조금은 느리게 살자

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "복소 함수의 평균값 정리"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 평균값의 정리

실수 함수(real function) 미분의 존재성을 보여주는 평균값의 정리(平均値定理, mean value theorem)가 복소 함수(complex function)까지 확장될 수 있을까? 복소수(complex number)는 대소 관계가 성립하지 않기 때문에 부등식으로 증명한 실수 함수의 정리는 성립하지 않는다. 그 대표적인 예가 평균값의 정리이다. 평균값 정리는 롤의 정리에 기반을 두고 있으며, 롤의 정리는 부등식으로 증명한다. 따라서 롤의 정리(Rolle's theorem)가 복소 함수에서 성립하는지는 꼼꼼하게 증명을 해야 한다.

[그림 1] 실수 함수에 대한 롤의 정리(출처: wikipedia.org)

복소 함수가 정의된 구간인 $[a, b]$의 양쪽 끝점에서 $f(a) = f(b)$가 성립하면 구간 $[a, b]$의 어딘가에서 $f(z) = 0$인 복소수 $z$가 존재할까? 복소 평면은 1차원이 아닌 실수축과 허수축을 가진 2차원 평면이므로 롤의 정리에 쓰는 구간이란 표현은 맞지 않다. 그래서 복소 평면에서는 구간이란 표현보다는 경로라는 표현을 주로 쓴다. 또한 실수 함수에 대한 롤의 정리는 다음 부등식을 포함한다.

(1)

복소 함수는 부등식이 없기 때문에 식 (1)을 어떻게 변형해야 할까? 이러한 고민을 해결하려면 복소 함수에서 롤의 정리가 성립하지 않는 반례를 제시하면 된다. 절대 0이 되지 않는 복소 함수 $f(z) = e^z = e^{i \phi}$를 고려하자. 이 복소 함수는 크기가 항상 1이며 미분하더라도 그대로이기 때문에 미분값이 0이 되는 경우는 없다. 하지만 롤의 정리에 의해 $f(0) = f(2 \pi i)$인 경우 $0$과 $2 \pi$ 사이의 경로에서 $f'(c) = 0$이 되는 어떤 복소수 $c$가 존재해야 한다. 이런 성립은 불가능하기 때문에 복소 함수에서는 롤의 정리가 성립하지 않는다. 당연히 롤의 정리로 증명되는 평균값의 정리도 성립하지 않는다.

결과가 약간 허무하지만 완전 비관적이지는 않다. 복소 함수의 실수부와 허수부를 택하면 실수 함수가 되기 때문에 롤의 정리를 약간 비틀어 다음처럼 표현할 수 있다.

[복소 함수의 롤 정리(Rolle's theorem of complex function)]

복소수 $z_1$에서 $z_2$로 변하는 경로 $c$에서 $f(z)$가 해석적이고 $f(z_1) = f(z_2)$라면 $\Re[f'(c_1)] = 0$와 $\Im[f'(c_2)] = 0$를 만족하는 복소수 $c_1, c_2$가 양쪽 끝점을 제외한 경로 $c$상에 반드시 존재한다. 복소수 $c_1, c_2$는 서로 같을 필요는 없다.

[증명]

복소 함수 $f(z)$가 해석적(analytic)이라면 $f(z)$의 실수부와 허수부는 연속이며 미분 가능하다. 그러면 $f(z)$의 실수부와 허수부 함수는 실수 함수의 롤 정리 조건을 만족하므로 어떤 복소수 $c_1, c_2$가 경로 상에 반드시 존재한다.

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복소수 $c_1$과 $c_2$가 서로 같으면 복소 함수에서도 롤의 정리가 완벽하게 성립하지만, 애석하게도 $c_1$과 $c_2$가 반드시 같다는 보장이 없다. 그래서 복소 함수에서는 실수 함수와 같은 롤의 정리 대신 다소 부실한 위 명제 정도만 성립한다.

[그림 2] 실수 함수에 대한 평균값의 정리(출처: wikipedia.org)

복소 함수의 롤 정리와 유사하게 실수부와 허수부 함수를 구별함으로써 복소 함수의 평균값 정리를 증명할 수 있다.

