1계 선형 상미분 방정식의 해법(Solution of the First Order Linear Ordinary Differential Equation)

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1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식

3. 완전 미분

선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation, linear ODE)은 일반적인 해법이 존재하지 않아서 각 경우마다 고민을 해서 새로운 풀이법을 찾아야 한다.

             (1)

하지만 1계(階) 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)인 경우는 일반 해법이 있다. 모든 경우에 적용되는 일반 해법의 핵심은 바로 적분 인자(integrating factor)이다. 적분 인자를 이해하기 위해서, 식 (1)의 미분 방정식에 $n$ = $1$을 대입하고 강제적으로 $m(x)$라는 함수를 곱한다.

                       (2)

우리 짐작대로 식 (2)에 곱한 $m(x)$가 적분 인자이다. 함수 $p(x)$가 주어진 경우, 미분 관계를 이용해 적분 인자를 구할 수 있다. 먼저 식 (2)의 둘째식에서 좌변만 집중하며 아래처럼 $m(x) y$의 미분을 기계적으로 구한다. 그런 다음에 강제적으로 이 두 식이 같다는 조건을 적용해서 적분 인자 $m(x)$를 결정한다.

                       (3)

식 (3)에서 구한 적분 인자 $m(x)$는 이미 정해진 함수 $p(x)$의 적분이므로, $m(x)$는 $p(x)$에 의해 딱 하나로 정해진다. 그 다음에 식 (2)의 좌변을 $m(x) y$의 미분으로 바꾼 후 단순 적분을 하면, 1계 선형 상미분 방정식의 일반해를 다음과 같은 부정적분으로 간단하게 표현할 수 있다.

                       (4)

식 (4)에 공식화한 해를 구체적으로 결정하려면, 식 (4)의 부정적분(indefinite integral)을 정적분(definite integral)해야 한다. 이때 필연적으로 나타나는 적분 상수는 초기값(initial value)이나 경계 조건(boundary condition) 등을 이용해 계산된다.

완전 미분(exact differential)을 도입해서 적분 인자 $m(x)$를 더 확장한 일반화 적분 인자(generalized integrating factor) $\mu(x, y)$를 정의할 수 있다[1].

                       (5)

여기서 $\phi(x, y)$ = $C$, $C$는 $x, y$에 대해 상수이다. 두 변수 $x, y$를 연결하는 함수 $\phi(x, y)$ = $C$가 있고 식 (5)의 첫째식이 완전 미분 방정식(exact differential equation)을 구성하므로, 일반화 적분 인자 $\mu(x, y)$는 아래처럼 항상 존재한다.

                       (6a)

                       (6b)

                       (6c)

함수 $\phi(x, y)$의 값어치는 $x, y$의 연결 관계에서 분명해진다. 원래 $y$ = $f(x)$이지만 완전 미분을 만들기 위해 $x, y$를 독립 변수로 취급한다. 다만 이 방식이 제대로 풀리려면 식 (5)만으로는 부족하고 방정식 하나가 더 있어야 $y$를 분명하게 정할 수 있다. 이때 사용되는 $x, y$의 연결 고리가 바로 $\phi(x, y)$이다. 또한 적분 인자는 유일하지 않고 무한대로 존재한다. 예를 들어, $\phi$를 입력 변수로 하는 함수 $M(\phi)$를 식 (6c)에 곱해본다.

                       (7)

우리가 $F(\phi)$를 곱하지만 $d\phi$ = $0$이라서, 실제로는 상수 함수 $F(C)$를 곱한 셈이다. 그러면 $F(\phi) \mu(x, y)$는 새로운 적분 인자 $\mu'(x, y)$로 작용한다. 따라서 우리 선택한 함수 $F(\phi)$의 임의성으로 인해 적분 인자는 유일하지 않고 무한하게 실재한다.

적분 인자가 존재한다고 해서 바로 구해진다는 뜻은 아니라서, $\mu(x, y)$에 대한 편미분 방정식(partial differential equation)이 필요하다. 완전 미분의 조건을 식 (5)의 둘째식에 적용해서 $\mu(x, y)$를 결정하기 위한 새로운 편미분 방정식을 하나 만든다.

                       (8)

만약 일반화 적분 인자를 $x$만의 함수라 생각해서 $\mu(x)$로 두면 식 (8)은 매우 간단해진다.

                       (9)

예를 들어, 식 (2)의 첫째식을 완전 미분 형태로 바꾸어서 식 (9)를 적용하면, 일반화 적분 인자 $\mu(x)$로부터 식 (3)에 유도한 적분 인자 $m(x)$가 그대로 도출된다.

                       (10)

여기서 $A(x, y)$ = $p(x) y - q(x)$, $B(x, y)$ = $1$, $m(x)$ = $\mu(x)$이다.

