절대 수렴과 균등 수렴(Absolute and Uniform Convergence)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "절대 수렴과 균등 수렴"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수
2. 단조 증감 수렴 정리

수학적으로 의미 있는 무한 급수(無限級數, infinite series)는 어떻게 더하든지 모두 동일한 값으로 수렴해야 한고 생각할 수 있다. 이런 주장이 충분히 타당하려면, 수학에서 다루는 무한 급수는 모두 절대 수렴(absolutely convergent)해야 한다. 하지만 계산하는 방식에 따라 수렴하기도 하고 발산할 수도 있는 조건 수렴(conditionally convergent)하는 무한 급수도 충분히 중요하다. 오히려 절대 수렴하는 급수보다 때에 따라 수렴값이 바뀌거나 발산까지 하는 조건 수렴(conditional convergence) 급수가 수학에서 더 중요하다. 왜냐하면 절대적으로 수렴하는 급수는 절대적으로 논란의 여지가 없기 때문이다. 따라서 무한 급수를 공부할 때는 절대 수렴이라는 개념을 이용해서 무한 급수의 특성을 분류하고 분석하면 좋다. 새로운 무한 급수를 만나면, 이 급수가 절대 수렴하는지 조건 수렴하는지 판정해서 수학 연산을 진행해야 한다. 조건 수렴의 예에 부합하는 중요한 무한 급수가 아래 있는 교대 급수(交代級數, alternating series)이다.

                  (1)

여기서 모든 $n$에 대해 $a_n$은 0보다 크다. 식 (1)처럼 교대 급수는 인접하는 항의 부호가 교대로 바뀌는 무한 급수이다. 하지만 항별 결합 법칙을 적용하면, 지속적으로 가끔씩 항의 부호가 바뀌는 무한 급수를 교대 급수로 쉽게 바꿀 수 있다. 교대 급수는 항마다 부호가 바뀌기 때문에 재미있기도 하고 만만하게도 보인다. 조금 더 알고 보면 우리 지식이 쌓여갈수록 흥미의 화수분 역할을 하는 급수는 교대 급수이다. 무한 급수의 항이 교대로 바뀌는 현상은 우리가 자주 보는 삼각 함수의 테일러 급수(Taylor series)에도 명확히 나타난다.

                  (2)

                  (3)

하지만 우리가 고민하는 교대 급수는 식 (2), (3)과 같은 형태가 아니다. 식 (2), (3)과 같은 무한 급수는 절대 수렴하기 때문에 마음대로 연산할 수 있어서 융통성이 크다. 그래서 산수에 불과한 절대 수렴하는 교대 급수는 흥미가 조금 떨어진다. 우리가 진짜 재미를 느끼는 교대 급수는 따로 있다. 식 (1)과 같은 규칙을 가진 수열(數列, sequence) $\{(-1)^n a_n\}$에서 항의 절대값[$a_n$]을 계속 더하면 발산하지만[이 무한 급수는 절대 수렴하지 않는다.], 항의 부호를 바꾸면서 더하면 수렴하는 특이한 무한 급수가 존재할 수 있다. 우리의 관심은 $a_n$이 어떤 조건일 때 수렴할까이다. 이 질문에 대한 해답은 이미 오래 전에 라이프니츠Gottfried Wilhelm Leibniz(1646–1716)가 다음과 같이 제시했다.

[라이프니츠 기준(Leibniz criterion)]
식 (1)과 같은 교대 급수에서 $a_n$이 단조 감소하고 $\lim_{n \to \infty} a_n$ = $0$이면, 이런 교대 급수는 수렴한다.

[증명]
교대 급수의 수렴성을 파악하기 위해, 식 (1)의 부분 합(partial sum)을 특정한 홀수 번까지 계산한다.

                 (4)

수열 $\{a_n\}$이 단조 감소해서 $a_{2n} > a_{2n+1}$이 성립하므로, $S_{2n+1} > S_{2n-1}$이다. 즉 부분 합의 수열 $\{S_{2n+1}\}$은 단조 증가한다. 또한 식 (4)에서 $S_{2n+1}$을 다음처럼 기술할 수도 있다.