[복소 함수의 평균값 정리(mean value theorem of complex function)]

복소수 $z_1$에서 $z_2$로 변하는 경로 $c$에서 $f(z)$가 해석적이면 다음 관계를 만족하는 만족하는 복소수 $c_1, c_2$가 양쪽 끝점을 제외한 경로 $c$상에 반드시 존재한다. 복소수 $c_1, c_2$는 서로 같을 필요는 없다.

(2)

[증명]

실수 함수의 평균값 정리와 비슷하게 다음과 같은 함수를 정의한다.

(3)

식 (3)에 의해 $g(z_1) = g(z_2) = f(z_1)$이므로 복소 함수의 롤 정리가 성립해서 $\Re[g'(c_1)] = 0$와 $\Im[g'(c_2)] = 0$를 만족하는 복소수 $c_1, c_2$가 양쪽 끝점을 제외한 경로 $c$상에 존재한다. 이 관계를 정리하면 식 (2)가 얻어진다.

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[경고] 아래 글을 읽지 않고 "고유치가 복소수인 스튀름–리우빌 이론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 스튀름–리우빌 이론
2. 고유 함수의 완비성
3. 복소 함수의 평균값 정리

식 (1)에 제시한 2계 선형 상미분 방정식의 해에 대한 특성을 규정하는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)은 충분히 일반적이다.

(1)

하지만 완벽히 일반적이지는 않다. 스튀름–리우빌 이론에 나오는 고유치(eigenvalue)가 항상 실수이기 때문이다. 고유치가 실수가 아니고 복소수가 되는 스튀름–리우빌 이론은 어떤 특성을 가질까? 스튀름–리우빌 이론의 일반화를 위해 함께 길을 떠나자!

일반화된 스튀름–리우빌 이론의 특성을 규명하기 위해 고유치 $\lambda_m$에 대한 고유 함수는 $\psi_m (x)$이며 켤레 고유치 $\lambda_m^*$에 대한 켤레 고유 함수(eigenfunction)는 $\psi_m^* (x)$라고 가정한다. 증명을 간략화하기 위해 고유 함수 $\psi_m (x)$와 $\psi_m^* (x)$는 경계점 $x$ = $a$에서 동일한 정칙 경계 조건을 만족한다고 가정한다.

1. 복소 고유치의 조건(condition of complex eigenvalue)

아래와 같은 정칙 경계 조건(regular boundary condition)을 가진 스튀름–리우빌 이론을 고려한다.

(1.1)

해 $y$에 켤레 복소수(complex conjugate)를 취한 $y^*$도 식 (1.1)을 만족한다면 스튀름–리우빌 이론에 의해 고유치는 실수(real number)가 된다.

(1.2)

하지만 $x$ = $a$ 혹은 $x$ = $b$에서 식 (1.2)가 성립하지 않으면 어떻게 될까? 쉽게 생각하기 위해 $x$ = $b$에서 식 (1.2)가 성립하지 않는다고 생각한다. 그러면 $\beta$, $\beta'$는 다음 관계를 가져야 한다.

(1.3)

식 (1)에 고유 함수(eigenfunction) $\psi_n (x)$의 켤레 복소수인 켤레 고유 함수(conjugate eigenfunction) $\psi_n^* (x)$를 곱해 빼주면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

(1.4)

식 (1.4)를 $x$ = $a$에서 $b$까지 적분하면 다음과 같다.

(1.5)

만약 $m$ = $n$이고 $x$ = $a$에서 $\Im[\alpha^* \alpha']$ = $0$, $x$ = $b$에서는 식 (1.3)처럼 $\Im[\beta^* \beta'] \ne 0$이라면 다음처럼 고유치 $\lambda_m$은 실수일 수 없고 허수부가 0이 아닌 복소수가 되어야 한다.

(1.6)

여기서 함수 행렬식(Wronskian) $W(u, v)$가 0이 아닌 이유는 식 (1.3)에 있는 $\Im[\beta^* \beta'] \ne 0$ 조건 때문이다.

