(6)여기서 $\Gamma(\alpha + 1)$ = $\alpha \Gamma(\alpha)$이다.
[그림 2] 베르누이 과정으로 설명하는 푸아송 과정
베르누이 과정(Bernoulli process)에서 시간을 재면서 변화율 모수(rate parameter) 혹은 단위 시간당 평균 사건 회수인 $\lambda$로 발생하는 사건을 헤아리는 절차 $N(t)$는 푸아송 과정(Poisson process)이라 명한다. 물론 각 사건은 무작위로 출현한다. 여기서 $N(t)$는 $0$에서 $t$까지 사건이 발생하는 회수이다. 예를 들어, [그림 2]에서 $N(t < T_1)$ = $0$, $N(T_2 \le t < T_3)$ = $2$ 등이 성립한다. 더 일반화해서 베르누이 과정이란 전제 없이 각 사건이 독립이며 변화율 $\lambda$만 아는 경우도 푸아송 과정이 된다. 푸아송 과정은 다음과 같은 특성이 있다.
- $N(0)$ = $0$
- 시간 간격 $\tau$ 동안 발생하는 사건 회수는 푸아송 분포 ${\rm Poi}(\lambda \tau)$를 따름
푸아송 과정을 잘 이해하기 위해 [그림 2]에 소개한 베르누이 과정인 동전 던지기를 고려한다[1]. 동전은 주기 $T$로 던져지며, 우리는 동전 앞면이 나오는 사건만을 헤아린다. 동전 앞면이 나오는 확률은 변화율 모수에 따라 $p$ = $\lambda T$이다. 시간 $t$까지 우리가 관찰하는 사건 개수는 $n$ $\approx$ $t/T$이다. 그러면 이항 분포의 정의에 의해 앞면이 나오는 사건 회수의 평균은 $\mu$ = $np$ $\approx$ $t/T \cdot \lambda T$ = $\lambda t$이다. 그래서 이 결과는 식 (1)에 정확히 부합한다. 이때 동전 던지는 주기 $T$를 아주 작게 하면, $n$은 계속 커지고 $p$는 작아지기 때문에, 동전 앞면이 나오는 사건은 희귀 사건(rare event)이 된다. 그래서 $T$를 0으로 보내는 이항 분포는 푸아송 극한 정리(Poisson limit theorem)를 만족하기 위해 푸아송 분포인 ${\rm Poi}(\lambda t)$로 변화되어야 한다.
[그림 2]에서 동전 앞면이 한 번 나오기까지 걸리는 시간 $T_1$을 추적한다. 첫번째 도착 시간(the first arrival time)에 해당하는 $T_1$의 확률 변수를 $X_1$이라 놓는다. 이 경우 $X_1 > t$인 확률은 $t$까지 사건이 발생하지 않는 확률과 같다. 이는 푸아송 분포에서 $k$ = $0$에 해당한다.
(7a)
(7b)제$n$번째까지 모든 도착 시간을 합한 $X$ = $X_1 + X_2 + \cdots + X_n$의 확률 분포를 파악하려고 적률 생성 함수(moment-generating function, MGF) $M_X(s)$를 도입한다. 첫단계로 지수 분포의 MGF를 계산한다.
(8a)
(8b)
(8c)따라서 지수 분포의 합인 $X$는 $\Gamma(n, \lambda)$인 감마 분포가 된다.
[참고문헌]
[1] H. Pishro-Nik, 11.1 Poisson Processes, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes, Kappa Research, LLC, 2014.
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