                 (5)

그러면 $S_{2n+1}$은 $a_0$에서 $0$이거나 양인 두 항의 차이[$a_n - a_{n+1} > 0$]를 여러 번 빼준 값이 된다. 그러면 $S_{2n+1} < a_0$처럼 부분 합이 유계가 된다. 따라서  $S_{2n+1}$은 단조 증가하면서 유계(有界, bounded)이므로, 단조 증감 수렴 정리(單調增減 收斂定理, Monotone Convergence Theorem)에 의해 교대 급수의 부분 합 $S_{2n+1}$은 수렴한다. 또한 다음처럼 짝수 번까지 더한 부분 합 $S_{2n}$도 홀수 번까지 더한 부분 합과 같은 값에 수렴한다.

                 (6)

다른 말로 하면 $n$이 커질 때 $a_n$이 0으로 수렴해야, 홀수 번과 짝수 번까지 더한 부분 합이 동일한 값으로 수렴한다.
______________________________

식 (5)에 제시한 방법을 활용하면 식 (1)과 부분 합의 오차를 쉽게 계산할 수 있다.

                 (7)

여기서 $S$는 식 (1)의 수렴값이다. 라이프니츠 기준을 적용할 수 있는 대표적인 예는 조화 급수(調和級數, harmonic series)이다.

                          (8)

식 (8)은 분명히 발산하지만, 아래에 제시한 교대 조화 급수는 라이프니츠 기준에 의해 수렴한다.

                          (9)

이와 같이 절대 수렴과 조건 수렴이란 개념을 이용해서 우리가 다루는 무한 급수의 연산 방식을 편리하게 결정할 수 있다. 절대 수렴하는 무한 급수는 힘닿는 데까지 계속 더해도 부분 합은 잘 수렴한다. 반면에 절대 수렴하지 않고 조건 수렴하는 무한 급수는 교대 급수처럼 수렴성을 일일이 확인해서 수렴하도록 개별 항을 더해야 한다. 즉 주어진 무한 급수의 특성을 볼 때, 가장 먼저 선택하는 쉬운 잣대가 바로 절대 수렴이다.

[그림 1] 균등 수렴의 개념

절대 수렴은 무한 급수를 분류하는 중요한 기준이다. 무한 급수를 이용해서 함수를 새롭게 정의할 때, 절대 수렴 특성만 보면 될까? 예를 들어 절대 수렴하는 무한 급수에 아래와 같은 함수 개념을 넣더라도 $x$에 대해 항상 연속적으로 수렴할까?

                 (10)

여기서 $S(x)$는 부분 합 $S_n (x)$의 극한이다. 식 (10)처럼 함수를 생성하는 무한 급수의 수렴성을 따지기 위해 등장한 개념이 그 유명한 균등 수렴(均等收斂, uniform convergence)이다[4]. 균등 수렴은 고른 수렴, 평등 수렴 등으로 불린다. 쉽게 생각해서 절대 수렴이나 조건 수렴은 특정 점에서의 수렴을 판정한다. 대비되게 균등 수렴은 특정 구간에서 동일한 $\epsilon$으로 정의하는 수렴 조건을 뜻한다. 무한 급수의 안전한 사용을 위해 바이어슈트라스의 스승인 구더만Christoph Gudermann(1798–1852)이 1838년구더만 40세, 조선 헌종 시절에 최초로 균등 수렴을 어렴풋하게 주장했다. 바이어슈트라스Karl Weierstrass(1815–1897)는 구더만의 개념을 받아서 1841년바이어슈트라스 26세, 조선 헌종 시절부터 해석학에 적극적이고 엄밀하게 사용하였다.

[균등 수렴]
임의의 작은 양의 실수 $\epsilon$ 및 $a \le x \le b$를 만족하는 모든 $x$에 대해, $n \ge N \Rightarrow |S(x) - S_n(x)| < \epsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 항상 존재한다. 이 경우 부분 합의 극한 $S(x)$는 구간 $[a, b]$에서 균등 수렴한다고 정의한다.

여기서 $N$은 $x$와는 관계없고 오직 $\epsilon$과만 연관된다. 다른 말로, 매우 큰 $N$을 선택할 때, [그림 1]처럼 구간 내의 모든 $x$에 대해 오차가 $\epsilon$보다 작게 잡을 수 있어야 균등 수렴이다. 균등 수렴의 정의는 무한 급수의 수렴 정의와 거의 유사하다. 다만 무한 급수와 다르게 우리가 정의한 구간에 있는 임의의 $x$에 대해, 다음 무한 급수가 항상 $\epsilon$보다 작아야 균등 수렴이라 부를 수 있다.