고유치가 복소수라 하더라도 스튀름–리우빌 이론은 분명히 타당하지만, 식 (1.3)과 같은 조건이 실제로 타당한 경계 조건일까? 전자파(electromagnetic wave)를 예로 들면, 경계점 $x$ = $b$의 경계 조건이 PEC(perfect electric conductor)나 PMC(perfect magnetic conductor)라면 정상적이기 때문에 고유치는 반드시 실수가 된다. 하지만 경계 조건이 복사 조건(radiation condition)이라면 고유치는 식 (1.6)과 같은 허수부가 0이 아닌 복소수가 되어야 한다. 왜냐하면 원래 고유 함수와 켤레 고유 함수가 동일한 복사 조건을 만족할 수 없기 때문이다. 예를 들어 복사 조건을 만족하는 모드 함수가 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)라면, 이 함수의 켤레 복소수는 제2종 한켈 함수(Hankel function of the second kind)가 된다. 제2종 한켈 함수는 복사 조건이 아닌 흡수 조건(absorption condition)을 만족하기 때문에 식 (1.2)를 만족할 수 없다. 또한 손실 있는 임피던스 경계 조건(lossy impedance boundary condition)의 경우에도 고유치는 복소수가 된다.

2. 자기 수반성 없음(non-self-adjointness) [1]–[3]

(2.1)

[증명]

식 (1)에 있는 미분 연산자(differential operator) $\mathfrak D$를 대입해서 정리하면 다음과 같다.

(2.2)

식 (2.2)를 $x$ = $a$에서 $b$까지 적분한 후 경계점 $x$ = $b$의 함수 행렬식을 계산한다. 식 (1.6)에 의해 이 값은 0이 아닌 다음값으로 정해지므로 식 (2.1)이 증명된다.

(2.3)

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고유 함수에 켤레 복소수를 취하지 않으면 통상적인 스튀름–리우빌 이론에 의해 자기 수반성(self-adjointness)이 잘 성립한다.

(2.4)

3. 비직교성(nonorthogonality)

(3.1)

[증명]

식 (1.5)를 정리한 후 식 (1.6)의 결과를 대입하면 비직교성을 증명할 수 있다. 직교하지 않지만 식 (3.1)의 적분값은 다음처럼 정확히 정해진다.

(3.2)
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식 (3.2)에 의해 고유 함수의 크기는 다음 관계를 가진다.

(3.3)

켤레 복소수가 아닌 고유 함수끼리의 내적은 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)과 동일한 방식으로 직교성이 성립한다.

(3.4)

4. 레일리 몫(Rayleigh quotient)

고유치가 실수이든 복소수이든 레일리 몫은 아래처럼 동일하다.

(4.1)

여기서 함수의 내적은 아래처럼 정의한다.

(4.2)

고유치가 복소수인 경우, 레일리 몫을 이용하면 고유치의 실수부와 허수부를 쉽게 구할 수 있다.

(4.3)

(4.4)

식 (4.3), (4.4)의 증명에 다음 관계를 이용하였다.

(4.5)

식 (4.3), (4.4)에 의해 켤레 고유 함수 $\psi_m^* (x)$에 대한 고유치는 $\lambda_m$의 켤레 복소수인 $\lambda_m^*$임이 분명하다. 레일리 몫으로 얻은 식 (4.4)는 비직교성으로 얻은 식 (3.3)과 동일하다. 또한 고유치가 복소수인 조건을 다음처럼 고유 함수의 관계로 표현할 수 있다.

(4.6)

내적을 식 (4.2)와는 조금 다르게 켤레 복소수 없이 다음처럼 정의할 수도 있다.

(4.7)

그러면 레일리 몫은 식 (4.1)에서 살짝 바뀐다.

(4.8)

레일리 몫에 대한 최종 모양은 식 (4.3)과 (4.4)가 더 예뻐보이는데 식 (4.8)이 필요할까? 혹은 통상적으로 정의하는 내적 정의인 식 (4.2)가 있는데도 식 (4.7)이 필요할까? 이런 의문이 떠오르면 식 (3.1)과 (3.4)를 본다. 내적에 켤레 복소수가 포함되면 직교성이 성립하지 않는다. 켤레 복소수 없이 두 함수를 곱해서 적분하면 직교성이 잘 성립한다. 직교성은 고유 함수의 완비성을 증명할 때 반드시 쓰이기 때문에 식 (4.8)으로 정의한 레일리 몫도 매우 유용하다.