[참고문헌]

[1] E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, 1926, pp. 27–29. (방문일 2022-11-13)

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용
2. 스튀름–리우빌 이론

동차 함수(同次函數, Homogeneous Function)

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1. 완전 미분

다음과 같은 재미있는 성질을 가진 함수는 제$n$차 동차 함수(同次函數, the nth order homogeneous function)라 한다.

                  (1a)

   

                       (1b)

즉, 동차 함수는 매개변수 벡터(vector) $\bar v$에 $\alpha$를 곱하면 함수 전체에 곱한 결과와 같아지는 성질을 가진다. 혹은 각 독립 변수가 같은 비례로 바뀌는 함수를 동차 함수라 이름 붙인다. 식 (1)에 있는 벡터에서 스칼라(scalar)로 가는 함수는 선형 범함수(線型 範函數, linear functional)라고 정의한다. 따라서 동차 함수는 선형 범함수 중에서 식 (1)과 같은 성질을 가진 함수로 생각할 수 있다. 동차 함수의 대표적인 예는 벡터의 내적(inner product)이다. 예를 들어, 식 (1)의 $f$를 아래처럼 정의한다.

                       (2)

식 (2)에 있는 선형 범함수는 식 (1)의 정의를 이용하면 1차 동차 함수가 된다. 동차 함수는 완전 미분 방정식(exact differential equation)과 같은 꼴을 가진 동차 1계 상미분 방정식(homogeneous first-order ODE)을 풀 수 있는 중요 개념이다.

                       (3)

여기서 $A(x, y), B(x, y)$는 $n$차 동차 함수이다. 식 (3)에서 $u$ = $y/x$라 놓고 $A(x, y), B(x, y)$에서 $x$를 뽑아낸다.

                       (4)

여기서 $dy$ = $xdu + udx$이다. 식 (6)의 좌변과 우변은 $u, x$에 대해 완벽하게 변수 분리가 되므로, 양변을 적분해서 미분 방정식을 간단하게 풀 수 있다.

동차 함수가 가진 특이한 성질은 완전 미분(exact differential)을 이용해서 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 처음으로 증명했다. 동차란 명칭은 오일러의 스승인 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)의 1726년베르누이 59세, 조선 영조 시절 작품이다.

                        (5a)

             (5b: 완전 미분)

식 (5)는 오일러의 동차 함수 정리(Euler's homogeneous function theorem)라 부른다. 예를 들어, 식 (2)를 식 (5)에 대입하면 다음을 증명할 수 있다.

                       (6)

여기서 $f(\bar v)$는 식 (1)에 의해 제1차 동차 함수이다.

[다음 읽을거리]

1. 선형 상미분 방정식

멱급수 기반 상미분 방정식 해법(Solution of ODE Based on Power Series)

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1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식

상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE) 해의 존재성과 유일성을 증명할 때 사용한 피카르의 반복법(Picard's iteration method)은 항상 답을 무한 급수(infinite series) 형태로 내놓는다. 이를 다르게 표현하면 상미분 방정식의 해를 다음과 같은 멱급수(冪級數, power series)로 표현할 수 있다는 뜻이다.

                      (1)

테일러 급수(Taylor series)도 표현식이 식 (1)과 동일하므로 멱급수의 일종으로 생각할 수 있다. 멱급수로 표현하면 좋은 점은 미분과 적분이 매우 쉽고 미분 방정식을 푸는 방법이 멱급수의 계수를 결정하는 문제로 바뀌는 부분이다. 즉, 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ODE)이 식 (1)과 같은 멱급수를 가정해서도 풀린다는 얘기다.

                      (2)

그러면, 식 (1)과 같은 멱급수 방식은 어떠한 2계 선형 상미분 방정식도 풀 수 있는가? 아니다. 피카르의 반복법(Picard's iteration method) 증명에 따라 $p(x)$와 $q(x)$가 유한한 경우에만 식 (1)을 이용할 수 있다. 다른 말로 하면 $p(x), q(x)$가 특정한 점 $x_0$에서 발산한다면, $y_0$ = $y(x_0)$를 가진 초기 조건에 대해서는 피카르의 반복법을 사용할 수 없다. 이를 이해하기 위해 다음과 같은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)을 생각한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (2)처럼 만들려면 식 (3) 전체를 $x^2$으로 나누어야한다. 그러면 $x$ = $0$에서 $p(x), q(x)$는 발산한다. 즉, 식 (1)과 같은 단순한 멱급수 전개로는 $x$ = $0$에서 베셀 미분 방정식의 해를 구할 수 없다.