                 (11)

식 (11)은 균등 수렴의 정의와 동치이다. 식 (11)에서 $x$에 관계없이 부분 합의 극한값과 부분 합을 유한 번 더한 합산값의 차이를 원하는 대로 줄일 수 있어야 균등 수렴이다. 예를 들어 $a_n (x)$가 연속 함수라면, $a_n (x)$를 유한 번 더한 부분 합 $S_n(x)$도 당연히 연속 함수가 된다. 이 $S_n(x)$가 $S(x)$에 한없이 가까워질 수 있기 때문에 자연스럽게 $S(x)$도 연속이 된다. 균등 수렴을 이해하기 위해 균등 수렴하지 않는 무한 급수를 다음처럼 부분 분수 분해로 만들어보자[1].

        (12)

식 (12)를 바탕으로 구간 $[0, 1]$에서 항상 절대 수렴하는 무한 급수를 다음과 같이 정의한다.

                 (13)

식 (13)은 모든 $x$에 대해서 균등 수렴할까? 문제가 될 수 있는 $x = 0$인 값과 그 이외의 수렴값을 비교한다.

                 (14)

식 (14)에 의해 $S (x)$는 $x$에 관계없이 항상 수렴한다. 하지만 $S (x)$는 $x = 0$에서 불연속이고 $S_n(x)$는 모든 구간에서 연속이다. 따라서 $x = 0$ 근방에서는 $n$을 아무리 키우더라도 $S (x)$와 $S_n(x)$의 차이를 줄일 수 없다. 따라서 식 (13)은 절대 수렴하지만 균등하게 수렴하지 않는 무한 급수이다. 식 (14)는 무한 급수에 대한 또 다른 관점도 보여준다. 무한 급수를 구성하는 함수 $a_n (x)$는 분명 연속이다. 하지만 $a_n (x)$를 무한히 더하면 불연속이 될 수도 있다. 연속하는 값을 한없이 더하니까 불연속이 생기는 황당한 경우가 생긴다는 뜻이다. 상식적으로는 연속 함수를 더해서 수렴하면 그 값은 항상 연속이 되어야 한다. 이 명제는 코쉬Augustin-Louis Cauchy(1789–1857)가 1821년코쉬 32세, 조선 순조 시절에 증명했다[2]. 하지만 1826년아벨 24세, 조선 순조 시절에 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)이 바로 반례를 찾아서 틀린 명제가 되었다. 연속 함수를 계속 더해서 새로운 함수를 정의하는 방식은 푸리에 급수(Fourier series)의 중요한 특징이다. 아벨은 푸리에 급수를 이용해서 코쉬가 증명한 명제의 허점을 정확히 찔렀다. 삼각 함수를 이용해 만든 무한 급수는 연속 함수의 무한 합이지만, 어떤 경우에는 식 (14)처럼 불연속이 될 수 있다. 아벨은 아래와 같은 푸리에 급수를 이용해서 코쉬가 틀렸음을 확실히 증명했다[3].

                     (15)

식 (15)의 무한 급수는 잘 수렴하지만 $x = \pm \pi$에서 문제가 생긴다. 예를 들어, 점 $x = \pi$에서 식 (15)의 우변은 분명 0이다. 하지만 $x = \pi$ 근방에서 수렴하는 값은 $\pi/2$이다. 그래서, 식 (15)에 제시한 무한 급수의 부분 합 $S_n(x)$을 더하는 개수($n$)를 아무리 늘려도 수렴값 $S(x)$에 다가갈 수 없는 $x$가 존재한다.[식 (15)에서는 $x = \pm \pi$이다.] 따라서 식 (15)는 균등 수렴하지 않는다.
식 (14)와 (15)처럼 현실에 존재하는 문제점으로 인해 균등 수렴의 필요성이 더욱 커졌다. 대(大)수학자 코쉬에게 지적질을 할 수 있다는 허영심보다는, 정말 유용한 푸리에 급수가 가진 한계를 어떻게 규명하느냐가 수학을 진전시킬 근본적인 질문이 되었다. 이런 측면으로 보면, 틀렸더라도 코쉬는 코쉬이다. 균등 수렴을 이용해서 코쉬가 틀린 명제를 다시 써본다. 연속 함수로 구성한 무한 급수가 균등 수렴한다면, 이 무한 급수의 수렴값은 전체 구간에서 연속이다. 이는 푸리에 급수로 특정 함수를 표현할 때 꼭 생각해야 하는 중요한 특성이다.
무한 급수의 균등 수렴을 판정하기 위해 흔하게 사용하는 바이어슈트라스 $M$판정(Weierstrass $M$-test)을 살펴본다.