5. 복소 고유치에 대한 스튀름의 분리 정리(Sturm's separation theorem for complex eigenvalue)

(5a) 고유 함수의 실수부와 허수부 영점(zero)은 유한하다.
(5b) 고유 함수의 실수부와 허수부 영점은 단순근(simple root)이다.
(5c) 고유 함수의 실수부 영점 사이에는 허수부 영점이 하나만 존재한다. 고유 함수의 허수부 영점 사이에도 실수부 영점이 하나만 존재한다. 따라서 양쪽 끝점을 제외한 경로 상에는 고유 함수의 영점이 없다.

[증명]
명제 (5a), (5b)의 증명은 고유 함수의 실수부와 허수부를 구해서 실 함수로 바꾸면 고유치가 실수인 경우와 동일하다. 하지만 명제 (5c)는 많이 다르다.

(5.1)

여기서 $\psi_1, \psi_2$는 동일한 고유치를 가진 서로 다른 고유 함수이다.
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6. 복소 고유치에 대한 스튀름의 비교 정리(Sturm's comparison theorem for complex eigenvalue)

$\Re[\lambda_2] > \Re[\lambda_1]$이면 $\Re[\psi_1]$의 영점 사이에 $\Re[\psi_2]$의 영점이 적어도 하나 이상 존재한다. $\Im[\lambda_2] > \Im[\lambda_1]$이면 $\Im[\psi_1]$의 영점 사이에 $\Im[\psi_2]$의 영점이 적어도 하나 이상 존재한다. 여기서 고유치와 고유 함수는 $(\lambda_1, \psi_1)$, $(\lambda_2, \psi_2)$와 같은 쌍을 이루며 $p(x)$는 $\psi_1$의 실수부와 허수부 영점 사이에서 부호를 바꾸지 않는다. 즉 고유치가 크면 고유 함수도 더빨리 진동한다.

[증명]
증명 검토 중.
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7. 복소 고유치에 대한 스튀름의 진동 정리(Sturm's oscillation theorem for complex eigenvalue)

복소 고유치는 다음 관계를 만족한다.

(7.1)

(7.2)

여기서 $N(\lambda)$는 실수 고유치 $\lambda$의 영점 개수이다.

[증명]

먼저 고유치의 실수부부터 생각한다. 증명을 간단하게 하기 위해 $\psi(a)$ = $0$이라 가정한다. 또한 고유치의 실수부 $\Re[\lambda_n]$의 영점은 $a < x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_m < b$ 이런 식으로 구성된다고 고려한다. 그러면, 스튀름의 비교 정리에 의해 $\Re[\lambda_n]$보다 큰 $\Re[\lambda_{n+1}]$은 $\Re[\lambda_n]$의 영점 사이에서 반드시 영점을 가져야한다. 비슷하게 스튀름 비교 정리의 증명 방식을 사용하면 구간 $(x_m, b)$ 사이에 $\Re[\lambda_{n+1}]$의 영점이 꼭 있다. 따라서 $\Re[\lambda_{n+1}]$의 영점의 개수는 $\Re[\lambda_n]$의 영점 개수보다 1이 크기 때문에 식 (7.1)이 성립한다. 식 (7.2)를 증명하기 위해 영점 개수의 특성을 상기한다. 식 (7.1)에 의해 고유치만 커진다면 영점 개수는 계속 커질 수 있다. 구간 $(a, b)$의 영점은 무한대로 많을 수 있기 때문에[많더라도 가산 집합(可算集合, countable set)이다.] 고유치의 실수부도 계속 커져 무한대로 발산한다. 하지만 거꾸로 영점을 줄여가면 언젠가는 $N(\Re[\lambda])$ = $0$이 된다. 즉, 영점 개수가 하한선을 가지기 때문에 이 값이 고유치의 실수부가 가질 수 있는 하한선이 된다. 따라서, 고유치의 실수부는 가장 작은 값에서부터 시작해서 계속 커져가게 된다. 마찬가지 논리를 고유치의 허수부에 적용하면 식 (7.1)과 (7.2)가 성립함을 보일 수 있다.

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식 (7.2)에 의해 유한한 $m$일 때 고유치 $\lambda_m$은 유한하다. 식 (4.8)에 의해 분모는 0이 될 수 없기 때문에 다음이 성립해야 한다.