이때 혜성과 같이 등장하는 방식이 프로베니우스 방법(Frobenius method)이다. 당연히 제안자는 수학자 프로베니우스Ferdinand Georg Frobenius(1849–1917)이다. 미분 방정식에는 수학자 이름이 붙은 풀이법이 꽤 많이 등장한다. 이 해법을 다 외우려는 시도는 멍청한 짓이다. 책을 펼치면 알 수 있는 해법을 굳이 외울 필요는 없다. 핵심적인 관점은 수학자가 왜 이 방법을 제안했는가이다. 프로베니우스도 우리와 동일한 고민을 했을 것이다. 멱급수 전개법은 단순하면서도 매우 유용한데, 식 (3)과 같은 방정식에는 사용할 수가 없다. 무언가 좋은 방법이 없을까? 앞으로 프로베니우스의 고민과 해결책을 상세히 설명한다. 먼저 프로베니우스 방법을 위한 미분 방정식을 살펴본다.

                      (4)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. 베셀 미분 방정식인 식 (3)은 식 (4)와 같은 미분 방정식에 포함된다. 피카르 반복법을 이용하여 $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)의 미분 방정식 해를 구하기는 불가능하므로[∵ 식 (4)를 $x^2$으로 나누면 $dy/dx, y$의 항이 발산할 수 있다.] 머리를 좀 써본다. $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)는 다음과 같은 미분 방정식이 된다.

                      (5)

여기서 $a$ = $p(0)$, $b$ = $q(0)$이다. 식 (5)와 같은 형태는 코쉬–오일러 방정식(Cauchy–Euler equation)이라 부른다. 점 $x$ = $0$ 이외에서는 해의 존재성과 유일성이 성립하기 때문에 다음과 같이 해를 구한다.

                      (6)

식 (6)을 보면 미분 방정식이 대수 방정식으로 바뀌기 때문에, $r$을 쉽게 결정할 수 있다. 즉, 식 (6)은 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 2개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다. 식 (6)의 결과를 식 (5)에 대입하면, 항상 식 (6)이 해임을 보일 수 있다. 그래서 $x$ = $0$을 제외한 모든 영역에서 식 (6)은 식 (5)의 해이다.[혹은 어떤 $r$값에서는 $y(0)$가 수렴할 수도 있으므로 이때는 $x = 0$를 포함할 수 있다.] 그러면 식 (4)의 해도 $x$ = $0$ 근방에서는 다음처럼 식 (6)과 같은 형태를 가진다[1].

                      (7)

점 $x$ = $0$ 근방에서 식 (4)의 해를 찾은 결과가 식 (7)이므로, 계수 $c_0$는 발산하지 않는다.[∵ $x = 0$ 근방에서 $y = x^r$은 식 (5)의 정상적인 해이므로 계수 $c_0$는 일반적인 상수이다.] 따라서, $x$ = $0$ 근방에서 $y/x^r$의 특성은 식 (1)과 같은 단순 멱급수 $c(x)$로 표현할 수 있다. 즉, $x^r$만 곱한 멱급수는 식 (4)를 풀 수 있는 새롭고 강력한 방법론이다. 식 (8)과 같은 급수 전개를 이용해 $p(x), q(x)$가 발산하는 미분 방정식을 푸는 직관적인 기법을 프로베니우스 방법이라 부른다.

                        (8)

여기서 계수 $a_m$은 식 (8)을 식 (4)에 대입해 항등식 조건[$x^{r+m}$의 계수가 0]을 이용해서 구한다. 이렇게 하면 $a_m$은 재귀 관계(再歸關係, recurrence relation)로 얻어지므로 $a_0 \ne 0$이다.[∵ $a_0$ = $0$이 되면 모든 $a_m$이 $0$이 되어서 의미가 없어진다.] 식 (8)에서 먼저 결정해야 하는 값은 $r$이다. 식 (6)을 참고해서 지수에 들어가는 $r$을 결정하는 지표 방정식(indicial equation) 혹은 특성 방정식(characteristic equation)을 공식화한다.

                      (9)

식 (9)에 도입한 지표 방정식은 $x$ = $0$ 부근에서 함수 $y$의 행동을 결정하는 지수 $r$에 대한 중요 방정식이다. 프로베니우스 방법을 사용할 수 있는 미분 방정식을 분류하기 위해 식 (4)를 다음처럼 변형한다.

                      (10)

어떤 값 $x$에서 $f(x)$가 수렴하면 $x$는 정상점(ordinary point)이며 $f(x)$가 발산하면 특이점(singular point)이 된다. 식 (10)에서 $x$ = $0$은 $P(x), Q(x)$의 특이점이다. 특이점이 있더라도 식 (10)의 셋째줄처럼 $x, x^2$를 곱하면 정상점이 되는 경우는 정칙 특이점(regular singular point)이 된다. 따라서 프로베니우스 방법이 적용되려면 정의역에는 정상점이나 정칙 특이점만 있어야 한다.

[참고문헌]

[1] K. B. Howell, Modified Power Series Solutions and the Basic Method of Frobenius, Ordinary Differential Equations: an Introduction to the Fundamentals, 2011.

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용