[바이어슈트라스 $M$판정]
구간 $[a, b]$에 있는 모든 $x$에 대해, $M_n \ge |a_n (x)|$를 만족하는 유한한 실수 $M_n$으로 구성한 무한 급수 $\sum_{n = 1}^\infty M_n$이 수렴하면, 원래 무한 급수 $S(x)$는 구간 $[a, b]$에서 균등 수렴한다.

[증명]
무한 급수의 수렴 정의에 의해, 우세를 이용한 무한 급수는 다음 관계가 성립한다.

                     (16)

그러면 부분 합의 나머지 부분도 다음을 만족한다.

                     (17)

그러면 무한 급수의 균등 수렴 정의에 의해 $S(x)$는 균등 수렴한다.

                     (18)
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바이어슈트라스 $M$판정에 있는 $M$은 우세(majorant)를 의미한다. 균등 수렴을 판정하기 위해 또 하나의 유용한 방법은 아벨의 판정(Abel's test)이다.

[균등 수렴에 대한 아벨의 판정]
무한 급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n$이 수렴하고 구간 $[a, b]$에서 음이 아닌 $f_n (x)$가 $n$에 대해 단조 감소하고 유계라면, 무한 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n f_n(x)$는 구간 $[a, b]$에서 균등 수렴한다.

[증명]
증명 과정은 절대 수렴에 대한 아벨의 판정과 거의 유사하다. 먼저 무한 급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n$의 부분 합을 정의한다.

                             (19)

식 (19)의 정의에 따라 $\sum_{n=0}^\infty a_n f_n(x)$의 부분 합 $S_N(x)$을 변형한다.

                             (20)

음이 아닌 함수 $f_n(x)$가 $n$에 대해 단조 감소하고 유계란 의미는 $f_n(x) \ge f_{n+1}(x)$과 $0 \le f_n(x) \le F$을 뜻한다. 따라서 고정된 $x$에 대해, $n$이 커지면 $f_n(x)$는 수렴값을 가진다. 부분 합이 코쉬 수열(Cauchy sequence)임을 보이기 위해 매우 큰 자연수 $M, N$에 대해 다음을 고려한다.

                             (21)

여기서 $M < N$, $A_\text{max}$는 $A_n$ 중에서 최대값이다. 자연수 $n$이 커질 때, 함수 $f_n(x)$는 수렴값을 가지고 부분 합 $A_n$도 수렴한다. 따라서 식 (21)의 좌변을 임의의 작은 양의 실수 $\epsilon$보다 작게 만들 수 있어서, $\sum_{n=0}^\infty a_n f_n(x)$는 균등 수렴한다.
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균등 수렴에 대한 바이어슈트라스 $M$판정과 아벨의 판정은 테일러 급수나 푸리에 급수의 수렴성을 분석할 때 매우 유용하다. 예를 들어 아벨의 판정을 쓰면 테일러 급수가 균등 수렴하기 위한 충분 조건을 쉽게 찾을 수 있다.

              (22)

아벨의 판정을 적용하기 위해, 식 (22)를 다음처럼 표현한다.

                             (23)

여기서 $R_0$는 $f_n(x)$의 크기를 항상 $1$보다 작게 만드는 수렴 반경이다. 아벨의 판정에 의해 식 (19)에 제시한 $a_n$의 부분 합 $A_n$이 수렴하면, 테일러 급수는 $|x - a| \le R_0$ 구간에서 균등 수렴한다. 다만 $(x-a)^n$의 부호가 음이라면, $a_n$의 부호를 바꾸어 주어야 아벨 판정의 조건인 $f_n(x) \ge 0$을 만족시킬 수 있다.
아래와 같은 푸리에 급수는 아벨의 판정을 적용하기 어렵다. 함수 $f_n(x)$는 삼각 함수이므로, $n$에 대해 단조 감소하지 않고 $\pm 1$ 사이를 진동한다. 이 경우는 바이어슈트라스 $M$판정을 사용하면 된다.