(7.3)

혹은 식 (4.8)에서 분자와 분모가 모두 0이 될 수도 있지 않을까? 그러면 식 (7.3)이 틀린 경우도 생기지 않을까? 다행히 이런 경우는 생기지 않는다. 만약 $\psi_m$에 대한 내적이 0이라면 식 (4.8)의 분자도 0이 되므로, $\lambda_m$은 어떤 값이든 될 수 있어서 스튀름의 진동 정리를 위배한다. 따라서 식 (7.3)처럼 고유 함수의 자기 자신에 대한 내적은 0이 될 수 없다.

8. 복소 고유치에 대한 고유 함수의 완비성(completeness of eigenfunctions with complex eigenvalues) [4]

[직교성을 가진 고유 함수의 완비성]

복소 고유치 $\lambda_m$에 대한 직교 정규 고유 함수(orthonormal eigenfunction)가 $\psi_m$인 경우 제곱 적분 가능한 함수(square-integrable function) $f$는 직교하는 고유 함수의 무한 급수로 정확히 표현 가능하다.

(8.1)

[증명]

실수 고유치에 대한 고유 함수의 완비성 증명과 비슷하게 복소 고유치를 가진 고유 함수의 완비성 증명도 레일리 몫으로 시작한다. 다만 증명에 직교성이 필요하기 때문에 식 (4.1)이 아닌 식 (4.8)을 사용한다. 고유치의 성질로 인해 어떤 함수 $f$든지 다음 관계가 성립한다.

(8.2)

여기서 간결한 증명을 위해 고유치의 허수부는 0보다 크다고 가정한다. 식 (8.2)가 성립하려면 함수 $f$가 제곱해서 적분 가능해야 한다. 다음으로 함수 $f$와 관계되지만 고유 함수 $\psi_0$의 영향은 없는 함수를 $g_0$이라 한다. 그러면 $g_0$는 다음처럼 표현된다.

(8.3)

마찬가지로 함수 $g_0$와 관계되지만 고유 함수 $\psi_1$의 영향이 없는 함수는 식 (8.3)과 유사하게 $g_1$으로 정의할 수 있다. 이 과정을 계속 반복하면 $\psi_0, \psi_1, \cdots, \psi_M$의 영향이 없는 함수 $g_M$을 다음처럼 정의할 수 있다.

(8.4)

또 하나 생각할 부분은 $g_M$이 $\psi_0, \psi_1, \cdots, \psi_M$의 영향이 없기 때문에 식 (4.8)과 (8.2)에 의해 다음 부등식이 성립하게 된다.

(8.5)

식 (8.5)의 우변에 있는 내적을 풀어쓰면 다음과 같다.

(8.6)

식 (8.5)에 대한 실수부와 허수부의 부등식은 다음과 같다.

(8.7)

(8.8)

여기서 $M_0$와 $N_0$는 각각 고유치 $\lambda_m$의 실수부와 허수부가 (-)인 최대 정수이다. 식 (8.7)과 (8.8)을 조합하면 식 (8.6)의 크기는 다음과 같이 유계(有界, bounded)가 된다.

(8.9)

따라서 식 (8.5)와 (8.9)에 의해 다음 부등식이 항상 성립한다.

(8.10)

식 (7.2)의 스튀름 진동 정리에 의해 고유치의 크기는 무한대로 커지기 때문에 $M$이 무한대로 커질 때 식 (8.10)의 우변은 0으로 수렴한다. 부등식 관계에 의해 식 (8.10)의 좌변도 당연히 0으로 수렴하므로 식 (8.1)의 둘째식이 성립한다. 이 식을 이용하면 다음 관계가 만족함도 보일 수 있다.

(8.11)

식 (8.11)의 둘째식에 의해 함수 $f$는 다음처럼 표현된다.

(8.12)

여기서 $f$를 완전히 표현하기 위해 사용한 함수 $g$는 $f$와 반드시 직교하며 $S_M$을 구성하는 고유 함수를 포함하지 않는다.[$\because$ 식 (8.4)에서 $S_M$의 고유 함수의 기여분은 이미 $a_m$에 포함되었으므로 $g$에 고유 함수가 포함될 수는 없다. 그래서 임의의 $m$에 대해 $(g, \psi_m)$ = $0$이다.] 다음 단계로 식 (8.12)에 $g$를 곱해 내적을 취한다.