                             (24)

여기서 $f(x)$가 조각마다 연속인 경우는 불연속점에서 균등 수렴할 수 없어서 $f(x)$는 연속이라고 가정한다. 그 다음에 삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)을 사용해 식 (24)의 항을 바꾸어 표현한다.

                             (25)

만약 $a_n, b_n$을 항으로 가진 무한 급수가 절대 수렴한다면, $A_n$이 항인 무한 급수도 절대 수렴한다. 왜냐하면 모든 항에 대해 $|a_n| + |b_n|$ $\ge$ $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ = $A_n$인 부등식이 성립해서 해당 부분합도 대소 관계를 유지하기 때문이다. 또한 다음 부등식에 의해 우세항으로 구성한 무한 급수도 수렴한다.

                             (26)

따라서 $\sum_{n = 0}^\infty |a_n|$과 $\sum_{n = 0}^\infty |b_n|$이 수렴하면, 모든 실수 범위에서 식 (24)에 있는 푸리에 급수는 균등 수렴한다. 추가적으로 함수의 미분이 모든 구간에서 연속인 경우에 원래 함수의 푸리에 급수는 균등 수렴할까? 먼저 식 (24)를 미분해서 미분과 푸리에 계수의 관계를 설정한다.

                             (27)

베셀의 부등식(Bessel's inequality)에 의해 무한 급수 $\sum_{n=0}^\infty n^2 (a_n^2 + b_n^2)$ = $\sum_{n=0}^\infty n^2 A_n^2$은 항상 수렴한다. 그러면 $n A_n$은 항상 $A_n$보다 크거나 같으므로[혹은 $A_n \le n A_n$], 비교 판정(comparison test)에 의해 $A_n^2$이 항인 무한 급수가 수렴해서 원래 함수의 푸리에 급수가 존재한다. 따라서 다음 부등식은 원래 함수에 대한 푸리에 급수도 균등 수렴함을 보장한다.

             (28)

여기서 둘째 줄은 코쉬–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)과 바젤 문제(Basel problem)로 유도한다.

적분에서도 균등 수렴 특성은 중요하게 작용한다. 예를 들어 균등 수렴하는 함수열(function sequence)은 적분(integration)과 극한(limit)을 자유롭게 교환할 수 있다. 반대로 균등 수렴 조건이 없으면, 적분과 극한을 교환한 결과는 서로 다를 수 있다.

[적분과 극한 특성]

함수열 $f_n(x)$가 구간 $[a, b]$에서 $f(x)$로 균등 수렴하면, 적분과 극한을 교환할 수 있다.

                             (29)

[증명]

균등 수렴으로 인해 $n \ge N$이라면, 항상 $|f(x) - f_n(x)|$ < $\epsilon/(b-a)$를 만족한다. 이 관계를 정적분에도 비슷하게 적용한다.

                             (30)

따라서 $n$이 커질 때, 두 값이 차이를 한없이 줄일 수 있어서 식 (29)가 성립한다.

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식 (29)에 있는 함수열 $f_n(x)$를 식 (10)에 도입한 부분 합 $S_n(x)$라 생각한다. 그러면 무한 급수 기준으로 식 (29)를 다시 표기할 수 있다.

                             (31)

식 (31)은 균등 수렴하는 무한 급수가 항별로 적분(term-by-term integration)할 수 있음을 보여준다.

[참고문헌]
[1] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.
[2] A.-L. Cauchy, Analyse Algébrique (Algebraic Analysis), Gauthier-Villars, 1821.
[3] F. A. Medvedev, Scenes from the History of Real Functions, Birkhäuser, 2012.

[4] 박선용, "평등 수렴의 역사에 대한 분석과 그 교육적 시사점에 대한 연구", 한국수학사학회지, 제30권, 제1호, pp. 31–50, 2017년 2월.

[다음 읽을거리]
1. 무한 급수의 대수