(8.13)

만약 내적 $(g, S_M) \ne 0$이라면, $g$는 $S_M$을 구성하는 고유 함수를 가지고 있지 않다는 가정을 위배하므로 맞지 않다.[$\because$ $(g, \psi_m) \ne 0$이라면 $g$는 $\psi_m$ 성분을 가지고 있다.] 만약 $(g, S_M)$ = $0$이라면, $g$는 $S_M$을 구성하는 각 고유 함수와 직교하므로 $\psi_m$과 다른 새로운 고유 함수이다. 하지만 $(g, g)$ = $0$이므로, 식 (7.3)에 의해 $g$는 고유 함수가 될 수 없다. 따라서 식 (8.13)을 만족하는 유일한 해는 $g(x)$ = $0$이 되어야 한다. 이상을 모두 종합해서 식 (8.1)의 셋째식을 증명한다.

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식 (8.11)의 첫째식은 신호(signal) 관점에서 새로운 의미를 가진다. 첫째식의 좌변은 신호[= $f(x)$]의 순시 전력(instantaneous power)이다. 이 순시 전력은 각 고유 함수에 대한 복소 진폭[= $a_m$] 제곱의 합과 동일하다. 식 (8.11)의 첫째식은 파르세발의 정리(Parseval's theorem)와 비슷하지만, 이 식은 실수가 아닌 복소수에 대한 관계식이기 때문에 서로 다르다. 따라서 통상적인 파르세발의 정리와 구별하기 위해 식 (8.11)의 첫째식을 복소 파르세발의 정리(complex Parseval's theorem)라 부를 수 있다.

고유 함수의 켤레 복소수[= $\psi_m^*(x)$]는 식 (8.1)을 이용해 $x \ne b$인 모든 $x$에 대해[$a \le x < b$] 고유 함수[= $\psi_m (x)$]의 무한 합으로 표현할 수 있다.

(8.14)

여기서 $n$ = $0, 1, \cdots$이다. 식 (8.14)가 $x$ = $b$에서 성립하지 않는 이유는 식 (1.3)처럼 켤레 고유 함수가 $x$ = $b$에서 경계 조건을 만족하지 않기 때문이다. 점 $x$ = $b$에서 식 (8.14)가 성립하지 않지만 식 (8.14)에 대한 적분을 다음처럼 구할 수는 있다.[$x$ = $b$에서 발산하지 않는다면 끝점의 함수값은 적분에 영향을 주지 않는다.]

(8.15)

식 (8.14)와 유사하게 고유 함수 자체를 켤레 고유 함수의 무한 합으로 표현할 수도 있다.

(8.16)

그러면 구간 $a \le x < b$에서 함수 $f$는 다음처럼 고유 함수 혹은 켤레 고유 함수로 표현할 수 있다.

(8.17)

식 (8.17)을 이용해 식 (8.11)에 제시한 복소 파르세발의 정리를 더 일반화할 수 있다.

(8.18)

복소수가 아닌 통상적인[혹은 실수인] 파르세발의 정리(Parseval's theorem)도 식 (8.17)을 이용해 증명할 수 있다.

(8.19)

식 (8.19)도 신호 관점에서 볼 수 있다. 식 (8.19)는 순시 전력과 구별되는 신호의 평균 전력(average power)과 관계있다.[평균 전력이 되려면 1/2을 곱해야 한다.] 순시 전력과 비슷하게 평균 전력도 각 고유 함수의 계수[$a_m$, $b_m$]가 결정한다.

[참고문헌]

[1] V. A. Sadovnichii, "Non-self-adjoint operator," Encyclopedia of Mathematics. (방문일 2019-12-31)

[2] M. V. Keldysh, "On eigenvalues and eigenfunctions of some classes of nonselfadjoint equations," Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 77, no. 1, pp. 11–14, 1951. (In Russian)

[3] R. Mennicken, M. Möller, Non-self-adjoint Boundary Eigenvalue Problems, Amsterdam, The Netherlands: Elsevier Science, 2003.

[4] M. V. Keldysh, "On the completeness of the eigenfunctions of some class of non-selfadjoint linear operators," Russian Math. Surveys, vol. 26, no. 4, pp. 15–44, 1971. (In Russian)